Scheepssnelheid op gemeten mijl

STUDIECENTRUM T. N. O.

VOOR SCHEEPSBOUW EN NAVIGATIE

SCHEEPSSNELHEID OP DE GEMETEN MIJL

DOOR

Ir. W. H. C. E. ROSINGH

Overdruk uit Schip ein Werf" ;an 22 December 1950 No. 26 en 2 Februari.1951 No. 3 \ Uitgevers: Wyt- Rotterdam,

SCHEEPSSNELHEID

OP DE

GEMETEN

MIJL

DOOR

Jr.: W. H. C. E. R6S1NGH

Hoofd-Ingenieur bij Wilton-Fijendord

Algemene opmerkingen

Indien er op een gemeten mijl by. aangegeven- door bakens op het land een met de tijd variabele stroomsnelheid heerst en -we maken een serie ,runs", dan wordt voor elke run" een andere schijnbare snelheid gevonden. Er is dan niet ineens te zeggen hoe groot de werkelijke scheepssnelheid is. Men behelpt zich dan voor de bepahng van deze snelheid Met. de klassieke rnethode der ,means of means". Men bepaalt nl. eerst de

ge-middelde sneli.ieden der opeenvolgende runs" en daarna weer de gemiddelden van deze gemiddelde snelheden totdat er ten-slotte een gemiddelde overblijft welke men met de seheepssnel-heid ten opzichte van het water identificeert.

Afgezien van,het feit, dat de volgens deze methode bereken-de snelheid een beter resultaat levert dan 'het rekenkundig

ge-middelde, kan deze methode onder bepaalde omstandigheden bok onjuiste-resultaten opleveren.

Want neemt men by. aan over 6 runs" de 6 schijnbare

snelheden V1; V2;

volgens dit rekenprpcede de scheepssnelheid V: (zie blz. 4). V1+ 5 V2 71- 10 V3 + 10 V4 -I- 5 V5 +.V6

V =

32 (1,1)`

We hetkennen in deze coefficiEnten de binomiaal coefficien: ten van Newton en merken op dat volgens (1,1) afgezien van de stroomsnelheden de invloed der metingen V, en V, 10 maal zo groot is als die der eerste en laatste meting. Het is gebleken dat we volgens deze methode een verschillend resultaat kunnen krijgen afhankelijk van het feit of we de eerste run" voor de stroom of tegen de stroom maken en dat het ook mogelijk is dat indien de tussenpozen tussen de ,runs" yerschillend zijn en

voor een bekende stroornkromme by. eens handig gekozen wa-. ren (fat we dan een fautieve scheepssnelheid zouden kunnen be-'

rekenen. Daarbij kan bij een ander aantal runs" weer een

andere scheepssnelheid gevonden worden. inderdaad zijn deze

handigheden in de practijk al toegepast door "by. tussen de runs" even ankerproeven te gaan doen totdat het tij voor een run" gunstig gewijzigd was. Daarom is getracht een scherpere methode voor het bepalen der scheepssnelheid uit de gemeten tijden op de mi.j1 te vinden, waarbij deze bezwaren niet

op-treden.

Onder par. 4 zullen we echter ook nagaan onder welke'om-standigheden de means of means" exact juist zijn.

Ogenschijnlijk lijkt het vreemd, dat het mogelijk is een

scheepssnelheid te berekenen met proeven op stromend water, waarvan de stroomsnelheid .onbekend is. We -zullen eehter zien dat zulks onder bepaalde beperkingen toch mogelijk is.

Bepaling der scheeps- en Stroomsnaaeid

Volgens bijgaande schets speelt de snelheidsproef zich tussen

de punten A en B over een afstand van M mijl af met fen

stroomsnelheid v die afhankelijk van de tijd is.

vi

V A

M -->

Va gevonden te hebben, dan -wordy

T1,1 T2,i

V = scheepssnelheid in kriopen vi = stroomsnelheid in knopen To = begintijd der i-e run To = eindtijd der i-e run

I M. = afstand tussen de bakens in na'utische mijlen

kronime geeft en natuurlijk ook dater geen golven zijn en

dat het windstil is. .

-We spreken hier opzettelij niet over een continue fun.ctie omdit deze zeer fijne mathematische definitie nOg" veel te gril-lige krommen,zou toelaten. In het geval van een zg glad stro-kende kromme kunnen we dit functionaal verband ontwikke-len iii een -polynornium van t waarvan het aantal termen tot een redelijk aantal van zeg 5 is te beperken. Dit polynomium wordt dan by.

v=p+qt+re ±1t3±mt4

(2,1)

Vaart het schip van A naar B dan legt de stroom in de'tijd dat het schip tussen de bakens vaart een afstand A M1 af, nl.

T2,i

Mi =

f

v dt = p(Toi

T1.1) q(T22t

er1.) +

Ti,i 1 1

+ -3 r(r2.1 - T31.1) +

1(T42.; - T41.1) ± - m(T52.1 5 De scheepssnelheid is dan: AI;

V =

of: 2.1 V(T2.1 T1.1)

M ± A Mi =0

= 1,2,.

.

, n

als run" van A -- B

2

als run" van B ->. A J ( ,3)

Elke run" geeft dus een in de onbekenden V; p; q; r; 1,. . ;

lineaire vergelijking van het type (2,3) waarvan de bekende coefficienten uit (2,2) volgen. Indien de stroomsnelheid zich als een m" 'graads polynomium van de ,tijd laat ontwikkelen,

heat elle vergelijking (2,3) in verband met (2,1), m + 2

onbekenden en we moeten dus voor het oplossen van de onbe-kenden uit deze verg. steeds 2 runs" meer makendan de graad van het polynornium, hetwelk gedurende het tijdsverloop van alle gemaakte-;,runs" het-verband tussen stroomsnelheid en tijd voldoende kan benaderen.

. Is dus by. de stroom in het beschouwde tijdsinterval een 3e

graads functie van de tijd 'clan zijn 5 runs" voldoende en zijn uit een oogpunt van-tijdsbesparing meerdere runs" overbodig. Over het algemeen echter het stroomverloop over de paar nur die men voor de .bepaling van een snelheid nodig h'eeft beter door een 4e graads kromme benaderd -worden, zodat dan 6 runs" noodzakelijk zijn.

