IDENTYFIKACJA UKŁADU DYNAMICZNEGO SZLIFOWANIA WAŁÓW O MAŁEJ SZTYWNOŚCI

35, s. 115-130, Gliwice 2008

IDENTYFIKACJA UKŁADU DYNAMICZNEGO SZLIFOWANIA WAŁÓW O MAŁEJ SZTYWNOŚCI

W

IKTOR

T

ARANENKO¹

, G

EORGIJ

T

ARANENKO²

, J

AKUB

S

ZABELSKI¹

, A

NTONI

Ś

WIĆ¹

1 Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych, Politechnika Lubelska e-mail: w.taranenko@pollub.pl , j.szabelski@pollub.pl, a.swic@pollub.pl

2 Sewastopolski Narodowy Uniwersytet Techniczny (Ukraina) e-mail: ernoteh@mail.ru

Streszczenie. Przedstawiono metodologię opracowania modelu matematycznego układu dynamicznego szlifowania wałów w stanie spręŜyście - odkształcalnym.

Pokazano specyfikę identyfikacji UD szlifowania wzdłuŜnego oraz wgłębnego wałów o małej sztywności. Model matematyczny rozpatrywanego obiektu sterowania – UD ze sterowaniem stanem spręŜyście -odkształcalnym części o małej sztywności budowany jest na podstawie ogólnych zasad budowy modeli układów dynamicznych obróbki mechanicznej. Specyfika procesu obróbki części o małej sztywności uwzględniana jest przez wprowadzenie odpowiednich równań więzów, odzwierciedlających dodatkowe odkształcenia spręŜyste, w jednym z równań opisujących siłowe oddziaływania sterujące. Porównanie MM obiektu dla róŜnych oddziaływań siłowych pokazuje, Ŝe przy wprowadzeniu dodatkowych oddziaływań siłowych obiekt charakteryzuje się znacznie mniejszą inercyjnością w porównaniu do przypadku sterowania według kanału posuwu.

1. WSTĘP

Zagadnienie zwiększenia dokładności i efektywności obróbki moŜe być rozwiązane zarówno w wyniku zastosowania metod opartych na doskonaleniu technologicznych charakterystyk obrabiarek i narzędzi, projektowaniu procesów technologicznych z wymaganą dokładnością, jak i w wyniku bezpośredniego sterowania parametrami skrawania, układem spręŜystym, zakłóceniami występującymi w procesie obróbki. DąŜenie do uzyskania wysokiej jakości obróbki części na obrabiarkach skrawających w warunkach działania na układ technologiczny (UT) róŜnorodnych zakłóceń doprowadziło do pojawienia się w przemyśle maszynowym układów sterowania adaptacyjnego AC [1, 2]. Problem doskonalenia takich układów jest szczególnie aktualny w warunkach ESP.

Jednym z pierwszoplanowych zadań powstających przy ocenie dokładności i projektowaniu układów sterowania automatycznego (UAS) i AC jest zagadnienie opracowania opisu matematycznego UT, rozpatrywanego jako obiekt sterowania. Przy braku wystarczająco pełnej i dokładnej informacji o obiekcie sterowania (OS) idealizacja właściwości dynamicznych i elementów UAS, jego charakterystyki obliczeniowe mogą istotnie róŜnić się od rzeczywistych, a wybrane przy projektowaniu parametry (nastawienia)

regulatorów nie gwarantują wymaganej jakości sterowania i nawet stabilności układu. Oprócz tego analizowane właściwości charakteryzują się szerokim zakresem zmienności parametrów OS. Przy tym w układach technologicznych zawierających półfabrykat o małej sztywności parametry mogą znacznie się zmieniać w ciągu cyklu obróbki jednej części. Pokazane uwarunkowania komplikują zadanie zagwarantowania stabilności UAS i wymagają szczególnie uwaŜnego podejścia do zagadnień wyboru jego struktury i syntezy urządzeń korygujących.

Układ dynamiczny (UD) procesu obróbki jest układem technologicznym obrabiarki z realizowanymi w nim procesami obróbki skrawaniem (toczenie, szlifowanie, wiercenie, frezowanie) [3, 4].

Opracowanie modelu matematycznego (ММ) obiektu sterowania w dynamice, adekwatnego do obiektu – oryginału, jest niezbędną przesłanką odpowiedniego podejścia do rozwiązania zagadnienia analizy stabilności UAS i syntezy członów korygujących dla wymaganych wskaźników jakości sterowania w stanach przejściowych. Przy czym w podobnych układach wskaźniki jakości sterowania współrzędną wyjściową – spręŜystymi odkształceniami UT w dynamice – charakteryzują bezpośrednio błędy kształtu części, uwarunkowane działaniem szybkozmiennych zakłóceń typu zmiana naddatku na obróbkę czy zmienność właściwości fizyko - mechanicznych obrabianego materiału [6, 7].

