Streszczenie
W artykule przedstawiono symulacjĊ zarządzania magazynem firmy handlowej przy wykorzystaniu modelu liniowo-dynamicznego programowania matematycznego. Okresem optymalizacji jest tydzieĔ w miesiącach najwiĊkszego obrotu firmy, zaĞ ce-lem jest maksymalizacja zysku netto. Zmienne sterowania umoĪliwiają przejĞcie od stanu początkowego do koĔcowego grup asortymentowych oraz pozwalają ustaliü efektywne rozmieszczenie towarów w magazynie. Wyniki modelowania moĪna wyko-rzystaü do zmiany organizacji struktury magazynu i planowania zamówieĔ.
Słowa kluczowe: programowanie liniowo-dynamiczne, gospodarka magazynowa 1. Wprowadzenie
Problem optymalnego rozmieszczenia zasobów dotyka wiele przedsibiorstw. Szczególnie małe firmy nie mog dopu ci do zalegania towaru w magazynie czy utraty potencjalnego klienta w przypadku braku poszukiwanego przez niego towaru. Osignicie punktu równowagi, kiedy w obrocie bior udział wszystkie towary magazynowane i adnego nigdy nie brakuje, jest bardzo trudne bez wspomagania zarzdzania przez wła ciwy system. Celem artykułu jest przeprowadze-nie symulacji zarzdzania magazynem za pomoc modelu liniowo-dynamicznego przez firm „Marco Marine” handlujc akcesoriami eglarskimi i sprztem motorowodnym. W programowa-niu liniowo-dynamicznym wystpuj dwa powizane zadania: problem wyznaczenia optymalnego planu rozwoju systemu oraz problem realizacji i sterowania wyznaczonym planem. Model mate-matyczny sterowania składa si z równa dynamiki i ogranicze, kryterium sterowania oraz wek-torów stanów i sterowa zalenych od czasu. Zadaniem liniowych równa dynamiki i ogranicze jest przeprowadzenie obiektu sterowania ze stanu poprzedniego do nastpnego1. Magazynowanie okre lane jest jako ogół czynno ci zwizanych z czasowym gromadzeniem zapasów towarów, składowaniem ich w odpowiednich warunkach oraz przekazywaniem odbiorcom. Poniewa proces dostarczania towaru czsto nie pokrywa si z procesem sprzeday, a proces sprzeday lub produk-cji powinien by cigły, magazynowanie jest niekiedy konieczno ci. Istotne zadania dobrze zor-ganizowanego magazynu to2:
• minimalizacja powtórnych ruchów materiałowych,
• optymalizacja przepływu towarów przez skrócenie tras oraz okresu zalegania w ma-gazynach,
• optymalizacja wykorzystania miejsca składowania towarów,
1
B. Krawiec, Metody optymalizacji w rolnictwie, PWN, Warszawa-ŁódĨ 1991. 2
• planowanie i wykonywanie inwentaryzacji, • optymalizacja planu dostaw.
Gutiérez J. i in. zaproponowali model okre lajcy optymalny plan dostaw z punktu widzenia minimalnych kosztów magazynowania3. Przedstawiony w artykule model bdzie nawizywał do tego podej cia, jednak celem optymalizacji bdzie maksymalizacja zysku, a ograniczenia bd dostosowane do charakteru działalno ci firmy „Marco Marine”.
2. Charakterystyka firmy
Do symulacji sterowania stanem magazynu wykorzystano mał firm handlow z brany e-glarskiej „Marco Marine”, prowadzc działalno w Szczecinie przy ulicy Łady 2. W roku 2009 firma zatrudniała na stałe 3 osoby i oprócz pomieszcze biurowych dysponowała magazynem o powierzchni 90 m2. Była przedstawicielem handlowym na Polsk firmy Tohatsu – producenta silników do łodzi i motorówek oraz prowadziła sprzeda akcesoriów do sportów wodnych kilku-nastu producentów, w tym4:
• Johnson Pump – pompy wodne, • Teleflex – systemy sterowania, • Vitrifrigo – lodówki do łodzi,
• Wallas – kuchenki i systemy ogrzewania, • Tohatsu – silniki do łodzi,
• Watski – artykuły róne.
