O sumach prostych grup cyklicznych

O sumach prostych grup cyklicznych

Wiadomo, że każda grapa abelowa generowana przez skończony zbiór swoich elementów ma bazę (x). Każda baza grapy, skończona lub nie, jest minimalnym zbiorem generatorów. Jednakże, jak zobaczymy na przykładzie 2, grapa abelowa mająca minimalny zbiór generatorów może nie rozkładać się na sumę prostą grup cyklicznych, a więc może nie mieć bazy. Co więcej, w przykładzie 4 podamy minimalny zbiór generatorów grupy skończonej (a więc na pewno mającej bazę) nie stanowiący bazy.

Nasuwa się zagadnienie, jakie postulaty trzeba dołączyć do warunku minimalności, by otrzymać warunki charakteryzujące bazę. Zagadnienie to postawił J. Łoś na seminarium Grupy Algebry Instytutu Matematycz­

nego PAN. Wiąże się ono z pracą T. Szelego [4], w której autor podaje warunek nazwany warunkiem ekstremalności, dostateczny na to, by (minimalny) zbiór generatorów był bazą. W niniejszej pracy modyfi­

kując warunek Szelego uzyskuję warunek, który już charakteryzuje bazę.

Warunek ten jest sformułowany w twierdzeniu 2; różni się on od warunku, który podał L. Fuchs w pracy [2] — sformułowałem go przed opubliko­

waniem pracy Fuchsa(2).

Praca mmejsza składa się z dwóch części. W pierwszej są podstawowe pojęcia i twierdzenia z teorii grup abelowych, w drugiej — charaktery­

zacja bazy i wnioski z tej charakteryzacji. Czytelnik znający teorię grup abelowych może zacząć lekturę od części drugiej.

Pragnę podziękować profesorowi J. Łosiowi za pomoc przy wykony­

waniu tej pracy i E. Sąsiadzie za cenne uwagi przy redagowaniu.

I. Będziemy rozważali wyłącznie grapy przemienne (abelowe). Ele­

ment neutralny (zero) grupy oznaczamy symbolem 0 , działanie grupowe zaś zapisujemy addytywnie.

(x) Wszystkie występujące tu a mniej znane pojęcia są wyjaśnione w pierwszej części tej pracy, wprowadzającej czytelnika w teorię grup abelowych.

(2) Referowany na posiedzeniu Oddziału Warszawskiego Polskiego Towarzystwa Matematycznego w dniu 15 maja 1952 roku.

A . W łodzimierz M ostowski (W a r s z a w a )

Najmniejszą podgrupę grupy G zawierającą zbiór Z oznaczamy sym­

bolem {Z \. Jest to oczywiście zbiór wszystkich elementów geG, które dają się przedstawić jako kombinacja liniowa

g = nyzx + ... + n kzk,

w której zx, ..., zke Z , a n1, ... , nk są liczbami całkowitymi.

Jeżeli Z = (zx, . .. , zk), to zamiast [Z\ piszemy { % , . . . , zĄ. Jeżeli

\ZX\ — [Z2}, to zbiory Z x i Z 2 nazywamy równoważnymi. Zbiór równo­

ważny z całą grupą nazywa się zbiorem generatorów grupy. Zbiór genera­

torów pewnej grupy G, którego żaden podzbiór właściwy nie jest z nim równoważny, nazywa się minimalnym, zbiorem generatorów.

P rzykład 1. Jeżeli zbiór Z = (z) jest jednoelementowy, to grupa

\Zj = («} jest cykliczna. Zbiór Z jest wtedy oczywiście minimalny.

P rzykład 2. Niech W będzie addytywną grupą liczb wymiernych, a Z zbiorem odwrotności wszystkich liczb pierwszych Z = (y, y , | , ...).

