EGZAMIN MATURALNY 2012

Centralna Komisja Egzaminacyjna

EGZAMIN MATURALNY 2012

MATEMATYKA

POZIOM PODSTAWOWY

Kryteria oceniania odpowiedzi

MAJ 2012

Zadanie 1. (0–1)

Obszar standardów Opis wymagaĔ

Poprawna odpowiedĨ

(1 p.) Wersja arkusza

A

Wersja arkusza

B Modelowanie matematyczne Wykonanie obliczeĔ procentowych

(III.1.d) A D

Zadanie 2. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Zastosowanie praw dziaáaĔ na potĊgach o wykáadnikach wymiernych, obliczenie

potĊgi o wykáadniku wymiernym (II.1.g) B C

Zadanie 3. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykonanie obliczeĔ na liczbach

rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów

skróconego mnoĪenia (II.1.a; 1.g; 2.a) A A Zadanie 4. (0–1)

Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Obliczenie wartoĞci logarytmu (II.1.h) B C

Zadanie 5. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykorzystanie pojĊcia wartoĞci

bezwzglĊdnej do rozwiązania równania

typu x a (II.1.f) b B A

Zadanie 6. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Obliczenie sumy rozwiązaĔ równania

kwadratowego (II.3.a) C B

Zadanie 7. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji

kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j) A B

Zadanie 8. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykorzystanie interpretacji

wspóáczynników we wzorze funkcji liniowej (I.4.g)

A D

Zadanie 9. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc

zerowych (I.4.b) C D

Zadanie 10. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Planowanie i wykonanie obliczeĔ na

liczbach rzeczywistych (I.1.a; 6.a) D B

Zadanie 11. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykorzystanie definicji do wyznaczenia wartoĞci funkcji trygonometrycznych

danego kąta ostrego (II.6.a) B A

Zadanie 12. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Znalezienie związków miarowych w figurach páaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)

B C

Zadanie 13. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Znalezienie związków miarowych w figurach páaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)

D A

Zadanie 14. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

PosáuĪenie siĊ wáasnoĞciami figur podobnych do obliczania dáugoĞci odcinków (I.7.b)

D C

Zadanie 15. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykorzystanie związku miĊdzy

promieniem koáa opisanego na kwadracie

i dáugoĞcią jego boku (II.7.c) B C

Zadanie 16. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Wykorzystanie związków miĊdzy kątem wpisanym i Ğrodkowym do obliczenia

miary kąta (I.7.a) C B

Zadanie 17. (0–1)

Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu

arytmetycznego (III.5.a) C B

Zadanie 18. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Obliczenie wyrazu ciągu okreĞlonego

wzorem ogólnym (I.5.a) B D

Zadanie 19. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Obliczenie objĊtoĞci szeĞcianu

z wykorzystaniem związków miarowych

w szeĞcianie (II.9.b) B C

Zadanie 20. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wyznaczenie wysokoĞci stoĪka z wykorzystaniem funkcji

trygonometrycznych lub wáasnoĞci kwadratu (II.9.b)

A C

Zadanie 21. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie informacji

Wskazanie równania prostej równolegáej

do danej (I.8.c) A B

Zadanie 22. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Wykorzystanie pojĊcia ukáadu

wspóárzĊdnych na páaszczyĨnie (II.8.a) A D Zadanie 23. (0–1)

Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Zbadanie czy dany punkt speánia

równanie okrĊgu (II.8.g) B D

Zadanie 24. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosowanie zasady

mnoĪenia (II.10.b) C B

Zadanie 25. (0–1) Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Obliczenie Ğredniej arytmetycznej i interpretowanie tego parametru

w kontekĞcie praktycznym (II.10.a) D A

Zadanie 26. (0–2)

Zdający otrzymuje ...1 pkt gdy:

x prawidáowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 5,x2  i na tym 3 poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy

albo

x rozáoĪy trójmian kwadratowy x²  na czynniki liniowe i zapisze nierównoĞü 8x 15



^x3



^{x !5}



⁰ i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy albo

x popeáni báąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popeánionego báĊdu rozwiąĪe nierównoĞü,

np.^{x1 3,x2 5,x f ‰ f}



^{, 3}

  

^5,

albo

x doprowadzi nierównoĞü do postaci x !^{4 1} (na przykáad z postaci



^x4



^{2 !1 0}

otrzymuje



^x4



^{2 !1, a nastĊpnie x !4 1}) i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ...2 pkt gdy poda zbiór rozwiązaĔ nierównoĞci w postaci:

x



f  ‰  f ^{, 5}

 

^3,



albo

x ^x ⁵ lub x! 3 albo

x x 5,x!  3 albo

x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi koĔcami przedziaáów.