Magazyn firmy pozwala na wyrónienie czterech rodzajów miejsc do przechowywania towa-rów. Regały przy jednej ze cian posiadaj półki, na których mona składowa akcesoria o red-niej wielko ci i regularnych kształtach. Przeciwna ciana ma zamontowane długie półki przezna-czone do przechowywania lekkich towarów o znacznej długo ci. W innej cz ci magazynu znajdu-j si pojemniki, w których mona umie ci akcesoria drobne o małych gabarytach. Towary naj-cisze lub objto ciowo due s składowane na podłodze magazynu. W dalszych rozwaaniach miejsca te bd rozpatrywane jako: półki (a), długie półki (b), pojemniki (c) i podłoga (d).
Ze wzgldu na gabaryty towaru i zwizane z tym odmienne sposoby jego magazynowania wyróniono 8 grup asortymentowych:
G1 – pompy (Johnson Pump),
G2 – systemy sterowania (Teleflex),
G3 – lodówki (Vitrifrigo),
G4 – kuchenki (Wallas),
G5 – silniki (Tohatsu),
G6 – cz ci do silników (Tohatsu),
G7 – asortyment Watski,
G8 – cigna do systemów sterowania (Teleflex).
3
J. Gutiérez i in., An efficient approach for solving the lot-sizing problem with time-varying storage capacities, European Journal of Operational Research 189, Elsevier 2008: s. 682–693.
4
K. ĝwistelnicki, Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1–46.
Parametry techniczne miejsc składowania towaru oraz jednostek w poszczególnych grupach asortymentowych pozwoliły okre li organizacj magazynu w sensie moliwo ci składowania poszczególnych towarów na rozwaanych miejscach i maksymaln pojemno dla kadej grupy (tabela 1).
Tabela 1. Organizacja magazynu (w sztukach)
Miejsce G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 a 800 b 980 500 10 70 200 100 c 700 300 d 15 80 60 200 Pojemno 980 1200 25 150 60 500 300 800 ródło: Opracowanie własne na podstawie5.
Przyjto, e okresem optymalizacji i sterowania jest tydzie w miesicach najwikszego obro-tu firmy (od marca do maja) oraz załoono, e w chwili pocztkowej (t =0) magazyn jest cz- ciowo wypełniony towarami. Na podstawie danych firmy o sprzeday w latach 2007–2008 w okresie od marca do maja ustalono (Tabela 2) oczekiwane zapotrzebowanie na towary w po-szczególnych grupach asortymentowych oraz oczekiwany zysk jednostkowy (mara firmy).
Tabela 2. MarĪa i zapotrzebowanie
Grupa Zysk jednostkowy [zł] Zapotrzebowanie [szt./tydzie] G1 423 133 G2 169 562 G3 578 6 G4 578 42 G5 5400 11 G6 100 115 G7 20 80 G8 115 207
ródło: Opracowanie własne na podstawie6.
Celem modelowania bdzie wyznaczenie takich stanów magazynowych kadej grupie asor-tymentowej, aby pokry oczekiwane zapotrzebowanie klientów oraz osign moliwie najwik-szy zysk netto (koszty stałe nie s uwzgldnione). Zysk całkowity pozwoli oceni sposób roz-mieszczenia towarów w magazynie przy załoeniu sprzeday towaru zgodnie z oczekiwanym popytem.
5
K. ĝwistelnicki., Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1–46.
6
Archiwalne zestawienia sprzedaĪy firmy „Marco Marine sp. z o.o.”, dokumenty wygenerowane za pomocą aplikacji Optima, 2009.