Grupa {Z } składa się z tych liczb wymiernych, które można przedstawić w postaci ułamka o mianowniku niepodzielnym przez kwadrat żadnej liczby pierwszej. Zbiór Z jest jej minimalnym zbiorem generatorów, gdyż jeżeli p jest liczbą pierwszą, to każdy element grupy { Z \ ( l / p ) j (gdzie \ oznacza odejmowanie w sensie teorii mnogości) daje się przedsta­

wić w postaci ułamka, którego mianownik nie dzieh się przez p. Element 1 lp grupy [Z] nie daje się przedstawić w postaci takiego ułamka, a więc nie należy do grupy j Z \ ( l / p ) j .

Mówimy, że grupa G rozMada się na sumę prostą podgrup 6rf , gdzie | przebiega pewien zbiór wskaźników, jeżeli każdy element geG daje się jednoznacznie przedstawić w postaci

(*) 0 = 0i + •••+&,

gdzie gi€G$i, a ^ są wszystkie różne. Jednoznaczność jest tu rozumiana z dokładnością do porządku składników i liczby składników równych 0.

Jeśli grupa G jest sumą prostą grup G?, to piszemy G = £ G ę, a w przy-

s

padku ciągu podgrup G = Gx+G2+ •. •

P rzykład 3. Niech CN będzie grupą cykliczną rzędu Ж, а Ж —

= Pi1 ... Pkk rozkładem kanonicznym liczby Ж na iloczyn liczb pierw­

szych. Niech Cpni , ..., Gvnk będą podgrupami cyklicznymi grupy CN rzę-

1 к

dów odpowiednio pi1, . .. , Pkk • Wtedy

G n — Opni • • • Ą-Gpnk.

1 к

Bozkłady innych grup na sumy proste grup cyklicznych podane

są w przykładach 4 i 5.

O s u m a c h 'p ro sty ch g r u p c y k lic z n y c h 321

Jeżeli grapa G rozkłada się na sumę grap cyklicznych G( , to zbiór generatorów grap wziętych po jednym z każdej grapy Gs, nazywa się bazą grapy. Prawdziwe jest zasadnicze

T w i e r d z e n i e 1. Zbiór Z różnych od 0 elementów grupy G jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy:

I. zbiór Z generuje grupę 6r;

II. z dowolnej równości

(1) nxZx-\-... -{-n^Zjc = 0

o elementach zx, zkeZ, wszystkich różnych, i o współczynnikach nx, ...

..., nk całkowitych wynika, że

»

(2) - nxex = ... = n kzk = 0i

D o w ó d . Baza grapy jest oczywiście zbiorem jej generatorów. Gdyby istniała taka kombinacja (1) elementów bazy Z, że związki (2) nie byłyby spełnione, to element 0 dałby się przedstawić w postaci (*) dwoma róż­

nymi sposobami: wzorem (1) lub jako suma złożona z к składników rów­

nych 0. Przedstawienie (*) byłoby więc niejednoznaczne. Dowiedliśmy, że każda baza spełnia warunki I i II.

Załóżmy teraz, że zbiór Z nie zawiera 0 i spełnia warunki I oraz II.

Mamy dowieść, że G rozkłada się na sumę grup cyklicznych Cz — {г}

(elementy zbioru Z możemy tu traktować jako wskaźniki).

Dowiedziemy wpierw, że dla elementów zx i z2 (zx Ф z2) zbioru Z prze­

krój CZl ^ С„2 zawiera tylko 0. Jeżeli 0 Ф zeCZl ^ CZ2, to z = nzx — mz2, więc między elementami zx i z2 zachodzi relacja nzx—mz2 — 0 , chociaż nzx Ф 0. A zatem zakładając istnienie elementu z Ф 0 należącego do CZl r\ CZ2, popadliśmy w sprzeczność z warunkiem II.