Kryteria oceniania uwzglĊdniające specyficzne trudnoĞci w uczeniu siĊ matematyki 1. JeĞli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 5,x2  i zapisze, 3

np.^{x f  ‰ f}



^{, 5}

  

^{3, pope}ániając tym samym báąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.

2. JeĞli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązaĔ nierównoĞci w postaci



^{f  ‰  f, 3}

 

^5,



, to przyznajemy 2 punkty.

Wykorzystanie

i interpretowanie reprezentacji

Rozwiązanie nierównoĞci kwadratowej (II.3.a)

Zadania 27. (0–2)

I sposób rozwiązania

Aby wykazaü prawdziwoĞü podanej nierównoĞci, przeksztaácimy ją najpierw do prostszej postaci równowaĪnej. Rozpoczynamy od podanej nierównoĞci:

3 2

a b c  ! a b MnoĪymy obie strony tej nierównoĞci przez 6:

   

2 a b c  !3 a b Redukujemy wyrazy podobne:

2c!  a b

Uzyskana nierównoĞü jest równowaĪna nierównoĞci wyjĞciowej, zatem wystarczy wykazaü jej prawdziwoĞü. Z zaáoĪenia wiemy, Īe c a! oraz c b! ^. Wobec tego

2c  !  c c a b Co naleĪaáo wykazaü.

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt jeĞli przeksztaáci podaną nierównoĞü do postaci 2c a b!  lub



^{c a   !}

 

^{c b}



^0,

lub 2

6 0

a b c

   ! i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt jeĞli przedstawi kompletny dowód podanej nierównoĞci.

II sposób rozwiązania

Zdający prowadzi ciąg nierównoĞci, wychodząc od jednej ze stron podanej nierównoĞci i na koĔcu dochodząc do drugiej.

ZaáoĪenie: 0 a b c  

1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 6 2 2 2 2

a b c a b

a b c a b b a b a b b a a b a b

    !      !    

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt jeĞli co najmniej jedna z nierównoĞci wystĊpująca w zapisanym ciągu nierównoĞci wynika w sposób poprawny z podanych zaáoĪeĔ, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjĞciowej nierównoĞci.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt jeĞli poda kompletny dowód podanej nierównoĞci.

Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwoĞci nierównoĞci algebraicznej (V.2.b)

Zadanie 28. (0–2)

Uwaga

Gdy zdający poda poprawną odpowiedĨ (trzeci pierwiastek wielomianu: ^x _³) nie wykonując Īadnych obliczeĔ, to otrzymuje ^{1 punkt}.

I sposób rozwiązania

Przedstawiamy wielomian W x w postaci ( ) ^{W x}

  

^{x 4}



^x3



^{x a}



, gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu.

Stąd W x( )  x³ x² ax²12x ax 12a = ^{x3 }

 

^{1 a x2  }



^{12 a x}



^12a,

Porównując wspóáczynniki wielomianu ( )W x otrzymujemy

1 4

12 9

12 36

a a a

­ 

°  

®° 

¯

Stąd ^a ³.

Trzecim pierwiastkiem wielomianu W x jest liczba ( ) x 3. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy przedstawi wielomian W x w postaci ( ) ^{W x}

  

^{x 4}



^x3



^{x a}



^{i na tym}

poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy bezbáĊdnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: ^x ³.

II sposób rozwiązania

Przedstawiamy wielomian W x w postaci iloczynu: ( )

       

3 2 2

( ) 4 9 36 4 9 4 4 3 3

W x x x   x x x  x x x x . Pierwiastkami wielomianu ^{W x}

 

^{są zatem}

1 4

x  , x2 oraz 3 x3  . 3

OdpowiedĨ: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba^x ³. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.:



²

  

( ) 9 4 lub ( ) 4 3 3

W x x  x W x x x x lub ^{W x( )}



^{x2 x 12}

 

^x3



lub ^{W x( )}



^{x2 7x 12}

 

^x3



i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy bezbáĊdnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: ^x _³.

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkáadu na czynniki (II.3.d)

III sposób rozwiązania

Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu

 

^x

W , wiĊc wielomian ^W

 

^x jest podzielny przez dwumian



^x4



^.

