R O C ZN IK I PO LSK IEG O T O W A R Z Y S T W A M ATEM ATYC ZNEGO Seria I: PRA CE M A TE M A TYC ZN E V I I I (1963)
L. Du b i k a j t i s (Toruń.)
Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania i jej modyfikacjach II
(Wzmocnienie aksjomatu Pascha)
W poprzedniej części tej pracy [3] udowodniono, że klasę aksjoma
tów uporządkowania można zredukować do czterech aksjomatów Bor
suka i Szmielew (z książki [2 ]): U l, U3, U l i U5. W tej części pokażemy, jak przez odpowiednie wzmocnienie aksjomatu Pascha (przy pewnych zmianach aksjomatów incydencji) można tę aksjomatykę skrócić jeszcze bardziej.
Przez „skrócenie” aksjomatyki rozumiemy zmniejszenie łącznej
„długości” wszystkich aksjomatów. A więc skrócenie można uzyskać zarówno usuwając pewne aksjomaty, jak też i skracając niektóre z nich.
Ta ostatnia czynność może być w szczególności dokonana przez odrzu
cenie w sformułowaniu tych aksjomatów niektórych założeń. Pociągnie to rzecz jasna za sobą wzmocnienie tych aksjomatów. O ile jednak wzmoc
nione w ten sposób aksjomaty pozostaną nadal prawdziwe (na gruncie rozpatrywanej teorii), to nic nie stoi na przeszkodzie takiemu postępo
waniu.
Jako punkt wyjścia przyjmiemy tu aksjomaty 11-14 z [2] oraz aksjo
maty U l', U l ” , U3, U4, U5 i definicję leżenia prostej między punktami — zamieszczone w [3 ]( г).
Modyfikacja, którą wprowadzamy do tej aksjomatyki, polega na od
rzuceniu w aksjomacie Pascha założenia o niewspółliniowości punktów А , В, <7. Innymi słowy, przyjmujemy, że trójkąt przebijany prostą może się degenerować także do trzech punktów współliniowych. Nietrudno zauważyć, że tak wzmocniony aksjomat pozostanie nadal spełniany i to nie tylko w geometrii euklidesowej, lecz nawet w absolutnej, a także i w afi- nicznej. (Udowodnić go można bez trudu, opierając się na twierdzeniach : T18, T21 i T22 z [3], str. 30,33.)
d) Przypominamy, że aksjomaty U l ' i U l " powstały z aksjomatu Ul Borsuka i Szmielew przez rozbicie go w sposób naturalny na dwie części.
Prace Matematyczne V III.l 6
82 L. D u b i k a j t i s
W podobny sposób skrócimy również definicję, określając bowiem relację leżenia prostej między dwoma punktami wystarczy założyć, że prosta nie przechodzi przez jeden z tych punktów, a z dalszego ciągu definicji wyniknie już (w oparciu o aksjomaty), że nie przechodzi ona również i przez drugi punkt.
Zmodyfikowana w opisany |)owyżej sjiosób aksjomatyka, którą w dalszym ciągu będziemy nazywać aksjomatyką АО, przybierze postać następującą:
1.1 'Dla każdej prostej a istnieją dwa różne punkty A i />, takie że A,Bea.
1.2 Dla dowolnych punktów A i В istnieje prosta u, taka że A,Bea.
1.3 Jeżeli А Ф B, to istnieje najwyżej jedna prosta u, taka że A,Bea.
1.4 Istnieją trzy punkty niewspólliniowe.
IL I ( U l 7) Jeżeli j3(A, В, C), to punkty A , B , G są różne.
11.2 ( U l " ) Jeżeli ( 5 { A , B , G) , to punkty A , B , G są współliniowe.
11.3 (Ш ) Jeżeli f i ( A , B , G ) , to ~ i p ( B , A , G ) .
11.4 (U 4) Jeżeli А Ф B, to istnieje punkt C spełniający warunek P ( A , B , C ) .
