ANALIZA EFEKTYWNOŚCI PURC W PORÓWNANIU Z KLASYCZNYMI METODAMI KOMPUTEROWYMI NA BAZIE PRAKTYCZNYCH PRZYKŁADÓW MODELOWANYCH RÓWNANIAMI NAVIERA-LAMEGO

(1)

ANALIZA EFEKTYWNOŚCI PURC W PORÓWNANIU Z KLASYCZNYMI METODAMI KOMPUTEROWYMI

NA BAZIE PRAKTYCZNYCH PRZYKŁADÓW MODELOWANYCH RÓWNANIAMI NAVIERA-LAMEGO

E

UGENIUSZ

Z

IENIUK

, A

GNIESZKA

B

OŁTUĆ Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku

e-mail: ezieniuk@ii.uwb.edu.pl, aboltuc@ii.uwb.edu.pl

Streszczenie. W pracy pokazano efektywność parametrycznego układu równań całkowych (PURC) do rozwiązywania praktycznych dwuwymiarowych zagadnień modelowanych równaniami Naviera-Lamego w porównaniu z komputerowymi metodami klasycznymi. Do realizacji MES wykorzystany został program

„ALGOR”, natomiast w przypadku MEB program „BEASY”. Porównaniu podlegały: liczba zadawanych danych wejściowych potrzebnych do zdefiniowania kształtu brzegu oraz warunków brzegowych, liczba rozwiązywanych równań algebraicznych i wreszcie dokładność oraz wiarygodność wyników.

1. WSTĘP

Do najbardziej popularnych zarówno pod względem efektywności oraz róŜnorodności zastosowań, jak i dostępności oprogramowania metod komputerowych mechaniki naleŜy zapewne metoda elementów skończonych (MES) [6] oraz metoda elementów brzegowych (MEB) [1]. Metody te dają duŜe moŜliwości modelowania róŜnorodnych obszarów, co podyktowane jest tym, Ŝe nawet najbardziej złoŜone geometrycznie obszary praktycznie moŜna podzielić na elementy. Taki sposób modelowania prowadzi jednak do duŜej liczby elementów, co ostatecznie sprowadza się do rozwiązywania duŜych układów równań algebraicznych.

We wcześniejszych własnych pracach został otrzymany PURC [2,3,4,5], w którym do zdefiniowania brzegu, jak potwierdziły przykłady elementarne, jest zadawana mniejsza liczba danych wejściowych, a rozwiązania są otrzymywane przy rozwiązywaniu mniejszego układu równań algebraicznych niŜ w przypadku MES czy MEB [3]. Nadszedł więc czas, aby porównać proponowaną metodę na przykładach praktycznych, niemających rozwiązań analitycznych z metodami głęboko „zakorzenionymi” w tej dziedzinie, czyli MES oraz MEB.

Celem niniejszej pracy jest zbadanie efektywności numerycznej realizacji PURC do rozwiązywania dwuwymiarowych równań Naviera-Lamego w porównaniu z numerycznymi metodami klasycznymi. Do realizacji MES wykorzystany został program „ALGOR”, natomiast w przypadku MEB program „BEASY”. Porównaniu podlegały: liczba zadawanych danych wejściowych potrzebnych do zdefiniowania kształtu brzegu oraz warunków brzegowych, liczba rozwiązywanych równań algebraicznych, czas obliczeń i wreszcie dokładność zbieŜność oraz wiarygodność wyników.

(2)

2. PARAMETRYCZNY UKŁAD RÓWNAŃ CAŁKOWYCH (PURC)

PURC dla równania Naviera-Lamego jest przedstawiony w następującej postaci [2,3]

}

{

⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ^, ⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^,

) ( 5 . 0

1

1 1

1

ds s J s s s s

s s s

n

r s

s

r r pr

r pr

p

r

∑ ∫

=

∗

−

= U p P u

u (1)

r r

p

p s s s s s

s ₋₁≤ ₁≤ , ₋₁≤ ≤ ,

5 . 2 0 ) 2 2 (

) 1 (

)

( 



















∂ Γ + ∂









∂ Γ

= ∂

s s s

J_r ^r ^r , p =1,2,...n. Pierwsza funkcja podcałkowa w (1) jest przedstawiana za pomocą

