Seria 4, zadanie 15
Sara Małek, Urszula Włodkowska
Treść: Niech R będzie pierścieniem lokalnym. Udowodnić, że jeżeli x ∈ R oraz x2 = x to x = 0 lub x = 1.
Rozwiązanie: Rozpatrzmy dwa przypadki:
1o x jest elementem odwracalnym
Jako że dowolny element odwracalny nie jest dzielnikiem zera oraz moż- na skracać przez elementy niebędące dzielnikami zera, równość x2 = x jest równoważna równości x = 1.
2o x jest elementem nieodwracalnym
Zachodzi x2 = x ⇔ x(x − 1) = 0. Załóżmy, że x − 1 jest elementem nieodwracalnym. Wtedy także 1 − x jest elementem nieodwracalnym.
Jako że R jest pierścieniem lokalnym, to z zadania 4.13 wiemy, że su- ma elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym, czyli przy takim założeniu x + 1 − x = 1 jest elementem nieodwracalnym, sprzeczność. Zatem x − 1 jest elementem odwracalnym, z czego wyni- ka, że nie jest dzielnikiem zera, można skrócić przez ten element, stąd x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0.
Stąd jedynymi możliwymi wartościami x są 1 i 0.
1