P
Definicja. Powiemy, że f i { A, b , C) wtedy i tylko wtedy, gdy 1° - Aeb,
2° na prostej b leży punkt В taki, że zachodzi p ( A , В , G).
11.5 (Wzmocniony aksjomat Pascha) Jeżeli 1° 0 ( A , p , B ) ,
2° —i Cep,
to zachodzi j 3 ( A , p , C ) lub (3(B, p , G).
Podane tu aksjomaty uporządkowania 11.1-5 są — mimo wzmocnio
nego charakteru aksjomatu I I . 5 — nadal niezależne. Dla dowodu ich niezależności możemy się tu posłużyć tym i samymi modelami co w [3].
dedynie dowód niezależności aksjomatu I I . 1 będzie musiał ulec zmianie.
Użyjemy doń mianowicie modelu skończonego przedstawionego na ry sunku 1. Model ten składa się z trzech punktów P, Q, R i trzech prostych
p, ą, r. Incydencję ich możemy odczytać z rysunku, relację zaś leżenia między określamy jak następuje: fi(A ,B ,C ) wtedy i tylko wtedy, gdy В ф A = G.
Różnica tego modelu w stosunku do modelu podanego w [3] polega na ograniczeniu ilości punktów i prostych do trzech. Można wykazać, że ograniczenie to jest bardzo istotne — jakiekolwiek bowiem zwiększenie ilości punktów czy prostych powoduje zależność aksjomatu I I . 1 od pozo
stałych aksjomatów.
Wspomniane tu zwiększenie ilości elementów można zagwarantować bądź to wprowadzając nowe aksjomaty, bądź też wzmacniając w odpo
wiedni sposób niektóre z przyjętych aksjomatów. Takimi nowymi aksjo
matami, z których każdy gwarantuje istnienie większej niż trzy ilości ])unktów lub prostych, będą:
1.5 Istnieją trzy różne punkty współliniowe.
1.6 N a każdej prostej leżą trzy punkty różne.
L? Istnieją dwie proste nie przecinające się,.
1.8 Istnieją trzy różne proste przechodzące przez jeden punkt.
1.9 Przez każdy punkt przechodzą trzy różne proste.
1.10 Istnieją cztery różne punkty nie leżące na jednej prostej.
11.6 Jeżeli А Ф R, to istnieje punkt G różny od A i taki, że P ( Ą f R, G).
Wykażemy teraz, że dołączenie do badanego przez nas systemu АО jednego z dodatkowych aksjomatów (incydencji): 1.5 lub 1.9 pozwoli na usunięcie zeń aksjomatu uporządkowania I I . l . Podobny skutek w y
woła również zastąpienie aksjomatu 1.1 przez aksjomat 1.6 i tak samo zastąpienie aksjomatu 1.4 przez którykolwiek z aksjomatów 1.7, 1.8, czy 1.10. Wreszcie, ten sam efekt uzyskamy także zastępując aksjomat uporządkowania II.4 przez nieznacznie się odeń różniący aksjomat II.6.
Wszystkie opisane tu zmiany systemu aksjomatów pozwalają na skrócenie aksjomatyki uporządkowania, co jest właśnie celem tej pracy.
Udowodnimy teraz 6 twierdzeń, z których wyniknie, że dołączając do aksjomatów 1.1-4, II.2 -5 którykolwiek z aksjomatów 1.6-10, I I . 6, potrafimy na ich podstawie udowodnić aksjomat 1.5. A więc aksjomat 1.5 jest w tym sensie najsłabszy z rozpatrywanych przez nas aksjomatów dodatkowych.
Twierdzenie1. Z aksjomatów 1.2, 3, 4, 6 wynikają aksjomaty 1.1 i 1.5.
Twierdzenie 2. Z aksjomatów 1.1, 2, 3, 4, 9 wynika aksjomat 1.8.
Dowody tych obu twierdzeń są natychmiastowe.
Tw i e r d z e n i e 3. Z aksjomatów 1.1, 2, 3, 8 wynika aksjomat 1.4 i alter
natywa: 1.5 lub 1.7.
