Seria 4, zadanie 13 Sara Małek, Urszula Włodkowska

Seria 4, zadanie 13

Sara Małek, Urszula Włodkowska

Treść: Pokazać, że dla pierścienia R następujące warunki są równoważne:

a) suma elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym b) zbiór elementów nieodwracalnych jest ideałem

c) R jest pierścieniem lokalnym

Rozwiązanie: Zbiór elementów nieodwracalnych oznaczam przez A, ideał maksymalny przez M .

a)⇒b)

Lemat: Element postaci xa, gdzie x jest dowolnym elementem pierścienia, a a jest elementem nieodwracalnym, jest nieodwracalny.

Dowód. Załóżmy przeciwnie, ∃b ∈ R xab = 1 ⇔ xb jest odwrotnością a, sprzeczność z nieodwracalnością a

Rozpatrzmy ideał generowany przez zbiór elementów nieodwracalnych.

Należą do niego z definicji elementy postaci a = x₁a₁+ x₂a₂+ ... + x_ka_k, gdzie a_i ∈ A, x_i ∈ R. Każdy element postaci x_ia_i jest nieodwracalny na podstawie lematu. Czyli każdy element tego ideału (A) jest elementem nieodwracalnym, bo jest sumą elementów nieodwracalnych (założenie implikacji). Stąd, ideał generowany przez elementy nieodwracalne zawiera wszystkie takie elementy i tylko elementy nieodwracalne, czyli (A) = A, A jest ideałem.

b)⇒a) Zbiór A jest ideałem. Ideał jest w szczególności grupą addytyw- ną, czyli jest zamknięty na dodawanie i branie elementu odwrotnego, zatem dla dowolnych a₁, a₂ ∈ A także a₁ + a₂ ∈ A. Czyli suma dowolnych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym.

1

c)⇒b) Każdy ideał właściwy jest zawarty w ideale maksymalnym M - z twierdzenia Krulla, opierającego się na lemacie Zorna wiemy, że dowolny ideał właściwy zawiera się w pewnym ideale maksymalnym, a w pierścieniu lokalnym mamy tylko jeden taki ideał- ideał M . Weźmy dowolny element a ∈ R, a 6∈ M . Ideał generowany przez ten element musi być niewłaściwy, zatem zachodzi (a) = R, zatem a musi być odwracalne, ponieważ w ideale generowanym przez element nieodwracalny nie ma jedynki. Z tego wynika, że wszystkie elementy nieodwracalne należą do M . Rozpatrzmy teraz dowolny element b ∈ M . Załóżmy, że b jest odwracalne, czyli istnieje b⁰ ∈ R takie że bb⁰ = 1. Ale bb⁰ ∈ M , czyli 1 ∈ M , z czego wynika, że M = R, sprzeczność, bo M jest ideałem właściwym, zatem do M należą tylko elementy nieod- wracalne i wszystkie takie elementy - zbiór elementów nieodwracalnych jest maksymalnym ideałem.

b)⇒c) Ideały generowane przez zbiory zawierające element odwracalny są całym pierścieniem, zatem dowolny ideał właściwy jest generowany przez pe- wien podzbiór zbioru elementów nieodwracalnych. (A) jest ideałem, dowolny ideał właściwy jest zawarty w (A) (bo jest generowany przez podzbiór tego zbioru), czyli (A) jest ideałem maksymalnym i istnieje dokładnie jeden taki ideał. Pierścień R jest lokalny.

2