8.3. Zwiazki midzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kta.pdf 

8. 3. ZWIĄZKI MIĘDZY FUNKCJAMI TRYGONOMETRYCZNYMI TEGO SAMEGO KĄTA

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta a) jedynka trygonometryczna sin2α +cos2α =1

b) α α α cos sin = tg , cosα ≠0 c) αα α sin cos = ctg , sinα ≠0 d)

α

α

ctg tg = 1 , sinα ≠0,cosα ≠0 e) α α tg ctg = 1 , sinα ≠0,cosα ≠0

Przykład 8.3.1. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc, Ŝe a) = ; ∈

(

0°,90°

)

5 4 sinα α Rozwiązanie Komentarz 1 cos sin2α + 2α = 1 cos 5 4 2_{+ 2 =}      

α

1 cos 25 16 ₊ 2_{α =} 25 16 1 cos2α = − 25 16 25 25 cos2α = − 25 9 cos2α = 5 3 cosα = Korzystając ze wzoru 1 cos

sin2α + 2α = , obliczamy cos

α

α α α cos sin = tg 3 4 3 5 5 4 5 3 5 4 = ⋅ = =

α

tg Korzystając ze wzoru α α α cos sin = tg ,obliczamy tgα α α tg ctg = 1 4 3 3 4 1 = =

α

ctg Korzystając ze wzoru α α tg ctg = 1 obliczamy ctgα

b) tg

α

=2;

α

∈

(

0°,90°

)

Rozwiązanie Komentarz α α α cos sin = tg 1 cos sin2α + 2α =      = + ⋅ = 1 cos sin cos / cos sin 2 2 2

_α

_α

α

α

α

    = + = 1 cos sin sin cos 2 2 2

_α

_α

α

α

(

)

    = + = 1 cos cos 2 cos 2 sin 2 2

_α

α

α

α

    = + = 1 cos cos 4 cos 2 sin 2 2

_α

_α

α

α

    = = 5 : / 1 cos 5 cos 2 sin 2

_α

α

α

    = = 5 1 cos cos 2 sin 2

_α

α

α

     = ⋅ ⋅ = = = = 5 5 5 5 5 1 5 1 5 1 cos cos 2 sin

α

α

α

       = = ⋅ = 5 5 cos 5 5 2 5 5 2 sin

α

α

       = = 5 5 cos 5 5 2 sin

α

α

Wykorzystując wzory 1 cos sin2

α

+ 2

α

= i

α

α

α

cos sin = tg , budujemy układ równań z niewiadomymi

α sin i cos

α

α

α

tg ctg = 1 2 1 =

α

ctg Korzystając ze wzoru

α

α

tg ctg = 1 obliczamy ctgα

Przykład 8.3.2.Wiedząc, Ŝe sin2α −2cos2α =−1 oblicz tgα . Rozwiązanie Komentarz     − = − = + 1 cos 2 sin 1 cos sin 2 2 2 2

α

α

α

α

    − = − − = 1 cos 2 sin cos 1 sin 2 2 2 2

α

α

α

α

    − = − − − = 1 cos 2 cos 1 cos 1 sin 2 2 2 2

α

α

α

α

( )

    − − = − − = 3 : / 2 cos 3 cos 1 sin 2 2 2

α

α

α

     = − = 3 2 cos cos 1 sin 2 2 2

α

α

α

      = − = 3 2 cos 3 2 1 sin 2 2

α

α

      = = 3 2 cos 3 1 sin 2 2

α

α

       = = 3 2 cos 3 1 sin

α

α

Wykorzystując wzór 1 cos sin2

α

+ 2

α

= i podane w zdaniu

równaniesin2

α

−2cos2

α

=−1, budujemy układ równań z

niewiadomymi α sin i cos

α

α α α cos sin = tg 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 3 2 3 1 = ⋅ ⋅ = = = ⋅ = = α tg Wykorzystując wzór α α α cos sin = tg , obliczamy tgα

Przykład 8.3.3. Oblicz wartość wyraŜenia ° ° ⋅ ° 40 cos 40 40 sin ctg

Ć

_WICZENIA

Ćwiczenie 8.3.1. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc,Ŝe:

a) (3pkt.) = ; ∈

(

0°,90°

)

3 2 cosα α schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów

1 Podanie wartości sinα ₁

2 Podanie wartościtgα 1 3 Podanie wartościctgα 1 b) (3pkt.) ctg

α

=3;

α

∈

(

0°,90°

)

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wartościtgα 1

2 Podanie wartości sinα ₁

3 Podanie wartości cos

α

1

Rozwiązanie Komentarz ° ° ⋅ ° 40 cos 40 40 sin ctg = = ⋅ ° ° ° 40 40 cos 40 sin ctg =

Podane wyraŜenie zapisujemy w postaci iloczynu dwóch wyraŜeń. =tg40°⋅ctg40°= Wykorzystujemy wzór α α α cos sin = tg , = ⋅ ° ° 40 40 1 ctg ctg = 1 Wykorzystujemy wzór tg

α

ctg

α

1 =

Ćwiczenie 8.3.2. (1pkt.)Sinus kąta α jest dwa razy większy od kosinusa tego kąta. Oblicz tangens α. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wartościtgα 1

Ćwiczenie 8.3.3. (4pkt.)Dane są liczby ° ° ⋅ ° = 77 sin 77 77 cos tg a ° ⋅ ° + ° ⋅ °

=cos45 cos254 sin45 sin254

b ° + ⋅ ° =cos10 1 tg210 c

Sprawdź, która z tych liczb jest wymierna. schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wartości liczby a. 1

2 Podanie wartości liczby b. 1

3 Podanie wartości liczby c. 1

4 Wskazanie , która z liczb a, b, c jest liczbą wymierną . 1