, )

ln(

) 4 3 ( )

ln(

) 4 3 ( ) 1 ( 8 ) 1 , (

2 1

1

*













−

− −

=

2 2 2 2

2 2

2 1

η η η

U η

η ν η

η η ν η

µ ν s π

pr s p, =r 1,2,...n, (2)

gdzie

5 . 0 2 2 2

1 ]

[η +η

=

η , η₁ =Γ_r⁽¹⁾(s)−Γ⁽_p¹⁾(s₁), η₂ =Γ_r⁽²⁾(s)−Γ_p⁽²⁾(s₁), zaś ν to współczynnik Poissona, a µ to stała Lamego.

Natomiast druga funkcja podcałkowa w (1) jest przedstawiana w postaci

, ,...

2 , 1 , ) ,

1 ( 4 ) 1 , (

22 21

12 11 1

* p r n

P P

P s P

pr s  =



 





− −

= η

P π ν ⁽³⁾

gdzie

, 2

) 2 1 ( P

2 1

11 n

η η² ∂

∂







 η

+ ν

−

= ₁₂ 2 ¹ ² (1 2 ) ¹ ₂( ) ² ₁( ) ,







 



 



 +

−

∂ −

= ∂ n s n s

P n η η

η η²

η ν η

η η

, ) ( )

( )

2 1 (

2 ² ¹ ² ₁ ¹ ₂

21 









 



 



 +

−

∂ −

= ∂ n s n s

P n η η

η η²

η η η ν

η (1 2 ) 2 ,

2 2

22 n

η η² ∂

∂







 − +

= η

ν P

).

( )

( ² ₂

1

1n s n s

η η

n η

∂ +∂

∂

= ∂

∂

∂ η η

Geometria brzegu w PURC jest ogólnie bezpośrednio zdefiniowana w funkcjach podcałkowych (jądrach) (2,3) za pomocą funkcji parametrycznych Γr ≡

{

Γr⁽¹⁾(s)Γr⁽²⁾(s)

}

^T. Po rozwiązaniu PURC otrzymujemy jedynie rozwiązania na brzegu, rozwiązania w obszarze uzyskamy na podstawie następującej toŜsamości całkowej [2,3]

}

∑ ∫ {

= ₋

−

= ⁿ

r

r s

s

r r

r

r s s s s J s ds

r

1 r

*

*( , ) ( ) ˆ ( , ) ( ) ( ) ,

) ˆ (

1

u x P p

x U x

u s_r₋₁ ≤s≤s_r. (4)

Funkcje podcałkowe w (4) przedstawione są za pomocą następujących wyraŜeń

, )

ln(

) 4 3 ( )

ln(

) 4 3 ( ) 1 ( 8 ) 1 , ˆ (

2 1

2 1 2

1

*













−

− −

=

2 2 2 2

2 2

r r r

x U

t t t t

t t

t t t t

t t

r r

r

r r r

r s

ν ν

µ ν

π ⁽⁵⁾

(3)

, ,....

3 , 2 , 1 ) ,

1 ( 4 ) 1 , ˆ (

22 21

12

* 11

n P r

P P s P

r  =



 





− −

= r

x

P t

ν

π ⁽⁶⁾

gdzie

, 2

) 2 1 (

2 1

11 n

r r² ∂

∂







 − +

=

t t rt

P ν ₁₂ 2 ¹ ² (1 2 ) ¹ ₂( ) ² ₁( ) ,







 



 



 +

−

∂ −

= ∂ r n s

s r n r

P r

η η

n r r²

t t

ν

, ) ( )

( ) 2 1 (

2 ² ¹ ² ₁ ¹ ₂

21 



 



 



 +

−

∂ −

= ∂ r n s

s r n r

P r

η η

n r r²

t t t

ν (1 2 ) 2 ,

2 2

22 n

r r² ∂

∂







 − +

=

t t rt

P ν

) ( )

