L. Dubikajtis (Toruń)
Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania
i jej modyfikacjach I
(Zależność symetrii relacji „leżenia między” )
Podany przez D. Hilberta [2] układ aksjomatów geometrii euklide- sowej ma co prawda wiele wad, jeśli jednak chodzi o przystępny wykład geometrii — pozostaje on nadal niezastąpiony. W związku z tym, jest on do dziś powszechnie stosowany przez większość specjalistów z podstaw geometrii i prawie wszystkie podręczniki oraz monografie z tej dziedziny zawierają wykład geometrii euklidesowej oparty na aksjomatach uzyska nych przez wprowadzenie nieznacznych tylko zmian w aksjomatyce Hilberta. Zmiany te są dokonywane w celu usunięcia rozmaitych drobnych usterek klasycznej aksjomatyki Hilberta. Mianowicie: niektóre aksjo maty Hilberta są zależne, inne — zbyt silne (i można je bez szkody dla całej aksjomatyki znacznie osłabić), inne wreszcie — powstały przez sztuczne skomasowanie w jednym aksjomacie kilku zupełnie odrębnych własności opisywanych w nim pojęć.
1). Hilbert podzielił swe aksjomaty na 5 klas. W pracy tej zajmiemy się klasą aksjomatów uporządkowania w rozmaitych systemach wywo dzących się z aksjomatyki Hilberta. W szczególności, w pierwszej jej części omówimy aksjomatykę w tej postaci, w jakiej podaje ją książka K. Borsuka i W. Szmielew — Podstawy geometrii [1].
Bez żadnej szkody dla ogólności rozważań można się tutaj ograniczyć do geometrii płaskiej. W związku z tym, w dalszym ciągu przez aksjomaty incydencji będziemy zawsze rozumieli aksjomaty incydencji geometrii płaskiej, w aksjomacie zaś Pascha pominiemy założenie dotyczące leże nia wszystkich omawianych w nim utworów na pewnej płaszczyźnie.
Umówimy się oznaczać punkty dużymi literami, proste zaś — ma łymi literami alfabetu łacińskiego. Incydencję i leżenie między oznaczymy odpowiednio symbolami e i /?. Tak więc zapis: Aeb będzie oznaczał, że punkt A leży na prostej b, zapis zaś: p {A , B , C ) — że punkt В leży po między punktami A i C. Dla oznaczenia negacji użyjemy logicznego symbolu “ i. (Zapisy: —^ (M , Й, O) i Aeb oznaczają odpowiednio, że
72 L. D u b i k a j t i s
Aksjomaty uporządkowania podane w [1] (str. 29-30) przyjmą postać następującą:
Ul. Jeżeli fi (А , В , G), to punkty A , B, G są wspólliniowe i różne.
U2. Jeżeli fi(A , В , C), to f i(G , B , A ). U3. Jeżeli f i ( A , B , G ) , to ~ ^ p { B, A , G) .
Ш . Jeżeli А Ф B, to istnieje punkt G spełniający warunek fi (A , B , G).
De f in ic j a. Powiemy, że prosta b leży między punktami A i G ( i za piszemy to symbolem f i { A , b , G) ) , wtedy i tylko wtedy, gdy ~iAeb, ~^Geb oraz istnieje punkt В leżący na b, taki że zachodzi fi {A , B , G).
U5. Asjomat Pascha. Jeżeli 1° f i { A , p , B), 2° -i Gep,
3° punkty A , B, G są niewspółliniowe,
to zachodzi f i ( A , p , C ) lub f i { B , p , G ) .
W pracy tej wykażemy, że aksjomat U2 jest zależny od pozostałych aksjomatów uporządkowania i aksjomatów incydencji geometrii pła skiej ( 1). W tym celu udowodnimy kolejno kilka twierdzeń pomocniczych nie posługując się przy tym aksjomatem U2.
Tw ie r d z e n ie 1. Jeżeli punkty A i В są różne i przy tym Aea i Beb,
to istnieje punkt G niewspółliniowy z A i В i nie leżący na żadnej z pro stych a i b.
D o wód. Do założeń twierdzenia możemy dołączyć dodatkowo wa runek (1) а Ф b, w wypadku bowiem niezachodzenia tego warunku tezę
twierdzenia spełnia każdy punkt G leżący poza prostą a.
