Rapport Deltacommissie. Deel 3. Bijdragen 2: Beschouwingen over stormvloeden en getijbeweging

(1)

R A P P O R T D E L T A C O M M I S S I E

B I J D R A G E N 1 1

M A T H E M A T I S C H C E N T R U M

B E S C H O U W I N G E N OVER

S T O R M V L O E D E N

E N G E T I J B E W E G I N G

(2)

R E P O R T

O F T H E D E L T A C O M M I T T E E

CONTRIBUTIONS I1

11.1

-

Extrapolation of the frequency curve of the levels of high tide at Hook of

Holland by means of selected storms

11.2

-

The economic decision problem concerning the security of the Netherlands

against storm surges

11.3

-

Testing the independence of the levels of storm surges at Hook of Holland

on the one hand and the discharge of the Rhine at Lobith on the other

11.4

-

Mathematical study of the effect of wind upon the water levels of the North

Sea

11.5

-

Free oscjllations of a fluid in

a rotating rectangular basin

R A P P O R T

D E

L A

C O M M I S S I O N D U D E L T A

CONTRIBUTIONS I1

11.1

-

Extrapolation de la courbe de transgression des niveaux de marée haute

à

Hoek van Holland au moyen de tempêtes sélectionnées

11.2

-

Le problème des décisions au point de vue d'économie pour la protection

des Pays-Bas contre les marées-tempête

11.3

-

Examen de l'indépendance des marées hautes

à

Hoek van Holland et les

débits du Rhin

à

Lobith

11.4

-

L'étude mathématique de l'influence des champs de vent sur les niveaux

d'eau dans la Mer du Nord

(3)

R A P P O R T D E L T A C O M M I S S I E

BIJDRAGEN I1

Dit deel van het Rapport Deltacommissie bevat de volgende bijdragen:

Bijdrage 11.1

-

D. van Dantzig, J. Hemelrijk. Extrapolatie van de overschrij-

dingslijn van de hoogwaterstanden te Hoek van Holland met

behulp van geselecteerde stormen

. . .

Bijdrage 11.2

-

D. van Dantzig, J. Kriens. Het economisch beslissingsprobleem

inzake de beveiliging van Nederland tegen stormvloeden

.

Bijdrage 11.3

-

J. Hemelrijk. Toetsing van de onafhankelijkheid van het hoog-

Bijdrage 11.4

Bijdrage 11.5

water te Hoek van Holland en de waterafvoer van de

Rijn te

Lobith

. . .

D. van Dantzig, H. A. Lauwerier. De wiskundige behandeling

van de invloed van windvelden op de waterstanden in de

Noordzee

. . .

D. van Dantzig. Vrije slingeringen van een vloeistof in een

(4)

VOORWOORD

Deze bijdragen maken deel uit van het Rapport Deltacommissie, dat is samengesteld uit het Eind- verslag en de Interimadviezen van deze commissie en uit een aantal bijdragen.

De volledige uitgave bestaat uit de volgende zes delen :

Deel 1. Eindverslag en Interimadviezen van de Deltacommissie.

Deel 2. Bijdrage van het Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut over stormvloeden

-

Bijdrage I.

Deel 3. Bijdragen van het Mathematisch Centrum over stormvloed ei^ - Bijdragen 11.

Deel 4. Bijdragen van de Rijkswaterstaat over stormvloeden en getijbeweging

-

Bijdragen 111. Deel 5. Bijdragen van Prof. Ir. J. Th. Thijsse en de Rijkswaterstaat betreffende de opzet van het

Deltaplan en de gevolgen van de deltawerken - Bijdragen IV.

Deel 6. Bijdragen van de Rijkswaterstaat, het Waterloopkundig Laboratorium en de Werkgroep voor het onderzoek naar de spanningstoestand in zeedijken, bevattende onderzoekingen, van belang voor het ontwerpen van dijken en dammen - Bijdragen V.

Bijdrage van Prof. Dr. J. Tinbergen over de economische balans van het Deltaplan

-

Bijdrage VI.

Een overzicht van de inhoud van elk van de zes delen is opgenomen achter in deel 1.

De Deltacommissie spreekt gaarne haar erkentelijkheid uit jegens het Mathematisch Centrum en de auteurs van de verschillende onderdelen van de in deel 3 opgenomen bijdragen voor hun bereidheid om de resultaten van hun werk in deze vorm ter beschikking te stellen.

De verantwoordelijkheid voor de inhoud van deze bijdragen berust geheel bij het Mathematisch Centrum.

's-Gravenhage, september 1960 DE DELTACOMMISSIE

FOWEWORD

These contributions form part of the Report of the Delta Committee, which is made up of the Final Report and the Interim Reports of this Committee and a number of contributions.

The complete edition consists of the following six volun~es :

Volume 1. Volume 2. Volume 3. Volume 4. Volume 5. Volume 6.

Final Report and Interim Reports of the Delta Comniittee.

Contribution of the Royal Netherlands Meteorological Institute o11 storni surges

-

Con- tribution I.

Contributions of the Mathematica1 Centre on storm surges

-

Contributions 11.

Contributions of tlie Rijkswaterstaat (Governrnental Service for Roads and Waterworks) on storm surges and tidal movements - Contributions III.

Contributions of Prof. Ir. J. Th. Thijsse and the Rijkswaterstaat, regarding the conception of the Delta Plan and the consequences of the Delta Works - Contributions IV.

Contributions of the Rijkswaterstaat, the Hydraulics Laboratory and the Working Group for Examining Stress-distributions in Sea Dikes, including investigations of importance for planning dikes and dams

-

Contributions V.

Contribution of Prof. Dr. J. Tinbergen. Balance sheet of the Delta Plan

-

Contribution VI. A summary of the contents of each of the six volumes is given at the back of volume 1.

The Delta Comrnittee wishes to express its appreciation to the Mathematica1 Centre and to the authors of the various parts of the contributions contained in volume 3 for their willingness to place the results of their work at the Committee's disposal.

The Mathematica1 Centre is responsible for the entire contents of these contributions.

(5)

TEN GELEIDE

In de zomer van 1953 verzocht de Deltacommissie het Mathematisch Centrum het statistisch waarnemingsmateriaal betreffende hoogwaterstanden, waarover men bij de Rijkswaterstaat beschikte, te analyseren, ten einde op grond van dit materiaal, voor zover mogelijk, een voorspelling te doen over de frequentie van zeer hoge waterstanden.

In de loop van het onderzoek werd deze taak uitgebreid, enerzijds met een econometrische studie betreffende de bescherming van de laaggelegen gebieden van ons land tegen overstromingen door de zee en anderzijds met een hydrodynamisch onderzoek naar de invloed van een storm op de waterbeweging van de Noordzee.

Het directorium van het Mathematisch Centrum vond wijlen Prof. Dr. D. van Dantzig, lid van

genoemd directorium, bereid zich met al de genoemde onderzoekingen te belasten. Hij voerde deze uit in samenwerking met twee groepen onderzoekers van het Mathematisch Centrum, nl. één van de Afdeling Mathematische Statistiek voor de statistische en econometrische problemen en één van de Afdeling Toegepaste Wiskunde voor de hydrodynamische problemen.

De onderzoekingen namen verscheidene jaren in beslag.

Op 22 juli 1959 overleed Van Dantzig. Het verlies, dat zijn heengaan betekent, met name ook met het oog op de op stapel staande onderzoekingen, is niet te schatten. Daarom te meer stemt het tot dankbaarheid, ,dat hij althans een groot deel van dit werk voltooid mocht zien.

De statistische en econometrische onderzoekingen voerden tot afgeronde rapporten. Ten aanzien van de hydrodynamische problemen kan worden gezegd, dat de eerste fase van dit gecompliceerde onderzoek tot afsluiting kwam. Er kwamen echter bij de bestudering tal van desiderata naar voren, die nadere en diepergaande studie eisen.

De Raad van Beheer van het Mathematisch Centrum is de Deltacommissie buitengewoon erkente- lijk, dat zij er in heeft willen toestemmen de op de genoemde drie gebieden tot dusver bereikte resultaten als één geheel te publiceren. Terwijl het aldus ontstane deel van het Rapport Deltacommissie een monu- mentale vorm verleent aan een gedeelte van al wat Van Dantzig ons naliet, strekt het tevens tot vol- doening van zijn jongere medewerkers, wier naam en aandeel te bestemder plaatse staan vermeld.