( ² ₂

1

1 r n s

s r n

r r

n

r t

t t

∂ +∂

∂

= ∂

∂

∂ oraz t [rt₁² rt₂²]⁰^.⁵ +

=

r , rt₁ = Γ_r⁽¹⁾(s)−x₁

i rt₂ =Γ_r⁽²⁾(s)−x₂. W przypadku wielu problemów modelowanych za pomocą równań Naviera-Lamego nie wystarczy wyliczyć wartości przemieszczeń, naleŜy takŜe otrzymać wektor napręŜeń

{

σx,σy,τxy

}

^T

) (x =

σ za pomocą wzoru

}

∑ ∫ {

= ₋

−

= ⁿ

r s

s

r r r

r

r s s s s J s ds

r

1 r

*

1

) ( ) ( ) , ˆ ( ) ( ) , ˆ ( )

( D p u

σ x x S x , σ(x)=

{

σ_x,σ_y,τ_xy

}

^T (7)

Funkcje podcałkowe ˆ*( , )

r x s

D oraz ˆ*( , )

r x s

S przedstawione są w następującej postaci

















+ ν

−

+ ν

−

+ ν

−

+ ν

−

+ ν

−

+ ν

−

ν

−

= π

3 3

3

3 3 3

r r r r

r r

r r r r

r r

r

t t t t

t t t t t

t t t t

t

3 2 2

2 2 1 1

2 2 1 2

2 2 1 1

2 2 1 2

3 1 1

* r

2r )r 2 1 (

r 2r )r 2 1 (

2r )r 2 1 (

) 1 ( 4 ) 1 s , ˆ (x

D , (8)

) , 1 ( ) 2 , ˆ (

32 22 12

31 21 11

2

*

















= −

S S S

S S S s r

r t

ν π x µ

S (9)

gdzie 2 [(1 2 ) 2 4 ] 4 ( ) (1 2 )[2 ( ) 2 ₁( )] (1 4 ) ₁( ),

2 1 1 2

1 1 3

1 1 1

11 r n s n s

s r n

r

S − ν r + ν − + ν + − ν + − − ν

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂

r r

r r r

r t

t t

t t t t t t

n

) ( ) 4 1 ( ] ) ( 2 )[

2 1 ( ) ( 4 ] 4 ) 2 1 [(

2 ₂

2 1 2 2

1 1 2 2 1 2

12 r n s

s r n

s r r n

r

S − ν r − + ν + − ν − − ν

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂

r r

r t

t t

t t t

t t t t t

n ,

)]

( )

( 2 )[

2 1 ( ] ) ( )

( [ 2 ] 4 [

2 ₁ ¹ ² ₂

2 1 2 2 1 1 2

2 1 2

21 rr n s

s r n

s r n s r r n

r

S r − + + + − +

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂ ₂

r r

r

r t

t t t

t t

t t t

t t t t t

ν ν

nν ,

)]

( )

( 2 )[

2 1 ( ] ) ( )

( [ 2 ] 4 [

2 ₂ ¹ ² ₂ ¹ ² ₁

2 2 1 2

2 1 1

22 rr n s

s r n

s r r n

s r n

r

S r − + + + − +

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂ ₂

r r

r

r t

t t t

t t

t t t t t

ν ν

n ν ,

) ( ) 4 1 ( ] ) ( 2 )[

2 1 ( ) ( 4 ] 4 ) 2 1 [(

2 ₁

2 2 1 2

1 2 2

2 1 1

31 r n s

s r n

s r r n

r

S − ν r − + ν + − ν − − ν

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂

r r

r t

t t

t t t

t t t t t

n ,

), ( ) 4 1 ( )]

( 2 ) ( 2 )[

2 1 ( ) ( 4 ] 4 2 ) 2 1 [(

2 ₂ ₂

2 2 2 2

2 2 3 2 2 2

32 r n s n s

s r n

r

S − ν r + ν − + ν + − ν + − − ν

∂

= ∂ ₃ ₂ ₂

r r

r r r

r t

t t

t t t t t t

n

gdzie t [rt₁² rt₂²]⁰^.⁵ +

=

r , rt₁ =Γ_r⁽¹⁾(s)−x₁

i rt₂ =Γ_r⁽²⁾(s)−x₂ .

(4)

3. ROZWIĄZYWANIE PURC I ANALIZA EFEKTYWNOŚCI

Do numerycznego rozwiązywania PURC przedstawionego w poprzednim punkcie zastosowano metodę kolokacji szczegółowo omówioną w [2,3,4]. Następnie na podstawie tej metody napisano program, na podstawie którego rozwiązano szereg róŜnych przykładów.