Z warunku I wynika, że każdy element geG daje się przedstawić w postaci

(3) g = mxzx + ...+ m tzt,

gdzie wszystkie zx, . . . , z t są różne. Elementy mxzx, m , tzt należą odpo­

wiednio do różnych grup cyklicznych GZl, . . . , Czr

Dowiedziemy teraz jednoznaczności przedstawienia (3). Przypuśćmy, że dla pewnego elementu g istnieje przedstawienie

(4:) g = rxzx + ...-!-re«e,

różne od przedstawienia (3). Bóżnica przedstawień (3) i (4) 0 = т г% -Ь ...+ mtzt—rxzx—. . . —rszs,

po odpowiednim uporządkowaniu i zebraniu składników należących do tych samych grup cyklicznych Cz, dałaby jakąś kombinację postaci

R oczniki P . T. M. - Prace M atem atyczne II 21

322 A. W ł o d z i m i e r z Mo s t o ws k i

(4) o składnikach nie wszystkich równych 0, Jest to sprzeczne z warun­

kiem II, a więc przedstawienie (3) musi być jedyne.

Z twierdzenia 1 będziemy korzystali niejednokrotnie w drugiejjczęści pracy.

P r z y k ł a d 4. Oznaczmy przez P zbiór par <n2, w„>, gdzie n% przebiega klasy reszt mod 2, a n6 klasy reszt mod 6. Określimy w P dodawanie wzo­

rem

<>2, ne} + (m 2, me> = <w2 + *ma, w , + ewe>,

gdzie + 2 i +e oznacza dodawanie odpowiednich klas reszt. Wtedy P tworzy grupę. Elementem neutralnym jest 0 — <02, 06>. Podgrupy <72 =

— {<12, 0e)J i <7e = j<02, 16)J są cykliczne. Grupa P rozkłada się na ich sumę prostą, P = 0 2+ 0 6. Zbiór (a, b), złożony z dwóch elementów a = <12, 26> i b — <02, 1 6), generuje całą grupę P i jest minimalny (bo grupa P nie jest cykliczna), ale nie jest bazą, bo 2a—4& = 0 , chociaż 2a Ф 0 (twierdzenie 1).

P r z y k ł a d 5. Rozpatrzmy grupę H wszystkich ciągów (nPV nP2, . . . ) , w których г-tym elementem jest klasa reszt modpf , gdzie px < P< ł < ...

są liczbami pierwszymi, przy czym w każdym ciągu od pewnego miejsca jest nP{ — 0Pi. Działanie grupowe określamy jako dodawanie współrzędnych, tak jak w przykładzie 4. Elementy kształtu <0Pl, . . . , 0р<-1, np., 0^ +1, . . . ) tworzą dla i — 1 , 2 , . . . podgrupy cykliczne Cp. rzędu pit Nie trudno dowieść, że grupa H rozkłada się na ich sumę prostą: H = CPl+CP2+ ...

Wszystkie elementy postaci <(Ц, . .. , 0р._г, 1Щ1 0Pł+ , ...> tworzą oczy­

wiście jej bazę.

Na zakończenie części pierwszej przytoczymy jeszcze jedno twier­

dzenie, którego dowód czytelnik znajdzie w pracach [3] lub [4]:

L e m a t R a d o . Jeżeli дг,.. ., д к Щ elementami grupy, a rx, . . . , r fc liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to istnieje układ(3) hk elementów grupy równoważny z układem gly . .. , gk1 taki, że h1 = ггдг-\-.. .-f-

2. Udowodnimy teraz, że warunek Szelego ekstremalności nie charak­

teryzuje bazy.

T. Szele nazywa zbiór T różnych od 0 elementów grupy 0 ekstremal­

nym, jeżeli nie istnieje jego skończony podzbiór tl f . .. , tk równoważny z jakimkolwiek układem elementów gt , ..., gk grupy G spełniającym nie­

równości

(5) min r{gi) < min r &)(*).

(3) Układ tym różni się od zbioru, że jego elementy mogą nie być różne. Będziemy zawsze zakładali, że elementy zbioru są różne.

(4) Funkcja r(g) oznacza rząd elementu g; 1 ^ r(g) ^ oo, r( 0) — 1.