2. IDENTYFIKACJA UD SZLIFOWANIA WZDŁUśNEGO WAŁÓW O MAŁEJ SZTYWNOŚCI

W celu zwiększenia dokładności obróbki wałów o małej sztywności opracowano sposoby technologiczne sterowania dokładnością, oparte na zmianie ich stanu spręŜyście - odkształcalnego [10, 11]. Jako oddziaływania sterujące, zgodnie z przyjętą klasyfikacją [10], stosowane są poszczególne siłowe oddziaływania lub ich kombinacja: rozciąganie osiowe i mimośrodowe, sterowanie dodatkowymi oddziaływaniami siłowymi nakierowanymi na kompensowanie czynników siłowych procesu skrawania, momentami zginającymi na podporach, sterowanie odkształceniami zginająco - skręcającymi.

Modele matematyczne UD dla ustalonych parametrów mają postać zaleŜności funkcjonalnych, odzwierciedlających wpływ oddziaływań sterujących i zakłócających na wielkość odkształceń spręŜystych części w rozpatrywanym przekroju. Opierając się na zasadach mechaniki ciała twardego odkształconego, uzyskano zaleŜności funkcjonalne odkształceń dla róŜnych rodzajów stanu spręŜyście - odkształcalnego części o małej sztywności [9, 10].

ММ róŜnorodnych układów technologicznych obróbki ze sterowaniem stanem spręŜyście - odkształcalnym przy ustalonych parametrach, przedstawionych w postaci funkcji odkształceń, otrzymano przy załoŜeniu, Ŝe siła zginająca, działająca na część, jest zmienną zewnętrzną niezaleŜną od odkształceń spręŜystych UD. Takie podejście nie uwzględnia zamkniętego układu spręŜystego przez proces skrawania i nie wnosi istotnych błędów do wyników analizy charakterystyk statycznych OS. Jak pokazuje analiza, zbudowanie odpowiedniego ММ obiektu sterowania dla parametrów przejściowych nie jest moŜliwe bez uwzględnienia specyfiki procesów w strefie skrawania i zamkniętego UD przez proces skrawania.

Z uwzględnieniem znanych zasad [6], uproszczony model fizyczny schematu kształtowania przekroju warstwy przy szlifowaniu wałków o małej sztywności z posuwami wzdłuŜnymi w stanie spręŜyście - odkształcalnym przedstawiony jest na rys. 1.

Jak wynika z rys. 1, schemat procesu powstawania wióra przy szlifowaniu wzdłuŜnym charakteryzuje się więziami spręŜystymi w kierunkach promieniowym i osiowym właściwych dla procesów kształtowania przekroju warstwy skrawanej i oddziaływaniami zakłócającymi.

Jako oddziaływania wejściowe rozpatrywanego UD przyjęto: siłę rozciągającą F przy _x1 rozciąganiu osiowym; siłę rozciągającą F i mimośród _x1 e przy rozciąganiu mimośrodowym i ściskającą – przyłoŜone do czół części. Zmiennymi wyjściowymi UD są poszczególne składowe F_p,F_f,F_c siły skrawania i odpowiadające im odkształcenia spręŜyste UD:

z x y g g g , , .

a)

b)

Rys.1. Model procesu powstawania wióra (а) i przekrój warstwy skrawanej przy szlifowaniu wzdłuŜnym z uwzględnieniem odkształcenia spręŜystego po osiach X i Y (b)

Model uogólniony i cząstkowy UD szlifowania wzdłuŜnego zbudowano przy następujących załoŜeniach początkowych:

• proces technologiczny uwaŜany jest jako ciągły w trakcie obróbki jednej części, obróbka jest realizowana przy stałej prędkości skrawania v_c=const;

• ściernica pracuje w zasadzie w trybie samoostrzenia przy zachowaniu praktycznie stałego poziomu moŜliwości skrawanych, a jej zuŜycie liniowe w ciągu cyklu obróbki jednej części jest nieznaczne i moŜe być przyjęte jako równe zeru;

• warunki początkowe określane są w momencie styku ściernicy z powierzchnią obrabianą i powstaniem napięcia w UT;

• uwzględniane są współczynniki sztywności układu spręŜystego K ,y Kx i liniowe odkształcenia spręŜyste UТ po współrzędnej Y i X , tak w czasie, jak i po długości obrabianych części;

• właściwy proces skrawania jest nie inercyjny, uwzględniany jest wpływ „śladów”

obróbki.