DE DIRECTEUR VAN HET MATHEMATISCH CENTRUM J. F. KOKSMA

(6)

INTRODUCTION

In the summer of 1953 the Delta Cornmittee requested the Mathemetical Centre to analyse the statistica1 data on high-water levels which were at the disposal of the Governmental Service for Roads and Waterworks of the Netherlands (Rijkswaterstaat), in order to make, as far as possible, a forecast about the frequencies of extremely high-water levels.

In the course of the investigations this task was enlarged by adding, on the one hand, an econometrical study of the protection of the low areas of our country against inundations by the sea, and, on the other hand, a hydrodynamical study of the influence of a gale on the motion of the water of the North Sea.

The Board of the Mathematica1 Centre asked one of its members, Prof. Dr. D. van Dantzig, to conduct the research on al1 these subjects. He carried this out in collaboration with two groups of scientific workers of the Mathematica1 Centre, one from the Department of Mathematica1 Statistics, for the statistica1 and econometrical problems, and one from the Department of Applied Mathematics, for the hydrodynamica1 problems. This research took several years.

On July 22nd, 1959 Prof. Dr. Van Dantzig passed away. His death, particularly in view of the current investigations, means a loss that cannot be estimated. There is so much the more reason for thankfulness, that he was allowed to see at least a great part of this work accomplished.

The statistica1 and econometrical investigations led to wellrounded reports. As regards the hydro- dynamica1 problems, one may say that the first phase of this complicated research is now completed. However, in studying these problems, there arose a number of desiderata which requires further and thorough study.

The Board of the Mathematica1 Centre is very grateful to the Delta Comrnittee for the fact that it has kindly consented to publish as a whole the results so far obtained on the three subjects mentioned. The volume of the Delta Report dealing with the above problems gives a monumental form to a part of Van Dantzig's heritage and wil1 moreover satisfy his younger co-operators, whose names and share are mentioned in the place designed for this purpose.

THE DIRECTOR OF THE MATHEMATICAL CENTRE J. F. KOKSMA

(7)

B I J D R A G E 11.1

EXTRAPOLATIE

VAN DE OVERSCHRIJDINGSLIJN

DER HOOGWATERSTANDEN

TE HOEK VAN HOLLAND

MET BEHULP VAN

(8)

(9)

9

INHOUDSOVERZICHT

. . .

0.1 Inhoudsoverzicht

. . .

0.2 Overzicht van de tabellen

. . . 0.3 Overzicht van de figuren

0.4 Overzicht van de gebruikte symbolen . . . . . . 0.5 Literatuur . . . 0.6 Summary . . . 0.7 Résumé . . . Samenstelling van de bijdrage

. . .

1.1 Inleiding

. . .

1.2 Inhoud van de bijdrage

1.3 Auteurs en medewerkers . . .

Het waarnemingsmateriaal; de keuze van Hoek van Holland . . .

. . .

De frequentieverdeling van alle hoogwaterstanden

. . .

Methoden

Hoogwaterstanden of opzetten? . . .

. . .

Extrapolatie

Het homogeen maken van het waarnemingsmateriaal door splitsing in zomer en winter

Selectie van depressies op meteorologische gronden

. . .

Toetsing der aanpassing

. . .

Verschillende schattingen van de baanselectielijn

Andere beschouwingen over de nauwkeurigheid der schattingen . . .

. . .

Interpretatie der uitkomsten

Conclusie

. . .

Appendix

A1.O Notatie

. . .

25

A 2.0 Aanpassing van een afgeknotte logaritmisch-normale verdeling . . . 27

A 3.0 Aanpassing exponentiële verdeling . . . 29

A 4.0 Toetsing der aanpassing

. . .

30

A 5.0 De selectie volgens Van der Ham

. . .

31

(10)

A 7.0 Betrouwbaarheidsintervallen

.

. . . .

. . .

.

. .

. . . 34

A 8.0 De methode van Gumbel

. . . .

. .

. . .

.

. . . . .

.

. .

. . . 35 A 9.0 Tabellen der waarnemingen; toelichting op de figuren. . . . .

.

. . . . . . .

.

37

0.2 OVERZICHT VAN DE TABELLEN

10.0.1 Helling van de baanselectielijn bij verschillende beginpunten (aannemelijkste schattingen) . . .

11.0.1 Bovengrenzen (in m) van halverings-, decimerings- en nepereringshoogte met onbetrouwbaarheid 0,05, resp. 0,01 bij beginpunt N.A.P.

+

1 ,7O m

.

. .

. . . . .

A 2.0.1 Gegevens, gebruikt voor het vergelijken van een exponentiële verdeling met een loga- ri tmisch-normale verdeling. . .

.

. . . .

. .

.

. . . .

A 3.0.1 Schattingen voor n(b) en ü e bij verschillende b . . . .

. .

. . . A 6.0.1 Uitkomsten van een toetsing der hoogste waarnemingen met de B-verdeling . . .

.

. .

A 8.0.1 Vergelijking van de functies l-e-Y en e-e-' . . . . .

. .

. . . .

.

. .

.

. . . .

A 9.0.1 Aantal overschrijdingen van het aangegeven peil in de jaren 1888 tot en met 1956 (69 jaar) en de splitsing daarvan in overschrijdingen in de wintermaanden (januari, november en december) en de overige maanden van het jaar . . . . . . . . . .

.

. .

A 9.0.2 Jaarmaxima der hoogwaterstanden van de jaren 1888 tot en met 1956 (69 jaar) .

. .

A 9.0.3 Hoogwaterstanden hoger dan N.A.P.

+

2'20 m van de jaren 1888 tot en met 1956

(69 jaar). . . .

.

. . . .

.

. . .

.

. .

. . .

A 9.0.4 Hoogste hoogwaterstanden uit naar banen geselecteerde depressies uit de wintermaanden (januari, november en december) van de winters 18881'89 tot en met l938/'39 en 19451'46 tot en met 19561'57 (63 jaar)

.

. . . .

.

. . . .

A 9.0.5 Parameters van de baanselectielijnen, getekend in figuur 10.0.1 .

. .

. . .

.

0.3 OVERZICHT VAN DE FIGUREN

3.0.1 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van alle hoogwaterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956

. . .

.

. . . .

.

. .

.

43 4.0.1 D e verdeling van de jaarmaxima der hoogwaterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956 44 7.0.1 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h , afkomstig van alle hoog-

waterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956 en een bij de waarnemingen aangepaste l i j n . . . . . .

.

. . .

.

. . . . . . .

. . .

. . . 45 7.0.2 D e verdeling van de jaarmaxima der hoogwaterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956

en een daarmee vergelijkbare verdelingsfunctie, op grond van alle waarnemingen. . . . 46 7.0.3 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van alle hoog-

waterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956, gesplitst in winterwaarnemingen en overige waarnemingen.

.

. .

. . .

.

. .

. . .

. 47 8.0.1 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van de hoogste

hoogwaterstanden der naar banen geselecteerde depressies, uit de maanden januari, november en december der winters 18881'89 tot en met 19381'39 en 19451'46 tot en met 19561'57. . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . . .

.

. 48 8.0.2 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van de hoogste

hoogwaterstanden der naar banen geselecteerde depressies, uit de maanden januari, november en december der winters 1888/'89 tot en met 19381'39 en 194.51'46 tot en met

(11)

9.0.1 De verdeling van de jaarmaxima der hoogwaterstanden uit de jaren 1888 tot en met 1956 en een daarmee vergelijkbare verdelingsfunctie, op grond van de baanselectiewaar- nemingen. . . . 50 10.0.1 De baanselectielijn bij verschillende beginpunten

. . .

51 11.0.1 De baanselectielijn met beginpunt N.A.P.

+

1,70 m en bovengrenzen van die lijn met

onbetrouwbaarheid 0,05 en 0,01

. . .

52 A 2.0.1 De vergelijking van een exponentiële verdeling met een afgeknotte logaritmisch-normale

. . .

verdeling 53

A 6.0.1 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van de baan- selectiewaarnemingen, met een 10%-bovengrens voor de theoretische kromme vanaf

. . .

N . A . P . + 2 , 0 0 m . 54

A 6.0.2 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van de baan- selectiewaarnemingen met een 10%-bovengrens voor de experimentele trapfunctie

. . .

v a n a f N . A . P . + 2 , 4 5 m . 55

A 6.0.3 Het gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van het peil h, afkomstig van de baan- selectiewaarnemingen, met een daaraan aangepaste Pearsonkromme en buigpunt- raaklijn.

. . .