3. Budowa modelu liniowo-dynamicznego
W modelu wyodrbniono trzy grupy zmiennych decyzyjnych:
1. zmienne mi(0) opisujce stan pocztkowy (t =0) magazynu w ustalonym okresie optymalizacji w sztukach,
2. zmienne sterowania uij(0) dotyczce rozmieszczenia towarów na półkach w sztu-kach,
3. zmienne mi(1) okre lajce stan kocowy (t = ) magazynu w sztukach, 1 gdzie:
{1,...,8}
i ∈ jest wskanikiem grupy towarów Gi, { , , , }
j∈ a b c d to indeks miejsca magazynowego.
Jako rozwizania bdzie oceniana za pomoc funkcji, majcej na celu maksymalizacj łcz-nego oczekiwałcz-nego zysku netto:
(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 423 (1) 169 (1) 578 (1) 578 (1) 5400 (1) 100 (1) 20 (1) 115 (1) max . f m m m m m m m m = + + + + + + + → m (1) W modelu wystpuje 29 zmiennych decyzyjnych, ale ogranicze jest a 43 (nie liczc ograni-cze na całkowitoliczbowo wszystkich zmiennych). Aby ułatwi zrozumienie funkcjonalno ci, ograniczenia zostały podzielone na 6 grup.Na pocztku optymalizacji magazyn nie musi by pusty, zatem zakładamy nastpujcy stan początkowy ilo ci towarów w magazynie [6]:
1 2 3 4 5 6 7 8 (0) 120, (0) 250, (0) 5, (0) 5, (0) 8, (0) 80, (0) 45, (0) 90. m m m m m m m m = = = = = = = = (2)
Tabela 1 zawiera maksymalne wielko ci poszczególnych grup asortymentowych. Umoliwia to ustalenie dolnych (stan pocztkowy) i górnych ogranicze na iloĞü towarów w poszczególnych grupach przy wykorzystaniu zmiennych sterowania:
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 (0) (0) 980, (0) (0) (0) 1200, (0) (0) (0) 25, (0) (0) (0) 150, (0) (0) 60, (0) (0) (0) 500, (0) (0) (0) 300, (0) 800. b b c b d b d d b c b d a m u m u u m u u m u u m u m u u m u u m u ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ (3)
W tabeli 1 zawarte s równie maksymalne pojemno ci poszczególnych miejsc magazyno-wych oraz informacje o dostpno ci tych miejsc dla rozwaanych grup asortymentomagazyno-wych. Kolejne ograniczenia zapobiegaj sytuacji, gdy róne towary składowane na jednym miejscu magazyno-wym przekraczaj jego całkowit pojemnoĞü:
1 2 3 4 5 6 2 6 3 4 5 7 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1, 980 500 10 70 200 100 (0) (0) 1, 700 300 (0) (0) (0) (0) 1. 15 80 60 200 b b b b b b c c d d d d u u u u u u u u u u u u + + + + + ≤ + ≤ + + + ≤ (4)
Z tablicy 2 wynika zapotrzebowanie na poszczególne towary w grupach: 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8 (0) 133, (0) (0) 562, (0) (0) 6, (0) (0) 42, (0) 11, (0) (0) 115, (0) (0) 80, 207. b b c b d b d d b c b d a u u u u u u u u u u u u u ≥ + ≥ + ≥ + ≥ ≥ + ≥ + ≥ ≥ (5)
Konieczne s równie równania bilansujące, pozwalajce zwiza zmienne sterowania z planowanym stanem kocowym magazynu (w chwili t = ) po upływie tygodnia: 1
1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 (1) (0), (1) (0) (0), (1) (0) (0), (1) (0) (0), (1) (0), (1) (0) (0), (1) (0) (0), (1) (0). b b c b d b d d b c b d a m u m u u m u u m u u m u m u u m u u m u = = + = + = + = = + = + = (6)
Z do wiadcze firmy i analizy popytu wynika, e liczba cigien do systemów sterowania nie powinna przekroczy 250 sztuk:
8(1) 250.
m ≤
4. Rozwiązanie modelu i dyskusja wyników
Poniewa rozwaany model jest jednokryterialny, rozwizanie mona uzyska za pomoc dowolnego programu z zaimplementowanym algorytmem simpleks. Wykorzystano dostpny w zasobach sieciowych Wydziału Informatyki ZUT w Szczecinie program PROTASS2, który umo-liwia programowanie w liczbach całkowitych (por. Rys.1). Stany pocztkowe magazynu zostały ustalone przed wła ciw optymalizacj (Tabela 3).