D ow ód . №ech a, b, c będą trzema różnymi prostymi przechodzącymi przez punkt jD, których istnienie wynika z aksjomatu 1.8. Na każdej z nich w myśl aksjomatu 1.1 istnieje jeszcze jeden punkt różny od I).
О hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania I I 8.1
84 Ł. D u b i k a j t i s
Punkty te oznaczymy odpowiednio przez: А , В, C (rys. 2). Punkty A , В, I ) nie mogą być współliniowe, przechodząca bowiem przez nie prosta musiałaby na mocy aksjomatu 1.3 być identyczna z dwiema różnymi prostymi: a i b. Tym samym aksjomat 1.4 jest udowodniony. Prowadzimy
teraz prostą d przez punkty A i B. Jeśli prosta ta nie przecina prostej c, to spełniany jest aksjomat 1.7, jeśli zaś ją przecina, to nietrudno wykazać, że uzyskany punkt przecięcia jest różny od A i В, a wobec tego spełniany jest aksjomat 1.5.
Twierdzenie 4. Z aksjomatów 1.1, 2, 3, 10 wynika aksjomat 1.4 i alternatywa: 1.5 lub 1.7.
D o w ó d . M ech A , В, С, В będą czterema różnymi punktami nie leżącymi na jednej prostej, których istnienie wynika z aksjomatu 1.10.
Przez punkt В i kolejno przez punkty: A\ В, C prowadzimy odpowiednio
proste: a, b, e (rys. 3). Któryś z punktów В lub G musi leżeć poza prostą a, gdyż w przeciwnym razie wszystkie cztery punkty byłyby, wbrew za
łożeniu, współliniowe. Istnieją zatem trzy punkty: В , А , В lub D, A , C nie leżące na jednej prostej i wobec tego spełniony jest aksjomat 1.4.
O hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania I I 85
Jeśli proste a, b, c są wszystkie różne, to spełniony jest aksjomat 1.8 i wobec tego twierdzenie nasze na mocy twierdzenia 3 jest udowodnione.
Jeśli zaś dwie z tych prostych pokrywają się (np. a = b), to leżą na nich trzy różne punkty współliniowe (w tym wypadku: D, A i B) i wobec tego spełniany jest aksjomat 1.5.
Tw ie r d z e n ie 5. Z aksjomatów 1.1, 2, 3, 7, I I . 2, 3, 4, 5 wynikają aksjomaty 1.4 i 1.5.
D ow ód . Mech a i b będą dwiema nie przecinającymi się prostymi, których istnienie wynika z aksjomatu 1.7. W myśl aksjomatu 1.1 istnieją punkty A , B, C, takie że: А ф C, A,Cea, Beb (rys. 4). Nietrudno spraw
dzić, że punkty te spełniają aksjomat 1.4.
W myśl aksjomatu I I . 4 istnieje punkt /), taki że (1) fi(A , В , 1)).
Wykażemy teraz, że punkt ten różny jest od punktów A i B, co wobec aksjomatu I I . 2 pociąga słuszność aksjomatu 1.5. Dowód ten przepro
wadzimy nie wprost i rozbijemy go na dwie części:
1. Załóżmy, że D = A. Wobec tego warunek (1) przybiera postać:
P ( A , B , A ). Wnioskujemy stąd na mocy definicji, że (2) ( i ( A , b , A ) . Posłużymy się teraz uogólnionym aksjomatem Pascha stosując go do trójki punktów A , A , C i prostej b. Wobec (2) i faktu, że —iCeb wniosku
jemy, iż zachodzi alternatywa o dwu identycznych członach: /3(A ,b,C )
Z drugiej strony jednak, warunek ten nie może zachodzić, gdyż w myśl założenia prosta b nie ma żadnego punktu wspólnego z prostą A C = a, a więc tym bardziej nie może leżeć na niej żaden punkt położony pomiędzy A i G.
