Splątanie dwóch atomów indukowane ściśniętą próżnią (pdf)

Seminarium

z informatyki kwantowej

Splątanie dwóch atomów

indukowane ściśniętą

próżnią

Spis treści 1 Miary splątania 5 1.1 Concurrence . . . 5 1.2 Negativity . . . 6 2 Macierz gęstości 7 2.1 Baza obliczeniowa . . . 7 2.2 Baza Bella . . . 13 3 Ewolucja dwóch atomów 18

3.1 Równanie „master” (ściśnięta próżnia) . . . 19

3.2 Parametry kolektywne . . . 20

3.3 Stany kolektywne . . . 25

4.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂) . . . 26

4.2 Nieidentyczne atomy ( ∆  Γ, Γ₁ = Γ₂ = Γ ) . 29

5 Stacjonarne splątanie dwóch atomów 32

5.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂) . . . 32

5.2 Nieidentyczne atomy (∆  Γ, Γ₁ = Γ₂ = Γ) . . . 35

6 Jak blisko stanów Bella? 39

1 Miary splątania 1.1 Concurrence

1 Miary splątania 1.1 Concurrence

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄

1 Miary splątania 1.1 Concurrence

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄

{λ_i} — wartości własne macierzy R

R = ρ ˜ρ ˜

1 Miary splątania 1.1 Concurrence

W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄

{λ_i} — wartości własne macierzy R

R = ρ ˜ρ ˜

ρ = σ_y ⊗ σ_y ρ∗ σ_y ⊗ σ_y

1.2 Negativity

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

1.2 Negativity

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości własne częściowo transponowanej macierzy

1.2 Negativity

A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996)

M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

N = max  0, −2 X i ν_i  

{ν_i} — ujemne wartości własne częściowo transponowanej macierzy

gęstości ρT1

2 Macierz gęstości

|g

i

|e

i

|e

i

|g

i

ω

ω

2.1 Baza obliczeniowa

|1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i

2.1 Baza obliczeniowa |1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i ρ =         ρ₁₁ ρ₁₂ 0 0 ρ₂₁ ρ₂₂ 0 0 0 0 ρ₃₃ ρ₃₄ 0 0 ρ ρ        

2.1.1 Concurrence

R = ρ ˜ρ ˜

2.1.1 Concurrence R = ρ ˜ρ ˜ ρ = σ_y ⊗ σ_y ρ∗ σ_y ⊗ σ_y ˜ ρ =         ρ₂₂ ρ₁₂ 0 0 ρ21 ρ11 0 0 0 0 ρ₄₄ ρ₃₄ 0 0 ρ ρ        

2.1.1 Concurrence R = ρ ˜ρ ˜ ρ = σ_y ⊗ σ_y ρ∗ σ_y ⊗ σ_y ˜ ρ =         ρ₂₂ ρ₁₂ 0 0 ρ21 ρ11 0 0 0 0 ρ₄₄ ρ₃₄ 0 0 ρ₄₃ ρ₃₃         np λ_i o = √ρ11ρ22 − |ρ12|, √ ρ11ρ22 + |ρ12|, √ ρ₃₃ρ₄₄ − |ρ₃₄|, √ρ₃₃ρ₄₄ + |ρ₃₄|

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄ np λ_io = √ρ₁₁ρ₂₂ − |ρ₁₂|, √ρ₁₁ρ₂₂ + |ρ₁₂|, √ ρ33ρ44 − |ρ34|, √ ρ33ρ44 + |ρ34|

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄ np λ_io = √ρ₁₁ρ₂₂ − |ρ₁₂|, √ρ₁₁ρ₂₂ + |ρ₁₂|, √ ρ33ρ44 − |ρ34|, √ ρ33ρ44 + |ρ34| C = max {0, C , C }

C = max 0, pλ₁ − pλ₂ − pλ₃ − pλ₄ np λ_io = √ρ₁₁ρ₂₂ − |ρ₁₂|, √ρ₁₁ρ₂₂ + |ρ₁₂|, √ ρ33ρ44 − |ρ34|, √ ρ33ρ44 + |ρ34| C = max {0, C₁, C2} C₁ = 2 (|ρ₁₂| − √ρ₃₃ρ₄₄ ) C₂ = 2 (|ρ₃₄| − √ρ₁₁ρ₂₂ )

