ZASTOSOWANIE WIELOMIANÓW
INTERPOLACYJNYCH LAGRANGE’A DO APROKSYMACJI FUNKCJI
BRZEGOWYCH W METODZIE PURC DLA RÓWNAŃ NAVIERA-LAMÉGO
Eugeniusz Zieniuk
1a, Marta Kapturczak
1b, Krzysztof Szerszeń
1c1Zakład Metod Numerycznych, Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
aezieniuk@ii.uwb.edu.pl, bmkapturczak@ii.uwb.edu.pl, bkszerszen@ii.uwb.edu.pl
Streszczenie
Kluczowym problemem decydującym o dokładności rozwiązań w brzegowych równaniach całkowych (BRC) i parametrycznych układach równań całkowych (PURC) jest obliczanie całek osobliwych. W metodzie elementów brzegowych stosowanej do rozwiązywania BRC problem ten został efektywnie rozwiązany w wyniku wyelimino- wania konieczności bezpośredniego obliczania całek osobliwych. Bezpośrednie zastosowanie tego jednak sposobu w metodzie PURC okazało się niemożliwe. Celem pracy było przeprowadzenie badań dotyczących wyeliminowania konieczności obliczania całek osobliwych i użycia sposobu stosowanego w klasycznej MEB. W tym celu do aproksymacji funkcji brzegowych zaproponowano wielomiany Lagrange’a.
Słowa kluczowe: parametryczny układ równań całkowych, całka osobliwa, wielomian Lagrange’a
THE APPLICATION OF LAGRANGE INTERPOLATION FOR THE APPROXIMATION OF BOUNDARY FUNCTIONS IN PIES METHOD FOR NAVIER-LAMÉ EQUATIONS
Summary
One of the most important problem which decided about accuracy of boundary problems solution using boun- dary integral equations and parametric integral equations systems is solving singular integrals. In boundary ele- ment method, which is used for solving boundary integral equations, the problem has been efficiently solved by eliminating the necessity of direct solving singular integrals. Unfortunately, the direct application of such a way in the PIES method appeared to be impossible. The aim of this work was to conduct studies about elimination of solving singular integrals and application of a way used in the classic MEB. For such a purpose, to approximate boundary function, the Lagrange polynomial was proposed.
Keywords: parametric integral equations system, singular integral, Lagrange polynomial
1. WSTĘP
Jednym z głównych problemów pojawiających się w trakcie rozwiązywania zagadnień brzegowych za pomocą brzegowych równań całkowych i parame- trycznych układów równań całkowych jest obliczanie całek osobliwych. W MEB, stosowanej do rozwiązywania brzegowych równań całkowych, można uznać, że pro-
blem ten został efektywnie rozwiązany. Do obliczania całek znajdujących się na przekątnej głównej układu równań algebraicznych wykorzystano zasadę ruchu bryły sztywnej (ang. rigid body) [1,2]. Dzięki takiemu podej- ściu w bardzo łatwy sposób można obliczyć całki osobli- we na przekątnej macierzy. Zauważono, że suma wszyst-
kich elementów wiersza w macierzy jest równa zeru.
W związku z tym całka osobliwa, czyli wartość na głównej przekątnej odpowiedniego wiersza, jest równa przeciwnej wartości sumy wszystkich pozostałych ele- mentów. Zależność taka występuje jednak tylko w MEB, natomiast w przypadku układów równań algebraicznych otrzymywanych na bazie algorytmu zastosowanego do rozwiązywania PURC takiej zależności nie zauważo- no.
Dotychczas w metodzie PURC do całkowania całek osobliwych stosowana była najprostsza technika polega- jąca na wyizolowaniu punktu osobliwego [7]. Ta prosta strategia była efektywna i skuteczna w przypadku elementarnych zagadnień brzegowych. Niemniej jednak zastosowanie jej do bardziej złożonych zagadnień okazu- je się mało skuteczne. Wyniki były obarczone dużymi błędami, a czas obliczeniowy niekonkurencyjny w po- równaniu do MEB. Dodatkowym problemem było to, że nie można było bezpośrednio zastosować strategii obliczania całek osobliwych używanej w MEB. W związ- ku z tym postanowiono zastosować alternatywną formę aproksymacji funkcji brzegowych. Dotychczas do aprok- symacji funkcji brzegowych używane były szeregi z funkcjami bazowymi będącymi wielomianami Czeby- szewa.