Siła skrawania i jej poszczególne składowe F_p,F_f,F_c przy podanej twardości materiału części obrabianej określane są bieŜącymi parametrami sprowadzonego przekroju warstwy skrawanej a(t) i b(t). Pod grubością warstwy a(t) rozumie się sprowadzoną (integralną) grubość skrawanego wióra metalu, która faktycznie uwarunkowana jest przez parametry niezliczonego zbioru mikrowiórów zdejmowanych elementarnymi ziarnami ściernicy w bieŜącym momencie. Przekrój warstwy skrawanej (rys.1b) charakteryzowany jest bieŜącymi wartościami sprowadzonej grubości warstwy a(t) i pewnymi uśrednionymi wartościami głębokości skrawania b(t) na odcinku o długości a(t) z uwzględnieniem odkształceń UD po współrzędnej Y , określanych według odpowiednich zaleŜności [4, 5, 11].

Dla procesu szlifowania, jak równieŜ dla procesu toczenia, charakterystyczny jest wpływ śladów obróbki - tak zwane zjawisko skrawania „po śladzie”. Polega ono na tym, Ŝe parametry warstwy skrawanej określane są przez połoŜenie krawędzi skrawającej ściernicy tak w bieŜącym momencie t , jak i momencie t−τ – poprzedniego obrotu półfabrykatu (w przypadku niezmienności prędkości obrotowej wrzeciona czas opóźnienia τ =1/n_wr).

W bieŜącym momencie:

) ( )

( )

(

0

t g dt t v t

x _x

t

f −

= _∫ , (1)

a w momencie poprzedniego obrotu części

∫ − − −

=

− ^tv_f t g_x t t

x

0

) ( ) ( )

( τ τ τ . (2)

Przy uwzględnieniu zaleŜności (1) i (2) zaleŜność na grubość skrawanej warstwy w postaci operatorowej przyjmuje postać:

) ( ) 1

( ) ( ) 1

1 ( )

( e v s e g s

s s

a = ⋅ − ^−sτ _f − − ^−sτ _x . (3)

Jak pokazano wyŜej, ekwiwalentne odkształcenia spręŜyste UT po osi Y przy obróbce wałków o małej sztywności określane są przez odkształcenia części i z wysoką dokładnością opisane dla róŜnych UТ równaniami odkształceń w [9]. Na podstawie [4, 5] równanie odkształceń spręŜystych w kierunku promieniowym dla przyrostów w postaci operatorowej bez uwzględnienia wpływu składowej F siły skrawania dla pokazanych oddziaływań _c sterujących przy szlifowaniu wzdłuŜnym moŜna zapisać w postaci:

) ( )

( )

( )

( )

( )

( ₁

1 F s K e s K M s

K s F K s F K s

g_{y xy f yy p F x e Mi i}

x ⋅ + ⋅ + ⋅

+

⋅ +

⋅

= . (4)

Współczynniki wzmocnienia równań liniowych określane są jako pochodne cząstkowe funkcji odkształceń według odpowiedniej zmiennej [11]. Na przykład, dla UT obróbki przy działaniu osiowej siły rozciągającej F , powodującej stan spręŜyście - odkształcalny _x1 z równań odkształceń spręŜystych [9]:

[ ]

) 4

( 2

) / 2 cos(

1

2 1 2

2

2 0 3

0 EI F ⁰ L

L x L

F K g

p x y

yy ⋅ ⋅ + ⋅

−

= ⋅













∂

= ∂

π π

π ,

[ ]

2 1 2

2 2

1 2

2

2 0 5

1 0 2 (4 ) 4

) / 2 cos(

1 0

1 EI F L

L g L

F EI

L x L

F F

K g

x y x

p x

y F_x

⋅ +

⋅

− ⋅

⋅ = +

⋅

⋅

−

− ⋅

 =



 





∂

= ∂

π π

π

π ,

gdzie:

0 0,

1 y

x g

F - wartości siły rozciągającej i spręŜystego odkształcenia części po osi y w punkcie linearyzacji (wartości zmiennych, odnośnie których podawane są przyrosty zmiennych).

W rozpatrywanym szczególnym przypadku pozostałe współczynniki w zaleŜności (4) są równe zeru. Współczynniki wzmocnienia, odpowiadające innym UD przy róŜnych sposobach obciąŜenia (przy zginaniu wzdłuŜno-poprzecznym) oraz róŜnych metodach zamocowania przy obróbce części spręŜyście odkształcalnych, zostały uzyskane analogicznie i zaprezen- towane są w tabeli 1. – rubryka 2, x - współrzędna połoŜenia noŜa po długości obróbki ₀ w punkcie linearyzacji. Dodatkowe odkształcenia spręŜyste g ,_x g_z według współrzędnych x i z w wyniku działania rozpatrywanych siłowych oddziaływań sterujących w zasadzie nie wpływają istotnie na właściwości dynamiczne OS i moŜna ich nie uwzględniać.