Voorbeeld der berekeningsmethode

In het boek Weerstand en Voortstuwing geeft Jr. Kiming een voorbeeld waarvan behalve de tijden der runs" ook de

scheepssnelheid en stroomsnelheden gegeven zijn. Door thans slechts gebruik te maken van de gegeven 6 begin- en eindtijden der 6 runs" is in de bijlage de scheepssnetheid en stroomsnel-heid berekend. Als eliminatiemethode is de methode van Gauss gebruiltt. Oprrierkelijk is de grotere nauWkeurigheid van. het resultaat dan volgens de gegeven methode det ,means of means", benevens de overeenkomst tussen de berekende stroom--snellieden en die welke in het voorbeeld werden aangenomen. Dit systeem van berekening werkt dus beter dan de means o'f means" en is onafhankelijk van eventueel ongelijke tijds-intervallen tussen de proeven. Het bezwaar is echter dat het rekenwerk veel groter is dan volgens de means of means" gegeven in formule (1,1) hoewel d.it met een' rekenmachine

T31.1) (2,2)

De enige veronderstelling die wij maken is dat de stroom-snelheid uitgezet als functie van de tijd een glad strokende

I. V aa 0.08333 0,05577 0,0 8 0 6 5 0,0681 4 0,07136 0,06757 , " va0FIBE.ELD*

-won OF ALGEMEEN t, C

a.. + a.. v a.2 p + a, + o.,. r + a., I. a 0

2,1E-,,WEERSTAN13 EN. VOORTSTUwiNG " LZ. 32,9. 7 0,000000,0000o 0,00000 008 3330,00654 0,00068 L -0,50 000 0,2500.0 0,1 25 0 0 0,135 577 0,3 0 8 8 8 0,1 71 67 1,14 667 1,36 11 2 1.58798 1,24731 1,5558 1 1,94055 1,58333 2,5o 6 9 3 3,96930 1,641 47 2,6 9 1+4 2 1,422 82 2,25000 5,66 250 1 1,39 0 63 2,322365,3933612,92531 2,86667 8,21 780 23,55771 2,9'3424 8,6°576 25,261i a M A 1 MUL ne VERGELUKIN4EH La01213EN 0.00 000 0,00005 0,06250 0,65541 1,9 5264 2.42054 6,28 4.7-2 7,2599 2 25,62851 0,08333V- I - 0,08333.p- 0,0034711: 0,00019 r - 0,00001 0.05577V- 1+ 0,05577p + 0,029441+ 0,01556 r + 0,00823 0,01306TV- - 0,08065p-0,05735i- 0,11751+r - 0,141913 0,08814V-.1 + o,cortii4p+0,9.137511+ 0,15.17 r 0,243515 0,o7236V-. 1 - o,o7236p- 0,165431- 0,37823 r - 0,86485 0,06767Y- 1 + o,o6757p + 0,19558i+ 0,56847 r + 1,64896

2.9,088E5 67,55 348 67,53221 193,55856 74,1 2804 21 7,509 47 F. 0,00000' 0,00000 6031 25 o,o5 3 o2 6 1 43 3,o 9,95078 11,9 i 654 57,66504 o,00435m60 1-0,1715511t.0 1+0,39323,n.° 1- 1,97769rnso 1+4,713338m'6o

voor vermenigvuldigen zeer bekors kan worden. Van

persoon-lijk inzicht zal het afhangen of men de methode van Gauss voor het oplossen der vergelijkingen gebruikt, of dat men van de eenvoudige algemeen bekende' elirninatiemethode gebruik maakt. Deze laatste vraagt jets meer schrijfw'erk maar is over-zichtelijker.

Aangezien de stroomsnelheid ons over het algemeen niet bijzander zal interesseren verkrijgt men de scheepssnelheid waarschijnlijk het eenvoudigste door de vijf onderste vergelij-kingen van het voorbeeld met factoren te- vermenigvuldigen die de coefficienten der onbekende m gelijk 1 maken. Na eliminitie' van m herhaalt men deze bewerking voor de coef-ficienten van 1, en gaat zo voort tot V ievonden is. Bij gebruik

van een rekenrnachine voot vermenigvuldigen werkt men

volgens deze methode zeer eenvoudig en overzichtelijk, alleen met meer schrijfwerk dan met de rnethode volgens Gauss.

We merken nog op dat voor de berekening van de snelheid volgens deze methode, behalve de verstreken tijdin voor elke

run" ook het begintijdstip van elke_ run!' bepaald moet

worden. De' methode der means of means!' heeft slechts de tijd nodig die gedurende elke afzonderlijke run" verstreken is.

De oorzaak, dat ook deze berekening nog een fout van

, 0,0042 kn geeft, die weliswaar in dit geval een factor 10 kleiner

is dan volgens de means of means", is dat deze stroomsnelheid

blijkbaar nog niet voldoende nauwkeurig in de 4e graads kromme geanalyseerd kan worden. 'Het is ni. mogelijk een 4e graads kromme door 5 basispunten te doen gaan. Een 6e

basis-punt zal dan algemeen niet meer op deze kromme liggen.

vERKOAT 3,0001.5 0,01556 i 75 4 4O,1 5 1 7 3.37 8 3

_ING VAN OE VINGELLININ0EN MET. 0

A... A 0, 0 8 333 Z1, 0 8 "3 3 3 .6,0 0 3 "4 7 tx! O.,0 5 577 1.,0 5577 .0,0 2 9 44 4 4o.,o 8 o 6 5 .3,08 065 -(510 9 7 3 5 + ' + al 0.05131 4 0,0513i4o,o9 375 4 (107136 Zr,o7 236 3,1 6 543 + + al 0,06757 0,06757 0,1 9 5 98O,56 8 47

O,o5577 4411,o0232,0,000 1 3iii3O0o0 I 0,00,0 o co ,669 26

:16,o8o65S,o0336;,000t 9 Ol0000i o,000900.96,784

'&058 I' 0,00 242 16,00 0 1 3 0,00001 co 0000 0,6 977 I

,072 36 .6,00 301 .11,-0001 6 4O0000t 0,00000q,136838

&01.7371;,00281-0,000I SO,0000t o,00000O,81087

0.ri 1 54 0.03 176 '0,01 569 3,008 24 0,004355,33074

0,000000,000000,00000 0,00000 0,00000

it /.04250.1 0-,0 3 3 1. s -a,o 1 6 3 6 3,0°5 TA -0,00453 0,344 8 o

'

.r-G-'.