Celem pracy jest zastosowanie takiej aproksymacji funkcji brzegowych w PURC, która ostatecznie dopro- wadzi do układu równań algebraicznych o własnościach podobnych, jak w przypadku MEB. Dopiero wtedy będzie możliwym obliczanie całek osobliwych w sposób analogiczny jak w MEB. W tym celu postanowiono zastosować do aproksymacji funkcji brzegowych wielo- miany interpolacyjne Lagrange’a zamiast dotychczas stosowanych wielomianów Czebyszewa. Podejście takie przetestowano na zagadnieniach dwu- i trójwymiarowych modelowanych równaniami Naviera- Lamégo.
2. APROKSYMACJA FUNKCJI BRZEGOWYCH W PURC
Metoda PURC, bazująca na parametrycznych ukła- dach równań całkowych, jest alternatywą dla klasycz- nych BRC i służy do rozwiązywania różnego rodzaju zagadnień brzegowych. Dla zagadnień 2D PURC jest przedstawiany w postaci wyrażenia matematycznego [5]:
0,5 ( ) = ∑ ∫ ∗( , ) ( )
− ∗( , ) ( ) ( ) . (1) Poszukiwane rozwiązanie na brzegu w tym przypadku jest przedstawiane za pomocą funkcji brzegowych uj(s) lub pj(s). Do przybliżenia tych funkcji poszukiwanych oraz zadanych w postaci warunków brzegowych zasto- sowano szeregi aproksymujące:
( ) = ( ) ( )( ) ,
( ) = ( ) ( )( ) .
(2)
Do tej pory jako funkcje bazowe w szeregach aprok- symujących (2) stosowane były wielomiany Czebyszewa określone za pomocą wzoru rekurencyjnego:
( ) = 1, ( ) = ,
( ) = 2 ∙ ( ) − ( ), = 2, 3, … .
(3)
Po podstawieniu szeregów aproksymujących (2) do PURC (1) otrzymano następującą postać parame- trycznego układu równań całkowych:
0,5 ( ) = ∑ ∑ ( )∫ ∗( , )
− ( )∫ ∗( , ) ( )( ) ( ) . (4) Numeryczne rozwiązanie (4) po zastosowaniu metody spektralnej i po podstawieniu w punktach kolokacji można przedstawić w skróconej postaci w sposób nastę- pujący:
= , (5)
gdzie u i p odpowiadają poszukiwanym współczynnikom funkcji brzegowych (2), natomiast H i G są to macierze, których elementy dla każdego punktu kolokacji określo- ne są za pomocą całek występujących w równaniu (4).
W tym momencie na głównej przekątnej macierzy H w przypadku rozwiązywania równań Naviera-Lamégo pojawiają się całki silnie osobliwe. Do tej pory efektyw- nym sposobem obliczania takich całek było izolowanie punktu osobliwego. Takie podejście było zadowalające w przypadku elementarnych zagadnień brzegowych.
Do rozwiązywania bardziej złożonych zagadnień zacho- dziła potrzeba zastosowania w kwadraturach Gaussa [4]
dużej liczby współczynników wagowych, co miało istot- ny wpływ na wydłużenie czasu obliczeniowego.
3. STRATEGIA EFEKTYWNEGO OBLICZANIA CAŁEK
OSOBLIWYCH
Problem obliczania całki osobliwej pojawia się rów- nież w metodzie elementów brzegowych (MEB). W przypadku tej metody zastosowano efektywny sposób obliczania tych całek. Zauważone zostało, że suma wszystkich elementów poszczególnych wierszy macierzy H poza przekątna główną jest równa wartości elementu na przekątnej głównej, ale ze zmienionym znakiem [1],
= 0. (6)
W związku z tym na podstawie tego spostrzeżenia w sposób bardzo łatwy można wyznaczyć wartość całki
osobliwej na przekątnej głównej za pomocą całek nie- osobliwych. Innymi słowy całkę osobliwą można wyli- czyć na podstawie wzoru:
= − . (7)
W przypadku numerycznego rozwiązywania PURC okazuje się, że uzyskiwane wartości elementów macierzy w poszczególnych wierszach nie spełniają warunku (6).