O s u m a c h p r o s t y c h g r u p c y k lic z n y c h ш

W pracy [4] Szele dowiódł, że każdy ekstremalny zbiór generatorów grupy jest jej bazą. Jednak nie każda baza grupy jest zbiorem ekstremal­

nym w sensie Szelego. Grupa H określona w przykładzie 5 ma bazę, ale ża­

den zbiór jej generatorów nie jest ekstremalny. Rzeczywiście, grupa H nie jest cykliczna, więc dowolny zbiór jej generatorów zawiera co najmniej dwa różne elementy tx i t2. Otóż udowodnimy, że dla zbioru (tx, t2) istnieje zbiór (gx, g 2) z nim równoważny i spełniający nierówność (5). Elementy tx i t2 dadzą się generować przez skończoną ilość elementów bazy wska­

zanej w przykładzie 6 ; a więc istnieje takie s, że [tx, t2\ C GPl + ... + + GPs— Ha. Grupa Hs, a więc i jej podgrupa [tx, t2), jest cykliczna.

Wystarczy teraz przyjąć gx = 0 oraz g2 = g, gdzie g jest generatorem grupy \tx, <2). Mamy wtedy

min (г(^), r(t2)) > 1 oraz m in jr ^ ), r(g2)) = 1 . Żaden zatem zbiór generatorów grupy H nie jest ekstremalny.

Można jednak tak zmodyfikować warunek Szelego, by otrzymać warunek charakterystyczny dla bazy.

Oznaczmy przez N i 8 odpowiednio zbiory elementów rzędu nie­

skończonego i skończonego grupy G.

T wierdzenie 2. Na to, by zbiór Z generatorów grupy G nie zawie­

rający 0 był jej bazą, potrzeba i wystarcza, żeby dla dowolnych skończonych i równoważnych zbiorów X i Y, złożonych z elementów grupy G zachodziły wynikania:

(a) jeśli X C N r\Z i YCG , to zbiór X nie jest liczniejszy od zbioru N ^ Y , (b) jeśli X C S r^Z i Y C 8 ^ G, to f ] r ( x ) < f [ r ( y ).

x e X y e Y

D o w ó d d o s t a t e c z n o ś c i w a r u n k ó w (a) i (b). W myśl twierdze­

nia 1 wystarczy udowodnić, że z równości

(6) ńxzx-\-... -\~nkzk = 0 .

(gdzie zx, . , . , z keZ są wszystkie różne), o współczynnikach nx, . . . , n k całkowitych wynika, że nxzx = ... = nkzk = 0. Dowód przeprowadzimy nie wprost. Przypuśćmy więc, że (6) jest taką najkrótszą zerującą się kombinacją, że %г{ Ф 0 dla każdego 1 < i < k. Twierdzimy, że albo zx, . . . , z ke N, albo zx, . .. , zkeS. Gdyby na przykład zxeS, a zke N, to mnożąc (6) przez n = r(zx) otrzymalibyśmy

nn2z2Y ...+ n n kzk = 0 ,

co jest niemożliwe, gdyż nnkzk Ф 0 , kombinacja (6) zaś była najkrótszą

zerującą się kombinacją o elementach niezerowych.

324 A. W ł o d z i m i e r z Mo s t o w s k i

Przypuśćmy, że z x i ..., zkeN. Oznaczmy przez n największy wspólny dzielnik liczb nx, a przez liczby щ/п (1 < i < Tc). Lemat Bado gwarantuje, że istnieje układ gx, . . . , gk elementów grupy G równoważny z podzbiorem zx, . . . , zk elementów zbioru Z, i taki, że

9i = ••

Z wzoru (6) wynika, że ngx = 0, a więc element gx jest rzędu skoń­

czonego. Dowodzi to, że zbiór złożony z elementów układu g x, ..., gk ma mniej elementów rzędu nieskończonego niż równoważny z nim zbiór zx, ..., zkeZ N . Jest to sprzeczne z warunkiem (a). Wobec tego z1} ...

