Zmodyfikowany algorytm wyznaczania długości stycznej do powierzchni drugiego stopnia

INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS

Nr 1/III/2012, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddzia w Krakowie, s. 71–83 Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi

ElĪbieta JasiĔska, Edward Preweda

ZMODYFIKOWANY ALGORYTM WYZNACZANIA

DàUGOĝCI STYCZNEJ DO POWIERZCHNI DRUGIEGO

STOPNIA

____________

A MODIFIED ALGORITHM FOR THE LENGTH OF

THE TANGENT TO THE SURFACE OF THE SECOND DEGREE

Streszczenie

W artykule przedstawiono dok adny algorytm obliczania d ugo ci stycz-nych do powierzchni drugiego stopnia. Wykorzystano w tym celu wyniki z pomia-rów metody otaczaj cych stycznych dla wybranego obiektu jednopow okowego. Rozwa ania przeprowadzono dla obiektów o kszta cie hiperboloidy jednopow o-kowej. Wykorzystanie danego algorytmu pozwala obliczy lokalizacj i kszta t, ale równie parametry pow oki, który w porównaniu do wcze niej stosowanych metod, pozwala uzyska lepsz precyzj , ni ta obliczona na podstawie dotychczas istniej cych algorytmów. Modyfikacja przedstawionego algorytmu pozwala na zwi kszenie dok adno ci ostatecznych wyników, przy wykorzystaniu proponowa-nej metody pomiaru. Rozwi zanie takie pozwala zaoszcz dzi rodki finansowe oraz czas.

Sáowa kluczowe: powierzchnia drugiego stopnia, aproksymacja kszta tu

powierzchni, d ugo stycznej, obiekt jednopow okowy, ch odnie kominowe

Summary

This article presents exact algorithm for calculation “length of tangent” to quadric surface based on results of measurement tangent directions to shell object. The considerations are mainly about one-sheet hyperboloid shape. The considerations made for the objects in the shape of hyperboloid of one sheet. Using the algorithm can calculate the location and shape, but also the parameters of the shell, which compared to previously used methods, allows for better

precision than that calculated on the basis of previously existing algorithms. Modification of the algorithm presented allows to increase the accuracy of the final results, using the proposed method of measurement. This solution saves money and time.

Key words: quadric surface, surface shape approximation, length of tangent,

one-sheet hyperboloid, cooling towers

WSTĉP

Obiekty pow okowe stanowi specyficzne konstrukcje, wyró niaj ce si architektonicznie w otaczaj cej przestrzeni. Zachowanie przez budowle w a ci-wego kszta tu jest spraw istotn , gdy zmiana geometrii mo e doprowadzi do katastrofy budowlanej. Aby unikn tragicznych skutków, prowadzona jest ob-s uga geodezyjna, rozumiana, jako prace w czaob-sie wznoob-szenia budowli, pomiar powykonawczy i okresowe pomiary inwentaryzacyjne.

Parametry po o enia i kszta tu budowli pow okowych wyznacza si w oparciu o wyniki pomiarów inwentaryzacyjnych wykonanych technik geode-zyjn lub fotogrametryczn . Pow oka kontrolowanego obiektu reprezentowana jest przez zbiór punktów obserwacyjnych, którymi mog by punkty sygnalizo-wane odpowiednimi znakami na jego powierzchni, jak to ma miejsce w przy-padku pomiarów wykonanych metod wci przestrzennych, biegunow lub fotogrametryczn , lub punkty styczno ci celowych. Dobór metody pomiaru za-le y od rodzaju obiektu i warunków terenowych, aza-le w praktyce najcz ciej od mo liwo ci finansowych zleceniodawcy bada oraz od sprz tu pomiarowego wykonawcy.