Dzielimy wielomian ^W

 

^x przez dwumian



^x4



   

2

3 2

3 2

9

: 4

4 9 36

4

9 36 9 36 x

x x x x

x x

x x

 

  

   



Wielomian ^W

 

^x zapisujemy w postaci

  

⁴

 

^{2 9}



W x x x  ,

stąd ^{W x}

  

^{x 4}



^x3



^x3



^.

Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu

 

^x

W , wiĊc wielomian ^W

 

^x jest podzielny przez dwumian



^x3



^.

Dzielimy wielomian ^W

 

^x przez dwumian



^x3



   

2

3 2

3 2

2 2

7 12

: 3

4 9 36

3

7 9

7 21

12 36 12 36

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

 

   

 



 



 

Wielomian ^W

 

^x zapisujemy w postaci

  

^{2 7 12}

 

³



W x x  x x . Wyznaczamy pierwiastki trójmianu

2 7 12

x   : x x  i 4 ^x ³. Liczby 3 i 4 są pierwiastkami wielomianu

 

^x

W , wiĊc wielomian ^W

 

^x jest podzielny przez



^x3



^x4



⁼



^{x2 x12}



^.

Dzielimy wielomian ^W

 

^{x przez}



^{x2 x12}





^{3 2}

 

²



3 2

2 2

3

: 12

4 9 36

12

3 3 36

3 3 36

x

x x

x x x

x x x

x x

x x

    

  

  

Zatem

  

^{2 12}

  

³

W x x  x x ^

   

^{x 3 x4 x3.}

Zatem pierwiastkami wielomianu są: x1  , 4 x2 oraz 3 x3  . 3 OdpowiedĨ: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba^x _³.

Schemat oceniania III sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy:

x wykona dzielenie wielomianu przez dwumian



^x4



, otrzyma iloraz



^{x2 i na 9}



tym poprzestanie lub dalej popeánia báĊdy albo

x wykona dzielenie wielomianu przez dwumian



^x3



, otrzyma iloraz



^{x2 7x 12}



i na tym poprzestanie lub dalej popeánia báĊdy albo

x wykona dzielenie wielomianu przez



^{x2 x12}



, otrzyma iloraz



^x3



i na tym poprzestanie lub dalej popeánia báĊdy

albo

x wykona dzielenie wielomianu przez



^x4



^lub



^x3



, lub przez



^{x2  x12}



popeániając báąd rachunkowy i konsekwentnie do popeánionego báĊdu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy bezbáĊdnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: ^x _³.

Uwaga

Dzieląc wielomian ^W

 

^x przez dwumian



^xp



^zdający moĪe posáuĪyü siĊ schematem Hornera, np. przy dzieleniu przez



^x4



otrzymuje

1 4 – 9 – 36

– 4 1 0 – 9 0

IV sposób rozwiązania

Korzystamy z jednego ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy

 

^{4 ˜3˜x3 }₁^{36, stąd x3 3}

lub

 

^{4 3x3 4}₁^{, stąd x3 3,}

lub

   

^{4 ˜3 4 ˜x33˜x3 }₁^9.

Proste sprawdzenie pokazuje, Īe rzeczywiĞcie ^W

 

^{3 0}

Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popeánia báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x 3.

Zadania 29. (0–2)

I sposób rozwiązania

Obliczamy wspóáczynnik kierunkowy prostej AB:

10 2

 

2

2  2 . Zatem wspóáczynnik kierunkowy prostej prostopadáej do prostej AB jest równy 1

2

§ ·

¨ ¸

© ¹. Symetralna odcinka AB ma równanie 1

y 2x b . Punkt ^S _¨^§_©^{ 2 2 2 10}₂ ^{, }₂ ^·_¸¹

 

^{0, 6 jest} Ğrodkiem odcinka AB . Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, wiĊc 1

6 0

2 b

 ˜  . Stąd ^{b 6}, a wiĊc symetralna odcinka AB ma równanie 1

2 6 y  x . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt x gdy poprawnie wyznaczy lub poda wspóárzĊdne Ğrodka odcinka AB: ^S

 

^{0,6 oraz}

wspóáczynnik kierunkowy prostej AB: ^{a 2} i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy

albo

x gdy popeáni báĊdy rachunkowe przy wyznaczaniu wspóárzĊdnych Ğrodka odcinka albo wspóáczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej

albo

x gdy obliczy wspóáczynnik kierunkowy prostej AB: ^{a 2} oraz wspóáczynnik kierunkowy prostej do niej prostopadáej 1