Gdyby jednocześnie zachodziły warunki: Aeb i Bea, to wobec zało żenia (1) mielibyśmy А ~ В wbrew założeniom twierdzenia. Załóżmy więc jeszcze dodatkowo, że zachodzi (2) ~i Aeb. (W wypadku, gdy ~^Bea, dowód przebiega analogicznie.)
Z dodatkowego założenia (1) wynika, że proste a i b mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Ponieważ zaś w myśl aksjomatów U4 i U l na każdej prostej leżą przynajmniej trzy punkty różne, więc na prostej b musi leżeć pewien punkt B ' różny od В i nie leżący na a. Punkty A i B ' są wobec (2) różne, a zatem przechodzi przez nie dokładnie jedna prosta c (rys. 1). Жa tej prostej także istnieją przynajmniej trzy punkty różne. Mech G będzie punktem prostej c różnym od A i B'. W oparciu o aksjo maty incydencji nietrudno wykazać, że punkt G spełnia tezę twierdze nia. Istotnie: Gdyby Gea, to mielibyśmy c = a, skąd B'ea, wbrew zało żeniu. Gdyby Geb, to wynikałoby z tego c = b, a stąd Aeb, co jest sprzeczne
z założeniem dodatkowym (2 ). Wreszcie, gdyby А , В, C były współliniowe, to mielibyśmy Вес, skąd wynikłoby c — b, co, jak pokazaliśmy, pro wadzi również do sprzeczności.
Tw i e r d z e n i e 2. Jeżeli punkt A leży na prostej a, to poza prostą a znajduje się przynajmniej jedna para punktów niewspółliniowa z punktem A.
Болу ód. Z aksjomatów incydencji wTynika, że poza prostą a leży pewien pnnkt B, na prostej zaś a leży pewien punkt A ' różny od A (rys. 2). Przez punkty A ' i В prowadzimy prostą b. Z aksjomatów Ш i U l wynika istnienie na niej punktu O różnego od i ' i od B. Nietrudno sprawdzić, że punkty В i C spełniają tezę naszego twderdzenia.
Tw i e r d z e n i e 3. Jeżeli trzy różne punkty А , В, C są współliniowe, a przy tym fi { A , В , C), to istnieje prosta b przechodząca przez punkt B, a nie przechodząca przez A i G, i taka, że ~i fi (A , b, C).
D ow ód . Niech punkty А , В, C spełniające założenia twierdzenia leżą na prostej d. Z aksjomatów incydencji wynika istnienie punktu D leżącego poza prostą d oraz istnienie prostej b przechodzącej przez punkty
В i D, przy czym jedynym punktem wspólnym prostych b i d jest punkt В
74 L. D u b i k a j t i s
Twierdzenie 4. Istnieją dwa różne punkty A i В oraz nie przecho dząca przez nie prosta p , takie że jednocześnie p , B ) i ~i f i ( B, p , A).
D o w ó d przeprowadzimy nie wprost. Załóżmy, że twierdzenie jest fałszywe, tzn. słuszne jest następujące zdanie:
(*)
Dla dowolnych punktów różnych A i В oraz nie przechodzącej przez nie prostej p zachodzi przynajmniej jedna z dwóch możli wości: f } ( A , p , B ) lub p ( B , p , A ) .
Wykażemy teraz, że z (*) > wynika pewien warunek, który z kolei oznaczymy przez (**) i który doprowadzi nas do sprzeczności z założe niem (*). Ten drugi warunek brzmi:
| Dla dowolnych trzech punktów P , Q, В warunek ( Ц Р , Q , R) (pociąga zawsze spełnienie przez nie warunku ~ if i ( B , Q , P ) .
1. Udowodnimy teraz, że (*) pociąga istotnie (**). Załóżmy w tym celu, że (1) /?(P, Q , B). Wówczas na mocy aksjomatu U l punkty P , Q, В są różne i współliniowe. Z aksjomatu zaś U3 wynika f i ( Q , P , B ) , co
wobec twierdzenia 3 pociąga istnienie pewnej prostej p spełniającej wa runki: Pep, ~^Qep, ~^Bep, ~ ' ( 3 ( Q , p , B ) (rys. 4). Wnioskujemy stąd w oparciu o (*), że fi{B, p, Q), co na mocy definicji pociąga (2) /3(P, P , Ф). W podobny sposób jak z (1) wywnioskowaliśmy (2) — z (2) wynika (3)
f t ( Q , B , P ) , stąd zaś na mocy aksjomatu U3 wynika (4) —> fi(B, Q , P ).
