Zasada Prac Wirtualnych - całkowanie graficzne, przykłady obliczeniowe

MECHANIKA BUDOWLI I

Prowadzący :

dr inż. Hanna Weber

pok. 225,

email: weber@zut.edu.pl

Literatura:

• Dyląg Z., Mechanika Budowli,

PWN, Warszawa, 1989

• Paluch M. , Mechanika Budowli: teoria i przykłady, PWN, Warszawa 2013

• Olszowski B., Radwańska M., Mechanika Budowli t. I, wyd. Polit. Krakowskiej, 2003

• Chudzikiewicz A., Statyka Budowli, PWN, Warszawa, 1973

• Cywiński Z., Mechanika Budowli w zadaniach, PWN, Warszawa-Poznań, 1973

Materiały dodatkowe:

TEMATYKA ZAJĘĆ

• Zasada Prac Wirtualnych - liczenie przemieszczeń w układach statycznie wyznaczalnych

• Metoda sił - wyznaczanie wykresów sił wewnętrznych w ramach, belkach i kratownicach statycznie

niewyznaczalnych pod obciążeniem statycznym

• Twierdzenie redukcyjne – obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych

Belka wolnopodparta

M

↓

f

T

↓

Φ

N

↓

e

Twierdzenie







P

L

Praca wirtualnych sił zewnętrznych

na rzeczywistych przemieszczeniach

jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych

na rzeczywistych odkształceniach



N

dl

T

M

L















_

_

_







w z

L

L



N

N

M

M









EI

M





EA

N











P

L

↓

↓

↓

W układach belkowych i ramowych wartość

przemieszczenia w danym punkcie jest

równa całce z iloczynu momentu od

obciążenia zewnętrznego

i momentu od obciążenia jednostkowego

założonego na kierunku przemieszczenia

W układach kratowych wartość

przemieszczenia w danym punkcie jest

równa całce z iloczynu siły normalnej od

obciążenia zewnętrznego

i siły normalnej od obciążenia

jednostkowego założonego na kierunku

przemieszczenia

Zadanie: Obliczyć ugięcie końca wspornika

z zasady prac wirtualnych

x x EJ 4 M₀ [kNm] 1 M 4 [m] 0 P=8kN 32 0 H =0_A V =8kN_A M =32kNm_A A B x Px M   8 x x M  1   EI EI x EI dx EI x dx EI x x dl EA N N EI M M l 3 512 4 3 8 3 1 8 8 8 3 4 0 3 4 0 2 4 0                  







Całkowanie graficzne

wykresów

Całkując graficznie dwa wykresy

mnożymy pole pierwszego wykresu przez rzędną

z drugiego wykresu, na wysokości środka

Całkowanie graficzne

wykresów

F

s

x

A

B







F

C

Całkowanie graficzne

wykresów

Warunki:

- stała sztywność,

- wykres prostoliniowy zapisany jednym równaniem, - całkując parabolę z wykresem prostoliniowym,

zawsze bierzemy pole paraboli,

- jeżeli wykresy są po tej samej stronie to wynik całkowania jest dodatni, jeżeli po przeciwnych to ujemny

Całkowanie dwóch prostokątów: L a P_prost.  

b

L

a

C







L

a

P





Całkowanie prostokąta z trójkątem: L a P_prost   2 1 .

b

L

a

C









2

1

L

a

P





2

1

Całkowanie dwóch trójkątów: b L a C 3 2 2 1     Całkowanie:

L

a

P





2

1

Całkowanie dwóch trójkątów: b L a C 3 1 2 1     Całkowanie:

L

a

P





2

1

Całkowanie prostokąta z trapezem:













_







a

L

b

c

C

2

1

2

1

L

a

P





Całkowanie trójkąta z trapezem:

L

a

P





2

1













_









a

L

b

c

C

3

1

3

2

2

1

Przed całkowaniem

graficznym wykresy należy

rozbić na proste formy:

- prostokąty,

- trójkąty ,

Obciążenie wirtualne

Obciążenie wirtualne

Obciążenie wirtualne

Obciążenie wirtualne

Obciążenie wirtualne

Wyznaczenie kąta obrotu: EJ EJ EJ EJ EJ EJ L B 3 14 5 , 0 2 1 4 16 3 2 1 5 , 0 3 2 4 12 2 1 1 5 , 0 3 2 2 12 2 1 1 1 3 1 5 , 0 3 2 2 12 2 1 2 1 5 , 0 3 2 2 12 2 1 2 1        _{   }        _{   }        _{   }              _{  }           _{   }  

Wykresy sił wewnętrznych 123 72 72 24 24 M [kNm] 0

Wykres momentów od obciążenia wirtualnego M [m] 3 3 3 3

123 72 72 24 24 M [kNm] 123 72 = + + 72 123 ql /82 1

123 72 72 24 24 M [kNm] 72 = + + 72 ql /82 24 = + ql /8 2 24 1

Wyznaczenie przemieszczenia EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ EJ u_B 75 , 1797 6 2 1 3 2 1 3 8 3 6 3 2 1 3 3 1 6 3 2 3 123 2 1 1 6 3 1 3 3 2 3 72 2 1 1 3 3 2 4 72 2 1 1 3 2 1 4 8 4 6 3 2 1 3 3 2 4 24 2 1 1 3 3 2 3 24 2 1 1 2 2        _{  }            _{  }           _{  }                         