1

a  i na tym zakoĔczy lub dalej 2 popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: 1

2 6

y  x lub x y2 12 0. II sposób rozwiązania

Obliczamy wspóárzĊdne Ğrodka odcinka AB: ^S

 

^0,6 . Obliczamy wspóárzĊdne wektora

> @

^4,8

AB . PoniewaĪ symetralna odcinka AB jest prostopadáa do wektora ABJJJG

i przechodzi przez punkt S, wiĊc jej równanie ma postaü ⁴



^{x 0}

 

^{8 y 6}



^{0, czyli x y2 12 0.}

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy wyznaczy wspóárzĊdne wektora AB : ^AB

> @

^{4,8 oraz} Ğrodek odcinka AB: ^S

 

^0,6 i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

UĪycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wáasnoĞci symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e)

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x y2 12 0 lub

1 6

y 2x .

III sposób rozwiązania

Z rysunku w ukáadzie wspóárzĊdnych

odczytujemy wspóárzĊdne punktu ^S

 

^{0,6 , wspó}áczynnik kierunkowy symetralnej odcinka

AB: 1

a  i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB : 2 1 2 6 y  x . Schemat oceniania III sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy odczyta, z dokáadnie sporządzonego rysunku w ukáadzie wspóárzĊdnych, wspóárzĊdne Ğrodka odcinka AB i wspóáczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB: x y2 12 0 lub 1

2 6 y  x . IV sposób rozwiązania

Korzystamy z tego, Īe symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo oddalonych od jego koĔców. JeĞli punkt ^P

 

^{x y, le}Īy na symetralnej, to ^{AP BP} . Zatem

      

^{x22 y22 x22 y10}



^{2 , czyli}

      

^{x22 y22 x22 y10}



^2.

Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x y2 12 0. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy zapisze równanie



x²

 

² y²



²



x²

 

²  y¹⁰



² i na tym poprzestanie lub dalej popeáni báĊdy.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x y2 12 0 lub 1

2 6

y  x .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x y

A

B

S

y=2x+6

Kryteria oceniania uwzglĊdniające specyficzne trudnoĞci w uczeniu siĊ matematyki JeĞli zdający przepisze z báĊdem wspóárzĊdne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie

symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy ^{2 punkty}.

Zadanie 30. (0–2)

I sposób rozwiązania

Niech )BAC 2D, )ABC 2E , )ACB J , )APB G .

Suma miar kątów wewnĊtrznych w trójkącie równa jest 180 , wi^D Ċc w trójkącie ABC mamy 2D 2E J 180^D.

PoniewaĪ J ! 0q^{, wiĊc 2}D ²E ^{180D, stąd} D E ^90D. W trójkącie ABP mamy D E G 180^D.

Stąd i z otrzymanej nierównoĞci DE 90^{D wynika, Īe} G !^90D. Oznacza to, Īe kąt APB jest kątem rozwartym.

Co naleĪaáo uzasadniü.

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy przeprowadzi peáne rozumowanie i uzasadni, Īe kąt APB jest kątem rozwartym.

II sposób rozwiązania

Niech )BAC 2D, )ABC 2E , )ACB J , )APB G .

Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c)

A B

C

P

D E

D G E

J M A B

C

P

D E

D G E

J

PoniewaĪ G M 180^Doraz suma miar kątów wewnĊtrznych w trójkącie ABP jest równa 180 , wiD Ċc otrzymujemy

   

^{D D}

D 180 90

2 2 1

2 2 2 1 2 2

180 G D E 1 D  E  D  E J ˜

M ^.

PoniewaĪ M 90^{D, wiĊc} M ^{jest k}ątem ostrym, zatem G jest kątem rozwartym.

Oznacza to, Īe kąt APB jest kątem rozwartym. Co naleĪaáo uzasadniü.

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy przeprowadzi peáne rozumowanie i uzasadni, Īe kąt APB jest rozwarty.

Zadanie 31. (0–2)

I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieĔstwa)

Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane

 

^x,y dwóch liczb ze zbioru

^

1, 2,3, 4,5, 6, 7

`

.

Liczba wszystkich zdarzeĔ elementarnych jest równa : ˜ ^{7 7 49}. Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy:

x jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) albo

x jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4.

Liczba zdarzeĔ elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest wiĊc równa



^{2 7 1}



^{2 2 17}

A ˜   ˜ .