0,000000,000000,00000 0,000000,00000

-2,25.1L .-1,21155.11 13,0 3 8 45 rlo t Sol 3,00938 E%00527:,40072

"067092.zo,093 99 ;,.11 7 3 6 3.1 4 i 97 E,17 1 55 7,,o 32 a 6

I al =IS

.1 0,oesst. 0,078740,095253,1 s S i o E,02.1 58

o.:= _ Z101L3.;, 15 1 7 2 806 .1 ;2 02 8 i ;1,24 533 49 6 451,o 5557

lat= .9.1§.±310.00188.31. 1.70561.E ;A0017-0-2411 5323E603,05485

_ .&056 Z01.0.1 3 9 97 ;,27 36 0 "402093 + + + , +311851.72 0,43 6TO 0,3 53 2 2 0,0 46 27 0,870.30 7701 1 it313 0.14 Loircifs sms_612 2 I;08103

a ''-'0=

=_9A71.14..2 E*1 111' 2 a ..12JAL,424_.X. -6,2i773 . E :vs% o. _{8 30i -$2.82.8.2 ;1,011281} 2,382.30 /3,0.3 11 0 013901 E 416 2r. '&402010,00450 -+11.0.1111 "/...00108t-0921102.. 0.01119 010972 0,1s301 r.002093+0,2736.001u9-0,13397.0.10972 -o15.356 -0,00620 43...-0,03216-0,t7r5c.9,0ut3+13,14137.0,10972...o,u736.0.6356 0051i *0,09393 p 0,33.074+ 0,004303.0,0019.0,0082.4.0,10372-0,0/569.0,15356.-0,03176. 0,00511 99599 ,11154.

14.0.00001. 0,1071+ 0,0001b.015 2.56+40a34-7.0.0.511- 0,0E/333.1,99W =4. IL.: gg 580

ZIE: HAMMY& OAR vERMISfunAcEunt;L- w.JOEDAN,150.1. VALin. STUTTGART, 1920. RAHMENTRAEwUNI. ini0OuliCHLAAFTEEGER-R.AuLOAN, JuuuS SiNtiNC.Eit,WIAN.1940.

TI eLlMINAT 17k 0 0 0 0 0,0 0 8 2 3 (3,I 4 I is 0,24 3 80 0,8 6 48 5 + i,64556 IIMIETHObE 0,0 0 0 00 0,00435 6,171 55 42,39313 1,97769 4.7d 338 VAN GAI.185. -1,0 0 000 il00000 l,oc000 T00000 1,00000 t00000

Volgens het gerekende voorbeeld, zie blz. 5, blijken de

be-rekende stroomsnelheden zich met zeer kleine verschillen tussen de gegeven waarden door te slingeren.

4. De methode volgens de means of means"

We willen nu.nagaan welke voorwaarden aan de gegevens voor de means of means" zijn te stellen opdat een exact

resul-taat wordt verkregen en we stellen hiertoe even het bereke-ningsschema van deie methode op voor 6 runs".

v, VI +Va 2. Vz+v, V,%/c Vr Vd, V. +2 Vi+V% 4 V1+2V5+V4 vb.24+vc 4 Vo. /Vs.+ MI 4 V.4.3V1+3V1+V4 9 V,440.4,+6141+4Vy+Vg 1 6 V.+ 3 vs+ 3 V,.+Vg 9 IV% +.4V0.6 V4+ 4 Yr+ V% 16 V9+3V4+3Yr4V6 . 9 V,+5V2+10V6+104f6+5Vs.+14

Hierin zijn dus V-1; V-2; V. de schijnbare scheeps-, snelheden die men verkrijgt door de afstand tussen de bakens

te delen door de tijden die per run" gemaakt worden.

Ta,i, - T ' T.,.. - 7" 7,..;..7,,.. 7 ,

1 0,0 8 3 33 0,0031+7 0,0 0 0 1 9 o,0000r 0,00 o o o

2 o.o5 577 o,o29 44 o,o i 55,6 0,00\ 8,2 3 o.oe435

3 o,09069 o,09739 0,1 1 754 0,1 4- 1 as 0,17199 4' 0,05814 0,05375 0,1S117 0,24380 0,35323 5' 0,07236 0,1 6543 0,37823 0,86485 1,97765 6 o,06 757 .*0.1 9558 0,56947 1,64896 1+,79938

S CH LP EN WERF

3 3 6 1 2,00 i 7.9 3 I 2,40 17,20 1 3,82 4.0o

DE STRoOMSNELMEDEN VOLGEN uiT OE vERGELUNING :

p.qtr tz

t1_4. t4 p

+ qt

_re. + + mt" v o 2,9959 _2,996 72 2,9959 - .2,06'26 - 0,0384 - 0,0 1 _{7 + 000 o7 2,942.} 2,9959-0,0051 -0,1 536 -0,1097+ 0,01 1 2 2,739 2,99E9-0,0077 -0,3455-0,3701+0,0567 . 2,329 2. 2,9959 -0,o I oa-o,6 I 42-0,8779+0,179 0 1,673 27% 2,99 53 - 0,0 2 8 - 0,9 5 9 8 - 1,7 4 4 + 0,4 3 7 1 0,746 3 2,9959 -0,0153 - 1,3820-2,3624+0,9064 .-0,4513

ALS STROOMSNELHECIEN VOOR DE TuOSTIPpEN OP DE MEIJI VAN OE TUD VAN DE RUNS ViNDEN wU DAN VOLGENS SUGAANO DIAGRAM, utTGE2ET vOLGENS DE CUPERS VAN 150vE.N5TAANDE TABEL :