W celu pokazania dokładności nowej metody najpierw rozwiązano przykłady mające rozwiązania dokładne [3]. Na podstawie przeprowadzonych testów okazało się, Ŝe metoda ta charakteryzuje się wysoką dokładnością. Porównywanie wyników z rozwiązaniami dokładnymi nie wyczerpuje wystarczająco badań, aby moŜna było stwierdzić jednoznacznie, Ŝe metoda jest konkurencyjna w stosunku do klasycznej MES oraz MEB. Dlatego teŜ przeprowadzono szczegółowe badania polegające na zbadaniu efektywności metody w porównaniu z metodami klasycznymi.

3.1 Modelowanie obszaru punktami naroŜnymi

W przykładzie rozpatrzono element konstrukcyjny o wymiarach i kształcie podanym na Rys. 1a, podparty i obciąŜony siłami brzegowymi o natęŜeniu p=10 i znajdujący się w płaskim stanie napręŜeń (PSN). Stałe materiałowe elementu to moduł Younga E=2*10⁵ oraz współczynnik Poissona ν=0.25.

Rys. 1a,b. RozwaŜane elementy konstrukcyjne

Analizowany kształt w PURC zdefiniowano za pomocą 11 punktów naroŜnych )

11 ,..., 2 , 1 , 0 ( =i

V_i . Taki sposób modelowania jest bez porównania bardziej efektywny od sposobu polegającego na dyskretyzacji za pomocą elementów skończonych czy brzegowych.

W celu porównania efektywności metod wyniki zestawiono w Tabeli 1.

Tabela 1. Porównanie metod pod względem liczby danych (zagadnienie z rys. 1a)

Kryterium

porównawcze MES MEB PURC

Liczba i rodzaj danych do definiowania

kształtu

8817 skończonych trójkątnych elementów

liniowych

66 brzegowych elementów kwadratowych

11 punktów naroŜnych (rys. 1a) Liczba równań

algebraicznych 9116 276 176

Otrzymane rozwiązania

w 4558 węzłach (na brzegu i w obszarze)

w 138 węzłach na brzegu i dowolnym punkcie w obszarze

w dowolnych punktach brzegu i obszaru

(5)

Jak wynika z porównania przedstawionego w tabeli 1, PURC jest bardzo efektywny pod kątem liczby danych wejściowych (wynikających ze sprawnego, efektywnego modelowania kształtu brzegu) oraz rozwiązywanych równań, co jest bardzo waŜne z punktu widzenia uzyskiwanej dokładności. Wartości wszystkich składowych wektora napręŜeń otrzymanych za pomocą metod klasycznych wraz z napręŜeniami zredukowanymi przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Wartości napręŜeń uzyskanych za pomocą MES i MEB (zagadnienie z rys. 1a)

MES(ALGOR) MEB (BEASY)

x y

σx σ_y τ_xy σ_VM σ_x σ_y τ_xy σ_VM

1 0.1 -4.90161 -0.01397 -1.88888 5.892434 -4.96 -1.57E-02 -1.878 5.925 1 0.2 -3.43363 -0.0239 -3.04593 6.291076 -3.518 -2.67E-02 -3.012 6.285 1 0.3 -2.1697 -0.0487 -3.63484 6.65314 -2.157 -9.05E-03 -3.663 6.699 1 0.4 -0.92053 0.003817 -3.92219 6.856994 -0.9184 6.38E-02 -3.93 6.874 1 0.5 0.209974 0.12654 -3.89105 6.743243 0.2019 0.2019 -3.895 6.749 1 0.6 1.195459 0.365988 -3.63253 6.383026 1.284 0.3816 -3.612 6.36 1 0.7 2.407566 0.556197 -3.11968 5.830985 2.478 0.5501 -3.097 5.818 1 0.8 3.949115 0.629128 -2.32938 5.462796 4.018 0.5946 -2.286 5.458 1 0.9 6.095453 0.36626 -1.09705 6.223959 6.117 0.3255 -1.04 6.227

Rozwiązania te w kaŜdym rozpatrywanym punkcie są do siebie bardzo zbliŜone. Dlatego teŜ o efektywności tych metod moŜe decydować liczba danych wejściowych oraz liczba rozwiązywanych układów równań. Jak wynika z tabeli 1 przy zastosowaniu tego kryterium do oceniania efektywności bardziej korzystnie wypada MEB w porównaniu z MES. Następnie ten przykład został rozwiązany za pomocą napisanego programu wykorzystującego PURC.