ММ rozpatrywanego obiektu sterowania – UD ze sterowaniem stanem spręŜyście - odkształcalnym części o małej sztywności przy szlifowaniu kształtowany jest na podstawie ogólnych zasad budowy modeli dynamicznych [4, 5, 11] układów obróbki mechanicznej, przy tym charakterystyczne cechy procesu obróbki części o małej sztywności uwzględniane są poprzez wprowadzenie odpowiednich równań więzów [9, 11], odzwierciedlających wzajemne powiązanie dodatkowych odkształceń spręŜystych ∆g_ξ do jednego z równań z siłowymi oddziaływaniami sterującymi [11]. Z uwzględnieniem równań (2), (3), (4) otrzymamy układ równań uogólnionego ММ procesu walcowego szlifowania wzdłuŜnego wałów o małej sztywności:

{ }



















∈

⋅

=

⋅

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

⋅

−

−

⋅

−

=

⋅

−

−

⋅

−

=

⋅ +

⋅

=

−

−

−

. , , ),

( )

( ), ( )

(

), ( )

( )

( )

( )

( )

(

), ( )

( ) ( ) 1

1 ( ) (

), ( ) 1 ( ) ( ) 1 1( ) (

), ( )

( )

(

1 1

1

Z Y X s

F K s g s F K s g

s M K s e K s F K s F K s F K s g

s g K s g s b s e

s b

s g e s

v s e

s a

s b n s a m s F

c z z

f x x

i Mi e

x F f

xy p

yy y

z bz y

s

x s f

s

x

ζ τ

τ

τ τ

ζ ζ

ζ

, (5)

gdzie: m i _ζ n - współczynniki wzmocnienia dla składowych siły skrawania według _ζ przyrostów odpowiednio sprowadzonej grubości warstwy a(t) i głębokości skrawania b(t).

Zgodnie z układem równań (5) zbudowano uogólniony schemat strukturalny UD dla walcowego zewnętrznego szlifowania wzdłuŜnego wałków o małej sztywności (rys. 2)

Analiza schematu pokazuje, Ŝe sprowadzona grubość warstwy określana jest przez dwie składowe - a₀(s), uwarunkowane prędkością posuwu wzdłuŜnego suportu i a_x(s), spowodowane odkształceniem spręŜystym układu po współrzędnej X .

Dla ustalonego trybu składowa a_x(s) znika, w związku z tym, Ŝe współczynnik przekazywania członu z transmitancją operatorową (TO) (1−e^−sτ) jest równy zeru. Ten sformalizowany akt w pełni jest zgodny z fizycznym obrazem zjawisk przy szlifowaniu wzdłuŜnym wałka o małej sztywności, poniewaŜ dla trybu ustalonego grubość warstwy skrawanej jest równa podanej wartości posuwu na jeden obrót τ⋅v_f .

Tabela 1. Modele i współczynniki wzmocnienia w równaniach linearyzowanych MM

Nr modelu, Oddziaływanie sterujące, Źródło informacji

Współczynnik wzmocnienia w równaniach linearyzowanych MM

1 2

Współczynnik wzmocnienia w równaniu linearyzowanym MM przy zginaniu wzdłuŜno-poprzecznym

Model 3.1 [9]

Rozciąganie osiowe

[ ]

[

( )( 1)/ ( )

]

,

) (

/ ) )(

(

1 0

1 0 0 0

L sh L Lch F x ch L sh L sh L

L sh L Lch F x x sh L sh L F Lch

K g

x

x p

y yy

α α α α

βα α

β

α α α α α α βα α

βα

−

−

−

−

−

−

−

−

 =













∂

= ∂

{

⋅

[

′ + ′ − ′

] (

−

)

+

 =









∂

= ∂ ² _{0 0}

1 0

1 F L ch L L sh L L ch L sh x ax

F

K g _p

x y

F_x β α α β α α β α βα α

[

⋅ −

] }

− −

− ′

+F_p(x₀α′chαx₀ x₀α )βαL chαL shβαL /αF_x1(αLchαL shαL)

{

^{− + ′ + ′ − ′}

}

^×

−α²LchαL αshαL αF_x1(αLchαL αL²αshαL αLchαL)

[

−

]