PrawdopodobieĔstwo zdarzenia A jest równe: ^{P A}

 

¹⁷₄₉^.

II sposób rozwiązania (metoda tabeli)

Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio:

- - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A 7 7 49

: ˜ i A 17, zatem ^{P A}

 

¹⁷₄₉^.

Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieĔstwa zdarzenia

z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieĔstwa (III.10.b;10.d)

1 2 3 4 5 6 7

1 -

2 - -

3 - - -

4 - -

5 -

6 - - - - - - -

7 -

Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy

x obliczy liczbĊ wszystkich moĪliwych zdarzeĔ elementarnych: : ^{72 49} albo

x obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbĊ zdarzeĔ elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A 17.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy obliczy prawdopodobieĔstwo zdarzenia A: 17

( ) 49

P A .

Uwaga

JeĞli zdający rozwiąĪe zadanie do koĔca i otrzyma ( ) 1P A ! , to otrzymuje za caáe rozwiązanie 0 punktów.

III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gaáĊziami:

²

7

PrawdopodobieĔstwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) jest wiĊc równe: ^{P A}

 

^{1 7}_{7 7}^{˜  ˜  ˜}_{7 7}^{2 2 1}_{7 7}^{3 ˜}_{7 7}^{3 1 17}₄₉^.

Schemat oceniania III sposobu rozwiązania

Zdający otrzymuje ... 1 pkt gdy:

x narysuje peáne drzewo i przynajmniej na jednej gaáĊzi opisze prawdopodobieĔstwo albo

x narysuje drzewo tylko z istotnymi gaáĊziami.

Zdający otrzymuje ... 2 pkt gdy obliczy prawdopodobieĔstwo zdarzenia A: 17

( ) 49

P A .

Uwaga

JeĞli zdający rozwiąĪe zadanie do koĔca i otrzyma ( ) 1P A ! , to otrzymuje za caáe rozwiązanie 0 punktów.

Kryteria oceniania uwzglĊdniające specyficzne trudnoĞci w uczeniu siĊ matematyki JeĪeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieĔstwo i báĊdnie skróci uáamek,

np. 17 1

( ) 49 3

P A , to otrzymuje ^{2 punkty}.

1 7

3 1 7

7

6 2, 4 3 1, 5, 7

Dowolna z siedmiu 3, 6 2, 4, 6 7

7

2 7

3

7 7

1

6

Zadanie 32. (0–4)

I sposób rozwiązania

Ciąg



^{9, ,19x}



jest arytmetyczny, wiĊc wyraz Ğrodkowy jest Ğrednią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: 9 19

2 14

x  .

Wiemy, Īe ciąg



^{14, 42, ,y z}



jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy 42 14 3

q .

Wobec tego y ˜ 3 42 126 i z 126 3˜ 378. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postĊp jest niewielki, ale konieczny na drodze do peánego

rozwiązania zadania ... 1 pkt x wykorzystanie wáasnoĞci ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. 9 19

x 2 lub 2x 9 19 lub x 14

albo

x wykorzystanie wáasnoĞci ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42² lub xy

2 42

y z.

Pokonanie zasadniczych trudnoĞci zadania ... 3 pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q . 3

Rozwiązanie peáne ... 4 pkt Obliczenie x 14, y 126, z 378.

II sposób rozwiązania

Ciąg



^{9, ,19x}



jest arytmetyczny, zatem 2x 9 19, x 14.

Ciąg



^{14, 42, ,y z}



jest geometryczny, zatem 42² ˜ i 14 y y² ˜ , 42 z 1764 126

y 14 i 126² ˜ , stąd 42 z ^{z 378.} Schemat oceniania II sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postĊp jest niewielki, ale konieczny na drodze do peánego

rozwiązania zadania ... 1 pkt x wykorzystanie wáasnoĞci ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. 9 19

x 2 lub 2x 9 19, lub x 14

albo

x wykorzystanie wáasnoĞci ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42² lub xy

2 42

y z.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postĊp ... 2 pkt Obliczenie x 14 i zapisanie równania 42² 14 y lub 1764 14 y.

Pokonanie zasadniczych trudnoĞci zadania ... 3 pkt Obliczenie y 126 i zapisanie równania y² 42z lub 126² 42z.

Modelowanie matematyczne Zastosowanie wáasnoĞci ciągu arytmetycznego i geometrycznego (III.5.c)

Rozwiązanie peáne ... 4 pkt Obliczenie x 14, y 126, z 378.