Otrzymane wyniki w postaci błędów względnych przy załoŜeniu, Ŝe wyniki uzyskane za pomocą MES i MEB są dokładne, zostały przedstawione w tabeli 3.

Tabela 3. Wartości błędów względnych metody PURC w odniesieniu do metod MES i MEB

MES(ALGOR) MEB (BEASY)

x y

σx σ_y τ_xy σ_VM σ_x σ_y τ_xy σ_VM

1 0.1 0.041532 46.52984 0.413738 0.103629 1.149317 39.90349 0.987515 0.448473 1 0.2 0.073337 9.065284 0.229748 0.143835 2.381938 1.624414 0.88679 0.047114 1 0.3 0.154381 1.564679 0.09828 0.0824 0.738903 81.13075 0.873849 0.772267 1 0.4 0.210148 1.838127 0.071501 0.053244 0.440942 1539.872 0.270793 0.301386 1 0.5 0.483903 0.483903 0.044673 0.049489 4.310534 58.7822 0.146259 0.134905 1 0.6 0.332555 0.069706 0.041251 0.021698 7.049259 4.193034 0.524016 0.339118 1 0.7 0.273204 0.062716 0.025831 0.015297 2.64433 1.034166 0.701227 0.237953 1 0.8 0.227476 0.312815 0.139108 0.055698 1.512871 5.192584 1.725655 0.143443 1 0.9 0.108877 1.379416 0.868269 0.058455 0.244228 9.902801 4.377281 0.009624

Błąd śred.

[%]: 0.211713 6.811832 0.214711 0.064861 2.274702 193.515 1.165931 0.270476

Jak wynika z tabeli 3 (a szczególnie na podstawie błędów średnich), wyniki uzyskane za pomocą PURC są dokładne w odniesieniu do metod klasycznych. Błędy te w porównaniu z MEB są mniejsze aniŜeli w porównaniu z MES. Niemniej jednak naleŜy pamiętać o tym, Ŝe wyniki uzyskane za pomocą MES i MEB są przybliŜonymi i tylko umownie w celach porównawczych zostały potraktowane jako dokładne. NaleŜy teŜ pamiętać o tym, Ŝe wcześniejsze testy porównawcze z rozwiązaniami dokładnymi były bardziej korzystne dla PURC [2]. Przy załoŜeniu, Ŝe uzyskane wyniki rozwiązań są równieŜ zadawalające, do oceniania efektywności moŜemy tylko zastosować kryteria stosowane w tabeli 1. Wynika z niej, Ŝe jeszcze przy mniejszej liczbie danych i mniejszym układzie równań algebraicznych

(6)

niŜ w MEB są otrzymywane bardzo dokładne wyniki rozwiązań. Wnioski te były teŜ potwierdzane i na innych przykładach. Przykładowo, w celu otrzymania dokładnych rozwiązań dla zadania przedstawionego na rys. 1b liczba danych wejściowych i liczba rozwiązywanych równań dla poszczególnych metod została przedstawiona w tabeli 4.

Tabela 4. Porównanie metod pod względem liczby danych (zagadnienie z rys. 1b)

Kryterium porównawcze MES MEB PURC

Liczba i rodzaj danych do definiowania kształtu

2852 skończonych czworokątnych elementów

liniowych

194 brzegowe elementy kwadratowe

20 punktów naroŜnych

(Rys1b) Liczba równań

algebraicznych 6112 816 304

Otrzymane rozwiązania w 3056 węzłach na brzegu i w obszarze

w 406 węzłach brzegowych i dowolnym

w obszarze

w dowolnych punktach brzegu i

obszaru

Biorąc pod uwagę zastosowane kryterium porównawcze, widać, Ŝe znowu najbardziej korzystnie wypada PURC.