. . . , z kejS. W myśl przykładu 3 istnieje wtedy układ glf . . . , g s złożony z elementów należących do G ^ 8, równoważny ze zbiorem z x, . . . , zk i skła­

dający się z elementów o rzędach będących potęgami liczb pierwszych, taki że

к s

l]r(Zi) = / 7 r(ffi)'

i=1 i=l

Udowodnimy, że wszystkie elementy gi są różne. Gdyby np. było gx — g2, to zbiór zx1 . . . , z k i zbiór różnych elementó r układu </2, . . . , g k byłyby równoważne. Ale nierówność

s s к

f j r ( g i ) < f jr lf f i ) •= f]r(Zi)

i—2 i—l i=1

jest sprzeczna z warunkiem (b).

Udowodnimy teraz, że między elementami zbioru gx, .. ., gs musi za­

chodzić relacja тхдх-\-...+т8д8 = 0 o składnikach migi nie wszystkich równych 0. W przeciwnym razie na mocy twierdzenia 1 grupa [g x, ..., #s}

rozkładałaby się na sumę prostą grup cyklicznych {</г) , ..., {&,), a więc prawdziwa byłaby równość

S

(7) rządj gx, . . . , g e) = f [r ( g i ) , i—l

wynikająca łatwo z definicji rozkładu grupy na sumę prostą. Kombinacja liniowa (6) o współczynnikach щ odpowiednio zredukowanych modr(^) i kombinacja złożona z sumy Tc elementów 0, przedstawiają ten sam ele-

k

ment 0. Wśród fJr(Zi) kombinacji rxzx-{-.. . + r kzk, gdzie 0 < r,L < r(^), г=1

każdy element grupy [gx, ..., gs\ znajduje się co najmniej dwa razy, więc zachodzi nierówność ostra

к

rząd \gx, . . . , g 8j < [ J r(ą),

O s u m a c h p r o s t y c h g r u p c y k li c z n y c h 325

która wraz z (7) daje nierówność

s к

f ] r ( g i ) < f ] r ( Z i ) ,

i = l i = l

sprzeczną z wyborem elementu g.t .

Dla dalszych rozważań wybierzemy taką najkrótszą zerującą się kombinację

(8) m1g1 + . . . + m agą ^ 0 , q < s, że 0 < < r(gi) dla i = 1 , 2 , ..., q.

Udowodnimy, że rzędy elementów g1, . . . Jgq są potęgami jednej i tej samej liczby pierwszej p. Rzeczywiście, mnożąc kombinację (8) przez m = p*1 = r(g1) otrzymujemy mm2g2-\-... -\-mmagą — 0 . Z założe­

nia, że (8) jest najkrótszą zerującą się kombinacją o niezerowych skład­

nikach, wynikają równości mm2g2 — ... = mmqgq = ' 0 , świadczące o tym, że r{gi) musi dzielić = pllm,i dla i — 2 , 3, ..., q. Stąd na mocy nie­

równości 0 < wti < r{gi) stwierdzamy, że г(д^ = pli.

Oznaczmy teraz przez l największą taką liczbę całkowitą, że pL dzieli największy wspólny dzielnik liczb m1, Wtedy mi — р \ i p nie dzieli jednocześnie wszystkich liczb np. nie dzieli liczby Przyjmijmy (9) g = r1g1 + . . . + r qgq.(6).

Ponieważ plg = 0 , więc r(g) < pl < m1 < r(g1), skąd

s s к

r(g)J J r(g{) < f i г{д<) = f j r(Zi).

i —

Aby otrzymać sprzeczność z warunkiem (b), wystarczy dowieść równo­

ważności zbioru z1, ..., zk ze zbiorem elementów układu g , g2, . . . , gs, lub, co na jedno wychodzi, równoważności układów g , g2, . . . , gq i gl r g2, • • •, gq- Zauważmy, że liczby rx i г(дг) są względnie pierwsze. Istnieją więc takie liczby całkowite a i b, że a ri g^+b^ = 1. Mnożąc równość (9) przez b, otrzymujemy

czyli

bg = br1g1+ b r2g2 + ...+ b r qgq,

bg = gi +br 2g2± . . . + b r qgq.