W związku z tym niemożliwym jest wyliczenie całki osobliwej na podstawie (7).
W związku z tym zachodziła potrzeba zmodyfikowa- nia numerycznego rozwiązywania PURC tak, aby moż- liwym było wykorzystania sposobu stosowanego w MEB do obliczania całek osobliwych. Dlatego też zamiast dotychczas stosowanych wielomianów Czebyszewa
( )( ) w (2), jako funkcji bazowych w szeregach aprok- symujących zastosowano wielomiany interpolacyjne Lagrange’a ( )( ) = ( )( ):
( )( ) =
= ( )( )…( )( )…( )
( )( )…( )( )…( ). (8)
4. ANALIZA WYNIKÓW
Zaprezentowane zastąpienie wielomianów Czeby- szewa w szeregach aproksymujących wielomianami interpolacyjnymi Lagrange’a zaimplementowano w programie obliczeniowym PURC. W tym celu doko- nano modyfikacji istniejących programów stosowanych do rozwiązywania dwuwymiarowych [6] i trójwymiaro- wych [8] zagadnień brzegowych modelowanych równa- niami Naviera-Lamégo. W pierwszej kolejności, aby sprawdzić poprawność działania takiej strategii przepro- wadzone zostały testy dla wspomnianych zagadnień.
Numeryczne rozwiązanie zagadnień za pomocą PURC sprowadza się ostatecznie do rozwiązania układu równań algebraicznych. Okazuje się, że duży wpływ na jedno- znaczność rozwiązania ma uwarunkowanie macierzy tego układu. W związku z tym sprawdzono jakie wartości przyjmuje wskaźnik uwarunkowania macierzy dla ukła- du równań algebraicznych otrzymany w wyniku aprok- symacji PURC po zastosowaniu wielomianów interpola- cyjnych Lagrange’a. Dodatkowo wyniki porównano z dotychczas stosowanymi wielomianami Czebyszewa do aproksymacji PURC jako funkcji bazowych.
4.1 TEST DLA ZAGADNIENIA DWUWYMIAROWEGO
W pierwszej kolejności rozpatrywano zagadnie dwu- wymiarowe modelowane równaniami Naviera-Lamégo.
Rozpatrywano zagadnienie zdefiniowane w obszarze trójkątnym, do jego zdefiniowania w PURC zadano trzy punkty narożne. W ramach rozwiązania numerycznego
na dziedzinie każdego z trzech segmentów zadano po dwa punkty kolokacji. Rozwiązanie przykładu uzy- skane za pomocą metody PURC wykorzystującej wielo- miany Lagrange’a, pokrywa się z wynikami dotychczas otrzymywanymi przy zastosowaniu wielomianów Czeby- szewa. W dalszej kolejności rozważań nie koncentrowano się na zagadnieniu brzegowym, a jedynie na wygenero- wanym układzie równań algebraicznych. Należało sprawdzić, czy jest możliwe na podstawie wzoru (7) obliczanie całek osobliwych. W związku z tym zachodzi- ła potrzeba sprawdzenia czy równanie (6) zostało w tym przypadku spełnione. Dla porównania przedstawiono w tabeli 1 wartości sumy elementów dla każdego wiersza macierzy o wymiarze 12x12, otrzymanej w przypadku zastosowania wielomianów Czebyszewa oraz interpola- cyjnych Lagrange’a do rozwiązywanego zagadnienia.
Tab. 1. Suma elementów w wierszach macierzy Wiersz Czebyszew Lagrange
1. -1.12 -1.0E-06
2. -0.72 -1.0E-06
3. 0.04 -4.0E-06
4. 0.82 -2.7E-06
5. -1.37 1.0E-06
6. -0.35 1.0E-06
7. -0.09 1.0E-05
8. 0.81 2.0E-06
9. -0.85 -5.6E-06
10. 0.26 -1.0E-06
11. 0.85 0.0E+00
12. 1.80 2.0E-06
Jak widać w tabeli 1 przypadku wielomianów Cze- byszewa, jak zostało to już wcześniej zauważone, suma elementów w wierszach różni się od zera. W przypadku wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a, zgodnie z oczekiwaniami, uzyskane wartości są z bardzo małym błędem zbliżone do zera. Okazuję się więc, że takie podejście umożliwia zastosowanie szybkiego i efektywne- go sposobu obliczania wartości całek osobliwych, bez konieczności bezpośredniego ich całkowania. Innymi słowy wartości elementów na przekątnej głównej macie- rzy można wyliczyć na podstawie wzoru (7).