A więc (1) pociąga (przy założeniu (* )) warunek (4), czyli istotnie przy założeniu (*) zachodzi (**).
2. Udowodnimy teraz, że założenie (*) prowadzi do sprzeczności. Z aksjomatów incydencji wynika istnienie trzech niewspółliniowych punktów A, B x, P 2. W oparciu o aksjomat U4 wnioskujemy o istnieniu punktów Cx i C2 spełniających odpowiednio warunki:
(5) p ( A , Bi , Ci) i 0 ( A , P 2, C2) (rys. 5).
lub /?(02, P 2> A ). Obie te możliwości są jednak wobec (**) sprzeczne z założeniem (5), co właśnie należało wykazać.
Tw ie r d z e n ie 5. Istnieje trójka punktów P, Q, P ', takich że jedno cześnie f t ( P , Q , P ') i (ł (P ’ , Q , P ).
D ow ód . W myśl twierdzenia 4 istnieją dwa różne punkty P i В oraz prosta q, takie że:
(1) --Peg, (2) - Peg (3) -i/*(P, g, Д), (4) /J(JK, g, P ). Z aksjomatów incydencji wynika istnienie prostej p i punktu Q, takich że (5) P , Вер, (6) Qeq, (7) - i Qep (rys. 6). Ponieważ wobec (6) i (7) P Ф Q, więc na mocy aksjomatu U4 istnieje punkt P ', taki że zachodzi (8) (3 {P ,Q , P '). Wykażemy teraz, że spełniony jest także i drugi warunek, o którym mówi dowodzone twierdzenie, tzn. j3 {P', Q , P ).
W oparciu o aksjomat U l wnioskujemy z (8), że punkty P , Q, P ' są różne i że istnieje prosta r, taka że (9) P , Q , P ’er (rys. 6). Stąd zaś, uwzględniając (1) i (7) możemy wywnioskować, że prosta r jest różna od prostych p i q, co z kolei pociąga za sobą (10) ~^P'eq i (11) P , P ', В są niewspółliniowe. Warunki (8), (6), (1) i (9) dają w myśl definicji
P ( P , q, P '), co wobec (2) i (11) daje na podstawie aksjomatu U5 alter
natywę: (} { P , q , B ) lub ft(P ’ , q, B). Pierwszy człon tej alternatywy jest sprzeczny z założeniem (3), pozostaje więc drugi, który z kolei pozwala na mocy aksjomatu U5 wywnioskować (wobec (1) i (11)), że zachodzi / ? (P ',g ,P ) lub / 3 (B ,q ,P ). W tej ostatniej alternatywie drugi człon od pada ze względu na założenie (4) i wobec tego mamy: /?(P', q , P ), co po uwzględnieniu faktu, że Q jest jedynym punktem wspólnym prostych r i q, daje nam: /?(P', Q , P ). Warunek ten zaś, łącznie z (8), stanowi tezę dowodzonego twierdzenia.
Tw ie e d z e n ie 6. Jeżeli (1) p ( P , Q , P ' ) , (2) f t ( P' , Q, P) , (3) P , Q , B są niewspółliniowe i (4) fi(Q, P , Q'), to również B, Q).
A
P'
7 fi L. D u b i k a j t i s
D ow ód. Z założeń twierdzenia wynika na podstawie aksjomatu U l oraz aksjomatów incydencji, że punkty P , Q , Q ' tworzą trójkąt (tzn. są niewspółliniowe), punkty zaś P' , R wyznaczają pewną prostą, którą oznaczymy przez p, przy czym ~^Pep (rys. 7). Nietrudno wykazać, że wobec założenia (4) zachodzi ft{Q, p , Q'), skąd na mocy aksjomatu Ш wnioskujemy, że bądź ft{Q,p, P), bądź też ( 3{Q' , p, P) . Pierwszy z członów tej alternatywy jest jednak na mocy aksjomatu U3 sprzeczny z założeniem (2), gdyż pociąga za sobą warunek f i { Q , P ' , P ) (P ' jest bowiem jedynym punktem wspólnym prostej p z prostą QP). Musi więc być spełniony drugi człon alternatywy: p , P ). Uwzględniając fakt, że - i Qep i sto
sując po raz wtóry aksjomat U5 do tego samego trójkąta i prostej otrzy mamy z kolei alternatywę: /3 ((*)', p , Q) lub f i ( P , p , Q ) . W przypadku, gdy zachodzi pierwszy człon tej alternatywy — twierdzenie jest spełnione; załóżmy więc, że tak nie jest, tzn. (5) j 3( P, p, Q) .