Tabela 3. Stany początkowe magazynu (w sztukach)
Zmienna m1(0) m2(0) m3(0) m4(0) m5(0) m6(0) m7(0) m8(0)
Warto 120 250 5 5 8 80 45 90
ródło: PROTASS2 i opracowania własne.
Warto ci zmiennych sterowania uij(0) okre laj ilo towaru grupy Gi w sztukach do składo-wania w miejscu j (tabela 4).
Rysunek 1. Fragment modelu w programie PROTASS2 ródło: Program PROTASS2 i opracowanie własne.
Tabela 4. Rozkład towaru w magazynie (w sztukach)
Zmienna Warto u1b(0) 146 u2b(0) 130 u2c(0) 434 u3b(0) 0 u3d(0) 6 u4b(0) 41 u4d(0) 1 u5d(0) 11 u6b(0) 1 u6c(0) 114 u7b(0) 0 u7d(0) 80 u8a(0) 250
Zmienne decyzyjne okre lajce stany kocowe magazynu wyznaczaj ilo ci towarów w gru-pach asortymentowych, które powinny znajdowa si w magazynie po upływie tygodnia (Tabela 5).
Tabela 5. Stany koĔcowe magazynu (w sztukach)
Zmienna m1(1) m2(1) m3(1) m4(1) m5(1) m6(1) m7(1) m8(1)
Warto 146 564 6 42 11 115 80 250
ródło: PROTASS2 i opracowanie własne.
aden stan kocowy magazynu nie jest zerowy, co oznacza, e firma bdzie oferowa klien-tom pełen asortyment w ilo ci nie mniejszej ni przewidywane zapotrzebowanie (por. Tabela 2).
Wyznaczone rozwizanie jest optymalne ze wzgldu na zysk netto firmy, który wyniósł 2 860 688 zł (bez kosztów stałych takich jak pensje, czy amortyzacja rodków trwałych), ale za-kładamy przy tym sprzeda całej zawarto ci magazynu w cigu tygodnia.
Firma moe jeszcze lepiej wykorzysta wyniki modelowania wyznaczajc pewne dodatkowe wskaniki. Na podstawie optymalnych stanów kocowych i zadanych stanów pocztkowych mo-na wyzmo-naczy wielko ci zamówie, które firma powinmo-na zrealizowa w okresie tygodnia (Tabela 6).
Tabela 6. Zamówienia firmy (w sztukach)
Grupa towarów G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 Zamówienie 26 314 1 37 3 35 35 160 ródło: Opracowanie własne.
Wszystkie wielko ci zamówie s wiksze od zera, co oznacza, e magazyn nie był wykorzy-stany optymalnie i by moe naley przenie cz towaru w inne miejsca.
Firma moe by zainteresowana informacj na temat stopnia wykorzystania zj, j∈{ , , , }a b c d poszczególnych miejsc magazynowych, co mona obliczy ze wzorów:
8 1 2 3 4 5 6 2 6 3 4 5 7 (0) 100% 800 (0) (0) (0) (0) (0) (0) 100%, 980 500 10 70 200 100 (0) (0) 100%, 700 300 (0) (0) (0) (0) 100%. 15 80 60 200 a a b b b b b b b c c c d d d d d u z u u u u u u z u u z u u u u z = ⋅ § · =¨ + + + + + ¸⋅ © ¹ § · =¨ + ¸⋅ © ¹ § · =¨ + + + ¸⋅ © ¹ (7)
Tabela 7. StopieĔ wykorzystania miejsc magazynowych
Miejsce magazynowe a b c d
Zajto zj 31,25% 99,97% 100% 99,58%
ródło: Opracowanie własne.