Run _t v. i 008333 _{0,0 4 i 67 3,00 FIN} 2 2 0 50000+ 0 55577 . 0,5 2 7 13 9 2,9 4 3 1,16667+ 1.24712_a . 1.2 0 700 2,60 . 4 1 59333+ 1.64447 . _{1,61 2 4 0 2,2.1 .} a. S. 2.2500o+2,36136 _ _2,286 I 8 I I 8 2 6 2,86667+2,99424 290 o 46 -0,19 m 2

ALE wu DEZ.E STROOMSNELHEDEN UIT DE PORNULE SEREKENEN EN vERGELUKEN MET OE STROOM 5NELNEDEN uiT HET vOORBEELD

CAN VOLGEN DE AFWUKINGEN UIT OE VoLGENOE TABEL :

RUN V DEREK/JO V *

vERSC.$40-2.9954 xr4 3,00 PIN - 0,0 0 ME, NN 2. 2,9351 2,93 +0,0051 3 2,5970 2,6o -0,003o 4 2,206 2,20 +0,0061 5 1.1778 1,18 -0,0022 . 6 -0,1927 0, 0,2.0 +0,0073

v=

Algemeen vindt men dan dus voor de scheepssnelheid:

± (n7 1) + (n ') v3 +

_{(:: )v0_1+ v.}

2° -1

n C-1) vi

= Z

_{i.1 2n-} (4,1)

waarin de factor ('=1) de binomiaal coeffickenten voorstellen. We wijzen er even op dat de berekening van de snelheid volgens de means of means" met form: (4,1) veel vlugger gaat dan volgens het schema. Want voor het genoemde voor-beeld berekenen we voor n = 6 vinden we:

Zie blz. 567 bovenste tabel links, 2e kolom voor de snelheden Vi

V, = 12,00 kn

5 V2 = 89,65

10 Vs = 124,00 10 V4 = 172,00 _2,

5 V, = 69,10

V, = 14,80

:,IZ1AGRAM t x r0 D

ukocr-r p v HETVOORS. %AN WEEIRIST

wELKE IN NET-6;;IREAr.-NET -CiRkilL4T.E'SS,ZuN

AANIECEVEM kimert tãALS E VMWAciiiik '11.A's-1:412FE &Dip.

1-_-- "

' M ET. TE-KR-o_pri 2.. ov N

Aangezien men by. door proberen direct ziet dat het eerste

X-teken achter het tweede gelijk-teken-1 als som heeft, vordert het exact uitkomen der methode der _{means of means" dus} slechts dat de tweede som verdwijnt, dus dat:

(- 1)'

vi = 0

i =1

of uitgeschreven by. voor n = 6

- vi ±

(51)VS

-

(25) v3+ (53)=v4 -(45)

v5 + vs =

v, -I- 5 vz - i0

10 v4 - 5v6 ± vs = .0

Noodzakelijk en voldoende voor het exact uitkomen der methode der means of means" is dus dat de reeks volgens form (4,4) nul tot som heeft. Bij deze uitspraak zijn beper-kingen omtrent de volgorde en het tijdstip der runs" benevens heperkingen omtrent het functionaal verband tussen de stroom-snelheid en de tijd overbodig.

Meer in het bijzonder blijkt de methode der

means of

means" de stroomsnelheid te elimineren indien deze wordt toegepast op gelijke tijdsintervallen indien de graad van het polynomium waarin de stroomsnelheid zich als functie der tijd

laat ontwikkelen 2 lager is dan het aantal runs".. Noemen we het tijdsverschil tussen het begin van twee opeenvolgende runs" a dan is volgens (2,1) de gemiddelde stroomsnelheid der le run:

p

q {t

(i - 1) a) + r

_{t (i}

_{1) a). +}

+ 1 {t + (i - 1) a }3

m { t

(i - 1) a}4

..

(4,5) Onder genoem-de beperkingen en substitutie

_{van (4,5) in}

(4,4) laat zich de juistheid dezer opmerking het eenvoudigst (4,3) aantonen door by. deze sommen voor n = 6 op te schrijven (4,4)

4

&HIP EN WERI

481,55 kn en dus is V = 481,55

32 = 15,048 kn

De schijnbare snelheid Vi is:

VI = V z-1-- vi (4,2)

stitueert, krijgt men:Indien men (4,1) verkort opschrijft en daarin (4,2)

sub-(n=1) {NT

(-

vi)

v=

_{2n -1} 1=1

n (_ 1)i

2° -1 1=1 20-1 (in--111)

en de zo ontstane kolomrnen te sommeren nl.:

qt

t2 1 t3 rn 5v27+.5p+, 5q(t+ 5r(t+ 1).)2+ 51(t+ 6)3+ 5 M(t+ .6)4 10v3=-10p-10q(t+28)-10r(t+28)2-101(t+28)3-10ni(t-F2)4. +10v4=-4-10p-FlOq(t+38)-FlOr(t+3`6)2+101(t-FV)3+10m(t-1-3a)4 5v5-7 Sp 5q(t-F4a)-1 5r(t+48)2 51(t-F4a)3.L- 5m(t+4br v6=-F p-F q(t+58)+ r(t+58)2+ 1(t+58)3+ m(t-F5;)4 6

X=

, =0 1

In dit geval verdwijnt de-genoemde som blijkbaar.

Zodra echter de graad van het p_olynomiurn niet juist 2 of meer lager is dan het aantal runs" blijft er een rest over en

levert de means-of means" niet meer exact de snelheid; terwijl de tijdsintervallen toch nauwkeurig gelijk kunnen zijn.

We nemen nu eens aan, dat we 5 uns" bij gelijke tijds-intervallen hebben genbrnen en de stroomsnelheid voldoende benaderd kan w,orden door een 3e graad kromme. Het zal dan ondanks de voo.rgaande beschouwing toch nog even vreemd aandoen,dat dan met de ,means of means" dezelfde en exact. juiste scheepssnelheid gevonden wordt, of men de eerste run" v6Or of tegen de stroom neemt. In het eerste geval vaart men 3 maal vOor en 2 maal tegen de stroom, in het laatste geval 3 maal tegen en 2 maal vOor en toch worth daardoor de volgens de means of means" berekende 'scheepssnelheid niet beinvloed.

