6.0.Nierówności RachunekprawdopodobieństwaRozdział6.Twierdzeniagraniczne.

Nierówności

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6. Twierdzenia graniczne.

6.0. Nierówności

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Nierówności

Po co wykład o nierównościach i szacowaniach?

Czasem zamiast

informacji kompletnej, ale w niewygodnej postaci

lepiej mieć informację częściową, ale w wygodnej postaci;

Czasem mamy tylko cząstkową informację o rozkładzie zmiennej losowej;

Czy ztejcząstkowej informacji da się wycisnąć jakieś przydatne wnioski?

Pierwszy krok w stronę twierdzeń granicznych

Nierówności

Po co wykład o nierównościach i szacowaniach?

Czasem zamiast

informacji kompletnej, ale w niewygodnej postaci

lepiej mieć informację częściową, ale w wygodnej postaci;

Czasem mamy tylko cząstkową informację o rozkładzie zmiennej losowej;

Czy ztejcząstkowej informacji da się wycisnąć jakieś przydatne wnioski?

Pierwszy krok w stronę twierdzeń granicznych

Nierówności

Po co wykład o nierównościach i szacowaniach?

Czasem zamiast

informacji kompletnej, ale w niewygodnej postaci

lepiej mieć informację częściową, ale w wygodnej postaci;

Czasem mamy tylko cząstkową informację o rozkładzie zmiennej losowej;

Czy ztejcząstkowej informacji da się wycisnąć jakieś przydatne wnioski?

Pierwszy krok w stronę twierdzeń granicznych

Nierówności

Nierówność Czebyszewa

Niech X będzie nieujemną zmienną losową.

Wówczas dla każdego ε > 0 zachodzi

P(X ­ ε) ¬ EX ε Dowód:...

Przykład 1

Przeciętna pensja w Polsce wynosi 4000 złotych.

Znajdź górne oszacowanie na odsetek osób,

które miesięcznie zarabiają co najmniej 10000 złotych.

Nierówności

Nierówność Czebyszewa

Niech X będzie nieujemną zmienną losową.

Wówczas dla każdego ε > 0 zachodzi

P(X ­ ε) ¬ EX ε

Dowód:...

Przykład 1

Przeciętna pensja w Polsce wynosi 4000 złotych.

Znajdź górne oszacowanie na odsetek osób,

które miesięcznie zarabiają co najmniej 10000 złotych.

Nierówności

Nierówność Czebyszewa

Niech X będzie nieujemną zmienną losową.

Wówczas dla każdego ε > 0 zachodzi

P(X ­ ε) ¬ EX ε

Dowód:...

Przykład 1

Przeciętna pensja w Polsce wynosi 4000 złotych.

Znajdź górne oszacowanie na odsetek osób,

które miesięcznie zarabiają co najmniej 10000 złotych.

Nierówności

Nierówność Czebyszewa-przypomnienie X – nieujemna zmienna losowa; ε > 0 – dowolne,

P(X ­ ε) ¬ EX ε

Nierówność Markowa

Dla każdego ε > 0 i p > 0 zachodzi

P(|X | ­ ε) ¬ E|X |^p ε^p Dowód:

Nierówność Czebyszewa-Bienaym´e Dla każdego ε > 0 zachodzi

P(|X − EX | ­ ε) ¬ VarX

ε² Dowód:

Nierówności

Nierówność Czebyszewa-przypomnienie X – nieujemna zmienna losowa; ε > 0 – dowolne,

P(X ­ ε) ¬ EX ε

Nierówność Markowa

Dla każdego ε > 0 i p > 0 zachodzi

P(|X | ­ ε) ¬ E|X |^p ε^p

Nierówność Czebyszewa-Bienaym´e Dla każdego ε > 0 zachodzi

P(|X − EX | ­ ε) ¬ VarX

ε² Dowód:

Nierówności

Nierówność Czebyszewa-Bienaym´e – przypomnienie dla każdego ε > 0 i p > 0 zachodzi

P(|X − EX | ­ ε) ¬ VarX

ε²

Przykład 2

Oszacować z góry prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przybiera wartość

oddaloną od wartości oczekiwanej

o co najmniej trzy odchylenia standardowe.

Przykład 3

Zmienna losowa S₃₆₀₀ ma rozkład dwumianowy Bin(3600, 1/3); oszacuj z dołu

P (1100 < S3600 < 1300)

Nierówności

Nierówność Czebyszewa-Bienaym´e – przypomnienie dla każdego ε > 0 i p > 0 zachodzi

P(|X − EX | ­ ε) ¬ VarX

ε²

Przykład 2

Oszacować z góry prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przybiera wartość

oddaloną od wartości oczekiwanej

o co najmniej trzy odchylenia standardowe.

Przykład 3

Zmienna losowa S₃₆₀₀ ma rozkład dwumianowy Bin(3600, 1/3);

oszacuj z dołu

P (1100 < S3600 < 1300)

Nierówności

Nierówność Czebyszewa - przypomnienie P(X ­ ε) ¬ EX

ε dla nieujemnej zmiennej losowej X

Wykładnicza nierówność Czebyszewa Jeśli Ee^sX < ∞ zachodzi dla pewnego s > 0 to dla każdego λ ∈ [0, s] zachodzi

P(X ­ ε) ¬ Ee^λX e^λε

Nierówności

Wykładnicza nierówność Czebyszewa - przypomnienie P(X ­ ε) ¬ Ee^λX

e^λε

Nierówności Bernsteina

Jeśli S_n ma rozkład dwumianowy Bin(n, p), to dla każdego ε > 0 zachodzi:

P

Sn

n − p ­ ε



¬ e^−2n2, P

Sn

n − p ¬ −ε



¬ e^−2n2, P

   

S_n n − p

­ ε



¬ 2e^−2n2.

Dowód: Wskazówka pe^qx + qe^−px ¬ e^18x2 dla p + q = 1

Nierówności

Przypomnienie - Nierówności Bernsteina

Jeśli Sn ma rozkład dwumianowy Bin(n, p), to dla każdego ε > 0 zachodzi:

P

   

S_n n − p

­ ε



¬ 2e^−2n2.

Przykład 3 c.d.

Zmienna losowa S₃₆₀₀ ma rozkład dwumianowy Bin(3600, 1/3);

oszacuj z dołu

P (1100 < S3600 < 1300) .

Porównaj wynik z tym uzyskanym w pierwszej części przykładu.