56

0.4 OVERZICHT VAN DE GEBRUIKTE SYMBOLEN

h = waterstand in meters t.o.v. N.A.P.

n(h) = verwacht aantal overschrijdingen per jaar van het peil h.

g(h) = kans op overschrijding van het peil h bij één waarneming. p(h) = kans op overschrijding van het peil h in een jaar.

f(h) = gemiddeld per jaar opgetreden aantal overschrijdingen van het peil h.

fik = hoogteverschil, waardoor het gemiddeld aantal overschrijdingen k maal zo klein wordt, in

meters.

N = totaal aantal waargenomen hoogwaterstanden per jaar.

hk = hoogwaterstand, die gemiddeld N / k maal per jaar wordt overschreden, in meters.

m = aantal jaren, waarover de beschouwde waarnemingsperiode zich uitstrekt. cc =a,-l.

fi(h) = schatting van n(h).

2, = schattingvana,. u'. = schatting van a.

0.5 LITERATUUR De verwijzingen in de tekst zijn aangegeven met [ ]

l . A. Benard en Het uitzetten van waarnemingen op waarschijnlijkheidspapier. Statistica 7,

P E.C.BOS-Levenbach163-173,1953.

2. W. L. Deemer Jr. Estimation of parameters of truncated or censored exponential distributions, and D. F. Votaw Jr. Annals of Math. Stat., 26,498 - 504, 1955.

3. W. P. Elderton Frequency curves and correlation, Harren Press, Washington D.C., fourth edition, 1953.

4. R. A. Fisher and Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member L. H. C. Tippett of a sample. Proc. Camb. Phil. Soc., 23,912, 1928.

(12)

5 . M. Frechet Sur la probabilité de I'écart maximum, Ann. Soc. Polon. Math., 6,93

-

116, 1928.

6. E. J. Gumbel Les valeurs extremes des distributions statistiques, Ann. Inst. H. Poincaré, 4, 115 - 158, 1935.

7. E. J . Gumbel Simplified plotting of statistical observations, Transactions Amer. Geophys. Union 26', 70 - 82, 1945.

8. L. H: Miller Table of percentage points of Kolmogorov statistics, J. Amer. Stat. Ass. 51, 111 - 121, 1956.

(13)

0.6 SUMMARY

Extrapolation of the frequency curve of the levels of high tide at Hook of Holland by means of selected storms

This contribution, due to Prof. Dr. D. van Dantzig, is concerned with the extrapolation of the frequency curve of the high tides at Hook of Holland. In the main text (which is kept free of formulae and mathematica1 elaboration) the problem of fitting a curve in the best possible way to the data, consisting of the high tides observed during 69 years (there are about two high tides a day) is discussed. The mathematica1 aspects of th: problem are treated in an Appendix. In 1939 WEMELSFELDER [9] l) drew attention to the fact that the logarithm of the mean number of high tides

per annum exceeding a given level, if plotted against that level, leads to a curve which, in the middle of the range of observations, resembles a straight line very much, the curve becoming vaguer towards the higher high tides. In figure 3.0.1 al1 observations have been plotted in this way. From this diagram we can draw the following conclusions with regard to the theoretica1 frequency curve we want to estimate: the logarithniic frequency curve is almost linear in a large part of the range of observations. The plotted observations may well be described as observations drawn from a

distribution, having in the logarithmic scale an asymptote towards the higher high tides, which from a point well inside the range of observations differs but little from this distributions. If we can estimate the asymptote, we can use this line to extrapolate the frequency curve towards the region we are interested in. This leads us at the same time to consider the conditional distribution of the high tides exceeding any given level, chosen in the region where the asymptote fits closely to the observations, as an exponential distribution.

At this point one has to consider whether other assumptions might not be conipatible with the observations and especially whether these assumptions lead to appreciably different extrapolations of the frequency curve. Usually in analogous problenis a logarithrnically-normal curve is fitted to the observations. In the Appendix, in A 2.0 we first prove that it is possible to approximate an exponential distribution by means of a truncated logarithmically normal one given by formula (2), to any degree of precision (formulae (3), (4), ( 5 ) ) , as is illustrated by figure A 2.0.1

However, as the fit of the exponential curve (tested in the Appendix, A 4.0) is q~iite satisfactory and as in view of the fact mentioned above the logarithmically normal curve fits at least as well, it is irnpossible to distinguish statistically which of the hypotheses is the true one. The two curves wil1 hardly differ, even if we extrapolate e.g. to N.A.P.

+

6 m 2). As the exponential curve is far easier to handle mathematically and leads to much less arbitrariness in the extrapolation, because only one parameter has to be estimated from the observations, we preferred to use the exponential distribution.

Following GUMBEL [7] we can still make another approach. The yearly maxima of the high tides were plotted on his probability paper, the result of which can be found in figure 4.0.1. A straight line niight be fitted to the observations. However, this method has certain disadvantages in comparison with the use of the exponential distribution. Because only 69 yearly maxima can be used a not unimportant part of the information contained in the observations is ignored. Also it is proved (Appendix A 8.0) that in the region which is of importance for our problem (from about N.A.P.

+

2 to 6 m) GUMBEL'S method and the use of the exponential distribution, if based on the same observations (e.g. the yearly maxima of the high tides) lead to the Same result (see table A 8.0.1). The exponential niethod can be applied to much

more observations and thus leads t o more precise results. Therefore the subsequent argument is based on the use of the exponential distribution, i.e. on fitting an asymptote to the observations. GUMBEL'S method is further used only incidentally to support some special points.

Instead of the actually measured high tides one can consider the differences between the measured high tides and the forecasted high tides (which need not fall at the Same time). This might lead to more precise conclusions resulting from the statistica1 analysis, because now the forecasted high tides have been (partly) eliminated. However, if one plots the differences in the Same way as the high tides in figure 3.0.1, one obtains a curve which is parallel to that of the high tides. Analysis of this curve would therefore lead to (almost) the same results as a direct analysis of the curve of high tides, is far more involved and has less directly to do with the practica1 consequences of the problem. We are thus justified in analysing the high tides themselves.

l f we fit a straight line to the observations of figure 3.0.1 as has been done in figure 7.0.1, we can draw acorresponding straight line on GUMBEL'S probability paper (by copying two points from the region of the higher high tides), which represents the snme probability distribution for sufficiently high high tides. The result can be found in figure 7.0.2; the dope of the line differs very much from the dope indicated by the points. This was to be expected because the observations in figure 7.0.1 were drawn from a very inhomogeneous population. The lower high tides occuring in summer do not influence the yearly maxima, but change the dope of the curve in figure 7.0.1 and thus of the straight line in figure 7.0.2. Therefore the observations were split in two groups, called "winter" and "summer" observations. "Winter" observations are those obtained in November, December and January. The frequency curves for both groups are plotted in figure 7.0.3; the difference in dope is very marked.

If we want to select our observations in such a way, that the population is as homogeneous as possible, we must realize that the root of the danger to our dikes lies in the depressions which lead to dangerously high high tides. Because more than one high tide may occur during a single depression, so that such high tides are highly dependent, perhaps the best measures of the danger to the dikes, due to a depression, is the highest high tide occurring during that depres- Sion. Because the potential danger is not the Same for al1 "winter" depressions, a further selection of the depressions is needed. This selection has been made on meteorological grounds by VAN DER HAM of the Royal Dutch Meteorological Institute (ser Volume 2, Contribution I, paragraph 2.5). The observations we further consider are those tabulated in

l) A list of references can be found in 0.5.

(14)

table A 9.0.4. They wil1 be described as the "selected observations"; they are the highest high tides from meteorologi-

cally potentially dangerous "winter" depressions.

I n figure 8.0.1 the mean number of high tides per annum exceeding a given level is plotted against that level for the selected observations. T o this figure a straight line has been added in figure 8.0.2. Th2 slope of this line was obtained by means of the maximum likelihood niethod, applied to the observations 2 N . A . P .

+

1.70 m, these being considered as independent observations, drawn from an exponential distribution starting at this point. T o indicate the "startingpoint" N.A.P.

+

1.70 m a vertical has been drawn through this point. The "startingpoint" on the vertical scale is the observed mean number of exceedances of N . A . P .

+

1.70 m.

Figure 9.0.1 is the Same as figure 4.0.1, except that the straight line corresponding to the line in figure 8.0.2 has beenadded now. The dope of this line agrees qiiite wel1 with the dope as indicated by the points. The small differente in height may wel1 be neglected.

Al1 these considerations have led LIS from estimating the asymptote in figure 3.0.1 to the same problem for figcire

8.0.2, because the original conclusions drawn from the first diagram still apply. Again we estimate the asymptote with the maximum likelihood method. In figure 10.0.1 estimates for the asymptote based on different startingpoints are plotted. This diagram clearly indicates the uncertainty of the extrapolation, which can also be estimated from figure 11.0.1. Hete the straight line from figure 8.0.2 has been drawn, as an estiniate for the frequency curvl: to the right of which two other straight lines denote an iipper confidence limit for the freqiiency curve with confidence coefficient .95 (middle line) and an iipper confidence limit with confidence coefficient .99 (right hand line).