Het volgende ,voorbeeld van een lineair stroomverloop met de tijd en gelijke tijdsintervallen bevestigt de opmerking.

Scheepssnelheid 15 kn., eerste run" tegen de stroom.

5 = 14,4 kn.

Scheepssnelheid 15 kn., eerste run" vOOr 'de stroom.

± 0

Zeer tegen de verwachting in wordt dus volgens beide me-thoden exact de juiste snelheid gevonden, terwij1 de gemiddelde snelheid een maal 0,6 kn te weinig en in het andere geval 0,6 kn

te veel snelheid geeft.

5. Toepassing der methode bij onderling verschillende

scheeps-snelheden .

In het, voorgaande is er van uitgegaan een bepaalde constante scheepssnelheid te bepalen uit een serie metingen op de gemeten mij1 bij varierende stroomsnelheid.

De heer J. Gerritsma, assistent aan de afdeling Scheepsbouw-kunde der Technische Hoogeschool, merkt op, dat het aange-geven systeem ook van toepassing is op twee verschillende

SCRIP EN WER'F

scheepssnelheden, en dat by. bij 8 runs vcior 2 verschillende scheepssnelheden de stroomkrornme bopaald kan worden door een se-graads polynomium.

Men kan. echter, indien men dit systeem wil betrekken op verschillende snelheden, formtile (2.3) algemener als volgt schri j yen :

1,2,3

( 1"2.1 T1.1) M

(_1)1 A

1V1.1 a.-- V ; (5.1)

en zadoende in principe alle metingen van een.proeftocht in een berekenings-systeem betrekken;-Waaruit de stroom-kromme en

de scheepssnelheidskromme is te_ berekenen.

Is nu g" de graad van. het polynomium, dan bestaat het

verband:

g=ijl.

(5.2)

Is by. i = 8 en j =_2; dan is de graad,van het polynomium-inderdaad 5. Maar wij hebben dan ook 8.1ineaire vergelijkingen

met evenveel onbekenden. ,

Men zou ook by. voor 6 yerschillende snelheden per,snelheid-2 runs kunnen maken, dus i = 1per,snelheid-2; j = 6 en dus zon de graad van het polynomium eveneens 5 zijn en had men tegelijk de gehele snelheidskromme van het schip, evenwel met 12 verge-lijkingen.

-Ook een aantal andere combinaties is mogelijk, by.

1

1,2,3,4

2 5,6,7

8;9

4

10

Men moet zich echter de toename van het rekenwerk niet ontveinzen bij het stij gen van het aantal vergelijkingen.

Indien n" het aantal onbekenden is, is het aantal getallen

in de kolommen van de rechter tabel van blz. 4. waaruit weer voor g" volgt

g = 10 4 1 = 5

Indien men dus. het aantal Yergelijkingen van 6 tot 8; laat stijgen', wordt het rekenwerk.meer dan tweemaal zo groot, en daarmee de mogelijkheid van fouten maken. Men zal dus zo .zuinig mogelijk met het aantal vergelijkingen zijn.

Voor het geval dat het gaat om de Conti-Ole van een sleep-kromme, zon het de moeite lorien eens te Proberen eens met 12 runs het. gehele snelheidsverloop te bepalen, mits men ten= minste niet opziet tegen het vrij grote rekenwerk oni 12 on-bekenden uit 12 veigelijkingen zonder fouten op te lossen. Het rekenwerk hiervoor zal enhter circa 7 X de tijd vorderen ,Van de vorige berekeningstabel..

6. Een eenvoudige methode voor het pplossen van n" lineaire vergelijkingen met ;,n" onbekenden

Dit vria_gstuk; hetwelk, nog steeds. zoveel moeilijkheclen geeft en toch zo dikwijls.voorkomt,_ by. bij sterkteberekening, waarkhijnlijkheidsberekening, -het berekenen van krommen die aan een zeker aantal voorwaarden voldoen en vele anderen,

duilct ook thans hier weer op. bij de bepaling der scheepssnel-heid op de gemeten mijl.

Na beeindiging; van het rekenwerk voor het gegeven .vodr-beeld kwam ik in aanraking met de buitengewoon handige en overzichtelijke methode van Prof. Prescott D. Crout, hoog-_,

Run" No. 1 2 3 Stroomsnelh. Schiinbare In kn. 5 4 2 scheepssnelb. in kn. 10 14,5 19 15,0 15,5 -.12 _15,0 14,5-17 15,0 15,5 14 15,0 15,0 15,0 72 .Run" No. -1 4 Stroomenelh. Schijnbare in kn. 5 2. scheepssnelb. in kn. 20 15,5 11 15,0 14,5 18 15,0 15,5 13 15,0 14,5 16 15,0 15,0 15,oI 78 = 15,6 kn. 22 + 32 + 42 +

_±n2+(n+1)n

Dus voor: 4 - 49

5.

_84 132

,7.

195

n 8; is het .aantal getallen 275

9 374

10

t

494.

. 11 637

leraar in de wiskunde aan het Massachusetts Institute of Technology", Cambridge. Zijn publicatie ,,Shot method for Evaluating Determinants and Solving Systems of Linear

Equations with Real or Complex Coefficients", is openbaar ge-maakt op the summer meeting 1941 of the American Institute of Electrical Engineers".

Deze methode is belangrijk korter dan de verfijnde methode

van Gauss, die op haar beurt weer beter is dan de bekende

methode met determinanten.

Zonder op de bewijsvoering te willen ingaan, dewelke in genoemde publicatie is gegeven, zullen we toch de resultaten even aangeven benevens een overzichtelijk schema van de

be-werkingsmethode.