2. Załóżmy teraz, że D — B. Wobec tego warunek (1) przybierze postać: (5{A , B , B ). Wnioskujemy stąd na mocy definicji, że zachodzi (3) f i(A , b , B ). Podobnie jak w poprzednim przypadku posłużymy się znowu aksjomatem I I . 5, tym razem jednak stosując go do prostej b i trójki punktów A , B, A . Wobec (3) i wobec tego, że —\Aeb wnioskujemy, że albo p (A ,b , A ), albo p ( B , b , A ) . Pierwszy człon alternatywy nie może jednak zachodzić, gdyż — jak to wykazaliśmy w pierwszej części do-
8в L. D u b i k a j t i s
wodu — prowadzi on do sprzeczności, drugi zaś także nie może zachodzić, gdyż jest sprzeczny z definicją (bowiem Beb).
Tw i e r d z e n i e 6. Z aksjomatów 1.1, 2, 3, 4 i I I . 2, 3, 5, 6 wynikają aksjomaty 1.5 i I I . 4.
D ow ód. Aksjomat I I . 4 wynika z aksjomatu I I . 6 w sposób oczy
wisty. Dowód aksjomatu 1.5 przeprowadzimy nie wprost. Założymy więc, że aksjomat ten nie jest spełniony, skąd wynika, że: (1) na każdej prostej leżą co najwyżej dwa punkty różne.
Wykażemy najiuerw, że przy tym założeniu spełniane są następu
jące dwa warunki:
(2) jeżeli P Ф Q, to P ( P , Q , Q ) , (3) jeżeli ~iQep, to ~^( i ( Q, p, Q) .
Istotnie: z założenia P Ф-Q wynika na mocy aksjomatu I I . 6 istnienie punktu B, takiego że E Ф Р i /3(P, Q, B). Jednakże, wobec założenia (1) musi zachodzić równość: В — Q, co w efekcie daje nam (2). Z kolei, po
nieważ w myśl aksjomatu II.3 warunek ( $( P, Q, Q) pociąga za sobą
—if i ( Q , P , Q ) , więc w oparciu odefinicję wnioskujemy z (2), że zachodzi również i (3).
Teraz pokażemy, że założenie (1) i jego konsekwencje: (2) i (3) pro
wadzą do sprzeczności. W tym celu rozpatrzymy dwa różne punkty A i В oraz prostą b przechodzącą przez punkt В i nie przechodzącą przez punkt A (rys. 5). Istnienie tych utworów wynika bezpośrednio z aksjo
matów incydencji. Wobec (2) zachodzi fi ( A, В, В), a więc na mocy de
finicji mamy: p ( A , b , B ) . Ponieważ —iAsb, możemy więc zastosować do prostej & i do trójki punktów A , B , A aksjomat I I . 5. Otrzymamy wów
czas alternatywę: ( 3 ( A , b , A ) lub j 3 ( B, b , A) . Pierwszy człon tej alter
natywy jest jednak sprzeczny z (3), drugi zaś — z definicją leżenia prostej między punktami (Beb).
Pozostało nam jeszcze do udowodnienia jedno twierdzenie: głoszące, że z aksjomatów 1.1-5, II.2 -5 wynika aksjomat I I . 1. Dowód tego twier
dzenia jest jednak bardziej skomplikowany i w związku z tym rozbijemy je na kilka lematów. W e wszystkich tych lematach będziemy się opierać na aksjomatach 1.1-5, II.2 -5 , nie zaznaczając tego jednak w samym sfor
mułowaniu owych lematów. A oto one:
Le m a t 1. Jeżeli f i ( A , B , G ) , to А Ф B.
Lemat ten wynika bezpośrednio z aksjomatu I I . 3.
Le m a t 2. Jeżeli na pewnej prostej nie przechodzącej przez punkt В leżą trzy różne punkty, to istnieją dwie pary punktów: A X) Cx i A 2, C2, takich że dla i — 1 , 2 zachodzi /?(Ai? В , Ci) i A i} В , Ci są różne, a przy tym proste przechodzące przez A x, B , Cx i przez A 2, B , C2 są różne.