− − −

×F_p βαLchαL shβαL(shαx₀ αx₀)/α²F_x²₁(αLchαL shαL)²

[

′ − ′ − + −

]

′ − ×

−F_pL(αLβchαL αβchαβL)(chαx₀ 1) (βshαL shαβL)(αx₀shαx₀ 1)

{

^{− + ′ + ′}

}

^×

−

−

×1/F_x1(αLchαL shαL) αLchαL shαL αF_x1αL²shαL αLchαL

2 2

1

0 1)/ ( )

)(

( sh L sh L ch x F Lch L sh L L

F_p β α − αβ α − _x α α − α

× ,

L , a L− β =

EI F_x1 α= ,

EI F_x / 2

1

1

′=

α .

Model 3.2 [9]

Rozciąganie osiowe z zaciskiem w tulei spręŜynującej

[ ]

[

2 1 ²

]

2

2 0 3

0 8 2

) / 2 cos(

1

L F EI

L x L

F K g

p x y

yy ⋅ ⋅ + ⋅

−

= ⋅













∂

= ∂

π π

π ,

[ ]

[

1 ²

]

²

2 2

2 0 5

1 0 2 4

) / 2 cos(

1

1 EI F L

L x L

F F

K g

x p

x y F_x

⋅ +

⋅

⋅

−

⋅

− ⋅

 =









∂

= ∂

π π

π .

Model 3.7 [9]

Ściskanie mimośrodowe

[

₀ sin sin sin ₀

]

/( ₁ sin )

0

L F

x L L

F x

K g _x

p y

yy  = α β α − βα α α ⋅ α











∂

= ∂ ,

) sin sin (

2cos ) cos 1 ( 1 2 sin

2 0 cos 0 0 0

0

x L x

x L L

L x L

e

Ke g^y α α

α α α

α α

α α − − + −



 



 −

−

 =









∂

= ∂ ,

Tabela 1. Modele i współczynniki wzmocnienia w równaniach linearyzowanych MM (cd)

1 2



 − − − −

−

 =









∂

= ∂ 1 )

( sin 2

1 sin

0 2 0

2 0 0 1 1

1 M x tg L L

L L F

F x x F F

K g _p ^p

x x y

F_x α α α

α β βα

}

) sin (

sin 2 ) sin

cos 1 (

2 _{2 0} ctg L x₀ x₀

L L x F

M ^p α α α

α α

α βα  −







 ⋅ +

+

−

− ₊

{

^{⋅ ′ ⋅ − ′ ⋅ ⋅ − ′ + ×}

⋅

+ 1 ( sin cos ) cos sin (sin 2( ))

2 2

0 1

e M L

L L L

L L L F

F_x x ^p α βα α αβ βα α α α α

+

′ +

−



 



 ′

− +

−

× _{0 2 2 2} 2( ₂ ) ₀sin ₀

2 sin ) / 1

( M e x x

L L M L

x L L

ctg α α α

α α α α α

α α

×

− +

′

−

⋅







 +

+ 2 (1 cos ) ( sin )

sin sin

0 0

0 x x x

x L

L ctg L F_p

α α

α α α α

α βα

[ ] _^}

 ′ − ′ + ′ − ′

× L

L L L

L L L F L L L

F_{p p}

α α α

α α α α α α βα α

βα αβ

α ^{2 2} ₂

sin sin 2

/ ) cos sin

sin sin

cos (

L L α

β= ⁻ , M₂=F_x1⋅e,

EI F_x1 α= ,

EI F_x / 2

1

1

′=

α .

Rys. 2. Uogólniony schemat strukturalny układu technologicznego przy szlifowaniu wzdłuŜnym wałków o małej sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym Ze schematu strukturalnego UD (rys. 2) wynika, Ŝe w obiekcie sterowania występują obwody zamknięte, uwarunkowane specyfiką szlifowania części „po śladzie” i wpływem odkształceń spręŜystych UD po osiach X i Y . Układ równań (5) umoŜliwia określenie TO

UD - obiektu sterowania dla dowolnej z wyjściowych zmiennych, zarówno według oddziaływania sterującego, jak i zakłócającego.