The niain text ends with a discussion of the practica1 aspects of the obtained results.

In the Appendix it is pointed out, that the expected number n(h) of exceedances of a high level in one year prac- tically eqcials the probability p(h) of tliat level being exceeded in one year (form~ilae (12), (13), (14) of A 1.0). This

explains why we use diagrams like figure 3.0.1.

A curve given by (I) of A 3.0 is fitted t o the observed mean number of exceedances per annum of level h by

choosing a level b, considering only the n observations h , 2 . . . 2 h 1 b observed in m years, estimating n ( b ) with (2) of A 3.0 and estiniating a, with (3) of A 3.0. The results so obtained are tabulated in table 3.0.1, the values of &,l)

being doubly iinderlined in cases where a f-goodness of fit test (disccissed in A 4.0) indicated n very bad fit and singly ~inderlined if the fit was just bad (level of significance .05).

In A 5.0 the method of selection, leading to the "selected" observations is described. The observations thus obtained are then considered further in A 6.0 and A 7.0.

If h,, . . . , h, are observations in order of magnitude, independently drawn from an exponential distribution, wit11 b as the initia1 point, the quantity B, defined by ( l ) of A 6.0, can be computed for different values of k . With (2) of A 6.0 the probability of obtaining this value or a smaller one may be found. It is clear from table A 6.0.1, that the slim of the k highest observations is neither iinduly large nor unduly small as compared to the sum of al1 n observations. In figure A 6.0. i the selected observations of fig~ire 8.0.1 are plotted, together with a 10 % upper limit for the theoretical curve, compcited with the help of MILLER'S tables [8] for the KOLMOGOROV-SMIRNOV test. This upper limit is a stepfunction, which has n o practical value for the extrapolation, but it gives another indication of the high uncertainty. The stepfunction has been drawn only for high tides exceeding N.A.P.

+

2,00 m.

If we estimate the parameter of the exponential distribution of the high tides 2 N . A . P .

+

2.45 m from the observations 1 N.A.P.

+

1.70 m and < N.A.P.

+

2.45 m, we can consider this parameter (and therefore the whole distribution) as known, and test whether the observations 2 N . A . P .

+

2.45 n1 may have originated from the thusobtained "theoretical" distribution, again with the help of MILLER'S tables. Figure A 6.0.2 shows, that the experimental step- fcinction is wel1 inside the indicated 10 % upperlimit.

If we fit a Pearson curve to the selected observations, the curve given by (10) of A 6.0 is found. Figure A 6.0.3 shows, that this curve fits the observations reasonably. The straight line in this figure is the tangent to the curve in its point of inflection. Either the curve or this tangent can be iised for extrapolation.

In A 7.0 a niethod for the constriiction of a one sided confidence interval for x = n,-' is given, (2) being the basic formula. The iise of GUMBEL'S probability paper is described in A 8.0. The Appendix ends with a summing up of the diagranls and the way in which they were constructed. For the diagrams in the figures 4.0.1, 7.0.2, 8.0.1, 8.0.2, 9.0.1, A 6.0.1 and A 6.0.3 the method of BENARD-BOS for plotting the observations, which is described in BENARD and Bos- LEVENBACH [ l ] was used.

Extrapolation de la courbe de transgression des niveaux de marée haute a Hoek van Holland au moyen de tempêtes sélectionnées

La présente contribution, due a Prof. Dr. D. van Dantzig, traite de I'extrapolation de la courbe de transgression des niveaux de marée haute a Hoek van Holland. Le texte principal, exempt de form~iles et d'élaborations mathématiques, contient la discussion LI probleme d'ajuster une courbe aux données de la maniere la plus efficace. Celles-ci se com- posent des niveaux de marée haute en nombre d'environ deux par jour, enregistrés pendant une période d'observa- tion de 69 ans. Les aspects mathématiques du probleme constituent le sujet d'un appendice.

En 1939 les recherches de WEMELSFELDER [9] 2, ont révélé que Ie nombre moyen par an des pleines mers

dépassant un niveau donné, lorsqu'on le représente (sur une échelle logarithmique) en fonction du niveau (celui-ci

l ) An estimate of a parameter x is indicated by

X.

(15)

sur iine échelle arithmétique), produit une courbe, qui au milieu du domaine des observations, ressemble beaucoup a une ligne droite, mais qui est plus difficile a reconnaître vers les niveaux plus élevés. Dans la figure 3.0.1 toutes les observations ont été représentées de cette façon. A partir de ce diagramme nous pouvons tirer les conclusions suivantes en ce qiii concerne la courbe de fréquence théorique que nous voulons estimer. La courbe de fréquence logarithmique est a peil pres linéaire sur l'échelle logarithmique dans une grande partie du domaine des observations. Les observations représentées peuvent être décrites comme des observations dérivées d'une distribution ayant dans l'échelle logarithmique un asymptote vers les niveaux plus élevés des pleines mers et qui, a partir d'un point situé tout a fait a I'intérieur du domaine des observations ne differe que tres peu de la distribution en question. Si nous pouvons estimer I'asymptote,

neus pouvons utiliser cette ligne afin d'extrapoler la courbe de fréquence vers la région qui nous concerne plus speciale- ment. Ceci nocis amenera en même temps a considérer la distribution conditionnelle des pleines mers, dépassant des niveaux donnés, choisi dans la région 011 l'asymptote s'ajuste étroitement aiix observations, a titre de distribution

exponentielle.

Quand nous en sommes arrivés l i , il y a lieu de se dernander si d'autres suppositions ne sont pas compatibles avec les observations et surtout si ces suppositions an~eneront une extrapolation sensiblement différente de la courbe de fréqiience. Lorsqu'on a affaire a des problemes analogues, on ajuste d'ordinaire une courbe logarithmico-normale aiix observations. Dans I'occurrence nous pouvons prouver (Appendice A 2.0, figure A 2.0.1) que qiiand même on ajusterait aiix observations une courbe lognormale (tronquée a gauche), la courbe obtenue de cette façon est a peine differente de la ligne droite dont nous nous servons, même si nous extrapolons par exemple jusqu'i N.A.P.

+

6 m l).

C'est ainsi que I'ajustement d'une distribution exponentielle conduit a des résultats qui ne different que très peu de ceux obteniis par I'ajustement d'une distribution lognormale. Ce qui nous a amenés a préférer la distribution exponentielle, c'est encore la circonstance que celle-ci est plus facile a manier que la distribution lognormale et qu'elle aboutit a des résiiltats moins arbitraires dans l'extrapolation, piiisqu'on n'a besoin d'estimer qii'un seul parametre en partant des observations. L'ajustement (mis a I'épreuve dans A 4.0) a répondu entierement à notre attente.

En suivant GUMBEL [7] nous pocirrons encore aborder Ie probleme d'une autre façon. Si I'on représente les niveaux maxima annuels de pleine mer sur Ie papier a échelle fonctionnelle des probabilités totales selon la loi de GUMBEL

(vair figure 4.0.1), on pourrait ajuster iine ligne droite aiix observations. Cependant cette méthode présente quelques inconvénients quand on la compare a l'emploi de la distribution exponentielle. Une partie considérable de l'information contenue dans les observations, se soustraira notamment a notre attention, un nombre de 69 maxima annuels seulement étant a notre disposition. C'est ainsi qu'on peut prouver (v. A 8.0) que dans la zone qui inttiresse notre probleme (c.à.d. d'environ N.A.P.

+

2 a 6 m) la méthode de GUMBEL et I'utilisation de la distribution exponentielle aboutiront a Lin même résultat, si elles partent des memes observations. La méthode exponentielle peut être appliqiiée a un nombre p l ~ i s élevé d'observations amenant ainsi des résultats d'une plus grande précision. Aussi la derniere méthode, c.à.d. l'ajustement d'un asymptote aux observations, a-t-elle servi de base a I'argumentation qui suit. La méthode de GUMBEL par contre ne trouvera qu'une application incidentelle afin de servir d'appui a quelques questions spéciales.