D o w ó d . Z założenia wynika istnienie punktów: A x, A 2, A 31 В i prostych: a, bl y b2, b 3, takich że —iBea i dla i = 1 ,2 ,3 zachodzi
O hitherto wakiej aksjomatyee uporządkowania I I 87
A i t a B e b i (rys. 6). Ponieważ А ь-Ф B, więc na mocy aksjomatu I L I istnieją punkty: CX,C 2, C3, takie że dla i = 1 ,2 ,3 zachodzi ( l i) (3{Ah В , OJ.
Wykażemy teraz, że warunek (2f) В Ф Сч Ф A i jest spełniony przy
najmniej dla dwóch wartości i spośród trzech możliwych. W tym celu załóżmy, że nie jest spełniany warunek (23), a więc że zachodzi jedna z dwóch równości: (3) 0 3 — В lub (4) <73 = A 3.
Gdy zachodzi pierwsza z tych równości, warunek (13) przybiera postać: fi(A 3, В , B), skąd wynika, że (3(A3, ax, B). Stosując aksjomat ll.o do trójki punktów A 3, B , A 2 i do prostej bx otrzymamy alteT’na- tywę: f3(A3, bx, A 2) lub fi(B,bXl A 2). Drugi człon tej alternatywy jest sprzeczny z definicją (gdyż Bebx), pozostaje więc pierwszy, z którego wynika (5) fi(A 3, A x, A 2).
Rozpatrzymy teraz przypadek, gdy zachodzi druga z równości, tzn.
warunek (4): C3 — A 3. W tym wypadku warunek (13) przybierze postać:
fi(A 3, B , A 3), skąd na mocy definicji wynika: fi(A 3, bx, A 3). Jeśli zasto
sujemy aksjomat I I . 5 do prostej bx i trójki punktów A 3, A 3, Ag, to w wyniku otrzymamy alternatywę dwóch identycznych członów: ft(A 3, bx, Ag), skąd, wobec definicji, wynika również (5).
Wykazaliśmy więc, że założenie o fałszywości (23) pociąga za sobą warunek (5). Nietrudno sprawdzić, że pociąga ono również za sobą wa
runek (6) /?(.A3, A g, A x).
Postępując analogicznie można wykazać, że niespełnianie warunku (2j) pociągnęłoby za sobą: (ł(A x, A 3, A 2), niespełnianie zaś (23) pociągnęło
by: (i(A g, A 3, A x). Pierwszy z tych wyników jest jednak sprzeczny z (5), drugi zaś - z (6). Wnioskujemy stąd, że warunek (2.*) jest istotnie speł
niany przynajmniej dla dwóch wartości i.
Dla uzupełnienia dowodu naszego lematu wystarczy zauważyć, że z przyjętych założeń wynikają natychmiast warunki: A t Ф В oraz Ai^BjC^sbi dla i = 1 , 2 , 3 , proste bx zaś są wszystkie różne.
88 L. D u b i k a j t i s
Le m a t 3. Dla każdego punktu A istnieje pewna nie przechodząca przezeń prosta b, na której leżą trzy różne punkty.
D o w ó d . Niech będzie dany punkt A . W myśl aksjomatu 1.5 istnieje pewna prosta a, na której leżą trzy różne punkty. Jeśli prosta ta nie prze
chodzi przez punkt A , to lemat nasz jest udowodniony. Załóżmy wobec tego, że Aea. Z aksjomatów incydencji wynika istnienie punktu В leżą
cego poza prostą a. Punkt В i prosta a spełniają założenia lematu 2 i wobec tego w myśl tego lematu istnieją dwie trójki punktów różnych między sobą: A 1,B,G1eb1 i A 2,B ,G2eb2, przy czym Ъг ф b2. Z aksjomatów zaś incydencji wynika, że przynajmniej jedna z prostych bL nie przechodzi przez punkt A i tym samym spełnia tezę naszego lematu.