Na przykład dla zmiennej wyjściowej w postaci odkształcenia spręŜystego układu w kierunku promieniowym g_y(s) i oddziaływania wejściowego – siły rozciągającej F_x1(s) schemat strukturalny przekształca się do postaci przedstawionej na rys. 3, a TO określana jest następująco:

) 1

( 1

) 1

( 1 )

( ) ) (

(

1 0 1

1 τ

τ s s

x y

sc B e

e K A

s F

s s g

G ₋

−

− +

−

⋅ +

=

= , (6)

gdzie:

y yy x xy

F K n K n

K

K = x ⋅ + ⋅ + ⋅

1

1

0 1 , (7)

x x K m

A₁= ⋅ , (8)

y yy x xy

x x

n K n K

K B m

⋅ +

⋅ +

= ⋅

1 1 . (9)

Porównując otrzymane zaleŜności z TO układu dynamicznego toczenia wałków o małej sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym i uwzględniając, Ŝe dla procesu szlifowania współczynniki =0

K_κr i K_bz =0, łatwo zauwaŜyć, Ŝe przedstawiony ММ moŜna rozpatrywać jako szczególny przypadek modelu matematycznego UD toczenia (ściernica jest przy tym rozpatrywana jak ostrze o κ_r =90^o).

Kxy

kx 1−e^−sτ mx

nX

nX

KX τ

e⁻s

− 1

−1

nX

nX

KX

−1

ky

my 1−e^−sτ

my _1−e^−sτ

mx

Kyy 1

Fx

K

Rys. 3. Przekształcony schemat strukturalny OS według oddziaływania sterującego F _x1

Dla znanych wartości liczbowych współczynników wzmocnienia m_x,m_y,K_xy,K_yy,n_x,n_y i czasu opóźnienia τ , które mogą być rozpatrywane analitycznie na podstawie informacji apriorycznej lub są określane eksperymentalnie, zaleŜności dla parametrów TO mogą być istotnie uproszczone. JeŜeli dopuszczalne jest nieuwzględnianie w obiekcie wewnętrznego sprzęŜenia zwrotnego, pokazanego na rys. 3 linią przerywaną (m_xK_x<<1), to A₁=0,

) 1

/(

1 1 Kxy nx Kyy ny

B = + ⋅ + ⋅ .

Przy rozpatrywaniu tylko zmian odkształceń spręŜystych w kierunku promieniowym i nieuwzględnianiu wpływu składowej siły skrawania F na odkształcenia spręŜyste _f

) 0 ( _xy =

y K

g , schemat strukturalny przyjmuje postać pokazaną na rys. 4. i

y yy F y

yy x

x K n

K K n B K

K m

A ^x

⋅

= +

′

⋅

= +

⋅

= , 1

1

, ₂ 1 ₀ ¹

1 . (10)

W przypadku pominięcia takŜe sprzęŜenia zwrotnego, pokazanego linią kreskowaną na rys. 4, współczynnik A₁=0. Rozkład funkcji wykładniczej e^−sτ w szereg Pade umoŜliwia przedstawienie ekwiwalentnego ММ, odpowiadającego układowi równań (5) TO typowych członów dynamicznych. Przy wykorzystaniu pierwszych dwóch członów szeregu Pade [4, 5]

moŜna zapisać:

) 1 ( ) 1 (

1 )

( ) ) (

(

2 1

3 2 2 0 3

1 + ⋅ +

+

′⋅ +

⋅ ⋅

=

= Ts T s

s T s K T

s F

s s g

G

x y

sc , (11)

gdzie:



 + ± + −

⋅

=0,5 0,5 ₂ (0,5 ₂)² 1/3

2 ,

1 B B

T τ , (12)

τ

τ ′ = + ⋅

=0,289 , ₃ (0,5 ₁)

3 T A

T . (13)

K

yy 1

Fx

K

kx

mx 1−e^−sτ my

nX

n

X

KX sτ

e⁻

− 1

− 1

Rys. 4. Schemat szczegółowy UD przy szlifowaniu wzdłuŜnym

Dalsze przekształcenie licznika TO według zaleŜności (11) wykonywane jest analogicznie jak przedstawione wcześniej dla przypadku UD obróbki tokarskiej [11].

W szczególności przy A₁=0 licznik TO przekształcany jest do postaci:

1 2 ₃

2 2

3 ⋅s + T ⋅s+

T ε ,

gdzie: T₃=0,289τ,ε =0,866.

W zaleŜności od wartości współczynnika A₁<0,077 TO moŜe być zapisana w następującej typowej postaci:

) 1 ( ) 1 (

1 2

) (

) ) (

(

2 1

3 2 2 0 3

1 + ⋅ +

+

⋅ +

⋅ ⋅

=

= Ts T s

s T s

K T s F

s s g

G

x y sc

ε , (14)

gdzie: ε =(0,5+A)/0,577 - współczynnik tłumienia.