Uwaga

JeĞli zdający pomyli wáasnoĞci ciągów, to za caáe zadanie otrzymuje ^{0 punktów}.

Zadanie 33. (0–4)

Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza siĊ do realizacji nastĊpujących etapów:

a) obliczenie wysokoĞci AE ostrosáupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosáupa, c) obliczenie objĊtoĞci ostrosáupa.



Rozwi¦zanie

a) Obliczenie pola podstawy ostrosáupa

Podstawa ABCD ostrosáupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu, mamy: 4 AB 2^, stąd 4

2 2 2

AB .

„Ž‹…œƒ›’‘Ž‡P’‘†•–ƒ™›‘•–”‘•Ï—’ƒǣ^P

 

^{2 2 2 8Ǥ}

b) Obliczenie wysokoĞci AE ostrosáupa Rysujemy trójkąt EAC.

8 3 4 3

AE 2 .

c) Obliczenie objĊtoĞci ostrosáupa

ObjĊtoĞü ostrosáupa jest równa 1 32

8 4 3 3

3 3

V ˜ ˜ .

Schemat oceniania

Rozwiązanie, w którym postĊp jest niewielki, ale konieczny na drodze do peánego

rozwiązania ... 1 pkt Obliczenie wysokoĞci AE ostrosáupa: AE 4 3 albo obliczenie pola P podstawy ostrosáupa:

 

^{2 2 2 8}

P .

Pokonanie zasadniczych trudnoĞci zadania ... 3 pkt Obliczenie pola podstawy i wysokoĞci ostrosáupa.

UĪycie i tworzenie strategii Obliczenie objĊtoĞci wieloĞcianu (IV.9.b)

Uwaga

JeĞli zdający obliczy jedną z tych wielkoĞci z báĊdem rachunkowym, to otrzymuje ^{2 punkty}. Rozwiązanie peáne ... 4 pkt Obliczenie objĊtoĞci ostrosáupa: 32

3 3

V .

Uwaga

JeĞli zdający pominie wspóáczynnik 1

3 we wzorze na objĊtoĞü ostrosáupa, ale rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do koĔca z tym jednym báĊdem, to za takie rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.

Kryteria oceniania uwzglĊdniające specyficzne trudnoĞci w uczeniu siĊ matematyki Nie obniĪamy punktacji zadania za báĊdy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczyá wysokoĞü ostrosáupa, ale przy obliczaniu objĊtoĞci ostrosáupa podstawiá báĊdna wartoĞü.

Zadanie 34. (0–5)

I sposób rozwiązania

Przyjmujemy oznaczenia np.: t – czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v – Ğrednia prĊdkoĞü pociągu osobowego w kilometrach na godzinĊ.

Zapisujemy zaleĪnoĞü miĊdzy czasem a prĊdkoĞcią w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego:

  

^{t ˜ 1 v 24}



²¹⁰

NastĊpnie zapisujemy ukáad równaĔ

   

210

1 24 210

t v

t v

­° ˜

®  ˜ 

°¯

Rozwiązując ukáad równaĔ doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:

 

^{1 210 24}¸ ²¹⁰

¹

¨ ·

©

§ 

˜

 t

t

210 24t 210 24 210

  t 

24t224t210 0 4t2  4t 35 0

16 560 242

' 

1

4 24 5

8 2

t   , 2

4 24 7 8 2 3,5

t 

t1 jest sprzeczne z warunkami zadania.

Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:3,5 1 2,5 . Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.

Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekĞcie praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III.3.b)

II sposób rozwiązania

Zapisujemy zaleĪnoĞü miĊdzy czasem a prĊdkoĞcią w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego:

  

^{t ˜ 1 v 24}



²¹⁰

NastĊpnie zapisujemy ukáad równaĔ

   

210

1 24 210

t v

t v

­° ˜

®  ˜ 

°¯

Rozwiązując ukáad równaĔ doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:



²⁴



²¹⁰

210 1



¸˜

¹

¨ ·

©

§  v

v

210 5040 v 24 210

 v  

5040 v 24 0 v  

2 24 5040 0

v v

  

576 20160 1442

' 

1

24 144 2 60

v 

 , ₂ 24 144

2 84

v  

 ,

v jest sprzeczne z warunkami zadania. 2

Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: 210 210 7 60 2 3, 5

t v .

Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 – 1 = 2,5.

Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.

III sposób rozwiązania

Przyjmujemy oznaczenia np.: t – czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v – Ğrednia prĊdkoĞü pociągu osobowego w kilometrach na godzinĊ.

Narysowane duĪe prostokąty reprezentują odlegáoĞci przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równoĞü

 

24 t ˜1 1 v. Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraĪa siĊ wzorem ^{v t˜ 24}

 

^{t ˜1 t.}

PoniewaĪ trasa pociągu ma dáugoĞü 210 km, otrzymujemy równanie ²⁴

 

^{t ˜ 1 t 210.}

Stąd 24t²24t210 0 4t2  4t 35 0

16 560 242

' 

1

4 24 5

8 2

t   , 2

4 24 7 8 2 3,5

t 

v

t1 v+24

t

t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechaá przez 3,5 godziny, a pociąg pospieszny:3,5 1 2,5 godziny.

Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.

Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postĊp jest niewielki, ale konieczny na drodze do peánego rozwiązania zadania ... 1 pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi

 

^{t1 v24}



²¹⁰

gdy t oznacza czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v Ğrednią prĊdkoĞü pociągu osobowego w kilometrach na godzinĊ,

lub

 

^{t1 v24}



²¹⁰

gdy t oznacza czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v Ğrednią prĊdkoĞü pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinĊ.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postĊp ... 2 pkt Zapisanie ukáadu równaĔ z niewiadomymi v i t, np.:

   

¯®

­



˜



˜

210 24

1 210

v t

v

t lub

   

210

1 24 210

t v

t v

­° ˜

®  ˜ 

°¯

Pokonanie zasadniczych trudnoĞci zadania ... 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:

 

^{1 210 24}¸ ²¹⁰

¹

¨ ·

©

§ 

˜

 t

t lub _©¨^§210_v ^{ ˜ 1}_¹¸^·



^{v 24}



²¹⁰ lub ²⁴

 

^{t ˜ 1 t 210}

Uwaga

Zdający nie musi zapisywaü ukáadu równaĔ, moĪe bezpoĞrednio zapisaü równanie z jedną niewiadomą.

Zostaáy pokonane zasadnicze trudnoĞci zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostaáy popeánione báĊdy rachunkowe lub usterki ... 2 pkt Rozwiązanie zadania do koĔca lecz z usterkami, które jednak nie przekreĞlają poprawnoĞci rozwiązania (np. báĊdy rachunkowe) ... 4 pkt x rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z báĊdem rachunkowym i konsekwentne

obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny albo

x obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t 3,5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Rozwiązanie peáne ... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny.

Uwagi

1. JeĪeli zdający porównuje wielkoĞci róĪnych typów, to otrzymuje ^{0 punktów}.

2. JeĪeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, Īe jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje ^{1 punkt}.

Kryteria oceniania uwzglĊdniające specyficzne trudnoĞci w uczeniu siĊ matematyki Przykáad 1.

JeĞli zdający przedstawi nastĊpujące rozwiązanie:

v - prĊdkoĞü pociągu osobowego, t - czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg osobowy

24 210 v 1

 t



 

210

210 24 1

v t

v t

­° ˜

®  

°¯

i na tym zakoĔczy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii ^Rozwiązanie, w którym jest istotny postĊp i przyznajemy 2 punkty, mimo Īe w drugim równaniu ukáadu zdający nie ująá wyraĪenia ^t_¹ w nawias. Zapis równania 210

24 1

v t

 wskazuje na poprawną interpretacjĊ zaleĪnoĞci miĊdzy wielkoĞciami.

Przykáad 2.

JeĞli zdający przedstawi nastĊpujące rozwiązanie:

v - prĊdkoĞü pociągu osobowego, t - czas pokonania caáej trasy w godzinach przez pociąg osobowy

24 210 v 1

 t



210 24 210

1

v t

v t

­ °°

®° 

° 

¯

120 210 t  24 t



i na tym zakoĔczy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych trudnoĞci zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo Īe w równaniu 120 210

t  24 t

 zdający przestawiá cyfry w zapisie liczby ²¹⁰ i pominąá liczbĊ 1 w mianowniku uáamka.

Przykáad 3.

JeĞli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t²  zamiast równania 4t 35 0 4t2  (np. w wyniku záego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak 4t 35 0 rozwiąĪe otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który moĪe byü realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie peáne i przyznajemy 5 punktów.