Le m a t 4. Jeżeli А Ф B, to istnieją dwa różne punkty: C i D , takie że P ( C , A , D ) , A ф С Ф D i В nie leży na prostej GAD (rys. 7),
D ow ó d . Z lematu 3 wynika, że dla dowolnego punktu A spełniane są założenia lematu 2. Z dwóch par punktów, których istnienie wynika z tego ostatniego lematu, ju'zynajmniej jedna jest niewspółliniowa z punktem В i wobec tego spełnia tezę dowodzonego przez nas lematu 4.
Teraz możemy już przystąpić do dowodu aksjomatu I I . 1:
Tw i e r d z e n i e 7. Z aksjomatów 1.1,2, 3 ,4 , 5 i 1 1 .2 ,3 ,4 ,5 wynika
aksjomat I I . 1. •
D o w ó d . Załóżmy, że (1) (3(A, В , G). Z lematu 4 wynika istnienie punktów D i E, takich że: (2) (1(D, A , E ), (3) А Ф D Ф E, (4) В nie leży na prostej A D E . Przez d oznaczymy prostą BD. Prosta ta dzięki warunkom (3) i (4) nie może przechodzić przez żaden z punktów: A i E (rys. 8). Wykażemy teraz kolejno, że: 1. А Ф B, 2. А Ф G, 3. В Ф G.
1. А Ф В wynika z założenia (1) na podstawie lematu 1.
2. Załóżmy, że A = G. Warunek (1) przybierze wówczas postać:
ft (A , B , A ). Pociąga to za sobą /5 (A , d , A ). Do prostej d i trójki punk
tów A j A , E zastosujemy aksjomat II.5, w wyniku czego otrzymamy ( i { A, d, E) , a stąd: f t { At _D, E), co na mocy aksjomatu II.3 jest sprzeczne
O hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania I I 80
z założeniem (2). A więc założenie o równości A — C doprowadziło nas do sprzeczności.
3. Załóżmy teraz, że В — C. Warunek (1) przybierze w takim razie postać: f i ( A , B , B ) . Pociąga to za sobą f } (A ,d ,B ). Stosując aksjomat I I . 5 do prostej d i trójki punktów А , В, E otrzymamy alternatywę:
f i ( A , d , E ) lub f i(B , d , E ). Drugi człon tej alternatywy nie może być spełniany ze względu na to, że punkt В leży na prostej d, a to jest sprzeczne z definicją. Z pierwszego zaś członu wynika fi {А , В , E ), co jest na mocy aksjomatu I I . 3 sprzeczne z (2). Z uzyskanej tu sprzeczności wynika nie
równość В Ф C.
Spełniany jest więc aksjomat IT.1, wobec czego udowodniliśmy twierdzenie 7.
Z udowodnionych tu twierdzeń 1 - 7 wynika możność zastąpienia aksjomatyki АО przez którąkolwiek z następujących aksjomatyk:
A l : 1.1-5, II.2 -5 A 2 : 1.2-4, 6, II.2 -5 A3: 1.1-3, 7, I I . 2-5 A4: 1.1-3, 8, .11.2-5 A5: 1.1-4, 9, I I . 2 - 5 A 6 : 1.1-3,10, II.2 -5 A 7 : 1.1-4, I I . 2, 3, 5, 6
(wynika to z twierdzenia 7), (wynika to z twierdzeń: 1 i 7), (wynika to z twierdzeń: 5 i 7), (wynika to z twierdzeń: 3, 5 i 7), (wynika to z twierdzeń: 2, 3, 5 i 7), (wynika to z twierdzeń: 4, 5 i 7), (wynika to z twierdzeń: 6 i 7).