4.2 TEST DLA ZAGADNIENIA TRÓJWYMIAROWEGO
Kolejnym krokiem było uogólnienie omówionej stra- tegii na zagadnienia trójwymiarowe. Sposób realizacji strategii jest analogiczny jak w przypadku zagadnienia dwuwymiarowego. Zamiast wielomianów Czebyszewa stosowane są odpowiednio wielomiany interpolacyjne Lagrange’a. Rozpatrywano zagadnienie w obszarze przedstawionym na rys. 1. z warunkami brzegowymi
otrzymanymi na podstawie rozwiązań analitycznych (9) przedstawionych w [3].
( , , ) = − 3 , ( , , ) = − 3 , ( , , ) = − 3 .
(9)
Rys. 1. Zdefiniowanie obszaru dla zagadnienia trójwymiarowego Rozpatrywano rozwiązania otrzymane w punktach znajdujących się w środku obszaru, na odcinku od (0,5;0,5;0) do (0,5;0,5;1) zaznaczonym na rys. 1, czyli przy zmianie wartości współrzędnej . Do porównania wyników uzyskanych za pomocą metody PURC wyko- rzystano rozwiązanie analityczne dla równania Naviera- Lamégo (9). Na rys.2 przedstawiono względne błędy rozwiązań numerycznych dla przemieszczeń u1, u2, u3 w środku obszaru pokazanego na rys. 1. Testy powtó- rzono dla różnej liczby punktów kolokacji, rozpatrzono 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 punktów kolokacji zadanych w dziedzinie każdego z 6 płatów powierzchni modelują- cych brzeg sześcianu.
Jak przedstawione na rys. 2, błąd względny rozwią- zań numerycznych maleje wraz ze wzrostem liczby punktów kolokacji. W przypadku zastosowania już czterech punktów kolokacji widać ustabilizowanie wyników. Dodatkowo na wykresie dla u3, jak przedsta- wiono na rys. 2, wyraźnie widać pogorszenie dokładno- ści wyników przy zbliżaniu się do brzegu. Wynika to z tego, że punkty narożne nie są brane pod uwagę w aproksymacji. Jednakże pogorszenie to jest błędem rzędu 0.01%. Dodatkowo w celu polepszenia wyników przy brzegu można zastosować inny sposób rozmiesz- czenia punktów kolokacji, np. z mniejszym odstępem krańcowych punktów od brzegu.
Rys. 2. Względny błąd rozwiązań numerycznych dla składo- wych wektora przemieszczeń u1, u2, u3
4.3 WSKAŹNIK UWARUNKOWANIA
Duży wpływ na stabilność uzyskiwanych rozwiązań ma układ równań algebraicznych (5) otrzymany w wyniku numerycznego rozwiązywania (1). Zastosowa- nie wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a w szere- gach aproksymujących zamiast wielomianów Czebysze- wa wprowadza zmianę wartości współczynników w macierzach G i H w (5). W związku z tym postano- wiono zbadać uwarunkowania otrzymanych układów równań algebraicznych z wykorzystaniem wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a oraz Czebyszewa, rozpatru- jąc dwie strategie aproksymacji PURC. W pierwszej rozpatrywano wszystkie segmenty brzegu sparametryzo- wane w przedziale od zera do ich długości (0-p),
1,E-09 1,E-06 1,E-03 1,E+00
0 0,5 1
Błąd względny [%]
współrzędna x3
u
11,E-09 1,E-06 1,E-03 1,E+00
0 0,5 1
Błąd względny [%]
współrzędna x3
u
21,E-09 1,E-06 1,E-03 1,E+00
0 0,5 1
Błąd względny [%]
współrzędna x3
u
32x2 3x3 4x4 5x5
w drugiej znormalizowano długości wszystkich segmen- tów w przedziale od zera do jeden (0-1). Wartości wskaźnika uwarunkowania dla różnych wielkości wyge- nerowanej macierzy (różnych przykładów) przedstawio- no w tabeli 2.
