6.3.CentralneTwierdzenieGraniczne RachunekprawdopodobieństwaRozdział6:Twierdzeniagraniczne.

(1)

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.

6.3. Centralne Twierdzenie Graniczne

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

Słabe prawo wielkich liczb – przypomnienie

Słabe prawo wielkich liczb

Niech X₁, X₂, X₃, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, EXi = µ i skończonej wariancji oraz niech

S_n= X₁+ X₂+ X₃+ . . . + X_n, wtedy dla dowolnego ε > 0

P

S_n n − µ

> ε

!

−−−→n→∞ 0

tzn. Sn

n

−→ µP

(3)

1 2 3 4 5 0.05

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = ¹₂

ostrzeżenie: dziś histogramy rysujemy tak, aby pole prostokąta było równe prawdopodobieństwu

(4)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

rozkład S_n/n, gdzie S_n ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = ¹₂

(5)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1

2 3 4 5 6 7 8

rozkład Sn/n, gdzie Sn ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 oraz p = ¹₂

(6)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 5

10 15 20 25

rozkład Sn/n, gdzie Sn ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 1000 oraz p = ¹₂

(7)

CTG

Przypomnienie Wariancja

VarX = E((X − EX )²)

Odchylenie standardowe (mierzy ile „średnio” z.l. X odchyliła się od wartości oczekiwanej)

σ(X ) =

√ VarX

Czy jest coś szczególnego w wartości ^√^{X −EX}

VarX?

(8)

CTG

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4

rozkład (S_n− ESn)/√

VarS_n, gdzie S_n ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 5 oraz p = ¹₂

(9)

CTG

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4

(10)

CTG

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4

(11)

CTG

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

dystrybuanta (S_n− ESn)/√

(12)

CTG

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(13)

CTG

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(14)

CTG

Obserwacja

Jeśli Sn jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n oraz p, to (q = 1 − p)

S√_n− ESn

VarS_n = S_n− np

√npq

zachowuje się „prawie jak” standardowy rozkład normalny.

(15)

Słabe Prawo Wielkich Liczb CTG Dowód CTG CTG

Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X , X1, X2, . . . będzie ciągiem

niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech S_n= X₁+ X₂+ . . . + X_n,

EX = m i VarX = σ²> 0.

Wtedy dla każdego t ∈ R zachodzi

P

a ¬

S√_n− ESn

VarS_n ¬ t

= P

a ¬

S_n− nm σ√

n ¬ t

−−−→n→∞ Φ(t) = Z t

−∞

1 2√

πe⁻^s2² ds, gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1).

S√_n− ESn

VarS_n = S_n− nm σ√

n

−D→ X , X ∼ N(0, 1)

(16)

CTG

Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X , X1, X2, . . . będzie ciągiem

niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, niech S_n= X₁+ X₂+ . . . + X_n,

EX = m i VarX = σ²> 0.

wtedy dla każdych −∞ ¬ a < b ¬ ∞ zachodzi

P

a ¬ S√_n− ESn

VarS_n ¬ b

= P

a ¬ S_n− nm σ√

n ¬ b

−−−→n→∞ Φ(b) − Φ(a) = Z b

a

1 2√

πe⁻^s2² ds, gdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0, 1).

S√n− ESn

VarS_n = Sn− nm σ√

n

−D→ X , X ∼ N(0, 1)

(17)

CTG

Twierdzenie de Moivre’a–Laplace’a

Jeśli Sn ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, to

P a ¬ S_n− np pnp(1 − p) ¬ b

!

−−−→n→∞ Φ (b) − Φ (a) ,

(18)

CTG

Błąd przybliżenia w CTG

P

S√n− ESn

VarS_n ¬ t

= P

Sn− nm σ√

n ¬ t

= Φ(t) + err ≈ Φ(t).

Przykładowe oszacowania na błąd przybliżenia w CTG:

err ¬^{2 max |X}_σ ⁱ^|³^√¹_n w dowolnym przypadku

err ¬ ^p^√²^+q_npq² dla Sn o r. dwumianowym z parametrami n i p.

Przykład 1

Niech Y ma rozkład dwumianowy z n = 100 i p = 1/2. Spróbuj oszacować z CTG P (Y = 50). Wynik porównaj z obliczeniami dokładnymi:P (Y = 50) = ¹⁰⁰₅₀

2⁻¹⁰⁰≈ 0, 07958928.

(19)

CTG

Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1)

(20)

CTG

Na jakie pytanie mieliśmy odpowiedzieć?

A teraz spójrzmy z punktu widzenia kasyna.

Jakie reguły gry ma zaproponować kasyno, aby dobrze zarobić i jednocześnie nie zniechęcić klientów?

Dlaczego przy odpowiednich regułach gry i odpowiedniej liczbie klientów kasyno nie musi się obawiać, że zbankrutuje?

(21)

CTG

Przykład 2

Jeśli gracz obstawi w ruletce jeden żetonna czerwone, to wartość oczekiwana jego wygranej wynosi −₃₇¹ a wariancja 1 −₃₇¹2 = ¹³⁶⁸₁₃₆₉. Czyli wartość oczekiwana zysku kasyna w pojedynczej grze wynosi

1

37 a wariancja ¹³⁶⁸₁₃₆₉.

a) Ile wynosi prawdopodobieństwo, że kasyno po 1600 grach (obstawieniach po jednym żetonie) zyska co najwyżej równowartość 3 żetonów?

b) Ile musi nastąpić gier, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,95 kasyno zyskało

b1) więcej niż średnio 1/70 żetonu w każdej grze?

b2) więcej niż równowartość 100 żetonów?

wsk: 1600/37 ≈ 43; 1, 65 ∗ 70 ∗ 37/33 ≈ 129, 5, (129, 5)²= 16770, 25;

37 ∗ 1, 65 = 61, 05; (p

61, 05²+ 4 ∗ 3700 + 61, 05)/2 ≈ 98, 582;

98, 582²≈ 9718, 41.

(22)

CTG

Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1)

(23)

Dowód CTG

Dowód CTG

Niebawem:

gdy poznamy własności i zalety funkcji tworzących i charakterystycznych