Prowadzimy teraz prostą p ' przez punkty P , R i powtarzamy dokład nie cały przebieg dotychczasowych rozważań zastępując tylko prostą p przez p ', trójkąt zaś PQQ' — przez trójkąt P'QQ'. W wyniku tych rozwa żań otrzymujemy alternatywę: p{Q', p ', Q) lub /3(P', p ', Q). Pierwszy człon tej alternatywy daje nam tezę twierdzenia, drugi zaś — jak nietrudno sprawdzić — jest sprzeczny z założeniem (5). Istotnie, pociąga on łącznie z (o) związki: /3(Р, P ', Q) i /?(P', P , Q), które na podstawie aksjomatu Ш są ze sobą sprzeczne.
Teraz możemy już p r z y s t ą p i ć do dowodu aksjomatu
U2. Jeżeli 0{ A, B, A' ) , to 0 (A ', B, A).
D ow ó d . Załóżmy, że (1) ( 3(A, B, A ’). Z twierdzenia 5 wynika ist nienie punktów P , P ' , Q spełniających warunki: (2) f i { P , Q , P ' ) i (3)
fi(P ', Q , P ) , z aksjomatu zaś U l -- istnienie prostych a i p, takich że (4) A ,A ’,Bea i (5) P , P ’,Qep. Dowód naszego twierdzenia rozbijamy na dwa
1. Załóżmy, że (6) A (rys. 8). Mamy więc: Asa, Qep, A. Ф Qi skąd na mocy twierdzenia 1 wynika istnienie punktu B, takiego że (7)
Вер, (8) “ iBea i (9) A , Q , B są niewspółliniowe. Ponieważ Q Ф B,
а В ф A, więc w oparciu o aksjomat U4 wnioskujemy o istnieniu punk tów Q' i B ', takich że (10) f3(Q, B , Q') i (11) ft(B , A , B ') (rys. 8). Stosu jemy teraz trzykrotnie twierdzenie 6: Z warunków (2), (3), (5), (7) i (10) wynika (12) (3(Q', B , Q). Z warunków zaś (10), (12), (9) i (11) wynika (13) (3(B', A , B). Wreszcie z warunków (11), (13), (4), (8) oraz (1) wynika
fi (A ', B , A ), czyli teza twierdzenia.
2. Załóżmy z kolei, że (14) A = Q. W tym wypadku trzeba rozpatrzyć znów dwie ewentualności:
2.1. Jeżeli punkt В jest niewspółliniowy z punktami P , Q (rys. 9), to wobec (2), (3), (14) i (1) wnioskujemy na podstawie twierdzenia 6, że zachodzi również (3(A', В , Q), czyli teza naszego twierdzenia.
2.2. Załóżmy więc, że punkty B ,P ,Q są współliniowe (rys. 10), a za tem w związku z założeniem (14) zachodzi równość a — p. W oparciu 0 twierdzenie 2 wnioskujemy o istnieniu punktów В i 8 nie leżących na a 1 niewspółliniowych z Q. Postępujemy teraz podobnie jak w pierwszej części dowodu: Ponieważ Q Ф В, В Ф $, a 8 ф A = Q, więc na mocy aks jomatu IT4 wnioskujemy o istnieniu punktów: Q’, B ' i 8', takich, że
f i(Q ,B ,Q '), f i ( B , 8 , B ') i ji(8 , A , 8 ') (rys. 10). Stosując teraz cztero
krotnie twierdzenie 6 wnioskujemy kolejno, że: fi(Q', B , Q), fi(B ', S', B),
(3(8', A , 8) i wreszcie f3(A', В , A ), Nietrudno sprawdzić, że za każdym
razem wszystkie założenia twierdzenia 6 są spełnione, a wobec tego dowód naszego twierdzenia jest zakończony.