Otrzymana stąd równość

gi =' b g -b r 2g2- . . . - b r qgq

dowodzi równoważności zbiorów, którą chcieliśmy wykazać, by uzyskać

(5) Metodę konstrukcji elementu у wziąłem z pracy J. Douglasa [1].

326 A. W ł o d z i m i e r z M o s t o w s k i

sprzeczność z (b). Założenie, że zbiór Z nie jest bazą, doprowadziło do sprzeczności z warunkami (a) i (b) a więc dowód został zakończony.

D o w ó d k o n i e c z n o ś c i w a r u n k ó w (a) i (b). Jeżeli zbiór Z (nie zawierający 0 ) jest bazą grupy G, to oczywiście

z e Z

1° Udowodnimy, że zbiór Z spełnia warunek (a). Mech (a?x, . .. , xn) =

= X C Z r\ N i (yx, . .. , yk) = Y C G będą dwoma zbiorami równoważ­

nymi. A więc {X } = { Y} = H. Łatwo zauważyć, że

(11) B = E Iх ! •

x e X

Bez zmniejszenia ogólności rozważań można przyjąć, że 0$Y , a więc, że wszystkie elementy zbioru Y są rzędu nieskończonego.

Oznaczmy przez К grupę wszystkich elementów geH, dla których równanie 2x = g ma co najmniej jedno rozwiązanie xeH. Grupa К składa się ze wszystkich kombinacji m1x x-\-...Jr mnxn o współczynnikach mi parzystych. Ponadto każdy element grupy da się na pewno przedstawić (nie wiadomo, czy w jedyny sposób) jako kombinacja rxy x-\~.. .+ r kyk o współczynnikach r* parzystych.

W każdej warstwie grupy H względem podgrupy К istnieje co naj­

mniej jeden element

(1 2 ) +

gdzie fi — 0 lub 1 są dobrane odpowiednio do warstwy. Ponieważ warstwy są rozłączne, więc jest ich nie więcej niż elementów (12). Dowodzi to, że rząd К / H ^ 2k. Wobec wzoru (11) rząd K / H — 2n, a więc prawdziwa jest nierówność 2n < 2k, czyli n < & . Nierówność ta dowodzi, że waru­

nek (a) jest spełniony dla zbioru Z.

2° Udowodnimy, że zbiór Z spełnia również warunek (b). Mech {xx , . . . , % ) = X C Z S i (yx, . . . , y k) = Y C G ^ S będą dwoma rów­

noważnymi zbiorami i niech H — {X } = {У}. Ponieważ H — {ah} + + W + \ ..+{xn}, więc

П rząd H — r(xi).

i = 1

Z drugiej strony,

&

rząd H ^ П ^r(Vi),

г = 1

gdyż dwie różne kombinacje liniowe elementów zbioru Y mogą wyzna­

czać ten sam element grupy H,

O s u m a c h p r o s t y c h g r u p c y k li c z n y c h 327

Udowodniliśmy, że z założeń warunku (b) wynika jego teza

» к

f]r(Xi) ^< Ur(yi),

i = l i —1

a więc zakończyliśmy dowód twierdzenia 2.

Z twierdzenia 2 łatwo wynika

Z a s a d n ic z e t w i e r d z e n ie t e o r ii g r u p a b e l o w y c h . Dla grup skoń­

czenie generowanych istnieje baza.

Dowód. Eozważmy wszystkie skończone zbiory Q generatorów grupy G nie zawierające 0, dla których ilość elementów zbioru Q ^ N osiąga minimum. Dowolny zbiór Q spełnia warunek (a). W przeciwnym razie istniałyby skończone zbiory X C Q ^ N i Y CG, równoważne i takie, że ilość elementów zbioru N ^ Y < od ilości elementów zbioru X.