Nasuwają się przy tym następujące uwagi:
U w a g a 1. Aksjomatyki: A l, A2, A4-A7 są — jak łatwo spraw
dzić — równoważne aksjomatyce АО, a wobec tego także i aksjomatyce składającej się z aksjomatów incydencji i uporządkowania Hilberta ([4]), czy Borsuka i Szmielew, tzn. aksjomatyce 11-14, U1-U5 tych autorów.
(Mowa tu oczywiście o aksjomatach geometrii płaskiej.) Aksjomatyka A3 jest od nich mocniejsza, jednak daje się udowodnić nie tylko w geo
metrii euklidesowej, lecz również w geometrii absolutnej i geometrii afinicznej. Wszystkie więc te aksjomatyki są spełniane w wymienionych tu trzech geometriach.
U w a g a 2. W e wszystkich aksjomatykach A0-A7 aksjomat in
cydencji 1.2 jest zależny, wynika on bowiem — jak to zauważył A. Bie
lecki [1] (odnośnik (15) na str. 161) — z aksjomatów I I . 2 i I I . 4. Nie ma to jednak żadnego związku z naszymi rozważaniami, w pracy tej bowiem badamy możliwości skrócenia wyłącznie aksjomatów uporządkowania.
U w a g a 3. Bezpośredni dowód aksjomatu II. 1. przeprowadziliśmy tylko na gruncie aksjomatyki A l (twierdzenie 7). Spełnianie zaś I I . 1 przez inne aksjomatyki wynika z twierdzenia 7 pośrednio — w oparciu o twierdzenia 1-6 mówiące o związkach pomiędzy poszczególnymi aksjomatykami. Można było postąpić inaczej: przeprowadzić niezależnie od siebie dowody spełniania aksjomatu I I . 1 w każdej z rozpatrywanych
90 L. D u b i k a j t i s
aksjomatyk. Tego rodzaju postępowanie z jednej strony zwiększyłoby rozmiary tej pracy, z drugiej jednak strony - pozwoliłoby nam przekonać się, że dowód aksjomatu I I . 1 w pozostałych aksjomatykach (mocniej
szych od A l ) jest o wiele mniej skomplikowany i nie wymaga tylu lema
tów co twierdzenie 7.
U w a g a 4. Wyjściowa nasza aksjomatyka АО jest równoważna jako całość aksjomatyce 11-14, U l, U3-U5 Borsuka i Sz miele w. W myśl więc wyników pierwszej części tej pracy ([3 ]) aksjomat U2 da się na jej podstawie udowodnić. Aksjomat I I . 5 jest jednak o tyle mocniejszy od aksjomatu U5, że dowód ten znacznie się uprości: W [3] wymagał on udo
wodnienia sześciu twierdzeń pomocniczych, a tutaj udowodnimy go w prosty sposób bezpośrednio z aksjomatów:
Tw i e r d z e n i e 8. 7; aksjomaty ki АО wynika aksjomat U2.
Болу ód. Załóżmy, że (3(A, В , C). Z aksjomatów incydencji wynika istnienie prostej p przechodzącej przez punkt В i nie przechodzącej przez punkt A. W myśl definicji mamy więc: ( i { A f p , C ) . Stosując teraz aksjomat I I . 5 do prostej p i trójki punktów A, G, A otrzymamy alternatywę:
f t ( A , p , A ) lub j3(C, p , A ). Pierwszy człon tej alternatywy jest jednak sprzeczny z aksjomatem I I . l , a wobec tego zachodzić musi drugi, co pocią
ga za sobą natychmiast /3(С, В , A ), czyli tezę dowodzonego aksjomatu U2.
Cechą charakterystyczną aksjomatyk A1-A7 jest skrócenie w nich (w stosunku do aksjomatyki АО) łącznej długości aksjomatów uporząd
kowania, co prawda niekiedy (A l, A5) kosztem wydłużenia aksjomatów incydencji. W ten sposób został osiągnięty — w pewnej mierze przy
najmniej — cel wyznaczony na początku tej pracy.
Na zakończenie podajemy parę łatwych problemów wiążących się z treścią tej pracy:
P ro b le m 1. Zbadać niezależność każdej z aksjomatyk A0-A7 (po usunięciu z nich, rzecz jasna, aksjomatu 1.2).