P
R'
78 L. JDubikajtis
Pozostałe aksjomaty uporządkowania Borsuka i Szmielew są nieza leżne, nawet jeśli aksjomat U l rozbijemy na dwa prostsze:
Ul'. Jeżeli fi (А , В , C), to рипМу А , В , G są różne.
Ш " . Jeżeli f i ( A , B , C ) , to punlcty А , В, C są wspólliniowe.
Precyzując, możemy powiedzieć, że w systemie składającym się ze wszyst kich aksjomatów incydencji geometrii płaskiej, aksjomatu równoległości oraz aksjomatów U l', U l'', U3, U4 i U5 każdy z tych ostatnich pięciu aksjomatów jest niezależny od pozostałych aksjomatów całego systemu.
Dla dowodu rozpatrzymy kolejno pięć modeli, w których zbiór punktów, zbiór prostych i relacja incydencji są interpretowane jako te same pojęcia na płaszczyźnie euklidesowej, a poszczególne modele różnią się tylko odrębną interpretacją relacji leżenia między: fi. I tak, relacja
f i ( A , B , C ) oznacza:
w modelu niezależności U l ' — relację: В Ф A = <7,
w modelu niezależności U l " — relację: А Ф C, A B > AC i BC > A C , w modelu niezależności U3 — relację: A , В, C są wspólliniowe i różne, w modelu niezależności U4 — relację pustą,
w modelu niezależności U5 — relację: А Ф C i В jest środkiem odcinka AC.
Sprawdzenie, że opisane tu modele istotnie świadczą o niezależności poszczególnych aksjomatów, nie przedstawia żadnych trudności.
Prace cytowane
[1] К. В o rsu k i W. S z m i e l e w , Podstawy geometrii, Warszawa 1955. [2] D. H ilb e r t , Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1930.
U3. Если P (A , В , С), то ~ i p ( B , A , C ) С- 'обозначает отрицание). U4. Если А Ф В, то существует такая точка С, что Р ( А , В , С ) . Пусть Р (А , В , С) обозначает, что ~ i (Aeb), (СеЪ) и пусть существует такая точка В, что ВеЪ и р (А , В , С). U5. Если Р (А , р , В ), “ i (Сер) и точки А , В, С не лежат на одной прямой» то р ( А , р , С ) или Р ( В , р , С ) . В работе доказывается, что аксиома U2 зависит от других аксиом порядка и аксиом соединения и что отбрасывая её получаем независимую систему (аксиом порядка) даже если аксиому Ш разобьем на две следующие: U l7. Е ели /5{А , В , С), то точки А , В , С различны. U1". Если Р ( А , В , С ) , то точки А , В, С лежат на одной прямой. L. Du b ik a j tis (Toruń)
REM ARQUES SUR LES A X IO M E S D ’ O R D R E DE H IL B R R T E T SUR LE U R S M O D IF IC A T IO N S I
(Dópendance de l ’axiome de symetrie de la rólation p)
RfiSUME
Les axiomes d ’ordre de la góomótrie euclidienne admis par K. Borsuk et W. Szmielew dans leur livre „Podstaw y geometrii” [1] concernent comme d’habitude deux notions primitives: e et p. (Aeb signifie: le point A est situó sur la droite b, et
(.Ц А , В , C) signifie: le point В est situó entre les points A et 0.) Voici ces axiomes:
Ш . Si ft ( A , В , C), les points А , В, О sont distincts et situes en ligne droite. U2. Si p ( A , B , G ) , on a p ( C , B , A ).
U3. Si P ( A , В , G), on a “ ' fi(B , A , C) (~'designe la negation). U4. Si А Ф B, il existe un point О tel que ft ( A , В , C).
D e f in it io n : p (A , b , C) veut dire gue~i (A e b ),-1 (Ceb) et qu'il existe un point В te
que Beb et P ( A , В , C).
U5. Si P ( A , p , B),~~X(G ep) et les points A , B , C ne sont pas alignes, on a soil
p ( A , p , 0), soit P ( B , p , C ) .
Dans ce travail on demontre que l ’axiome U2 depend d’autres axiomes d’ordre et des axiomes d’incidence, et que, en rejetant cet axiome, on obtient un systóme indópendant (d’axiomes d’ordre), т ё ш е si l ’ on partage Г axiome U l en deux axiomes suivants:
U l'. S i P ( A , В , C), les points A , B , G sont distincts.