2.1.2 Negativity ρT1 ₌         ρ₁₁ ρ₄₃ 0 0 ρ₃₄ ρ₂₂ 0 0 0 0 ρ33 ρ21 0 0 ρ₁₂ ρ₄₄        

2.1.2 Negativity ρT1 ₌         ρ₁₁ ρ₄₃ 0 0 ρ₃₄ ρ₂₂ 0 0 0 0 ρ33 ρ21 0 0 ρ₁₂ ρ₄₄         {ν_i} =  1 2  ρ₁₁ + ρ₂₂ ± p(ρ₁₁ + ρ₂₂)2 + 4 (|ρ₃₄|2 _{− ρ} 11ρ22)  , 1 2  ρ₃₃ + ρ₄₄ ± p(ρ₃₃ + ρ₄₄)2 + 4 (|ρ₁₂|2 − ρ₃₃ρ₄₄) 

N = max n0, p4 (|ρ12|2 − ρ33ρ44) + (ρ33 + ρ44)2 − (ρ33 + ρ44),

p

4 (|ρ₃₄|2 _{− ρ}

11ρ22) + (ρ11 + ρ22)2 − (ρ11 + ρ22) o

N = max n0, p4 (|ρ12|2 − ρ33ρ44) + (ρ33 + ρ44)2 − (ρ33 + ρ44), p 4 (|ρ₃₄|2 _{− ρ} 11ρ22) + (ρ11 + ρ22)2 − (ρ11 + ρ22) o = max  0, q C₁ C₁+ + (ρ₃₃ + ρ₄₄)2 − (ρ₃₃ + ρ₄₄) , q C₂ C₂+ + (ρ₁₁ + ρ₂₂)2 − (ρ₁₁ + ρ₂₂) 

N = max n0, p4 (|ρ12|2 − ρ33ρ44) + (ρ33 + ρ44)2 − (ρ33 + ρ44), p 4 (|ρ₃₄|2 _{− ρ} 11ρ22) + (ρ11 + ρ22)2 − (ρ11 + ρ22) o = max  0, q C₁ C₁+ + (ρ₃₃ + ρ₄₄)2 − (ρ₃₃ + ρ₄₄) , q C₂ C₂+ + (ρ₁₁ + ρ₂₂)2 − (ρ₁₁ + ρ₂₂)  C₁+ = 2 (|ρ12| + √ ρ33ρ44 ) C+ = 2 (|ρ₃₄| + √ρ₁₁ρ₂₂ )

2.2 Baza Bella |Φ+i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i + |g1i ⊗ |g2i
= |1 0_{i = √}1 2 |2i + |1i

2.2 Baza Bella |Φ+i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i + |g1i ⊗ |g2i
= |1 0_{i = √}1 2 |2i + |1i
|Φ−i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i − |g1i ⊗ |g2i
= |2 0_{i = √}1 2 |2i − |1i

2.2 Baza Bella |Φ+i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i + |g1i ⊗ |g2i
= |1 0_{i = √}1 2 |2i + |1i
|Φ−i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i − |g1i ⊗ |g2i
= |2 0_{i = √}1 2 |2i − |1i
|Ψ+i = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i
= |3 0_{i = √}1 2 |4i + |3i

2.2 Baza Bella |Φ+i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i + |g1i ⊗ |g2i
= |1 0_{i = √}1 2 |2i + |1i
|Φ−i = √1 2 |e1i ⊗ |e2i − |g1i ⊗ |g2i
= |2 0_{i = √}1 2 |2i − |1i
|Ψ+i = √1 2 |e1i ⊗ |g2i + |g1i ⊗ |e2i
= |3 0_{i = √}1 2 |4i + |3i
|Ψ−i = √1 2 |e1i ⊗ |g2i − |g1i ⊗ |e2i
= |4 0_{i = √}1 2 |4i − |3i

2.2.1 Transformacja do bazy Bella

2.2.1 Transformacja do bazy Bella ρ0 = U ρU+ U = √1 2         1 1 0 0 −1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 −1 1        