Au lieu des marées hautes effectivement mesurées on pourrait partir des différences entre les marées hautes mesurees et celles qui ont été prédites (qui ne coïncident pourtant pas nécessairement). Cette méthode pourrait amener des concl~isions d'une plus grande précision a cause de la nature de I'analyse statistique, les marées hautes étant ainsi partieliement éliminées. Cependant en représentant les différences ainsi obtenues de la même maniere qu'on I'a fait des marées hautes dans la figure 3.0.1, on obtient m e courbe qui est parallele a celle obtenue par la représentation des marées hautes elles-mêmes. L'analyse de cette courbe aboutirait donc a des résultats a peu pres identiques a ceux d'une analyse directe de la courbe des marées haiites. Ajoutez a cela que cette analyse indirecte est beaucoup plus compliquée et qu'elle est moins intimement liée aux conséq~iences pratiques du probleme en question. Les argummts précédents nous autorisent donc a analyser les marées haiites elles-mêmes.

En ajustant une ligne droite aux observations représentées par la figure 3.0.1, ainsi qu'il a été fait dans la figure 7.0.1, nous pouvons tracer une ligne droite correspondante sur Ie papier a échelle fonctionnelle selon GUMBEL qui représente la même distribution des probabilités pour des niveaux suffisamment élevés. Le résultat se trouve dans la figure 7.0.2; l'inclinaison est tout autre que celle indiquée par les points. C'était ce à quoi on pouvait s'attendre, étant donné que les observations représentées par la figure 7.0.1 proviennent d'une population tres hétérogene. Les marées hautes plus faibles qui ont lieu en été n'influencent en rien les maxima annuels, mais changent pourtant I'inclinaison de la courbe dans la figure 7.0.1 et par conséquent celle de la ligne droite dans la figure 7.0.2. Pour cette raison les observations ont été divisées en deux groiipes, appelés respectivement groupe d'hiver et groupe d'été; les observations du premier groupe sont celles obtenues pendant les mois de novembre, de décembre et de janvier. Les courbes de fréquence des deux groupes ont été tracées dans la figure 7.0.3 ; la différence entre les deux inclinaisons est tres marquée. Si nous voulons sélectionner nos observations de façon que la population soit aussi homogene que possible, noiis devons d'abord bien nous rendre compte que Ie danger qui menace nos digues procede en grande partie des dépressions, qui peuvent amener des marées hautes dangereusement fortes. Comme pendant une seule dépression plusieurs marées hautes peuvent avoir lieu, de même que de telles marées hautes sont tres dépendantes, peut-être Ie meilleur moyen de mesurer Ie danger dû a une dépression est de tenir compte de la marée haute la plus forte qui ait lieu pendant cette dépression. Une sélection con~plémentaire est pourtant nécessaire, vu que Ie danger potentiel n'est pas le même dans toutes les dépressions d'hiver. Cette sélection a été effectuée a u point de vue météorologique par VAN DER HAM de I'Institut Royal Néerlandais de Météorologie (v. Volume 2, Contribution I, paragraphe 2.5). Les observations qui

sont Ie résultat de cette sélection sont celles disposées dans la table A 9.0.4; elles seront intitulées ,,observations sélec- tionnées", ce qui veut dire qu'elles sont les marées hautes les plus fortes qui aient eu lieu pendant des dépressions hivernales potentiellement dangereuses au point de vue météorologique.

(16)

Dans la figure 8.0.1 le nombre moyen annuel des marées hautes dépassant un niveau donné provenant des observations sélectionnées a été représenté comme fonction de ce niveau. Une ligne droite a été ajoutée a ce diagramme dans la figure 8.0.2. On a obtenu l'inclinaison de cette ligne a l'aide de la méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux observations 1 N . A . P .

+

1 m.70; celles-ci sont considérées ici comme des observations indépendantes procédant d'une distribution exponentielle qui prend naissance a ce point. Afin de marquer le ,,point de départ" (le niveau N.A.P.

+

1 m.70) on a tracé une demi-ligne a partir de ce niveau. Le ,,point de départ" sur l'échelle verticale est constitué par le nombre moyen observé des niveaux dépassant N.A.P.

+

1 m.70.

La figure 9.0.1 est identique a la figure 4.0.1, a part qu'on a ajouté maintenant la ligne droite qui correspond à la ligne dans la figure 8.0.2. L'inclinaison de cette ligne concorde tres bien avec celle marquée par les points. La differente Iégere d'hauteur est négligeable.

Toutes ces considérations nous ont fait passer a partir du probleme de l'estimation de l'asymptote dans la figure 3.0.1 au probleme analogue en ce qui concerne la figcire 8.0.2, les concl~isions tirées du premier diagramme étant t o ~ ~ j o u r s valables. Nous estimerons l'asymptote a I'aide de la méthode qui a servi a tracer la ligne dans la figure 8.0.2. Dans la figure 10.0.1 l'asymptote a été estimé de diverses manieres, chacune fondée sur un autre point de départ. Ce diagramme montre clairement l'incertitude de l'extrapolation; pour estimer celle-ci nous avons encore a notre disposition la figure 11 .O.l. La on a tracé la ligne droite de la figure 8.0.2, qui sert ici

a

estimer la courbe de fréquence; a droite de la courbe deux autres lignes droites marquent respectivement une limite supérieure de confiance a u coefficient de confiance 0,95 (ligne du milieu) et une limite supérieure de confiance au coefficient de confiance 0,99 (ligne de droite).

Le texte principal se termine par une discussion des aspects pratiques des résultats obtenus.

Dans 1'Appendice nous signalons, apres avoir introduit quelques notations que l'espérance mathématiq~ie du nombre n(h) de dépassements annuels d'un niveau élevé est a peu pres égal a la probabilité p(h) que dans une année Ie niveau en question sera dépassé. Ceci explique pourquoi nous nous servons de diagrammes comme la figure 8.0.1. On a ajusté une courbe donnée par ( l ) de A 3.0 au nombre moyen observé de dépassements annuels du niveau h,

en choississant un niveau b et en ne considérant que les n observations h, 2 . . . 2 hn 1 b faites dans m ans; ensuite on a estimé rr (b) a I'aide de (2) et a, a l'aide de (3) de A 3.0. Les rés~iltats que nous avons obtenus de cette façon

ont été disposés dans la table A 3.0.1; la les valeurs de i e 1 ) ont reçu un double soulignement dans tous les cas O U Ie

test f d e validité de l'ajustement (discutée dans A 4.0) démontrait un ajustement tres imparfait et un soulignement simple lorsque l'imperfection de l'ajustement était moins prononcée (seuil de signification 0,05).

A 5.0 contient la description de la méthode de sélection dont les observations sélectionnées ont été le résultat. Celles-ci sont ensuite examinées dans A 6.0 et A 7.0.

Si h,, . . ., h , sont des observations numérotées par ordre de grandeur, tirées indépendamment d'une distribution exponentielle, b étant le point de départ, la quantité B définie par (i) de A 6.0 peut être calculée pour des valeurs

différentes de k . A l'aide de (2) de A 6.0 on peut trouver la probabilité d'obtenir cette valeur O U une valeur inférieure. I1 résulte clairement de la table A 6.0.1 que la somme des k observations les plus élevées n'est ni excessivement grande

ni excessivement petite, si l'on la compare a celle de toutes les n observations.

Dans la figure A 6.0.1 nous avons représenté les observations sélectionnées de la figure 8.0.1, conjointement avec une limite supérieure de 10 % pour la courbe théorique, calculée a l'aide des tables de MILLER [S] destinée au test de KOLMOGOROV-SMIRNOV. Cette limite supérieure est une fonction en escalier qui tout en n'étant d'aucune valeur pratique pour l'extrapolation, fournit pourtant une indication supplémentaire de la haute incertitude. La fonction en escalier n'a été tracée qu'en vue des hautes marées dépassant N.A.P.

+

2 m.

Si nous estimons le parametre de la distribution exponentielle des observations 2 N.A.P.

+

2 m.45 en partant des observations

>=

N.A.P.

+

I m.70 et < N.A.P.

+

2 m.45, nous pourrons supposer connu ce parametre (et pour cette raison la distribution entiere) et nous pourrons ensuite confronter les observations 2 N.A.P.

+

2 m.45 et la distribution ,,théoriqueV ainsi obtenue, de nouveau a I'aide des tables de MILLER. La figure A 6.0.2 montre une limite supérieure de 10 % pour la fonction en escalier expérimentale.

En essayant maintenant d'ajuster aux observations sélectionnées une courbe de Pearson, on trouve la courbe teile que la donne (10) de A 6.0. 11 résulte de la figure A 6.0.3 que cette courbe s'ajuste assez bien aux observations. La ligne droite qu'on voit dans cette figure est la tangente a la courbe en son point d'inflection. Soit la courbe, soit la tangente peuvent servir a l'extrapolation.