Analiza zajto ci miejsc magazynowych wiadczy o prawidłowym wykorzystaniu półek (b), pojemników (c) oraz podłogi (d). Na długich półkach (a) mog by składowane tylko cigna do systemów sterowania (grupa G8), które w latach 2007–2008 nie cieszyły si duym popytem
klien-tów i firma nie chce kupowa ich duo. Poniewa około 70% długich półek nie jest wykorzysta-nych, powinno si koniecznie zmieni organizacj magazynu, by zwikszy jego uyteczno i zapewni wicej miejsca dla bardziej popularnych towarów.
5. Podsumowanie
Kada firma dysponujca niewielk przestrzeni magazynow poszukuje rozwiza pozwala-jcych na efektywne jej wykorzystanie. Umoliwia to poprawne zarzdzanie przedsibiorstwem i prowadzi do uzyskania lepszego wyniku finansowego.
Propozycja wykorzystania modelowania matematycznego spotkała si z przychylnym przyj-ciem w firmie i dziki cisłej współpracy Pana Konrada wistelnickiego [6] z wła cicielem firmy udało si sformalizowa rzeczywiste warunki działania firmy i osign realne (w miesicach najwikszego obrotu) wyniki. Do rezultatów modelowania mona zaliczy poprawienie wydajno- ci magazynu, osignite przez:
• sprawdzenie prawidłowej organizacji magazynu,
• korekt proporcji rozmieszczenia towarów w ustalonych miejscach magazynowych, • moliwo eliminacji strat zwizanych z brakiem lub nadmiarem asortymentu, • zwikszenie zysku ze sprzeday.
Przedstawiona w artykule symulacja sterowania i planowania gospodark magazynow firmy pokazuje zalety wykorzystania programowania liniowo-dynamicznego w stosunku do optymaliza-cji statycznej. Wyznaczona strategia dotyczyła tylko jednego okresu czasu (tygodnia), ale moliwe przecie jest stałe wykorzystywanie takiego systemu z konieczno ci aktualizacji stanów poczt-kowych, prowadzce do wyznaczenia optymalnej trajektorii stanów magazynowych.
Bibliografia
[1] Archiwalne zestawienia sprzedaĪy firmy „Marco Marine sp. z o.o.”, dokumenty wygenerowane za pomoc aplikacji OPTIMA, 2009.
[2] Coyle J.J. i in., Zarządzanie logistyczne, PWE, Warszawa 2002. [3] Cenniki detaliczne firmy „Marco Marine sp. z o.o.”, 2009.
[4] Gutiérez J. i in., An efficient approach for solving the lot-sizing problem with time-varying storage capacities, European Journal of Operational Research 189, Elsevier 2008: s. 682– 693.
[5] Krawiec B., Metody optymalizacji w rolnictwie, PWN, Warszawa–Łód 1991.
[6] wistelnicki K., Zastosowanie programowania liniowo-dynamicznego do optymalizacji stanów magazynowych wybranej firmy, praca magisterska, WI ZUT w Szczecinie 2009: s. 1–46.
USE OF LINEAR-DYNAMIC PROGRAMMING FOR OPTIMISING STOCK LEVELS Summary
The article presents a simulation trading company warehouse management us-ing a linear-dynamic model of mathematical programmus-ing. The optimization period is a week in the months of the biggest trading company, and the goal is to maximize the net profit. Control variables allow you to transition from initial state to the final state of product groups and help establish effective distribution of goods in the warehouse. The results of modeling can be used to change the organization structure of the warehouse and procurement planning.
Keywords: linear-dynamic programming, warehouse management
Joanna Bana
Katedra Zastosowa Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej Wydział Informatyki
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie ul. ołnierska 49, 71-210 Szczecin