W przypadku, kiedy A₁≥0,078, wyraŜenie aproksymujące analizowanej TO przyjmuje postać:

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) (

) ) (

(

2 1

5 4

0 1

1 ⋅ + ⋅ ⋅ +

+

⋅

⋅ +

⋅ ⋅

=

= T s T s

s T s

K T s F

s s g

G

x y

F_x , (15)

gdzie:



 + ± + −

⋅

=0,5 0,5 ₁ (0,5 ₁)² 1/3

5 ,

4 A A

T τ . (16)

Analogicznie na podstawie uogólnionego schematu strukturalnego i układu równań (5) otrzymano cząstkowe modele UD dla pozostałych oddziaływań sterujących. WyraŜenia aproksymujące TO układu dynamicznego szlifowania wzdłuŜnego, w tym przypadku dla róŜnorodnych oddziaływań sterujących, pokazanych na rys. 2, róŜnią się od przytoczonych zaleŜności tylko wartością współczynnika wzmocnienia K OS - zaleŜności obliczeniowe ₀ zestawiono w tabeli 1.

3. IDENTYFIKACJA UD SZLIFOWANIA WGŁĘBNEGO WAŁÓW O MAŁEJ SZTYWNOŚCI

Model matematyczny UD zewnętrznego walcowego szlifowania wgłębnego wałków spręŜyście – odkształcalnych o małej sztywności jako obiektu sterowania odzwierciedla wzajemnie powiązania między siłami skrawania i podstawowymi oddziaływaniami sterującymi i w ogólnym przypadku uwzględnia właściwy proces skrawania, odkształcenia spręŜyste UD i specyfikę powstawania wiórów (skrawanie „po śladzie”).

Jako wejściowe oddziaływania na obiekt przyjmuje się jedno z wcześniej wymienionych oddziaływań, tworzących stan spręŜyście - odkształcalny - K_F K_e e K_Mi

x , , ,

1 i prędkość posuwu poprzecznego suportu v_pop, a za wyjściowe – odkształcenia spręŜyste UD po współrzędnej Y (rys.5).

Rys. 5. Model procesu zewnętrznego szlifowania wgłębnego

Powiązania wzajemne między siłami szlifowania i grubością warstwy skrawanej z powierzchni obrabianej części, jak i w rozpatrzonych wyŜej modelach, uwaŜa się za nieinercyjne [8]. Do wcześniej przyjętych załoŜeń i warunków początkowych naleŜy dołączyć:

• szlifowanie jest wykonywane przy stałej prędkości skrawania, niezmiennych moŜliwościach skrawających ściernicy i właściwościach materiału obrabianych części;

• szerokość szlifowania b=const i przy szlifowaniu wgłębnym jest równa szerokości obrabianej części lub ściernicy.

Oprócz tego uwzględniane są tylko odkształcenia liniowe układu i zmienność sztywności K i y K_z według osi Y i Z . Przy przyjętych załoŜeniach siła skrawania określana jest tylko na podstawie grubości warstwy skrawanej a(t):

) (t a m

F_ζ = _ζ ⋅ , gdzie: ζ ∈

{ }

Y ,Z .

Мodel matematyczny UD przy szlifowaniu wgłębnym wałków o małej sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym w postaci operatorowej moŜe być przedstawiony układem równań:















⋅

−

−

⋅

−

=

⋅

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅

=

⋅

=

−

− ) ( ) (1 ) ( ).

1 1( ) (

), ( )

(

), ( )

( )

( )

( )

( )

(

), ( )

(

1 1

s g e s

v s e

s a

s F K s g

s g K s M K s e K s F K s F K s g

s a m s F

y s pop

s c z z

z bz i

Mi e

x F p

yy

y _x

τ τ

ζ ζ

(17)

W układzie równań uwzględniono, Ŝe odkształcenia spręŜyste po osi Z prowadzą do zmiany grubości warstwy skrawanej i mogą być rozpatrywane jako dodatkowe składowe przyrostu g . ZaleŜność opisująca współczynnik _y K_bz, ustanawiająca wzajemne powiązanie między przyrostem głębokości skrawania b i siłą F otrzymana została wcześniej, _c

R g R g

K_bz =sin( _z0/ ≈ _z0/ [4].

Zgodnie z układem równań (17) zbudowano uogólniony schemat strukturalny UD przy zewnętrznym szlifowaniu wgłębnym wałków spręŜyście - odkształcalnych (rys. 6). Schemat strukturalny, przekształcony do parametru wyjściowego g_y(s), pokazany jest na rys. 7.

Transmitancja operatorowa UD jako obiektu sterowania w tym przypadku zapisywana jest w postaci:

) 1

( 1

1 )

( ) ) (

(

9 0

1 sτ

x y

sc K B e

s F

s s g

G ₋

−

⋅

⋅ +

=

′ =

, (18)

gdzie: K₀=K_Fx1,B₉=B₂=K_yy⋅m_y+K_bz⋅K_z⋅m_z.