Le A 7.0 contient une méthode de construction d'un intervalle de confiance unilatéral pour ct = a,-', (2) étant la formule fondamentale. Le mode d'emploi du papier a échelle fonctionnelle des probabilités totales selon la loi de GUMBEL se trouve dans le A 8.0. L'appendice se termine par l'énumération des diagrammes et la maniere dont ils ont été construits. Aux diagrammes 4.0.1, 7.0.2, 8.0.1, 8.0.2, 9.0.1, A 6.0.1 et A 6.0.3, a servi la méthode de représenter les

observations de BENARD-BOS, dont la description se trouve dans BENARD et Bos-LEVENBACH [ l ] .

(17)

1.0 SAMENSTELLING VAN DE BIJDRAGE 1.1 Inleiding

In deze bijdrage is beschreven langs welke weg het statistisch onderzoek van de bij Hoek van Hol- land geregistreerde hoogwaterstanden (van 1888 tot en met 1956) geleid heeft tot een extrapolatie, waaruit schattingen van de frequenties van zeer hoge stormvloedstanden kunnen worden afgelezen.

Een samenvatting van de resultaten van dit onderzoek vindt men in figuur 11.0.1, waaruit bij voor- beeld valt af te lezen, dat bij een overschrijdingskans van 10-4 een geschatte hoogwaterstand van N.A.P.

$- 5,13 m behoort.

1.2 Inhoud van de bijdrage

In het eerste deel van de bijdrage worden de gevolgde methode, alsmede de overwegingen, die tot de keuze daarvan hebben geleid, en de resultaten van de analyse globaal en zoveel mogelijk op algemeen begrijpelijke wijze uiteengezet. De wiskundige precisering vindt men in een Appendix.

1.3 Auteurs en medewerkers

Dit deel van het onderzoek vond plaats onder leiding van D. van Dantzig en J. Hemelrijk en in samenwerking met verschillende medewerkers van de Statistische Afdeling van het Mathematisch Centrum, in het bijzonder H. Kesten en J. Th. Runnenburg; de laatstgenoemde verzorgde o.a. de redactie van de Appendix van dit hoofdstuk. Tevens vermelden wij (gaarne de hulp, geboden door het Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut, in het bijzonder door C. J. van der Ham l), die de

,,gevaarlijke depressies" selecteerde, met behulp waarvan de uiteindelijke extrapolatie werd uitgevoerd.

2.0 HET WAARNEMINGSMATERIAAL; DE KEUZE VAN HOEK VAN HOLLAND

Het beschikbare waarnemingsmateriaal bestaat uit waargenomen hoogwaterstanden (te vinden in de Jaarboeken der Waterhoogten van de directie Waterhuishouding en Waterbeweging van de Rijkswater- staat) voor verschillende plaatsen langs de kust en in de zeearmen 2). Van deze plaatsen is Hoek van Holland

-

althans voor Centraal-Holland en Zeeland - het geschiktste punt om de invloed van de Noordzee op de kust te onderzoeken. Het is centraal gelegen en de peilschaal bevindtizich dicht bij de kust, waardoor de storende invloeden, die zich verderop in rivieren en zeearmen voordoen, daar niet of althans het minst aanwezig zijn. Het onderzoek werd daarom voor Hoek van Holland uitgevoerd.

De beschikbare waarnemingen strekten zich uit over de jaren 1888 tot en met 1956 (deze waarnemingen zijn verwerkt in tabel A 9.0.1). De in deze bijdrage gegeven resultaten berusten op ongeveer 49 000 hoogwaterstanden. Van het aanbrengen van een bodemdalingscorrectie op de waarnemingen werd afgezien, omdat: 1. deze correctie zeer onzeker zou zijn, en 2. haar invloed op de voor dit onderzoek belangrijkste hoge H.W.'s relatief zeer gering is. Dit geldt uiteraard niet meer, indien men bij extrapolatie rekening wenst te houden met de bodemdaling in toekomstige perioden. Het is echter beter dit probleem afzonderlijk te beschouwen en het niet onder één hoofd te brengen met de onderzoekingen naar de hoogwateroverschrijdingslijn, die hier worden behandeld. De bodemdaling wordt wel in rekening gebracht bij de in Bijdrage 11.2 beschreven economische beschouwingen.

Naast de hoogwaterstanden zijn de astronomische standen (voorspelde standen volgens de getij- tafels) beschikbaar. Het verschil tussen de waargenomen en de voorspelde hoogwaterstand (die dus niet precies op hetzelfde moment behoeven te vallen) wordt de opzet genoemd.

3.0 DE FREQUENTIEVERDELING VAN ALLE HOOGWATERSTANDEN

De empirische frequentieverdeling van alle hoogwaterstanden is in figuur 3.0.1 aangegeven. Op de horizontale as is daarbij de hoogte aangegeven in m boven N.A.P. en op de verticale as - op loga- l) Zie Bijdrage I, paragraaf 2.5.

(18)

ritmische schaal - het gemiddeld aantal overschrijdingen van de beschouwde hoogte per jaar. De hoogst waargenomen waterstand is N.A.P.

+

3,85 m (1 februari 1953); het bijbehorende aantal overschrijdingen per jaar is 1/69 = 0,0145. De daarop volgende is N.A.P.

+

3,28 m (22 december 1894) met een gemiddeld aantal overschrijdingen per jaar van 2/69 = 0,0290.

In 1939 introduceerde WEMELSFELDER [g] deze statistische behandeling van hoogwaterstanden. Waar in het verleden veelal de hoogte van een te bouwen of te verhogen dijk werd gebaseerd op de hoogste tot dan waargenomen waters tand, betoogde WEMELSFELDER terecht, dat men ook met hogere dan de waargenomen waterstanden rekening dient te houden en dat deze op de lange duur elk met een bepaalde frequentie voorkomen. Bij uitzetten van de toen beschikbare gegevens voor Hoek van Holland op de bovenbeschreven wijze, verkreeg hij een rij punten, die voor niet te geringe hoogte bij goede benadering op een rechte lijn lagen. Uit figuur 3.0.1 blijkt, dat dit ook voor de momenteel beschikbare waarnemingen boven N.A.P.

+

1,50 m het geval is. De hoogste waterstanden wijken echter merkbaar van de rechte lijn af, en wel naar boven. Hoewel dit mogelijkerwijze aan hun geringe aantal te wijten is, zullen wij later zien, dat ook het niet-homogene karakter van dit waarnemingsmateriaal er de oorzaak van kan zijn.

Vervangt men de waargenomen punten door een zo goed mogelijk daarbij aansluitende rechte lijn als (voorlopige) ,,theoretische verdeling", dan blijkt, dat bij een hoogteverschil van 0,55 m een kansverhouding l : 10 behoort; dit hoogteverschil wordt daarom de ,,(kans)decimeringshoogte" ge- noemd. De overeenkomstige ,,(kans)halveringshoogte" is 1°log 2 = 0,301 maal zo groot, dus 0,166 m, de ,,(kans)nepereringshoogte" is 1°log e = 0,434 maal zo groot als de decimeringshoogte, dus 0,239 m.

4.0 METHODEN

De waarnemingen van figuur 3.0.1 en daaraan analoge figuren moeten wij, speciaal met het oog op extrapolatie naar hoge hoogwaterstanden, aanzienlijk buiten het gebied der tot nu toe waargenomen standen vervangen door een bij die waarnemingen aanpassende continue kromme, ondanks alle bekende, tegen extrapolatie in te brengen bezwaren (vgl. 6.0).

Indien wij (dit wordt besproken in 9.0 en A 6.0) de hoogwaterstanden als onafhankelijke trek- kingen uit een onbekende verdeling mogen beschouwen, dan geeft deze kromme (op een bekende con- stante factor na, namelijk het totale aantal optredende hoogwaterstanden per jaar) de kans op overschrijding van een waterpeil h bij één bepaalde hoogwaterstand. Bij de bepaling van de kromme dienen we daarom het volgende in aanmerking te nemen. Voor lage hoogwaterstanden wordt de kromme vrij nauwkeurig door de waarnemingen vastgelegd, daar hierbij voldoende waarnemingen beschikbaar zijn. Bij de hogere hoogwaterstanden daarentegen moet het juiste verloop van de kromme uit een gering aantal waarnemingen geschat worden, die door onregelmatige, zogenaamde ,,stochastische" fluctuaties aanzienlijk van de kromme kunnen afwijken en bovendien door de gevolgde methode van uitzetten ver uiteenliggen. Desondanks lijkt het niet onredelijk betreffende die onbekende kromme uit de waarnemingen de volgende conclusies te trekken.