2.2.2 Macierz gęstości w bazie Bella ρ₁0₁0 = 1 2 ρ11 + ρ22 + (ρ12 + ρ21)  ρ₂0₂0 = 1 2 ρ11 + ρ22 − (ρ12 + ρ21)  ρ₁0₂0 = −1 2 ρ11 − ρ22 + (ρ12 − ρ21)  ρ₂0₁0 = −1 2 ρ11 − ρ22 − (ρ12 − ρ21)  ρ₃0₃0 = 1 2 ρ33 + ρ44 + (ρ34 + ρ43)  ρ₄0₄0 = 1 2 ρ33 + ρ44 − (ρ34 + ρ43)  ρ₃0₄0 = −1 2 ρ33 − ρ44 + (ρ34 − ρ43)  ρ₄0₃0 = −1 2 ρ33 − ρ44 − (ρ34 − ρ43) 

2.2.3 Concurrence

C₁ = p(ρ₁0₁0 − ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₂0 − ρ₂0₁0)2

2.2.3 Concurrence

C₁ = p(ρ₁0₁0 − ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₂0 − ρ₂0₁0)2

−p(ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 + ρ₄0₃0)2

C₂ = p(ρ₃0₃0 − ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 − ρ₄0₃0)2

2.2.3 Concurrence C₁ = p(ρ₁0₁0 − ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₂0 − ρ₂0₁0)2 −p(ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 + ρ₄0₃0)2 C₂ = p(ρ₃0₃0 − ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 − ρ₄0₃0)2 −p(ρ₁0₁0 + ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₂0 + ρ₂0₁0)2 C = max {0, C , C }

2.2.4 Negativity N = max  0, q C₁ C₁+ + (ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0) , q C₂ C₂+ + (ρ₁0₁0 + ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₁0 + ρ₂0₂0) 

2.2.4 Negativity N = max  0, q C₁ C₁+ + (ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0) , q C₂ C₂+ + (ρ₁0₁0 + ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₁0 + ρ₂0₂0)  C₁+ = p(ρ₁0₁0 − ρ₂0₂0)2 − (ρ₁0₂0 − ρ₂0₁0)2 +p(ρ₃0₃0 + ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 + ρ₄0₃0)2 C₂+ = p(ρ₃0₃0 − ρ₄0₄0)2 − (ρ₃0₄0 − ρ₄0₃0)2 +p(ρ 0 0 + ρ 0 0)2 − (ρ 0 0 + ρ 0 0)2

3 Ewolucja dwóch atomów

D

D

E

•

•

_r

µ

µ

Geometria układu: µ1, µ2 — momenty dipolowe przejść atomowych, r12

3.1 Równanie „master” (ściśnięta próżnia) ∂ρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ρ i − 1 2 2 X i,j=1 Γ_ij (1 )  ρS_i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2S_j−ρS_i+ 

3.1 Równanie „master” (ściśnięta próżnia) ∂ρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ρ i − 1 2 2 X i,j=1 Γ_ij (1 + N)  ρS_i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2S_j−ρS_i+  −1 2 2 X i,j=1 Γ_ijN  ρS_i−S_j+ + S_i−S_j+ρ − 2S_j+ρS_i− 

3.1 Równanie „master” (ściśnięta próżnia) ∂ρ ∂t = − i 2 X i=1 ω_i [S_iz, ρ] − i 2 X i6=j Ω_ij h S_i+S_j−, ρ i − 1 2 2 X i,j=1 Γ_ij (1 + N)  ρS_i+S_j− + S_i+S_j−ρ − 2S_j−ρS_i+  −1 2 2 X i,j=1 Γ_ijN  ρS_i−S_j+ + S_i−S_j+ρ − 2S_j+ρS_i−  + 1 2 2 X i,j=1 Γ_ijM ρS_i+S_j+ + S_i+S_j+ρ − 2S_j+ρS_i+ e−2iωst + 1 2 2 X Γ_ijM∗ ρS_i−S_j− + S_i−S_j−ρ − 2S_j−ρS_i− e2iωst

3.2 Parametry kolektywne Tłumienie kolektywne: Γ_ij = Γ_ji =3 2pΓiΓj ( h 1 − ˆµ · ˆr_ij
2 i sin k₀r_ij
k₀r_ij + h1 − 3 ˆµ · ˆr_ij
2i   cos k₀r_ij
k₀r_ij
2 − sin k0rij
k₀r_ij
3       

3.2 Parametry kolektywne Tłumienie kolektywne: Γ_ij = Γ_ji =3 2pΓiΓj ( h 1 − ˆµ · ˆr_ij
2 i sin k₀r_ij
k₀r_ij + h1 − 3 ˆµ · ˆr_ij
2i   cos k₀r_ij
k₀r_ij
2 − sin k0rij
k₀r_ij
3        Dla k₀r_ij → 0 mamy: Γ_ij = Γ_ji =pΓ_iΓ_j Γ_i ≡ Γ_ii = ω 3 i µ2i 3πε ¯hc3