W przypadku źle uwarunkowanej macierzy wskaźnik uwarunkowania jest znacznie większy od jeden. W tabeli 2 wyraźnie widać, że wartości wskaźnika znacznie odbie- gają od jeden. Najmniejsze wartości uzyskiwane są w przypadku wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a oraz parametryzacji (0-1).
Tab. 2. Wskaźnik uwarunkowania macierzy Rozmiar
macierzy
Lagrange Czebyszew (0-p) (0-1) (0-p) (0-1) 40x40 10965024 194 884947 23707
96x96 3925533 296 5683278 11377
144x144 2.65E+09 325 4.63E+09 570732
176x176 4.52E+12 272 4.84E+10 9290365
192x192 2.14E+14 15148 6.41E+12 1.59E+08
Dodatkowo wyniki przedstawiono na wykresie (rys.3). W celu zwiększenia możliwości porównania wartości wskaźnika zastosowano skalę logarytmiczną na osi pionowej. Na osi poziomej przedstawiono wymiary macierzy rozpatrywanych przykładów. W przypadku parametryzacji (0-p) nie widać znacznej różnicy pomię- dzy uwarunkowaniem macierzy otrzymanej w przypadku zastosowania aproksymacji z wykorzystaniem wielomia- nów Czebyszewa a Lagrange’a. Przy zastosowaniu parametryzacji (0-1) następuje znaczna poprawa w przypadku aproksymacji wielomianami Czebyszewa, natomiast najlepsze uwarunkowanie uzyskiwane jest w przypadku zastosowania wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a.
Rys. 3. Wskaźnik uwarunkowania macierzy
5. WNIOSKI
W pracy zastosowano wielomiany interpolacyjne Lagrange’a do aproksymacji funkcji brzegowych w metodzie PURC. Zauważono, że tak jak w przypadku metody elementów brzegowych, suma elementów po- szczególnych wierszy w jednej macierzy jest równa zeru.
Dzięki temu umożliwione zostało zastosowanie efektyw- nego sposobu obliczania całek osobliwych stosowanego w MEB. Zmiana wielomianów w aproksymacji nie powoduje utraty dokładności rozwiązań, a zaletą zasto- sowania takiej zmiany jest poprawienie uwarunkowania macierzy układu równań algebraicznych generowanych w metodzie PURC. W związku z tym w celu przebada- nia wpływu aproksymacji na uwarunkowanie układu, dla wybranych przykładów wyznaczono wskaźnik uwa- runkowania macierzy. Okazuje się że wprowadzenie wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a znacznie polep- sza uwarunkowanie macierzy rozwiązywanego układu, co zapewnia jednoznaczność uzyskiwanych rozwiązań.
Praca częściowo finansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy.
Literatura
1. Becker A. A.: The boundary element method in engineering: a complete course. McGraw-Hill International (UK) Limited 1992.
2. Beer G., Smith I., Duenser Ch.: The boundary element method with programming: for engineers and scientists.
Springer 2010.
3. Mukherjee Y.X., Mukherjee S., Shi X. and Nagarajan A.: The boundary contour method for three-dimensional linear elasticity with a new quadratic boundary element. “ Engineering Analysis with Boundary Elements” 1997, 20, p. 35–44.
4. Stroud A.H.: Gaussian quadrature formulas. Prentice-Hall 1966.
1,E+00 1,E+03 1,E+06 1,E+09 1,E+12 1,E+15
40x40 96x96 144x144 176x176 192x192
Wskaźnik uwarunkowania
Rozmiar macierzy
Lagrange (0-p) Czebyszew (0-p) Lagrange (0-1) Czebyszew (0-1)
5. Zieniuk E.: Metoda obliczeniowa PURC w rozwiązywaniu zagadnień brzegowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2013.
6. Zieniuk E.: A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear functions. „Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, 25, 10, p. 897-904.
7. Zieniuk E., Szerszeń K.: Numeryczne obliczanie całek powierzchniowych dla zagadnień przestrzennych w PURC
„ Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 39, s. 217-224.
8. Zieniuk E., Szerszen K. , Kapturczak M.: A numerical approach to the determination of 3D Stokes flow in polygonal domains using PIES. Lecture Notes in Computer Sciences 7203. Part I. Heidelberg: Springer, 2012, p.
112-121.
