Prosta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego stopnia

(1)

Prosta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego

stopnia

Wykłady z matematyki inżynierskiej, wersja rozszerzona: z rozwiązanymi zadaniami

Prosta, płaszczyzna, powierzchnie drugiego stopnia

JJ, IMiF UTP

16

(2)

stopnia

PŁASZCZYZNA W R

³

Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora n = [A, B, C ]~ i przechodzącej przez punkt P₁(x₁, y₁, z₁):

A(x −x1) +B(y −y1) +C(z −z1) = 0.

~n = [A, B, C ] P₁(x₁, y₁, z₁)

(3)

stopnia

PRZYKŁAD

Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora

~

n = [17, 3, 2020] i przechodzącej przez punkt P₁(1, −5, 0).

ROZWIĄZANIE: Jak wiemy, równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora ~n = [A, B, C ] i przechodzącej przez punkt

P1(x1, y1, z1) ma postać

A(x −x1) +B(y −y1) +C(z −z1) = 0.

Podstawiamy do tego wzoru

A = 17, B = 3, C = 2020, x₁= 1, y₁ = −5, z₁= 0.

Otrzymamy: 17(x −1) +3(y −(−5)) +2020(z −0) = 0, po wymnożeniu: 17x − 17 + 3y + 15 + 2020z = 0, a po zredukowaniu wyrazów podobnych uzyskamy szukane równanie płaszczyzny: 17x + 3y + 2020z − 2 = 0.

(4)

stopnia

Ogólne równanie płaszczyzny

Jak wiemy, równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora i przechodzącej przez zadany punkt ma postać:

A(x − x₁) +B(y − y₁) +C(z − z₁) = 0, Ax +By +Cz−Ax₁− By₁− Cz₁ = 0,

Oczywiście −Ax₁− By₁− Cz₁ to jakaś liczba, oznaczmy ją przezD.

Ogólne równanie płaszczyzny:

Ax +By +Cz +D = 0.

Płaszczyzna ta jest prostopadła do wektora ~n = [A, B, C ].

(5)

stopnia

PRZYKŁAD

Napisz równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora

~

n = [17, 3, 2020] i przechodzącej przez punkt P1(1, −5, 0).

ROZWIĄZANIE: Płaszczyzn prostopadłych do danego wektora jest nieskończenie wiele (tworzą tak zwany plik plaszczyzn). Każda płaszczyzna prostopadła do wektora ~n = [A, B, C ] ma postać Ax +By +Cz +D= 0 (tu Djest dowolne - mamy nieskończenie wiele możliwości).

Nasza płaszczyzna jest więc jedną z płaszczyzn z pliku:

17x +3y +2020z +D= 0.

Musimy jedynie znaleźć właściweD. Zrobimy to uwzględniając, że szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt P₁(1, −5, 0)

(współrzędne tego punktu spełniają równanie płaszczyzny), czyli musi być spełnione równanie:17·1+3·(−5)+2020·0+D= 0.

Po wymnożeniu otrzymamy D= −2.

Podstawiając tę właściwą wartośćDdo równania płaszczyzn z pliku uzyskamy szukaną odpowiedź: 17x +3y +2020z-2 =0.

(6)

stopnia

Odcinkowe równanie płaszczyzny

b c

a

y z

x

Równanie odcinkowe płaszczyzny nierównoległej do żadnej osi układu współrzędnych:

x a +y

b +z c = 1. Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

(7)

stopnia

Odcinkowe równanie płaszczyzny

b c

a

y z

x

x a +y

b +z c = 1.

Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

(8)

stopnia

Odcinkowe równanie płaszczyzny

b c

a

y z

x

x a +y

b +z c = 1.

Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

(9)

stopnia

Odcinkowe równanie płaszczyzny

b c

a

y z

x

x a +y

b +z c = 1.

Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0,b, 0), (0, 0, c).

(10)

stopnia

Odcinkowe równanie płaszczyzny

b c

a

y z

x

x a +y

b +z c = 1.

Płaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0,c).

(11)

stopnia

PRZYKŁAD

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (₁₇², 0, 0), (0,²₃, 0), (0, 0,₁₀₁₀¹ ).

ROZWIĄZANIE.