De kromme, die wij zoeken, bevat een bij benadering rechtlijnig gedeelte. De figuur doet denken aan een kromme, die een asymptoot heeft, die in een aanzienlijk deel van het waarnemingsgebied weinig van de kromme afwijkt. In werkelijkheid mag men niet onderstellen, dat de kromme inderdaad deze lijn als asymptoot in wiskundige zin bezit, d.w.z., dat zij zich bij willekeurig hoge peilen met on- beperkt toenemende nauwkeurigheid bij deze rechte zou gaan aansluiten. Integendeel, er zijn bepaalde argumenten, die er op kunnen wijzen, dat de hoogwateroverschrijdingslijn voor nog veel hogere peilen dan voor extrapolatie in aanmerking komen, naar beneden moet afbuigen. Wij zien echter hiervan af, daar dit uit de thans beschikbare waarnemingen niet blijkt (vgl. 12.0); eerder wordt een afwijking naar boven gesuggereerd, weshalve voor het bij de extrapolatie in aanmerking komende interval rechtlijnige voortzetting in de rede ligt. Wanneer wij dus hier van ,,asymptoot" spreken, bedoelen we daarmee alleen dat gedeelte van de kromme, waarvan men redelijkerwijs mag aannemen, dat het ook binnen het extrapolatiegebied nog bij vrij goede benadering met een rechte overeenstemt. Het is bij de extrapolatie niet nodig de overschrijdingslijn tot zéér grote hoogte voort te zetten. Voor het gestelde doel is extrapolatie tot een niveau van ongeveer N.A.P.

+

6 m voldoende. Daarbij is van belang, dat er op grond van algemene ervaring bij dergelijke problemen geen reden is aan te nemen, dat de over-

(19)

schrijdingslijn nabij een bepaalde hoogte plotseling zal gaan afbuigen, maar dat een eventuele krom- ming in een gebied, dat zich niet zeer ver van een vrijwel rechtlijnig stuk uitstrekt, in ieder geval klein zal blijven. Dit heeft ten gevolge, dat de afwijking van de ware overschrijdingslijn en de rechtlijnig geëxtrapoleerde bij hoogten tot N.A.P.

+

6 à 7 m of minder vermoedelijk minder zal zijn dan enkele decimeters.

Dit alles betekent, dat wij voor ons doel kunnen volstaan met het schatten van de juiste ligging van de asymptoot. Wij zoeken dus naar een rechte lijn, die we ook wel met overschrijdingslijn kunnen aanduiden, die goed bij het rechtlijnige gedeelte der figuren past, maar bij de lagere hoogwaterstanden aanzienlijk mag en zal afwijken. Ook de hoogst waargenomen hoogwaterstanden zullen niet op een dergelijke lijn liggen, doch dit is, gezien de grote stochastische fluctuaties in die standen te verwachten.

Bij de definitieve schatting van de asymptoot (zie 8.0 en volgende en A 3.0) zullen wij, overwegende dat uit de figuren met voldoende nauwkeurigheid blijkt, vanaf welk niveau de ,,asymptoot" redelijk bij de waarnemingen past, de waarnemingen beneden dat niveau buiten beschouwing laten en met de waarnemingen boven dat niveau de ,,asymptoot" bepalen. Wanneer wij later spreken over het ,,beginpunt" van die rechte bij dat nivea~l, dan is dat alleen bedoeld in die zin, dat deze rechte met behulp van de waarnemingen boven dat niveau geschat is. Beschouwen wij na de schatting van de asymptoot alleen de waarnemingen, die boven een gegeven peil liggen, in het gebied waarin de rechte goed bij de waarnemingen past, dan kunnen wij de benadering, die nu voor de verdelingsfunctie met die rechte gevonden is, interpreteren als een bvnadering van de verdelingsfunctie der hoogwaterstanden vanaf dat beginpunt met een zogenaamde exponentiële verdeling. Aan deze interpretatie zullen wij verdere statistische beschouwingen verbinden. Alvorens hiertoe over te gaan, zullen wij nog enige andere methoden be- spreken.

Hoewel de waarnemingen de toepassing van de zojuist besproken methode suggereren, dient men toch te overwegen, of ook andere veronderstellingen met deze waarnemingen te rijmen vallen en in het bijzonder of deze andere veronderstellingen bij extrapolatie naar hogere waarden van H.W. (een punt, dat later ter sprake komt) tot andere resultaten zouden leiden. Daarvoor komt dan in de eerste plaats de zogenaamde lognritmisch-noriizcrle verdeling in aanmerking, die in de literatuur herhaaldelijk vermeld wordt als een geschikte verdeling bij problemen van analoge aard als het onderhavige. I n ons geval echter valt aan te tonen (zie A 2.0), dat weliswaar ook deze verdeling goed aan de waarnemingen aangepast kan worden, doch dat de verkregen lijn dan niet of nauwelijks van de door ons gebruikte rechte lijn is te onderscheiden, ook niet bij extrapolatie tot bijv. een hoogte van N.A.P.

3.

6 ml). De exponentiële verdeling geeft dus resultaten, die in het door de waarnemingen bestreken interval ook bij benadering in overeenstemming zijn met de veronderstelling van een logaritmisch-normale verdeling. De eerstgenoemde verdeling is echter wiskundig veel beter hanteerbaar en wezenlijk bevredi- gender, daar zij tot minder willekeur bij de aanpassing en de extrapolatie aanleiding geeft, omdat zij van slechts één aan de waarnemingen aan te passen parameter afhangt. Daarom werd aan de exponen- tiële verdeling de voorkeur gegeven. De mate van aanpassing werd bovendien in een later stadium nog onderzocht met behulp van een daarvoor gangbare statistische methode. Het resultaat (zie A 4.0) is zeer bevredigend.

Voorts komt de door FRÉCHET [5], FISHER en TIPPETT [4] afgeleide verdeling der uiterste waarden in aanmerking, die door GUMBEL ([6] en latere publikaties) bdangrijk is uitgebreid en op velerlei problemen, waaronder ook hydrologische, is toegepast. In het onderhavige geval bestaat de toepassing hiervan daarin, dat men de jaarmaxima bepaalt en deze op zg. ,,Gumbelpapier" uitzet. Dit papier heeft op de verticale as een lineaire en op de horizontale as een dubbel-logaritmische schaal en als de jaarmaxima beschouwd zouden kunnen worden als de grootste waarnemingen ui t onderling onafhankelijke waarnemingsreeksen, die alle dezelfde verdeling bezitten, dan zouden deze jaarmaxima op dit papier bij benadering een rechte lijn moeten volgen. Dit geldt ook, als de uitgangsverdeling der hoogwaters niet een exponentiële is, doch één van het zogenaamde ,,exponentiële type" waaronder behalve de exponentiële onder andere ook de normale (de verdeling van Laplace-Gauss) en de logaritn~isch- normale vallen.

Inderdaad liggen de jaarmaxima, op Gumbelpapier (zie GUMBEL [7]) uitgezet, zodanig, dat een

l ) Ditzelfde geldt voor vrijwel iedere verdeling, waarin een voldoende groot aantal voorkomt, die aan-

(20)

rechte lijn aangepast zou kunnen worden (zie figuur 4.0.1). Deze methode heeft echter, in vergelijking met het gebruik van de exponentiële verdeling, het nadeel, dat slechts van 69 jaarmaxima gebruik wordt gemaakt, waardoor een niet onbelangrijk deel der in de waarnemingen vervatte informatie on- gebruikt blijft. Bovendien kan worden bewezen (A &O), dat in het gebied, dat voor ons probleem van belang is, ongeveer van N.A.P.

+

2 m tot N.A.P.

+

6 m, de methode van GUMBEL en het gebruik van de exponentiële verdeling, indien gebaseerd op dezelfde waarnemingspunten (bijv. de jaarmaxima alleen), tot hetzelfde resultaat leiden. Voor de exponentiële methode zijn echter meer waarnemingen bruikbaar dan de jaarmaxima alleen, zodat deze methode tot nauwkeuriger uitkomsten zal leiden.

Daarom is het verdere betoog gebaseerd op de veronderstelling van een exponentiële verdeling der hoogwaterstanden, terwijl de methode van GUMBEL alleen incidenteel nog te pas komt om een bepaald punt van het betoog te ondersteunen (vgl. 8.0, laatste alinea, en A 8.0).