Zbiór (Q \ X ) ^ Y zawierałby mniej elementów rzędu nieskończonego niż zbiór Q, a jednak byłby skończonym zbiorem generatorów grupy G, co jest sprzeczne z definicją zbioru Q.

Z wyodrębnionych zbiorów Q wybieramy zbiór Z taki, by iloczyn JJ r(z) był najmniejszy. Zbiorów takich może oczywiście być wiele.

ZeZr\S

Zbiór Z spełnia warunek (b). W przeciwnym razie istniałyby skończone zbiory X C Z ^ 8 i Y C G ^ 8 równoważne i takie, że

П r(x> ^> П r{y).

X e X V e Y

Zbiór U — ( Z \ X ) w Y byłby jednym ze zbiorów Q, co wobec wyboru zbioru Z i nierówności

U r(u) < U r(z)

ueU^S zeZ^S

jest niemożliwe.

Zbudowaliśmy zatem zbiór Z spełniający warunki (a) i (b). W myśl twierdzenia 2 jest on bazą grupy G.

Prace cytowane

[ i j J. D o u g la s , On the basis theorem. for finite abelian groups, Proc. Nac. Ac.

of Sc. U. S. A. 37 (1951), str. 525-529.

[2] L. F u ch s, The direct sum of cyclic groups, Acta Math. Sc. Math. Hung. III.

3 (1952), str. 177-195.

[3] R. R a d o , A proof of the basis theorem for finitely generated abelian groups, Journ. London Math. Soc. 26 (1951), str. 74-75.

[4] T. S zele, On direct sums of cyclic groups, Publ. Math. Debrecen 2 (1951),

str. 76-78.

328 A. W ł o d z i m i e r z Mo s t o w s k i

А.

О ПРЯМЫХ СУММАХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП

РЕЗЮМЕ

Шеле сформулировал условие экстремальности множества Z образующих абелевой группы G, достаточное для того, чтобы множество Z было базисом в этой группе. Условие это не является необходимым. В дискретной прямой сумме Срх X Ср2 X ). •, причем Ощ — циклические группы простого порядка, р\ < рг < • ••, ни одно множество образуюущих не является экстремальным.

Из модифицированного условия Шеле получается следующая

Т Е О Р Е М А .

М нож ест во Z не равных нулю образующих абелевой группы G

является базисом в G т огда и только тогда, когда для любых конечных множ ест в X и Т порож дающ их одну и ту ж е самую подгруппу группы G, имеем:

из X C N r^ z и Y CG следует X ^ N r^Y,

из X

S r\ Z и Y C 8 rsG следует f ] r ( x ) <

Г (у).

х вХ V e Y

X и 8 обозначают соответственно множество элементов бесконечного порядка и конечного порядка группы G, число г(х) ( 1 ^ г ( ж ) ^ о о ) обозначает порядок элемента х.

С доказанной теоремы легко следует теорема о существовании базиса для абелевых групп с конечным числом образующих.

A.

(Warszawa)

ON DIRECT SUMS OF CYCLIC GROUPS

S U M M A R Y

Szele {l. e.) lias given a condition of extremality of a set Z of generators of an abelian group G that is sufficient in order that the set Z be a basis in the group.

The condition is not necessary. In the direct sum СрххС р2хС рг Х ... where CPi are cyclic groups of prime orders, pi < p2 < ..., no set of generators is extremal.

The modified condition of Szele gives the following:

Th e o r e m.

The set Z of generators, different from zero, of an abelian group G is a basis of G i f and only i f fo r arbitrary fin ite sets X and Y, generating the same sub­

group of the group G, we have the im plications

X C N ъ Z and Y C G im ply the power of X «С the power of N r\ Y, X C 8 r s Z and Y C 8 r\G im ply r{x) П r(y ).

X e X V e Y

N and 8 denote sets of elements of infinite and of finite orders of the group G.

The number r(x) (1 ^ r(x) ^ oo) denotes the order of the element x.

This theorem implies in a simple way the theorem for finitely generated

abelian groups.