Seria 2, zadanie 15

Seria 2, zadanie 15

Urszula Włodkowska, Piotr Obarski

Treść: Rozpatrzmy grupę dihedralną D_2n a) Znaleźć abelianizację grupy D_2n

b) Niech n ­ 3. Udowodnić, że jeżeli n jest nieparzyste, to Z(D_2n) = 1, a jeżeli n jest parzyste to D_2n/Z(D_2n) ∼= Dn

c) Pokazać, że każda podgrupa grupy obrotów grupy dihedralnej jest nor- malna. Pokazać, że jeżeli k · l = n, to D_2n/hρ^ki ∼= D_2k

Rozwiązanie:

a) Abelianizacją grupy jest grupa ilorazowa D_2n/[D_2n, D_2n], gdzie [D_2n, D_2n] jest komutantem grupy D_2n, czyli zbiorem składającym się z elementów {x⁻¹y⁻¹xy|x, y ∈ D2n}. Jako że każdy element należący do D2n ma postać

^kρ^l dla k ∈ {0, 1} = K, l ∈ {0, 1, . . . , n − 1} = L, komutant składa się z elementów postaci

ρ^−l1^k1ρ^−l2^k2^k1ρ^l1^k2ρ^l2

Rozpatrując 4 możliwości wartości przyjmowanych przez parę (k1, k2), moż- na uprościć ten zapis do 1 dla (0, 0), ρ^−2l1 dla (0, 1), ρ^2l2 dla (1, 0), ρ^2(l2−l1) dla (1, 1). Zatem do komutanta należą tylko obroty będące złożeniami parzy- ście wielu obrotów jednostkowych, a jako że l1, l2 są dowolne, wszystkie takie obroty. Oznacza to, że jeżeli 2|n, komutant składa się z tych elementów co hρ²i, w przeciwnym przypadku - hρi Do abelianizacji D_2n/[D_2n, D_2n] należą warstwy postaci ^kρ^l[D2n, D2n] dla l, k z tych samych zbiorów co poprzednio.

Jeżeli 2 - n, ρ^k[D_2n, D_2n] = [D_2n, D_2n], a ρ^k[D_2n, D_2n] = [D_2n, D_2n]. Dla 2|n

^k1ρ^l1[D_2n, D_2n] = ^k2ρ^l2[D_2n, D_2n] ⇔ k₁ ≡ k₂ mod 2 ∧ l₁ ≡ l₂ mod n.

Podsumowując, następujące warstwy należą do abelianizacji D2n

dla 2 - n: {[D2n, D_2n], [D_2n, D_2n]} - jako podgrupa zawierająca jedynkę i je- den element rzędu 2 jest to podgrupa izomorficzna z Z2

1

dla 2|n: {[D_2n, D_2n], [D_2n, D_2n], ρ[D_2n, D_2n], ρ[D_2n, D_2n]}, jest to grupa rzę- du 4, musi być więc izomorficzna z Z4 lub Z2 × Z2. Brak elementu rzędu 4 oznacza, że jest ona izomorficzna z Z²× Z².

b) Niech ^k0ρ^l0, k₀ ∈ K, l₀ ∈ L będzie elementem centrum D_2n. Wtedy

∀k ∈ K, l ∈ L ^k0ρ^l0^kρ^l = ^kρ^l^k0ρ^l0. W szczególności ^k0ρ^l0ρ = ρ^k0ρ^l0. Jeżeli k₀ = 1 równość ta jest równoważna z ρ^l0+1 = ρ⁻¹ρ^l0 ⇔ ρ^l0+1 = ρ^l0−1 ⇔ ρ² = 1, co przy założeniu n ­ 3 nie zachodzi, stąd na pewno k₀ = 0 i równość przyjmuje postać trywialną. Zatem jeżeli element należy do centrum, ma postać ρ^l₀. Taki element jest rzecz jasna przemienny z elementami podgrupy obrotów. Aby należeć do centrum, element musi być przemienny także z pozostałymi elementami D_2n - musi zachodzić

∀l ∈ L ρ^l0ρ^l= ρ^lρ^l0 ⇔ ρ^−l0ρ^l = ρ^lρ^l0

⇔ ρ^l−l0 = ρ^l+l0 ⇔ ρ^2l0 = 1 ⇔ 2l₀ ≡ 0 mod n

Jeżeli 2 - n, Z(D²ⁿ) = 1, jeżeli 2|n, Z(D2n) = {1, ρⁿ²} = D2n/hρⁿ²i}. Od- powiada to na pierwszą część pytania w podpunkcie b), druga część jest natomiast szczególnym przypadkiem drugiej części podpunktu c).

c) Wiemy, że każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna, pod- grupa indeksu 2 jest normalna oraz zachodzi

K J H, H E G ⇒ K E G

Podgrupa obrotów J grupy dihedralnej jest cykliczna, stąd hρ^ki J J. Pod- grupa obrotów jest w grupie dihedralnej podgrupą indeksu 2, więc J E D2n, zatem hρ^ki E D2n

Niech ϕ : D2k → D2n/hρ^ki będzie zadane wzorem ϕ(^lρ^m) = ^lρ^mhρ^ki.

Skoro podgrupa grupy obrotów jest dzielnikiem normalnym grupy dihedral- nej, iloraz grupy dihedralnej przez nią jest grupą, stąd

ϕ(^l1ρ^m1^l2ρ^m2) = ^l1ρ^m1^l2ρ^m2hρ^ki = ^l1ρ^m1hρ^ki^l2ρ^m2hρ^ki = ϕ(^l1ρ^m1)ϕ(^l2ρ^m2) Czyli ϕ jest homomorfizmem.

Oczywiście ϕ jest na. Niech

ϕ(^l1ρ^m1) = ϕ(^l2ρ^m2)

2

Wtedy

^l1ρ^m1hρ^ki = ^l2ρ^m2hρ^ki ⇔ ^l1ρ^m1hρ^kiρ^−m2^l2hρ^ki = ^l1ρ^m1−m2^l2hρ^ki = hρ^ki Czyli ^l1ρ^m1−m2^l2 musi należeć do hρ^ki. Stąd l₂ = l₁ i, skoro k|n, k|(m₁−m₂).

Jednak m₁, m₂ są ze zbioru 1, 2, ..., k, czyli m₁ = m₂, ϕ jest różnowartościowa.

Co kończy dowód.

3