5.0 HOOGWATERSTANDEN OF OPZETTEN?

Bij de statistische verwerking moest verder beslist worden of de hoogwaterstanden zelf beschouwd zouden worden, dan wel de daarbij behorende opzetten. Beschouwt men de opzetten, dan wordt de invloed van het astronomisch getij - althans ten dele - bij de statistische analyse geëlimineerd, hetgeen wellicht tot nauwkeuriger uitkomsten zou kunnen leiden. Nu blijkt echter, indien men de opzetten op dezelfde wijze uitzet als in figuur 3.0.1 met de hoogwaterstanden is gedaan, dat een lijn wordt verkregen, die evenwijdig aan die van de hoogwaterstanden verloopt. Analyse van deze lijn zou dus tot (nagenoeg) dezelfde resultaten leiden als die van de lijn der hoogwaterstanden. Het eerstgenoemde houdt meer werk in dan het laatstgenoemde en heeft minder rechtstreeks betrekking op de praktische consequenties van het vraagstuk. Om die redenen is het verantwoord, niet met de opzetten, maar met de hoogwaterstanden te werken.

Beter dan de hoogwaterstanden of opzetten zou wellicht het grootste verschil tussen de werkelijke waterhoogte en de voor hetzelfiie moment voorspelde waterhoogte, die uit de getijkromme volgt, ge- bruikt kunnen worden. Deze grootheid is echter slechts voor enkele stormen bekend, doch niet voor een voldoende aantal perioden van hoogwater, om daarop een statistische analyse te kunnen toepassen.

6.0 EXTRAPOLATIE

Het behoeft geen betoog, dat extrapolatie van een zuiver empirisch verkregen lijn steeds in hoge mate onzeker is. In het hier beschouwde geval moeten veiligheidsmaatregelen genomen worden tegen eventualiteiten, die mogelijk zijn, zonder dat het zeker is, dat - en, zo ja, wanneer

-

zij zullen optreden. Dit leidt tot een mathematisch-statistische behandeling van het probleem: men zal een schatting moeten maken van de kans, dat bepaalde mogelijke waterstanden zullen worden overtroffen, en op grond daarvan de maatregelen moeten treffen, beseffende dat er steeds een - zij het zeer kleine - kans overblijft, dat zij toch zullen blijken onvoldoende te zijn geweest.

Men zal dus uit de waarnemingen een kansverdeling moeten afleiden, die zich ook verder uitstrekt dan de hoogst waargenomen stand. Dit betekent eigenlijk, dat men zich voorstelt, dat over lange tijd, bijv. na enkele honderden jaren, met de dan beschikbare waarnemingen opnieuw een empirische overschrijdingslijn zal worden afgeleid en dat men nu reeds tracht te raden, hoe deze er zal uitzien. Dit is een gissing, dus onzeker. Door echter de thans bekende feiten zo goed mogelijk in aanmerking te nemen, kan men bereiken, dat redelijkerwijs te verwachten is, dat de toekomstige overschrijdingslijn niet al te veel van de thans gegiste af zal wijken.

Extrapolatie is dus, ook al blijft onzekerheid bestaan, noodzakelijk. Om de onzekerheid zo veel mogelijk te beperken, dient men echter voorzorgen te nemen. De belangrijkste van deze voorzorgen is, dat men er tegen waakt, de extrapolatie te baseren op ,,niet-homogeen" waarnemingsmateriaal. Verder is het van belang de onzekerheid der extrapolatie, voor zoverre deze op grond van bepaalde veronderstellingen (hier de in 3.0 en 4.0 besproken veronderstelling van een exponentiële verdeling) valt te berekenen, vast te stellen en bij het nemen van een beslissing in de overwegingen te betrekken. Deze beide punten komen in het volgende ter sprake, te beginnen met het eerstgenoemde.

(21)

7.0 HET HOMOGEEN MAKEN VAN HET WAARNEMINGSMATERIAAL DOOR SPLITSING IN ZOMER EN WINTER

De eenvoudigste extrapolatieprocedure ware, in figuur 3.0.1 een rechte lijn door de waarnemings-

punten te trekken en deze eenvoudig te verlengen, dus rechtlijnig te extrapoleren. Dit is in figuur 7.0.1

uitgevoerd. Op verschillende wijzen valt in te zien, dat deze procedure onjuist is.

I n 4.0 is reeds opgemerkt. dat de Gumbellijn der jaarmaxima tot hetzelfde resultaat moet leiden

als de extrapolatie van een rechte lijn als die van figuur 7.0.1. Brengen wij echter deze lijn van figuur

7.0.1 over op Gumbelpapier, waarop de jaarmaxima zijn uitgezet, dan wordt figuur 7.0.2 verkregen

(voor de methode van overbrenging zie A 8.0). Uit deze figuur is duidelijk te zien, dat de jaarmaxima systematisch van deze lijn afwijken. De lagere jaarmaxima liggen er alle onder en de hogere liggen er boven, d.w.z. de helling van de lijn is onjuist.

Dit verschijnsel is gemakkelijk te verklaren en in overeenstemming met de boven gemaakte op- merking, dat het onjuist is niet-homogeen materiaal te extrapoleren. Immers de jaarmaxima vallen steeds (of vrijwel steeds) in de winter; in de zomer zijn de hoogwaterstanden lager. Deze lagere hoogwaterstanden hebben geen invloed op de jaarmaxima, maar zij hebben wel invloed op de helling van de lijn in figuur 7.0.1 en 7.0.2. Deze helling wordt er door vergroot, waardoor bij extrapolatie een te

lage schatting der kansen o p overschrijding verkregen wordt. Het zou dus zeer onvoorzichtig zijn, beslissingen op deze extrapolatie te baseren.

Dat zomer en winter verschillen wat de hoogwaterstanden betreft, is natuurlijk ook direct in te zien. De hoogwaterstanden van de maanden november tot en met januari (met de stand van 1 februari 1953

er bij, omdat deze de aanleiding tot het onderzoek was) geven, uitgezet op dezelfde wijze als in figuur

3.0.1 gedaan is, een lijn te zien met een helling, die duidelijk van die van de overige maanden te zamen

verschilt (zie figuur 7.0.3). De keuze van de drie maanden november, december en januari als winter-

maanden is uiteraard enigszins arbitrair; daarom is onderzocht of verkleining of vergroting (op beperkte schaal) van deze periode de resultaten nog aanzienlijk beïnvloedt. Dit bleek niet het geval te zijn, hetgeen de keuze van deze periode, waarin ook de meeste jaarmaxima vallen, rechtvaardigt.

Ook de hoogwaterstanden van deze drie maanden zijn echter nog verre van homogeen, omdat zij veroorzaakt worden door depressies, die van verschillende typen zijn. Op dit punt gekomen, ligt het voor de hand meteorologische hulpmiddelen te gebruiken, om een grotere mate van homogeniteit te bereiken en daarmede de betrouwbaarheid van de extrapolatie verder te vergroten.

8.0 SELECTIE VAN DEPRESSIES OP METEOROLOGISCHE GRONDEN

Een gevaarlijk hoge waterstand wordt steeds veroorzaakt door een storm en deze weer door een depressie. Beschouwen wij dus depressies in plaats van afzonderlijke hoogwaters, dan komen wij dichter bij de oorzaak van het gevaar. Een depressie strekt zich bovendien vaak uit over meer dan één hoogwater en daardoor ontstaat afhankelijkheid van op elkaar volgende hoogwaters, hetgeen de statistische analyse belemmert. Dit wordt vermeden, indien depressies in plaats van hoogwaters worden beschouwd. Daar het gevaar, dat een depressie voor de dijken geeft, sterk samenhangt met de hoogste tijdens die depressie bereikte waterstand, ligt het voor de hand de verdere analyse te baseren op hoogste standen per depressie.

Lang niet alle depressies zijn echter potentieel gevaarlijk. De verzameling van deze hoogste standen is, meteorologisch beschouwd, nog steeds niet homogeen. In verband daarmede werden door VAN DER HAM van het Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut l) die depressies geselecteerd, die o p

grond van het feit, dat zij bepaalde eigenschappen bezitten, als de potentieel gevaarlijke depressies beschouwd moeten worden. De criteria voor deze selectie zijn in A 5.0 beschreven. Het belangrijkste

criterium was daarbij, dat deze depressies een binnen een bepaald vak gelegen baan volgden.

Het totale waarnemingsmateriaal, dat nu overblijft, bestaat uit 332 hoogwaterstanden van een

gelij k aantal potentieel gevaarlijke depressies. Deze waarnemingen zijn in figuur 8 .O. 1 op soortgelijke wijze uitgezet als in figuur 3.0.1 voor alle hoogwaters is gedaan. In verband met het feit, dat de verdere