IV.4.2 Siły oporu ośrodka

IV.4.2 Siły oporu ośrodka

• Lepkość płynów – cieczy i gazów

• Siła nośna i siła oporu czołowego

• Wzór Newtona. Liczba Reynoldsa

• Wzór Stokesa

• Spadanie ciała w jednorodnym polu 

grawitacyjnym w obecności siły oporu. Prędkość  graniczna.

Lepkość

Siła lepkości:

Współczynnik lepkości jest 

zazwyczaj funkcją temperatury i  ma wymiar Nsm^‐2.

L

dv ˆ

F A v

= −η dz G

CIECZ η [Ns/m²]

woda 10^‐3

gliceryna 1.5

miód 500

F V

Powierzchnia styku A

x

z

Siła nośna i siła oporu czołowego

Prędkość względna płynu

F

F

F

Powierzchnia przekroju A,

Wymiar liniowy L

Siła nośna F_N patrz niżej

Siła oporu czołowego opisywana jest  przez (złudnie prosty) wzór Newtona:

gdzie:

ρ‐ gęstość cieczy,

A‐ powierzchnia przekroju ciała 

prostopadła do prędkości względnej, C(Re)‐ bezwymiarowy współczynnik  kształtu, zależny od liczby Reynoldsa Re:

( ) ²

O

v ˆ

F C R e A v

2

⎛ ρ ⎞

= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Re v L ρ

= η

Współczynnik C(Re); wzór Stokesa

Dla kuli i małych Re:

Dla dysku i małych Re:

Dla większości ciał C wyznaczamy  doświadczalnie (tunele 

2

O

A r     L=2r C= 24

Re

F 6 rv

= π

= πη

Re v L ρ

=

-kv

-kv

O

O

||v : F 32 rv 3

v : F 16 rv

= − η

⊥ = − η

G G

G G

Siła nośna

Prawo Bernouliego:

W obszarze większych prędkości przepływy płynu ciśnienie się  zmniejsza‐ powstaje siła nośna

v2

gh p const 2

ρ + ρ + =

Siła nośna- zjawisko Magnusa

Ciśnienie nad rotującym

walcem maleje, a pod rośnie‐

powstaje siła nośna

obecności siły oporu. Prędkość graniczna

Rozważymy dwie zależności siły oporu od prędkości: a) –kv, b)‐kv². Równanie ruchu dla spadku:

a) Jest to liniowe równanie różniczkowe niejednorodne.

Rozwiązanie ogólne r. jednorodnego:

Rozwiązanie szczególne r. niejednorodnego:

Rozwiązanie ogólne r. niejednorodnego

2 2

z

k z k

m z m g    c z y l i   z g  i   =

z

k z m

+ = − + ρ = − ρ

ρ



  





A

z(t) = − ρ e

+ B

z ( t ) = − g t ρ

A

z(t) = − gt ρ + − ρ B e

a) cd

Podstawiając warunki początkowe z(0)=z₀, v_z(0)=v₀ dostajemy:

Wartość prędkości granicznej:

(

)

0 0

1 g

z(t) z= −gtρ ρ+ ⎜⎛⎝v + ρ ⎞⎟⎠ 1 e− ^−ρ

gr

v = − ρ g

b) –kv

W tym przypadku mamy inne rozwiązania w ruchu ku dołowi i  ku górze:

Znajdujemy rozwiązanie w spadaniu (znak minus), a 

rozwiązanie dla wznoszenia otrzymamy zamieniając znak przy  ro w rozwiązaniu.

I‐sze całkowanie jest proste:

z ± ρ = − z g

 

2

2

0 0

dv dv

v g rozdzielamy zmienne: dt

dt v g

v g v g

t 1 ln ln

2 g v g v g

= ρ − =

ρ −

⎡ − ρ − ρ ⎤

= ⎢ − ⎥

ρ ⎢ ⎣ + ρ + ρ ⎥ ⎦

b) cd.

Dostajemy więc wyrażenie na prędkość dz/dt=v:

Ponieważ licznik tego ułamka jest proporcjonalny do pochodnej  mianownika więc jeszcze jedno całkowanie daje nam logarytm:

Rozwiązanie dla ruchu ku górze proszę znaleźć w domu.

( ) ( )

( ) ( )

0

0

v c o sh t g g sin h t g

g g

v g

c o sh t g v sin h t g

ρ − ρ

= − ρ → −

ρ ρ

− ρ + ρ

ρ

( ) ( )

0 0

z(t) z 1 ln v sinh t g cosh t g g

= − ρ ρ − ρ

ρ