P r o b le m 2. Skrócić jeszcze bardziej aksjomatykę uporządkowania wzmacniając w odpowiedni sposób aksjomaty incydencji.
P r o b le m 3. Czy przez zmianę kolejności punktów w sformułowaniach 7>oszczególnych aksjomatów uporządkowania nie uda się uzyskać uprosz
czenia dowodów niektórych twierdzeń podanych w obu częściach tej pracy?
Prace cytowane
[1] A. B ie le c k i, Sur V indćpendanee des ariomes d'incidence, d’ordre el de con
gruence de Hilbert, Ann. TJniv. M. Curie-Sklodowska, sec. A, 9 (1955), str. 157-175.
[2] K. B o rs u k i W. S z m ie le w , Podstawy geometrii, Warszawa 1955.
[3] L. D u b ik a jt is , Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania i je j mody
fikacjach! (Zależność symetrii relacji leżenia „miedzy” ), PraceMatem., ten tom,str. 71 -79.
[4] D. H ilb e r t , Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1930.
U N IW E R S Y T E T M IK O Ł A J A K O P E R N IK A W T O R U N IU
O hilbertowskiej aksjomaty се uporządkowania I I 91
Л. Ду б и к а й т и с (Торунь)
О Г И Л Ь Б К Р Т О В С К И Х А К С И О М А Х П О Р Я Д К А И ИХ М О Д И Ф И К А Ц И И I I (Усиление аксиомы Паша)
РЕЗЮМЕ
В работе рассматривается аксиомы Ш ', Ш " , ИЗ, U4 и Иб [3]. Доказы
вается, что если в аксиоме U 5 отказаться от требования, чтобы точки А , В, С не лежали на одной прямой, а к аксиомам соединения добавить новую — о су
ществовании большего числа элементов — можно доказать аксиому UU.
Предлагается, в качестве новой аксиомы соединения, принять одну из следующих:
1.5 Существуют три различные точки лежащие на одной прямой.
1.6 На каждой прямой лежат по меньшей мере три разные точки.
1.7 Существуют две прямые без общих точек.
1.8 Существуют три разные прямые пересекающиеся в одной точке.
1.9 Каждая точка лежит на трех разных прямых.
1.10 Существуют четыре разные точки не лежащие на одной прямой.
Вместо того, чтобы присоединять новую аксиому к аксиомам соединения, достаточно также аксиому И4 заменить следующей:
II. 6 Если А Ф В, то существует точка С Ф А, такая, что fi (А , В , С).
L. Du b i k a j t i s (Toruń)
RE M AR Q U E S SUR LES A X IO M E S D ’ O R D R E DE H IL B E R T E T SUR LE U R S M O D IF IC A T IO N S I I
(Renforcement de l’axiome de Pasch)
R S S U M l
Dans ce travail on considóre les axiomes U l', U l " , U3, U4 et U5 de [3J. On у demontre qu’en rejetant dans l’axiome U5 la condition exigeant que les points A , В , С ne soient pas alignds et en ajoutant anx axiomes d’incidence un nouvel axiome, exigeant Fexistence d’un plus grand nombre d’dlements — on pent demontrer l ’axiome UU.
Comme axiome supplómentaire d’incidence on propose l ’un des axiomes sui- vants:
1.5 I I existe trois points distincts en ligne droite.
1.6 Sur chaque droite i l у a trois points distincts.
1.7 I I existe deux droites sans points commune.
1.8 I I existe trois droites distinctes concourantes.
1.9 Chaque point est situe sur trois droites distinctes.
1.10 I I existe quatre points distincts non en ligne droite.
Au lieu d’ajouter de nouveaux axiomes d’incidence, il suffit aussi de changer l ’axiome U4 en le remplaęant par le suivant:
II.6 S i А Ф B, il existe un point C distinct de A et tel que fi(A , В, C).