Podstawiamy do odcinkowego równania płaszczyzny x

a +y b +z

c = 1

wartości a = ₁₇², b = ²₃, c = ₁₀₁₀¹ , otrzymując x

2 17

+ y

2 3

+ z

1 1010

= 1

Po uproszczeniu: ^17x₂ +^3y₂ + 1010z = 1.

Szukana płaszczyzna ma więc równanie 17x + 3y + 2020z − 2 = 0.

(12)

stopnia

PŁASZCZYZNA W R

³

Odległość punktu

P0(x0, y0, z0) od płaszczyzny

Ax + By + Cz + D = 0 wynosi

d = |Ax₀+ By0+ Cz0+ D|

√

A²+ B²+ C² .

PRZYKŁAD. Znajdź odległość punktu P₀(0, 4, 5) od płaszczyzny 2x + y + 2z − 15 = 0.

ROZWIĄZANIE. Po podstawieniu do wzoru uzyskamy:

d = |2 · 0 + 1 · 4 + 2 · 5 − 15|

√

2²+ 1²+ 2² =| − 1|

√ 9 = 1

3.

(13)

stopnia

PROSTA W R

³

Równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P₁(x₁, y₁, z₁) i równoległej do wektora ~k = [a, b, c]:







x =x1+at y =y₁+bt z =z1+ct

, dla t ∈ R.

l P1(x1, y1, z1)

~k = [a, b, c]

(14)

stopnia

PRZYKŁAD

Napisz równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P₁(5, 10, 15) i równoległej do wektora ~k = [4, 3, 1].

ROZWIĄZANIE. Do wzoru







x =x₁+at y =y₁+bt z =z1+ct

, dla t ∈ R podstawiamy wartości

x₁ = 5, x₂ = 10, x₃ = 15, a = 4, b = 3, c = 1 uzyskując szukane rozwiązanie:

l :







x =5+4t y =10+3t

z =15+ t

, dla t ∈ R

(15)

stopnia

PROSTA W R

³

Równanie kierunkowe (kanoniczne) prostej przechodzącej przez punkt P(x1, y1, z1) i równoległej do wektora ~k = [a, b, c]:

x −x₁

a = y −y₁

b = z −z₁ c .

l P₁(x₁, y₁, z₁)

~k = [a, b, c]

(16)

stopnia

PRZYKŁAD

Napisz równanie kierunkowe prostej l przechodzącej przez punkt P₁(5, 10, 15) i równoległej do wektora ~k = [4, 3, 1].

ROZWIĄZANIE. Do wzoru x −x₁

a = y −y₁

b = z −z₁ c . podstawiamy wartości

x1 = 5, y1 = 10, z1= 15, a = 4, b = 3, c = 1 uzyskując szukane rozwiązanie:

l : x −5

4 = y −10

3 = z −15 1 .

(17)

stopnia

Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego

Rozważamy układ dwóch równań liniowych z trzema niewiadomymi:

( A1x + B1y + C1z + D1= 0 A2x + B2y + C2z + D2= 0 .

Jak wiemy, jeśli R(A) 6= R(U), to układ nie ma rozwiązania.

Geometrycznie oznacza to, że płaszczyzna opisanapierwszym równaniemjest równoległa do płaszczyzny opisanej drugim równaniem.

(18)

stopnia

Przypomnienie twierdzenia Kroneckera-Capelliego

Jeśli R(A) = R(U) = 1 < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów.

Geometrycznie oznacza to, że płaszczyzna opisanapierwszym równaniempokrywa się z płaszczyzną opisaną drugim

równaniem.

Jeżeli natomiast R(A) = R(U) = 2 < n = 3, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.

Geometrycznie oznacza to, że płaszczyzna opisanapierwszym równaniemprzecina płaszczyznę opisaną drugim równaniem.

Krawędzią przecięcia jest prosta.

(19)

stopnia

Równanie krawędziowe prostej

l :

( A₁x + B₁y + C₁z + D₁= 0 A2x + B2y + C2z + D2= 0 ;

(płaszczyzny opisane tymi równaniami nie są równoległe).

l

(20)

stopnia

ZADANIE 1.

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punktP(1, 2, 3)i prostopadłej do płaszczyzny 2x + 3y + 4z + 1 = 0.

P ~n=~k

(21)

stopnia

ZADANIE 1.

P

~ n=~k

(22)

stopnia

ZADANIE 1.