3.2 Modelowanie obszaru punktami naroŜnymi i brzegowymi

W poprzednich przykładach pokazano, Ŝe PURC jest bardziej efektywny niŜ MEB, dlatego teŜ w kolejnych przykładach ograniczymy się tylko do porównywania PURC z MEB.

Rozpatrywany przykład dotyczy bardziej złoŜonego kształtu, który łączy w sobie segmenty krzywoliniowe z prostoliniowymi. RozwaŜaną geometrię (wraz z wymiarami) oraz zadane warunki brzegowe zaprezentowano na rys. 2. Badane ciało znajduje się w PSN, zaś stałe materiałowe wynoszą E=3*10⁶ oraz ν=0.28.

Rys. 2. Rozpatrywana geometria i warunki brzegowe

Do zdefiniowania badanego kształtu (klucza) w BEASY wykorzystano 88 kwadratowych elementów brzegowych zagęszczonych w okolicach punktów V₂,V₆,V₉,V₁₀, zaś w PURC w tym samym celu wzięto pod uwagę jedynie 11 punktów brzegowych i naroŜnych.

Porównanie to zostało zestawione w tabeli 5 z jednoczesnym podaniem liczby rozwiązywanych równań algebraicznych w poszczególnych metodach.

Tabela 5. Porównanie rozpatrywanych metod pod względem liczby danych

Kryterium porównawcze MEB PURC

Liczba i rodzaj danych do

definiowania kształtu 88 brzegowe elementy kwadratowe 9 punktów naroŜnych i 2 brzegowe

Liczba równań algebraicznych 370 264

Otrzymane rozwiązania w 185 węzłach brzegowych oraz w dowolnym punkcie obszaru

(7)

W tabeli 6 podano rozwiązania uzyskane za pomocą programu BEASY oraz PURC z jednoczesnym obliczeniem błędów względnych

Tabela 6. Wartości napręŜeń w przekroju x=3,−0.3<= y<=0.3

MEB(BEASY PURC Błąd względny [%]

x y

σx σ_y τ_xy σ_x σ_y τ_xy σ_x σ_y τ_xy

3.0 -0.3 1336 7.85E-02 81.81 1336.44 0.029869 81.9991 0.032934 61.92849 0.231145 3.0 -0.25 1113 6.42E-02 114 1113.69 0.047654 114.196 0.061995 25.72021 0.17193 3.0 -0.2 890.3 8.36E-02 140.4 890.943 0.070357 140.563 0.072223 15.85766 0.116097 3.0 -0.15 667.7 0.1113 160.9 668.189 0.100612 161.095 0.073236 9.602875 0.121193 3.0 -0.1 445.1 0.1399 175.6 445.434 0.132737 175.782 0.075039 5.120086 0.103645 3.0 -0.05 222.5 0.1646 184.4 222.685 0.160638 184.615 0.083146 2.407047 0.116594 3.0 0 -7.06E-02 0.1806 187.4 -5.217E-02 0.17942 187.587 26.07055 0.653378 0.099787 3.0 0.05 -222.6 0.1842 184.5 -222.772 0.18547 185.000 0.077269 0.689468 0.104065 3.0 0.1 -445.2 0.173 175.7 -445.472 0.17668 175.923 0.061096 2.127168 0.126921 3.0 0.15 -667.7 0.147 161.1 -668.154 0.152614 161.281 0.067995 3.819048 0.112353 3.0 0.2 -890.3 0.1097 140.6 -890.823 0.114461 140.764 0.058744 4.340018 0.116643 3.0 0.25 -1113 7.16E-02 114.2 -1113.49 0.066596 114.380 0.044025 6.990824 0.157618 3.0 0.3 -1335 6.83E-02 81.96 -1336.18 0.024971 82.1339 0.08839 63.4443 0.212177 Błąd średni [%]: 2.06666 15.5923 0.13770

Po analizie wyników zawartych w tabeli 6 moŜna stwierdzić, iŜ wyniki uzyskane za pomocą PURC są otrzymane z zadowalającą dokładnością przy mniejszej liczbie danych do modelowania obszaru oraz mniejszym układzie rozwiązywanych równań niŜ w MEB. NaleŜy podkreślić, Ŝe duŜe wartości błędów względnych dla napręŜeń σ_y (tabela 6, jak równieŜ tabela 3) wynikają z małych wartości tych napręŜeń.