Stosowanie sprz tu o wysokiej precyzji zapewnia wysok dok adno opracowa i jest przez autorów gor co polecane. Sprz t ten jest jednak w dal-szym ci gu drogi, a z tym w prosty sposób wi si koszty wykonania odpo-wiednich opracowa geodezyjnych. Ten oczywisty fakt, a tak e zach ta ze stro-ny wykonawców tego typu robót, sk oni y autorów do przeprowadzenia rozwa a nad najta sz metod wykonywania pomiarów, znan doskonale za-równo z literatury jak i z praktyki geodezyjnej, to jest metod otaczaj cych stycznych.

Rozwa ania dotyczy b d g ównie obiektów o kszta cie hiperboloidy jednopow okowej. W pracy skoncentrowano si na teoretycznym algorytmie wyznaczania d ugo ci stycznej do powierzchni, na podstawie pomiaru kierun-ków stycznych do badanego obiektu. Rozwa ania praktyczne, wykazuj ce jak istotny jest wp yw ró nych sposobów wyznaczenia d ugo ci stycznej na parametry i odchy ki powierzchni rzeczywistej od modelowej przedstawili acina i y-gie o [2001] .

ROZWAĩANIA O DàUGOĝCI STYCZNEJ

Niezale nie od stosowanej metody pomiaru, wyniki obserwacji punktów reprezentuj cych obiekt poddawane s aproksymacji bazuj cej na ogólnym rów-naniu powierzchni stopnia drugiego [Czaja 1984]. W wyniku aproksymacji otrzymuje si wspó czynniki równania powierzchni modelowej, na podstawie których oblicza si parametry po o enia i kszta tu obiektu

Ogólna posta równania powierzchni stopnia drugiego ma form

0 2 2 2 2 2 2 44 34 24 14 23 13 12 2 33 2 22 2 11 = + + + + + + + + + + + = a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a ) z , y , x ( F (1)

Równanie (1) mo na przedstawi w zapisie macierzowym

[

]

0 1 1 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 = » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª = z y x a a a a a a a a a a a a a a a a z y x ) z , y , x ( F (2)

Wyst puj ce w równaniu (1) wspó czynniki aij = ajimo na podzieli przez

wybrany element (ze wzgl dów numerycznych najdogodniej przez a11 lub a22[Preweda 1994]) otrzymamy wówczas, przy

oznacze-niach: ₁₁ 1 11 = = , A a a

A_ij ij , nast puj c posta równania (1)

0 2 2 2 2 2 2 44 34 24 14 23 13 12 2 33 2 22 2 = + + + + + + + + + + + = A z A y A x A yz A xz A xy A z A y A x ) z , y , x ( F (3)

Warto ci wspó czynników A okre lamy na podstawie wspó rz dnych ob-_ij

serwowanych punktów, których liczba musi by wi ksza lub równa ilo ci nie-wiadomych.

W tym celu zestawia si równania poprawek

44 34 24 14 23 13 12 33 2 22 2

2 _{y A z A 2xyA 2xzA 2yzA 2xA 2yA 2zA A}

x

v_{= + + + + + + + + +} (4)

Dla metody otaczaj cych stycznych wspó rz dne obserwowanych punk-tów wyznacza si z zale no ci:

l e X z l e X y l e X x Z Y X + = + = + = (5) gdzie : ) Z , Y , X ( – wspó rz dne stanowiska,

l – odleg o stanowiska od obserwowanego punktu,

[

eX,eY,eZ

]

– wektor równoleg y do stycznej, wyra ony za pomoc

obser-wacji.

Przedstawiany w ogólnie znanej literaturze „klasyczny” przepis na d ugo stycznej jest znacznie przybli ony w stosunku do obecnych mo liwo ci oblicze-niowych [Goca 1980] . Algorytm znany z literatury zawiera w sobie pewn nie cis o . Modyfikacja algorytmu przedstawiona w tej pracy pozwala na wy-znaczenie parametrów po o enia i kszta tu pow oki kontrolowanej wzgl dem dowolnie zadanej pow oki modelowej, z dok adno ci porównywaln z wyni-kami uzyskanymi na podstawie obserwacji znacznie kosztowniejszymi metoda-mi pometoda-miaru.