Kolektywne przesunięcie poziomów (oddziaływanie dipol-dipol): Ω_ij =3 4Γ ( − h1 − ˆµ · ˆr_ij
2 i cos k₀r_ij
k₀r_ij + h1 − 3 ˆµ · ˆr_ij
2i   sin k₀r_ij
k₀r_ij
2 + cos k0rij
k₀r_ij
3       

Kolektywne przesunięcie poziomów (oddziaływanie dipol-dipol): Ω_ij =3 4Γ ( − h1 − ˆµ · ˆr_ij
2 i cos k₀r_ij
k₀r_ij + h1 − 3 ˆµ · ˆr_ij
2i   sin k₀r_ij
k₀r_ij
2 + cos k0rij
k₀r_ij
3        Dla k0rij  1 mamy: Ω_ij ≈3 4 pΓ_iΓ_j (k₀r )3 h 1 − 3( ˆµ · ˆr_ij)2 i

|g₁i

|e₁i |e₂i

|g₂i

ω₁ ω₂

.

|g₁i

|e₁i |e₂i

|g₂i

ω₁ ω₂ Ω12

.

|g1i |e1i |e2i |g2i ω1 ω2 ω0 ω0 |ei |gi |si Ω12 Ω12 Ω12 |ai .

3.3 Stany kolektywne

|1i = |g₁i ⊗ |g₂i

|2i = |e₁i ⊗ |e₂i

|3i = |g₁i ⊗ |e₂i

3.3 Stany kolektywne |1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i |gi = |1i |ei = |2i |si = √1 2 |3i + |4i
|ai = √1 2 |4i − |3i

3.3 Stany kolektywne |1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i |gi = |1i |ei = |2i |si = √1 2 |3i + |4i
|ai = √1 2 |4i − |3i
E_g = − ¯hω₀ Ee = ¯hω0 E_s = ¯hΩ₁₂ Ea = − ¯hΩ12

3.3 Stany kolektywne |1i = |g₁i ⊗ |g₂i |2i = |e₁i ⊗ |e₂i |3i = |g₁i ⊗ |e₂i |4i = |e₁i ⊗ |g₂i |gi = |1i |ei = |2i |si = √1 2 |3i + |4i
|ai = √1 2 |4i − |3i
E_g = − ¯hω₀ Ee = ¯hω0 E_s = ¯hΩ₁₂ Ea = − ¯hΩ12 ω₀ = 1 2(ω1 + ω2) ∆ = 1 2(ω2 − ω1)

4 Ewolucja w stanach kolektywnych 4.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂) ˙ ρ_ee = − 2Γ (N + 1) ρ_ee + N (Γ + Γ₁₂) ρ_ss + (Γ − Γ₁₂) ρ_aa + Γ₁₂|M|ρu ˙ ρss = (Γ + Γ12) N − (3N + 1) ρss − N ρaa + ρee − |M|ρu ˙ ρaa = (Γ − Γ12) N − (3N + 1) ρaa − N ρss + ρee + |M|ρu ˙ ρ_u =2Γ₁₂|M| − (2N + 1) Γρ_u − 2|M| (Γ + 2Γ₁₂) ρ_ss − (Γ − 2Γ ) ρ 

4 Ewolucja w stanach kolektywnych 4.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂) ˙ ρ_ee = − 2Γ (N + 1) ρ_ee + N (Γ + Γ₁₂) ρ_ss + (Γ − Γ₁₂) ρ_aa + Γ₁₂|M|ρu ˙ ρss = (Γ + Γ12) N − (3N + 1) ρss − N ρaa + ρee − |M|ρu ˙ ρaa = (Γ − Γ12) N − (3N + 1) ρaa − N ρss + ρee + |M|ρu ˙ ρ_u =2Γ₁₂|M| − (2N + 1) Γρ_u − 2|M| (Γ + 2Γ₁₂) ρ_ss − (Γ − 2Γ₁₂) ρ_aa ρu =ρeg exp(−iφs) + ρge exp(iφs) M =|M| exp (iφ_s)