Prof. Prescott D. Crout gaat uit van de hoofdmatrix Wu!' der bekende coefficienten van de gegeven vergelijking en ver-vormt deze door zekere bewerkingen tot een hulpmatrix II Au

waaruit de oplossing der onbekenden volgt in de vorm van

een eenkolommige eindmatrix IIF1111. Gegeven zijn dus by. de volgende n" vergelijkingen:

xi+ G12 x2 ± Gi. X3 + = Gi..+

G21 X1 ± G02 X2 ± G03 X34- G2./1 X/I G2.11+1

terwijl in de tabel alleen de indices zijn opgeschreven. De hoofdmatrix 11G5.611, de hulpmatrix 11A0.011 en de eindmatrix 11F0.111 zien er dan als volgt uit:

Aangezien deze hoofdmatrix de coefficienten der vergelij-kingen (6.1) bevat is het evident dat men van deze matrix o.a. de rijen en ook de kolommen mag verwisselen, de rijen met constanten vermenigvuldigen en een of andere lineaire combi-natie van rijen bij een andere rij mag optellen, daar toch hier-door het oplossen der vergelijkingen niet yrordt beinvloed.

Dit zijn nl. alle bewerkingen die bij de algemeen bekende eliminatiemethode ook worden toegepast, en die de basis zijn

voor de omvorming der hoof dmatrix en de hulpmatrix,

hetgeen tevens de hoof dzaak is voor het te verrichten rekenwerk. De vervorming -van de hoofdmatrix in de hulpmatrix ge-schiedt volgens de formules:

Ail =

Aki (6.2)

k=1

als i j d.w.z. onder of op de hoof ddiagonaal:

Aij = Gij Aik Aki; (6.3)

k=1 k=1-1

Ajj = {Gij Au, Akj) (6.4)

k=1

als i < j d.w.z. boven de hoofddiagonaal.

11G5.00 1,1,1,2 1,3 1,4 1,5 2,1 '2,2, 2,3 2,4 2,5 3,1- 3,2'3,3, 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3'4,1 4,5 5,1 5,2 5,3 5,41,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 IIA5.811 1,1,1,2 1,3 1,4 1,5 2,1 '2,2, 2,3 2,4 2,5 3,1 3,2',3 3,4 3,5 4,1 4,2 4,3'4,1 4,5 5,1 5,2 5,3 5,4'1,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 ; 14111 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6

SCHIP EN WERE

Gri.1x1Gn.2 x2 ± G.3 x3 ± . . Gn.n Xi, = Gn.n

Samengevat in een formule worden deze n" vergelijkingen:

i = 1,2,3, , n; . (6.1)

j=1

Deze bekende coefficienten G13 worden voor i = 1, 2, . , 5;

j= 1, 2, . . ., 5 op de volgende wijze in een tabel opgeschreven,

die men matrix noemt. In deze matrix is het symbool, G, hetwelk eigenLijk steeds herhaald moet worden, ter wille van de overzichtelijkheid weggelaten en er boven geschreven,

ter-Indien voor (6.2), (6.3) en (6.4) de grens onder het

E-teken groter wordt clan boven is E gelijk nul.

_.

We zullen nu deze op het eerste gezicht ingewikkeld uit-ziende vergelijking beschouwen teneinde ons het daarin ver-vatte rekenvoorschrift, eigen te maken en er een schema van op te stellen hetwelk zeer eenvoudig zal blij ken tezijn.

Ten eerste valt op dat volgens (6.3) de gehele eerste kolorn van IlAll gelijk is aan die van IIGII want dan is i j en het 11-teken vervalt, daar de grens onder k = 1 groter dan j - 1

1 - 1 =0 dus: NI; = Gij; i = 1,2,3,

. ; j 1; dus by.

An = G11; A21 = G21; Ai, = G31; - etc. Daarna schrijven we de eerste rij van IIA II op bOven de hoofddiagonaal daar

Ai, =-- G,, reeds -bepaald is.

Volgens (6.4) verdwijnt voor deze termen het E-teken want de ondergrens 1 is groter dan de bovengrens i - 1 = 1 - 1 = 0 en dus-is::

Gr, G12 G/3

A1= - =

_{Gil '}

123

,,,

_{; °f Al2.= -KIT;}

₌

G14

A14 = etc..

A24 = {G24 - A21 ;. etc., en vervolgens ,de derde

rij yan A:

A34 = G54 - A51 A14 - A52 A24 A53 A34 ;A55 = G55 - A51

A-15 -A52 A25 -.A53 A35 - A54 A45.

Dit zijn alle bewerkingen die zonder inspanning uitgevoerd kurnien worden op een hand-, half- of Vol-automatische

reken-machine.

De oplossing der onbekende IF11 is nu uit de matrix IIAII te bepalen volgens het rekenvoorschrift:

k=in

F11 = A1.5+1 - Aik Fkl; (6.5)

. k=1-1-1

Indien de ondergrens van het Z-teken groter is dan -de

bovengrens verdwijnt het Z-teken weer.

De oplossing van 5 onbekenden uit 5 vergelijkingen wordt dan by. te beginnen met laatste onbekende:

F51 = A56

F41= A46- A45 F51

F51= A36- A34 F41 - A35 F51

F21= A26- A23F31- A34 F41 - A25 F51

F11= A26- A13 .F31 - A13 F31 -A1.4F41 - Al5 F31

Ook deze bewerkingen zijn zonder moeite op de

reken-machine uit te voeren.

Stelt men slechts belang in een der onbekenden dan z-orgt men natuurlijk dat de coefficienten dezer onbekende in de vaorlaatste kolom der hoofdmatrix lomen te staan, aangezien men dan de berekeningen volgens (6.5') niet behoeft uit te voeren.

Een aanschouwelijk beeld van het bewerkirTvoorschrift

voor het oplossen van q vergelijkingen met q onbekenden blijkt uit de, fig. Deze methode werkt volgens dit schema bijzonder eenvoudig bij het gebruik van een hand-, half- of

vol-antoma-tische rekenmachirie.

Het volgende voorbeeld van 4 vergelijkingen met 4 onbe-kenden. kan als men zich het schema eigen heeft gemaakt, met

de controle in circa 1 uur berekend worden. De gegeven ver-gelijkingen zijn:

iiG4.511 Hoofdinatrix

EIndmatrix Resultaat

-P4.111

De steeds noodzakelijke contrilile door substitutie der - be-rekende_ onbekenden in de gegeven vergelijkingen voor de

Het enige schrijfwerk hetgeen bij deze methode gebeuren moet indien de coefficienten IIGII - bekend verondersteld wor-'den zijn de cijfers van IIAI Ien Pik Dit is dus wel bijzonder

weinig en veel minder dan de verkorte- rnethode van Gauss, volgens welke het voorbeeld der scheeps- en stroomsnelheid werd berekend.

Deze vermindering van schrijfwerk vindt echter wel ten dele zijn oorzaak in het gebruik van_ een rekenmachine, die immers een vermenigvuldiging met een optelling van het re-sultaat daarvan bij een ander getal automatisch uitvoert, het-geen zowel geldt voor een hand-, als automatische machine.

Met deze eenvoudige methode van Prof. Prescott D. Crnut is een veel voorkomende moeilijkheid bij het practisch rekenen

to-1 oplossing gebracht.

Een eenvoudige methode, voorgesteld door de heer C. van orn-enerzijds de ontoelaatbare onnauwkeurigheid van de means of means" te ontgaan, anderzijds het werk van de rekenmethode te vermij den is de volgende:

- De gemeten snelheden op de rnijl worden uitgeiet als functie

van de tijd op de tijdstippen op de helft van de tijd van de runs. Nodig hierbij is dus dat, evenals voor de rekenmethode, ook de begin- of eindtij den der runs nauiArkeurig worden ge-noteerd.

De tijd wordt horizontaal uitgezet, de snelheid verticaal. worden twee diagrammen getekend, elk op een afzonderlijk blad doorschijnend papier. In het ene diagram worden de snelheden van de opvarende runs, naar boven uitgezet, in }let andere de snelheden van de afvarende runs naar onder. Wan-neer. nu de beide diagrammen op elkiar gelegd worden met de overeenkomstige verdeellijnen voor de tijd op elkaar, komen de punten van de snelheden opvarend op het ene blad tussen de punten van de snelheden afvarend op het andere blad en is het vrij eenvoudig de bladen in hoogteligging ten opzichte van

A31 = G; A32 - G32 - A31 Al2; A33 - G35 A31 A13

- A.32 A23; A34 = {G34 . A11 A34 A3.2 A24)

A'

etc._

bekende termen G15, bekende termen = 6,63548 G2 5, G3.5 en G4.5. 6,6355 (out in eenheeen der Se deciminl

- 2

Tenslotte nog de Se rij van A: G25 = 6,13036 i.p.v. 6,1304

- 4

-7-7 G53 A51 A13

A51 = G51; A;-2 = G52 - A51 Al2; A53 G35 =a: .4,69209 4,6921 L- 1

A52 A23; G45 = 2,53936 `, 2,5393

+ 6

r411

0,15928

We bepalen nu de termen der 2e rij:

A21 =- G21; A= G22 - A21 Al2; A23 = {G23 -Au A13)

0,14692, 0,11257 0,06085 11G,511 1.2,1719 8,1163 3,0706 3,0581 12;1719 8,1163 3,0706 3,0581 27,3941 1,9827 7,3757 23;3385 9,8397 4,9474 13,5434 15,5973 7,5172 3,1510 6,9841 13,1984 iiA4.511 Hulpmatrix 2,25060 .0,16289 0,60596 5,07196 1,67935 0,00577 6,63271 3,95849 1,41930 3,73156 12,75256 -6,73295 6,6355 6,1304 4,6921 2,5393 0,54515 0,33632 0,19893 0,06085 .

SCRIP EN WERF

7

elkaar in een zodanige stand te schuiVen, dat alle punted samen

een zo'. glad mogelijk strokende kr'omme vormen. De lijn

midden tussen_ de bases van beide diagrammen .geeft, dad de scheepssnelheid en de kromme ten opzichte van deze lijn geeft het verloop van de streomsnelheid als functie van de tijd..

- De grafische -methode iomt in principe op hetzelfde neer als de rekenkundige methode. Dam- wdrdt het polynomium voor de stroordsnelheidniet rneernummetiek, maar grafisch be-paald. Deze methode,-die ook rekening houdt met de begin- en eindtijden der runs, bleek voor het tgegev.en voorbeeld nauw-keuriger en physisch .veel doorzichtiger te zijn .dan die der means of means'. De nauwkeurigheid wordt geschat op ca.

O,O2kn.-Liggen de meetpunten niet zo mooi regelmatig als in het-gegeven voorbeeld, dan zal deze rnethode'iets meer afharikelijk -zijn van het persoonlijk inzicht omtrent 'de te stroken

stroom-kromme dan_bij de rekenkiindige methode.

Het Taken,- en tekenwerk is ec.hter veel_minder, flit is een

SCHIP EN WERF

.

-voordeel; dat grafische methoden. steeds op rekenkundige Voor-_,

-hebben. Indien een grote nauwkeurigheid niet noodzakelijkis, kan .deze-methode zondermeer aanbevolen worden. In belang-rijke geVallen zal men goed doen ook de rekenkundige methode uit te voeren.

De grafische methode is echter niet bij machte de twee

snelheden te bepalen als b.v. 3 runs met een en 3 runs met een andere snelheid worden genomen, evenmin als men dat met de means of means" kan doen. Eli de rekenku,ndige-nriethode kin echter zelfs elke run met een an/dere snelheid gevaren worden, terwill het rekenprocede dan toch zowel de stroomkromme als de apk-snelheidskromme levert, zodat wel gezegd mag worden,

dat de draagwijdte dezer methode veel _groter is dan de

grafische, zij het dan ook ten koste van meer rekenwerk. Men zal echter diet minder runs op de gemeten mijl kurinen- vol-staan, waardoo-r vooral voor grotere schepen door werkOrting der voor de proeftocht benodigde tijd het mindere rekenwerk zeker verantwoord is.

(

Den2enei1ie.4nuit.2x14 runs op_ do .tonosten zdA .(oSp .0

.en ,I.Yor_t.-22,324.50: 41027,2651.)

5,01 * 0

_Ur

lat.-T2140111.

11

nur

.

II

3.4 118' ' 0,07083 0,00000 _0,07083 0,00000 0,00502 - 0,00000 _{_.}0,00036 0,00000 0,00003 0,00000 0,00000 0,00000 0:00000 .. 13

000 tin

0068333 -0,75750 0,46694 0,57380 0,33.907 0,43466. 0,21803 -0,3292 0,34899 .0,24914 .0,10181 (1,18893 -114,286

1

0,07000

3., 000 .

1,142000

1,8220

2,01a0

2,46038 2,86329

)02351

_.4.0.6587 4,48403 5,77353-6,05314 8,19842* 0,07500 :41461667

'4,21112

8,82701'

18214251 37,70123 77,91_ 598

--7 1458675 - 9,82330 21,03028 -45,05705. 96,49733

1111

37,308.

0,05778

2,81667

29016416

7,93363 8,26246

22,34639

23,7o03

62,914238

68,26827

177,28791

196,23373

499,36151

06396 16,1476

0,0056

3,43333

*78775 40,4712_4

8,95112 477,00498

637,90726 . .. 3,149389 -020727

42,65086

'01755 520,65334 - 819,09767

El 17,308

. 1405778

3,98333. 4,04111

,86692 -

4,3,3051

63,20310

65,99363. 5'1,75876

66,68740

083790

'77,73332

9914463469

55,15678

.

16,744

. 0,05972 .

4,61667

1,313614

.98,39786

'27045 097,21653 ''.;

-MU

14,67639

1,06862

1 Of ,26410

78,23617 23641805

C r: 36277

ectcre

"work

rf r4

OSSisaall

dossa a a

;IA

eR

eiNA-0

₊₁₊₁₊

0044fto

xsirs,0004..

41

41

rt

4:

it

1

0 0

CP

iff+1+1+1.1

04 04 ti Uhl*

I.

: 4

-000

4,141.U.14.1

tifWV10.0WWW,

0 *

I + I

Sti Pt Ot Or

cteo a

0

c:

,

000000081!

++++++++

414414201411r

fitgUlt

eft Ili

0,07083

_00%17

007000

0,07500 0100000 4' 0,00000

000000

+ Op 00000

it

0067083 0,07417 0,07000 a"

40500

0,05778

_0;0605

0,05778 0,05972

-OI /111.11411 op do

novindon van de hulp

matrix'

siiane.ro

voor do tormen boven

do

hoctddlagormal

moot- door Ali

godoo14

wordeni Zander

Verftisseling

Rau A22 ot0

wordon

Eindmatriz

0,03544 4.0,37791 0,091447 + 0,40639 + 0,16244

-

0,16687 + 0,20999 0,25492 R 81 0,00369

+

0,00000 + 0,00014

+

0,00000 4. 0,26059 + 0,00000

4' 048754

+

0,13536

+ 1,11206

+ 0,00000

*1,96973

4..

0,8o36

+ 2$

72. 997 +

0,00000 +

1,69%5

+

2,94164

+ 0,22210

+ 0,05778 +10,02070 +46,46140 - 0$44534

-0,06056

2,03964

+ /4, 75699

+ 0,61686

4. 0,05770

4. 11972

+ 2,09469

- 0,93177

+ 0,05972

4$ 301

5$42753 - 0,03-72 o

dvs

- 0,00728

+ 0,0769 4

m +

0,07694

0,27613

1 No

0 2

+16, 91346 9.452-934

+ 0,34989

r

+ 0,34989

- 0,01150

0101150 04,27333

+ 0,000004

34. 11831 4.

0409788 +

001788

3,78/i27..

Os 22406

+ 5,30826 +

0,07079

+155,-49325

16,38829

4. 17,91395

*.

0,040%

* 0,42797

0,02550

5,00005

0,00720

433,84504

V1

+3,384004]

+ 0,002

41' 0,05

0,09695 0,15782

_{+ 006142}

0,20976 0,23283

_{- 0,27749}

0 80.

0,00012

6. 0,03853

+ 0,13430

0,33210

--+ 0,46788

0,72654

+o

*

4. 1,28941

.

*89

Ifoofdmatrix

+ 0,00000

+ 0,00001

+ 0,00000

0,027Ø]

+ 0,00000

0018609

0,00000

0,89894

+ 0205778

+ 3433247

0,06056

*. 2,51644

*0 77a

+ 3,73217

+ 0,05972

5,99343

nn1pastr1x

0.00000

0,00000 *

1400000

- 0,02008

0,01431? +

400000

+ 0,25790

4. 0,35750

+ 400000

1,47=

- 3,0968p +

ai00000-+ 3,78916

+10,78374 *

400000

8,71723 -300.9sito

+ 2100000

+1149703 460,06701

s ;woo°

-42 7$ 64030

429.3671144

;moo

Ii 0.07081

+ 1,00000

+ 0,0743.7

.6- 004834

0,07000

0,00000

4. 0,07500

411 0,15000

+ 0,00000

0,06056

0.1°°°°°

0.9 °$778

+.0,00000

+ 0,05778

+ 0,00000

- 0,05972

StroosionoThol4 09,0 0.247333 005

+ 0

1,0

0

54$ (4144.5142 . 200.

odatia

Oda339

.

03952,

0,W.1,8

.

145

40' S12 4609467

I)* ;frOartaddregtiltatilti ol,In door Tiageningen

goanalyeeord mit de methods van do

,ur000no of mane

Moms* mord govondon

'it

33405

kn.

. .

alt 160

1°1.

wst eiorkolArdig good overoonetenit

t do door one ormeaden analtiodono VI at 1305 iato

1491 kni4

Dow 4,o omotondighoden tijdona do proortootrb

vorre van ideaal waren sip, do proottoobt-.

5

Uilk -4.

7

NM MM.

Is.

4 EMETEN MIA. Si!

NE W-1314GIry

ST ROOMKRO MME

'6EPMLb nET.H;t4EAris OF .r1EAtiS"

E 'NODE