P n~

~ n=~k

(23)

stopnia

ZADANIE 1.

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punktP(1, 2, 3)i prostopadłej do płaszczyzny 2x +3y +4z + 1 = 0.

P ~n=~k

Szukane równanie prostej: x −1

2 = y −2

3 = z −3 4 .

(24)

stopnia

ZADANIE 1.

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punktP(1, 2, 3)i prostopadłej do płaszczyzny 2x +3y +4z + 1 = 0.

P ~n=~k

Szukane równanie prostej:

x −1

2 = y −2

3 = z −3 4 .

(25)

stopnia

ZADANIE 2.

Dla jakiej wartości parametru µ prosta ^{x −2}₃ = ^{y +4}₂ = ^z−123₄ jest równoległa do płaszczyzny −2x + µy + z + 321 = 0?

~ n

~k

(26)

stopnia

ZADANIE 2.

~ n

~k

(27)

stopnia

ZADANIE 2.

n~

~k

(28)

stopnia

ZADANIE 2.

~ n

~k

Płaszczyzna i prosta będą równoległe, gdy ~k ⊥ ~n. Jest to równoważne warunkowi ~k ◦ ~n = 0. Stąd otrzymamy:

[3, 2, 4] ◦ [−2, µ, 1] = 0 ⇔ −6 + 2µ + 4 = 0 ⇔ µ = 1.

(29)

stopnia

Kwadryki

Powierzchnia drugiego stopnia to zbiór punktów (x , y , z) opisanych równaniem:

A₁x²+A₂y²+A₃z²+A₄xy +A₅xz+A₆yz+A₇x +A₈y +A₉z+A = 0, gdzie przynajmniej jedna ze stałych A₁, . . . , A₆ jest różna od zera.

TWIERDZENIE. Każdą powierzchnię drugiego stopnia można tak przesunąć i obrócić by przyjęła jedną z następujących postaci:

x²

a² +^y_b²2 +^z_c²2 = 1 (elipsoida),

x²

a² +^y_b²2 +^z_c²2 = 0 (punkt),

(30)

stopnia

Powierzchnie drugiego stopnia

x²

a² +^y_b²2 +^z_c²2 = −1 (zbiór pusty),

x²

a² +^y_b²2 −^z_c²₂ = 1 (hiperboloida jednopowłokowa),

x²

a² −^y_b²₂ −^z_c²₂ = 1 (hiperboloida dwupowłokowa),

x²

a² +^y_b²2 −^z_c²₂ = 0 (stożek),

x²

a² +^y_b²2 = z (paraboloida eliptyczna),

x²

a² −^y_b²₂ = z (paraboloida hiperboliczna),

x²

a² +^y_b²2 = 1 (walec eliptyczny),

x²

a² −^y_b²₂ = 1 (walec hiperboliczny),

(31)

stopnia

Powierzchnie drugiego stopnia

x²

a² +^y_b²2 = 1 (walec eliptyczny),

x²

a² −^y_b²₂ = 1 (walec hiperboliczny),

x²

a² +^y_b²2 = −1 (zbiór pusty),

x²

a² +^y_b²2 = 0 (prosta),

x²

a² −^y_b²2 = 0 (dwie płaszczyzny),

x²

a² = y (walec paraboliczny),

x²

a² = 1 (dwie płaszczyzny równoległe),

x²

a² = 0 (płaszczyzna),

x²

a² = −1 (zbiór pusty).

Zwykle rysunki pojawiały się na tablicy, tym razem proszę zerknąć do Internetu, na przykład na stronę:

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka

Zaprezentuję jedynie trzy wykresy powierzchni, które będą służyły za przykład ilustrujący istnienie, czy brak ekstremum lokalnego.

(32)

stopnia

PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię

z = x

²

+ y

²

dla −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6 8

x y

z

2 4 6 8 f (x , y )

(33)

stopnia

PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię

z = 4 − x

²

− y

²

dla −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2

−4

−2 0 2

x y

z

−4

−2 0 2 f (x , y )

(34)

stopnia

PRZYKŁAD. Naszkicuj powierzchnię

z = 4 + x

²

− y

²

dla −2 ¬ x ¬ 2, −2 ¬ y ¬ 2.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1 0 1 2 2 4 6

x y

z

0 2 4 6 8 f (x , y )