Zasadniczym problemem, jaki wyst puje w metodzie otaczaj cych stycz-nych, jest sposób ustalenia d ugo ci stycznej. W literaturze przyjmuje si , e w rzucie poziomym styczna jest prostopad a do promienia danego przekroju obserwacyjnego, jak to zilustrowano to na rysunku poni ej.

90ο 90ο r t1 t2 x ,yo o x ,ySt St ród o: opracowanie w asne Source: Own material.

Rysunek 1. Schemat wyznaczania d ugo ci stycznej do powierzchni stopnia drugiego wed ug dotychczasowych algorytmów

Figure 1. Schematic determination of the length of the tangent to the surface of the second degree by existing algorithms,

W rzeczywisto ci takie za o enie jest znacznym uproszczeniem problemu, które powoduje, e metoda ta na dzie dzisiejszy daje zdecydowanie gorsze wyniki w porównaniu do metody biegunowej lub wci przestrzennych.

W zale no ci od typu obiektu, jego gabarytów, odleg o ci od stanowiska, k ta pionowego pod jakim obserwuje si kierunek styczny oraz grubo ci pow oki faktyczna d ugo stycznej b dzie wi ksza lub mniejsza od d ugo ci wyznaczanej w my l zasady podanej powy ej.

Dla przyk adu na rysunkach 2 i 3 przedstawiono teoretyczn (t1) i

faktyczn (t2) d ugo stycznej do ch odni hiperboloidalnej.

x,y t1 t2 dt 90ο 90ο α ród o: opracowanie w asne Source: own material.

Rysunek 2. D ugo ci stycznych do hiperboloidy jednopow okowej wyznaczane wed ug dotychczasowego i zmodyfikowanego algorytmu

Figure 2. The lengths of the tangents to the hyperboloid of one designated by the former and a modified algorithm

α x,y t1 t2 dt 90ο 90ο ród o: opracowanie w asne Source: own material.

Rysunek 3. D ugo ci stycznych do hiperboloidy jednopow okowej wyznaczane wed ug dotychczasowego i zmodyfikowanego algorytmu

Figure 3. The lengths of the tangents to the hyperboloid of onedetermined by the existing and the modified algorithm

W rezultacie za o enia, e d ugo stycznej jest prostopad a (w rzucie po-ziomym) do promienia, „wychodzimy” poza badany obiekt lub „wchodzimy” do jego rodka. Tym samym tak wyznaczone wspó rz dne punktów styczno ci reprezentuj w pewien przybli ony model pow oki.

α 90ο 90ο t2 t1 t2-t1 x ,yo o x ,ySt St ród o: opracowanie w asne Source: own material.

Rysunek 4. Przybli ony i faktyczny model pow oki

Figure 4. Estimated and actual shell model

WYZNACZENIE DàUGOĝCI STYCZNEJ DO HIPERBOLOIDY JEDNOPOWàOKOWEJ

D ugo stycznej wyznaczymy w oparciu o równanie kanoniczne po-wierzchni.

Niech b dzie dana hiperboloida jednopow okowa H o pionowej osi i

rod-ku

(

0,0,z₀

)

dana równaniem 0 1 2 2 0 2 2 2 2 = − − − + = c ) z z ( b y a x ) z , y , x ( f : Ǿ (6)

Obierzmy wektor L o pocz tku w ustalonym punkcie (stanowisku)

(

xi,yi,zi

)

i ko cu w punkcie styczno ci z powierzchni H, oznaczonym przez

(

x,y,z

)

P ] z z , y y , x x [ L= − _i − _i − _i

W punkcie P wystawmy wektor n⊥H taki, e: n=[ f_x,f_y,f_z]

(

)

»¼ º «¬ ª − − = » ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ₂ 0 2 2 2 2 2 c z z , b y , a x z f , y f , x f n

i niech N₌1₂n_{. Zachodzi L⊥ , a zatem N L $N=0, co daje:}

(

)

(

)

(

)

(

) (

2

)

2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 _c z z c z z c z z z z b y y y a x x x− _i + − _i − − _i − = + − − − St d otrzymujemy:

(

)

(

)(

) (

)

₀ 2 2 0 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 = − + − − − ⋅ − ⋅ − − − + c z z c z z z z b y y a x x c z z b y a x _{i i i}

(

)

(

)(

)

₀ 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 = − − + ⋅ − ⋅ − − − + c z z z z b y y a x x c z z b y a x _{i i i} Po uwzgl dnieniu (6)

(

)(

)

₀ 2 0 0 2 2 = − − − ⋅ + ⋅ π a z z z z b y y a x x : i i i ₍₇₎

Równanie (7) przedstawia p aszczyzn , na której le punkty styczno ci prostych przechodz cych przez obrany punkt (xi, yi, zi) z powierzchni H.

Wprowadzaj c oznaczenia:

(

−

)

_{= γ} − β = α = ~ a z z , ~ b y , ~ a x_{i i i} 2 0 2 2 ,

p aszczyzn π mo na zapisa w postaci

(

− ₀

)

=0 γ − β + α~ x ~ y ~ z z

Je eli styczne by yby wyprowadzane z punktu na wysoko ci rodka hiper-boloidy, czyli dla z_i = , wówczas z₀ ~αx+~β y−1=0.

Obserwacje α i ϕ kierunków stycznych pozwalaj zapisa punkt

°¯ ° ® ­ ϕ + = α + = α + = tg l z z sin l y y cos l x x i i i

gdzie l jest poziom d ugo ci celowej.

Punkt P nale y zarówno do powierzchni H jak i do p aszczyzny π, musi, zatem czyni zado równaniom (6) oraz (7), co pozwala zapisa

(

) (

) (

)

₁ 2 2 0 2 2 2 2 = − + ϕ − + α + + α c z z tg l b y sin l a x cos l _{i i i} (8) oraz

(

)

(

) (

)(

)

₁ 2 0 0 2 2 = − + ϕ − − + α + + α c z z tg l z z b y sin l y a x cos l x_{i i i i i i} (9) Odejmuj c od (8) równanie (9) i wykonuj c odpowiednie przekszta cenia otrzymujemy:

(

)

(

)

(

)

( )

l abc c z z tg l tg l b y sin l sin l a x cos l cos l _{i i i} 2 2 0 2 2 =0 ⋅ − + ϕ ϕ − + α α + + α α

(

)

( )

(

)

( )

(

2

(

0

)

)

( )

2 0 2 2 2

2_{α+x cosα bc + lsin α+y sinα ac − ltg ϕ+ z −z tgϕ ab =}

cos l i i i ( 0) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2_{c cos α+xb c cosα+la c sin α+ya c sinα−la b tg ϕ−a b z −z tgϕ=}

b

l i i i

(

b c cos α+a c sin α−a b tg ϕ

)

=a b

(

z −z

)

tgϕ−xb c cosα−ya c sinα

l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i 0 i 2 2 i 2 2

W efekcie obliczymy d ugo stycznej l

(

)

(

α+ α

)

− ϕ α − α − ϕ − = 2 2 _{2 2} 0 _{2 2} 2 2_{2 2 2} 2₂2 tg b a sin a cos b c sin c a y cos c b x tg z z b a l i i i ₍₁₀₎ Z równania (9)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 1 _c a b c z z b y a x c tg z z b sin y a cos x l i i i _{¸= −} i ₋ i ₊ i− _⋅ ¹ · ¨ © § α₊ α₋ − ϕ st d: ( )

(

)

( )2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2_{c cos ya c sin a b z z tg a b c xb c ya c a b z z} b x l i α+ i α− i− ϕ = − i − i + i−

(

)

(

)

(

α+ α

)

−

(

−

)

φ − + − − = tg z z b a sin a y cos b x c z z b a a y b x b a c l i i i i i i 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (11) W dalszej cz ci wyznaczmy równanie wi zki celowej. Przyrównajmy równania (10) oraz (11). Z proporcjonalno ci ilorazów otrzymujemy:

(

)

(

)

2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − − = = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − × ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − + − − α α ϕ α α ϕ a y b x tg z z c b a a b tg c b a z z c b a a y b x b a i i i i i i

Wykonuj c kolejne przekszta cenia otrzymujemy:

(

)

(

)

(

)

¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − + − − + + + + − + = = − − − − − + + + + − + + − − − − ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α α α α α ϕ ϕ ϕ α α ϕ α α ϕ α α ϕ α α ϕ tg z c a y tg z c b x tg c a z y tg c b z x y x y c a x a b tg z z c b a tg z c b a tg z c b a z z c a z z c b tg z z c b a y b a y tg c a y x a b x tg c b x a b tg c b a i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i sin cos sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos cos sin sin cos sin cos 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 2 2 2 2 0 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Po uproszczeniu identycznych wyrazów i wprowadzeniu oznacze :

(

)

2 2 1 =c x sinα−y cosα W _{i i}

(

α+ α

)

− = 2 2 2 2 2 2 c a sin b cos W φ =a b tg W 2 2 3

(

α+ α

)

− = 2 2 0 2 2 2 0 2 4 a z sin b z cos W

(

2 α φ 2 α φ 2 2α 2 2α

)

0

5 2z b xicos tg a yisin tg b zicos a zisin

W _{=− + − −}

(

α+ α

)

− = 2 2 2 2 2 2 6 b z cos a z sin W _{i i}

(

2 2 2 2

)

2 7 tg b xi a yi W =− φ + φ α = b x z cos tg W 2 _{i i} 8 2 φ α = a y z sin tg W 2 _{i i} 9 2 otrzymujemy równanie 0 1 9 1 2

¦

= = i i W c (12)

Równanie (12) wyra a zwi zek mi dzy parametrami wybranej powierzch-ni oraz obserwacjami α i ϕ.

– Przypadek szczególny: hiperboloida obrotowa (a= )b

Je li a= wówczas równanie (10) przyjmie postab

(

)

(

)

ϕ − α + α − ϕ − = 2 0 ₂ 2_{2 2} tg a c sin y cos x c tg z z a l i i i ₍₁₃₎ Podobnie równanie (11)

(

)

(

)

(

α+ α

)

−

(

−

)

ϕ − + − − = tg z z a sin y cos x c z z a y x a c l i i i i i i 0 2 2 2 0 2 2 2 (14) Oznaczaj c 2 2 0 2 1 c z a K = 2 2 a K =

(

)

(

− ϕ α+ α

)

− = z tg x cos y sin c z a K 2₂0 _{i i i} 3 2 ϕ − = 2 2 4 4 tg c a K

(

)

[

]

{

2 2

(

)

2

}

2 2

5 = z −tgϕ x cosα+y sinα +tg ϕ x sinα−y cosα

c a K _{i i i i i}

(

)

2 6 =− x sinα−y cosα K _{i i}

zwi zek (12) mo na zapisa w postaci 0 6 1 =

¦

= k k K (15)

DàUGOĝû STYCZNEJ DO DOWOLNEJ POWIERZCHNI STOPNIA DRUGIEGO

Obierzmy wektor L o pocz tku w stanowisku S_i =

(

x_i,y_i,z_i

)

i ko cu w punkcie styczno ci z powierzchni H oznaczonym przez P

(

x,y,z

)

[

]

=

[

ϕ ϕ ϕ

]

= − − − =[x x ,y y ,z z ] l e ,e ,e l cos ,sin ,tg L _{i i i x y z}

przy czym l jest poziom d ugo ci stycznej. Inaczej mo na zapisa

(

x,y,z

)

S

(

x ,y ,z

)

L

P = _{i i i i} + & (16)

W punkcie P wystawmy wektor n⊥ taki, e: H

n

=

[

f

_x

,

f

_y

,

f

_z

]

,

» ¼ º « ¬ ª ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = z f y f x f n , , 14 13 12 11 2 2 2 2a x a y a z a x F + + + = ∂ ∂ 24 23 22 12 2 2 2 2a x a y a z a y F + + + = ∂ ∂ 34 33 23 13 2 2 2 2a x a y a z a z F + + + = ∂ ∂

i niech N ₌1₂n_{. Zachodzi L⊥ , a zatem N L $N=0, co po uwzgl dnieniu (16)}

daje

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

[

_{13 23 33 34}

]

0 24 23 22 12 14 13 12 11 = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + z z y x y z y x x z y x e a l e X a l e Y a l e X a e a l e Z a l e Y a l e X a e a l e Z a l e Y a l e X a

i otrzymujemy

[

]

[

]

[

]

[

11 12 13

] [

12 22 23

] [

13 23 33

]

0 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + z z y x y z y x x z y x z y x e l e a l e a l e a e l e a l e a l e a e l e a l e a l e a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a Po przekszta ceniach [ ] [ ] [ ]

[

x y z

] [

x x y z

] [

y x y z

]

z z y x e e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a l 33 23 13 23 22 12 13 12 11 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − =

Upraszczaj c powy szy zapis otrzymujemy ostateczny wzór na poziom d ugo stycznej l [ ] [ ] [ ] z y z x y x z y x z y x e e a e e a e e a e a e a e a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a e a Z a Y a X a l 23 13 12 2 33 2 22 2 11 34 33 23 13 24 23 22 12 14 13 12 11 2 2 2 + ++ + + + + + + + + + + + + + + − = WNIOSKI I PODSUMOWANIE

Modyfikacja dotychczas stosowanego algorytmu korzystnie wp ywa na otrzymane wyniki i ich ocen dok adno ci. Praktyczn weryfikacj opracowane-go alopracowane-gorytmu wyznaczania d uopracowane-go ci stycznej do powierzchni stopnia drugieopracowane-go przeprowadzono wykonuj c obliczenia dla obiektów rzeczywistych i modelo-wych. Zastosowano równie metod wci sto komodelo-wych. Obliczenia potwierdzi y s uszno rozwa a przeprowadzonych w tej pracy. Wybran dokumentacj z przeprowadzonych bada zamieszczono w [Jasi ska , Preweda 2004] oraz [Jasi ska , Preweda 2012].

BIBLIOGRAFIA

Czaja J.: Uogólniona metoda wyznaczania poáoĪenia i ksztaátu budowli obrotowych o powierzchni

stopnia drugiego. Geodezja i Kartografia nr 3, PWN, Warszawa 1984

Goca J.: Zasady prowadzenia geodezyjnych badaĔ hiperboloidalnych cháodni kominowych. ZN AGH, Geodezja, z.61, Kraków 1980

acina P., ygie o W.: Analiza metody wciĊü stoĪkowych wyznaczenia powierzchni cháodni

hiper-boloidalnej. Praca magisterska pod kierunkiem E. Preweda. AGH, Kraków 2001

Jasi ska E., Preweda E.: A Few Comments on Determining the Shapes of Hyperboloid Cooling

Tow-ers by the Means of Ambient Tangents Method. Pó rocznik AGH, T 10, Z.1, Kraków 2004

Jasi ska E., Preweda E.- Aproksymacja Powierzchni Stopnia - Infrastruktura i Ekologia Terenów Wiejskich / Polska Akademia Nauk. Oddzia w Krakowie. Komisja Technicznej Infra-struktury Wsi ; ISSN 1732-5587. – 2012, (w druku)

Preweda E.: System pomiaru, obliczeĔ i wizualizacji zmian geometrycznych obiektów

powáoko-wych o powierzchni stopnia drugiego. Rozprawa doktorska (niepublikowana) AGH,

Dr in . El bieta Jasi ska Dr hab. in . Edward Preweda, prof. AGH Katedra Geomatyki Akademia Górniczo – Hutnicza im. St. Staszica Al. A. Mickiewicza 30 30-059 Kraków e-mail: jasinska@agh.edu.pl preweda@agh.edu.pl