JeŜeli nie jest uwzględniany wpływ przyrostu składowej siły skrawania F na _c odkształcenia spręŜyste po współrzędnej Y (m_z⋅K_bz⋅K_z <<1), to B₁₀=K_yy⋅m_y.

Po przekształceniach otrzymamy:

) 1 )

1 (

1 ) 2

(

2 1

3 2 2 3

0 ⋅ + ⋅ ⋅ +

+

⋅ +

⋅ ⋅

′ =

s T s T

s T s

K T s

G_sc ε

, (19)

gdzie: T₃=0,289τ,ε =0,866,



 + ± + −

⋅

=0,5 0,5 ₂ (0,5 ₂)² 1/3

2 ,

1 B B

T τ .

Dla oddziaływań wejściowych M i _i e TO obiektu sterowania równieŜ określane są z zaleŜności (19), a współczynnik wzmocnienia K określany jest zgodnie z tabelą 1. ₀

W wielu przypadkach, z wystarczającym dla praktycznych obliczeń inŜynierskich stopniem dokładności, zaleŜności aproksymujących TO (18), celowe jest wykorzystanie pierwszego członu rozłoŜenia funkcji e^−sτ w szereg Pade:

2 ) 1 1 /(

2 ) 1 1

( τ τ

τ = − ⋅ + ⋅

− s s

e ^s .

Na przykład TO (18) po przekształceniach sprowadza się do postaci typowych członów dynamicznych, jak w przykładzie dla toczenia [12].

(

^τ

)

τ es

s

− −

1 1

τ

e⁻s

− 1

Kyy

Kz x1

KF

i

KM

Ke

mz

my

) (s v_pop

KBz

Rys. 6. Uogólniony schemat strukturalny UD przy szlifowaniu wgłębnym wałków o małej sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym

1

Fx

K

k

yy

mx

my

τ

e⁻s

−

1

− 1

k

z bz

k

Rys. 7. Przekształcony schemat strukturalny UD przy szlifowaniu wgłębnym wałków o małej sztywności w stanie spręŜyście - odkształcalnym

Modele UD przy zewnętrznym szlifowaniu wzdłuŜnym i wgłębnym dla róŜnych wariantów aproksymacji funkcji e^−sτ przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Transmitancje, współczynniki wzmocnienia i stałe czasowe MM UD szlifowania wzdłuŜnego i wgłębnego wałów o małej sztywności w stanie spręŜyście – odkształcalnym

Nr Transmitancja UD przy szlifowaniu wałków o małej

sztywności

Współczynniki przekazywania

Stałe czasowe

1 2 3 4

1

Szlifowanie oscylacyjne przy zachowaniu 2 członów rozkładu

funkcji e⁻sτ w szereg Pade:

) 1 )(

1 ( ) 1 (

2 1

3 2 2

0 3 + +

′ +

= +

s T s T

s T s K T s G_sc

y yy x xy

F

n K n K

K K ^x

+

= + 1 (

1

0

x xK m A₁=

) 1

1 (

y yy x xy

x x

n K n K

K B m

+

= +

τ 289 ,

3 =0 T

τ ) 5 , 0

( ₁

3 A

T′= +

[

+ ±

= ₁

2 ,

1 0,5 0,5 B

T τ

]

3 / 1 ) 5 , 0

( + ₁ ²−

± B

1

<<1

x xK m

) 1 )(

1 (

1 ) 2

(

2 1

3 2 2 3

0 + +

+

= +

s T s T

s T s K T s

G_sc ε

y yy x xy

F

n K n K

K K ^x

+

= + 1 (

1

0

1=0 A

) 1

(

) (

2

y yy x xy

y y xy x x x

n K n K

K m K m n B K

+ +

= +

289τ ,

3 =0 T

866 ,

=0 ε

]

3 / 1 ) 5 , 0

( + ₂ ²−

± B

[

+ ±

= ₂

2 ,

1 0,5 0,5 B

T τ

2

<<1 Kxy

) 1 )(

1 ( ) 1 (

2 1

3 2 2 3

0 + +

′ +

= +

s T s T

s T s K T s G_sc

) 1

(

1

0

y yy F

n K

K K ^x

= +

x xK m A₁=

) 1

3 mxKx/( Kyyny

B = +

τ 289 ,

3 =0 T

τ ) 5 , 0

( ₁

3 A

T′= +

[

+ ±

= 3

2 ,

1 0,5 0,5 B

T τ

]

3 / 1 ) 5 , 0

( + ₃ ²−

± B