4.1.1 Rozwiązania stacjonarne (Γ12 6= Γ ) ρ_ee = N 2 _{(2N + 1)}2 _{− 4|M |}2_{ + |M |}2_γ2 12 (2N + 1)4 − 4|M |2 (2N + 1)2 − γ₁₂2  ρss = N (N + 1) (2N + 1)2 − 4|M |2 + |M |2γ₁₂(γ₁₂ − 2) (2N + 1)4 − 4|M |2 _{(2N + 1)}2 _{− γ}2 12  ρ_aa =N (N + 1) (2N + 1) 2 _{− 4|M |}2_{ + |M |}2_γ 12(γ12 + 2) (2N + 1)4 − 4|M |2 (2N + 1)2 − γ₁₂2  ρu = 2 (2N + 1) |M|γ₁₂ (2N + 1)4 − 4|M |2 _{(2N + 1)}2 _{− γ}2 12  γ =Γ /Γ

4.1.2 Maksymalny „squeezing” (|M | = pN(N + 1)) ρ_ee = N 2 _{+ N (N + 1) γ}2 12 1 + 4 N (N + 1)(1 + γ₁₂2 ) ρ_ss = N (N + 1)(1 − γ12) 2 1 + 4 N (N + 1)(1 + γ₁₂2 ) ρ_aa = N (N + 1)(1 + γ12) 2 1 + 4 N (N + 1)(1 + γ₁₂2 ) , ρu = 2 pN(N + 1) (2N + 1) γ₁₂ 1 + 4 N (N + 1)(1 + γ₁₂2 )

4.2 Nieidentyczne atomy ( ∆  Γ, Γ1 = Γ2 = Γ ) Przybliżenie sekularne: ˙ ρee = − 2Γ (N + 1) ρee + NΓ (ρss + ρaa) + Γ12|M|ρu ˙ ρss =Γ N − (3N + 1) ρss − N ρaa + ρee − Γ12|M|ρu ˙ ρ_aa =Γ N − (3N + 1) ρ_aa − N ρ_ss + ρ_ee − Γ₁₂|M|ρ_u ˙ ρ_u =2Γ₁₂|M| − (2N + 1) Γρ_u − 4Γ₁₂|M| (ρ_ss + ρ_aa)

4.2 Nieidentyczne atomy ( ∆  Γ, Γ1 = Γ2 = Γ ) Przybliżenie sekularne: ˙ ρee = − 2Γ (N + 1) ρee + NΓ (ρss + ρaa) + Γ12|M|ρu ˙ ρss =Γ N − (3N + 1) ρss − N ρaa + ρee − Γ12|M|ρu ˙ ρ_aa =Γ N − (3N + 1) ρ_aa − N ρ_ss + ρ_ee − Γ₁₂|M|ρ_u ˙ ρ_u =2Γ₁₂|M| − (2N + 1) Γρ_u − 4Γ₁₂|M| (ρ_ss + ρ_aa) ρ_u =ρ_eg exp(−iφ_s) + ρ_ge exp(iφ_s) M =|M| exp (iφ_s)

4.2.1 Rozwiązania stacjonarne ρ_ee =1 4      (2N − 1) 2N + 1 + 1 h (2N + 1)2 − 4|M |2 γ₁₂2 i      ρ_ss = ρ_aa =1 4      1 − _h 1 (2N + 1)2 − 4|M |2 γ₁₂2 i      ρu = 2|M| γ₁₂ (2N + 1) h (2N + 1)2 − 4|M |2 _γ2 i

4.2.2 Maksymalny „squeezing” (|M | = pN(N + 1)) ρ_ee =1 4 ( 2N − 1 2N + 1 + 1 1 + 4N (N + 1)(1 − γ₁₂2 ) ) ρ_ss = ρ_aa = N (N + 1)(1 − γ 2 12) 1 + 4N (N + 1)(1 − γ₁₂2 ) ρu = 2pN(N + 1) γ₁₂ (2N + 1)[1 + 4N (N + 1)(1 − γ₁₂2 )]

5 Stacjonarne splątanie dwóch atomów 5.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂)

5 Stacjonarne splątanie dwóch atomów 5.1 Identyczne atomy (∆ = 0, ω₁ = ω₂) C(t) = max 0, C₁(t) C₁ =|ρu| − (ρss + ρaa) =2 ( (2N + 1)|M | γ₁₂ − |M |2γ₁₂2 (2N + 1)4 − 4|M |2 (2N + 1)2 − γ₁₂2  − N (N + 1) (2N + 1) 2 _{− 4|M |}2 (2N + 1)4 − 4|M |2 _{(2N + 1)}2 _{− γ}2 12  )