Kolejny przykład dotyczy elementu kotwiącego przedstawionego na rys. 3. Element zdefiniowano w PSN, a za stałe materiałowe przyjęto wartości charakterystyczne dla aluminium E =73*10³ oraz ν=0.34.

Rys. 3. Rozpatrywana geometria i warunki brzegowe

Zbadano napręŜenia w kilku wybranych przekrojach elementu kotwiącego, jednak w pracy zamieszczono jedynie wybrany z nich przebiegający przez całą długość ciała równolegle do segmentu V₁V₂ (w odległości 0.3 od niego) w przekroju x=−0.7,−1.8<= y<=1.6. Wyniki analizy, w postaci średnich błędów względnych przy załoŜeniu, Ŝe wyniki uzyskane za pomocą MEB w rozpatrywanym przekroju są dokładne, dla poszczególnych napręŜeń w procentach są następujące: σ_x =1.25927, σ_y =1.764746 τ_xy =0.597023. Tak dokładne wyniki zostały otrzymane jak pokazano w tabeli 7 przy modelowaniu ciała w PURC w sposób

(8)

bardziej efektywny niŜ w przypadku MEB równieŜ przy rozwiązywaniu mniejszego układu równań algebraicznych.

Tabela 7. Porównanie rozpatrywanych metod pod względem liczby danych

Kryterium porównawcze MEB PURC

Liczba i rodzaj danych do definiowania kształtu

65 brzegowych elementów kwadratowych

6 punktów naroŜnych i 2 brzegowe

Liczba równań algebraicznych 272 110

Otrzymane rozwiązania w 136 węzłach brzegowych oraz w dowolnym punkcie obszaru

4. WNIOSKI

W pracy przedstawiono wyniki badań związanych z efektywnością rozwiązywania praktycznych zagadnień brzegowych za pomocą PURC w porównaniu z rezultatami otrzymanymi za pomocą programu ALGOR oraz BEASY. Ostatecznie okazuje się, Ŝe bardzo dokładne wyniki w porównaniu z klasycznymi metodami numerycznymi są otrzymywane w sposób bardziej efektywny. Do zdefiniowania zagadnienia naleŜy wprowadzać mniej danych wejściowych, a do uzyskania wyników rozwiązywać mniejszy układ równań algebraicznych.

Praca naukowa finansowana ze środków budŜetowych na naukę w latach 2005-2007 jako projekt badawczy 3T11F01528

LITERATURA

1. Brebbia C. A, Telles J. C. F, Wrobel, L. C.: Boundary element techniques, theory and applications in engineering. New York: Springer, 1984.

2. Zieniuk E., Bołtuć A.: Krzywe Béziera w modelowaniu ciągłej geometrii brzegu w zagadnieniach brzegowych opisywanych równaniem Naviera. Prace Naukowe

„Transport” Pol. Radom 2005, 3(23), s. 561-566.

3. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined on polygonal domains modeled by Navier equation. International Journal of Solids and Structures 2006, 43, s. 7939-7958.

4. Zieniuk E., Bołtuć A.: Bézier curves in the modeling of boundary problems defined by Helmholtz equation. “Journal of Computational Acoustics” 2006, 14(3), s. 1-15.

5. Zieniuk E.: Modelling and effective modification of smooth boundary geometry in boundary problems using B-spline curves. “Engineering with Computers” 2007, 23(1), s.

39-48.

6. Zienkiewicz O. C.: Metoda elementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1972.

ANALYSIS OF PIES EFFECTIVENESS IN COMPARISON WITH CLASSICAL COMPUTER METHODS ON PRACTICAL EXAMPLES

MODELED BY NAVIER-LAME EQUATION

Summary. The paper presents effectiveness of the PIES for solving of practical two-dimensional problems modeled by Navier-Lame equation in comparison with classical computer methods. FEM is represented by „ALGOR”, whilst BEM by

„BEASY”. Following parameters were compared: number of input data required for boundary geometry and boundary conditions definition, number of solved algebraic equations and finally accuracy and reliability of results.