5.1.1 Maksymalny „squeezing” (|M | = pN(N + 1))

C₁ =2 pN (N + 1) (2N + 1) γ12 − pN(N + 1) (1 + γ

2 12)

5.1.1 Maksymalny „squeezing” (|M | = pN(N + 1)) C₁ =2 pN (N + 1) (2N + 1) γ12 − pN(N + 1) (1 + γ 2 12) 1 + 4 N (N + 1)(1 + γ₁₂2 ) γ₁₂ = γ₂₁ =3 2  h 1 − ( ˆµ · ˆr₁₂)2 i sin (k₀r₁₂) k₀r₁₂ + h 1 − 3 ( ˆµ · ˆr₁₂)2 i " cos (k0r12) (k₀r₁₂)2 − sin (k0r12) (k₀r₁₂)3 #   γ₁₂ →1 dla r₁₂  λ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 N r 12/λ Concurrence

5.2 Nieidentyczne atomy (∆  Γ, Γ1 = Γ2 = Γ)

5.2 Nieidentyczne atomy (∆  Γ, Γ1 = Γ2 = Γ) C(t) = max 0, C₁(t) C₁ =|ρ_u| − (ρ_ss + ρ_aa) = 2|M||γ12| (2N + 1) h (2N + 1)2 − 4|M |2 γ₁₂2 i − 1 2 ( 1 − 1 (2N + 1)2 − 4|M |2 _γ2 )

5.2.1 Maksymalny „squeezing” (|M | = pN(N + 1)) C₁ =2 pN (N + 1) γ12 − (2N + 1)pN(N + 1) (1 − γ 2 12) (2N + 1)[1 + 4N (N + 1)(1 − γ₁₂2 )] r₁₂/λ 1 ⇒ γ₁₂ ≈ 1 C₁ = 2 pN(N + 1) 2N + 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 N r 12/λ Concurrence

0 10 20 30 40 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ∆/Γ Concurrence

Rys. 3: C₁ (ciągła), populacje ρ_ss + ρ_aa (kreski), i populacje ρ_gg + ρ_ee

(kreski-kropki) jako funkcja ∆ dla r₁₂/λ = 0.05 i N = 0.1 przy

6 Jak blisko stanów Bella? |Φ+i = √1 2 |gi + |ei
|Φ−i = − √1 2 |gi − |ei

6 Jak blisko stanów Bella? |Φ+i = √1 2 |gi + |ei
|Φ−i = − √1 2 |gi − |ei
F+ =hΦ+|ρ|Φ+i = 1 2 ρgg + ρee + ρu
F₋ =hΦ−|ρ|Φ−i = 1 2 ρgg + ρee − ρu

0 0.5 1 1.5 2 0.4 0.6 0.8 1 N Purity

Rys. 4: Purity P = Tr(ρ2) jako funkcja N dla r12/λ = 0.05 przy

|M | = pN(N + 1): identyczne atomy (ciągła), nieidentyczne

0 0.5 1 1.5 2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N Fidelity

Rys. 5: Fidelity F₊ jako funcja N dla r₁₂/λ = 0.05 przy

|M | = pN(N + 1): identyczne atomy (ciągla), nieidentyczne

7 Nasze prace

• Z. Ficek, R. Tanaś

Correlated superposition states in two-atom systems

in Modern Nonlinear Optics, Part I, ed. M. Evans (Wiley, New York,

2001) vol 119 of Advances in Chemical Physics, pp. 215-266

• Z. Ficek, R. Tanaś

Entangled states and collective nonclassical effects in two-atom systems

Physics Reports 372, 369 (2002)

• Z. Ficek, R. Tanaś

Entanglement induced by spontaneous emission in spatially extended two-atom systems

J. Mod. Opt. 50, 2765 (2003)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Fortschr. Phys. 51, 230 (2003)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Entangling two atoms via spontaneous emission

J. Opt. B 6, S90 (2004)

• R. Tanaś, Z. Ficek

Stationary two-atom entanglement induced by nonclassical two-photon correlations

J. Opt. B 6, S610 (2004)

Dostępne na: http: