11.4.2020, kl 2b Na Wielkanoc
Zadanie 1. Na brzegu rzeki Limpopo rośnie Palma i Baoab. Dmuchany kro- kodyl płynie od Palmy do Baoaba 25 minut, natomiast żywy krokodyl w tym samy czasie przepływa o Baoaba do Palmy. Ile czasu zajmie żywemu krokodylowi przepłynięcie od Palmy do Baoaba?
Zadanie 2. (a) Znajdź najmniejszą liczbę naturalną n, dla której n2+20n+
19 dzieli się przez 2019.
(b) Czy istnieje liczba naturalna n taka, że n2+ 20n + 20 dzieli się przez 2020?
Zadanie 3. Niech f (x) = x2+ 3x + 2. Oblicz
1 − 2
f (1)
1 − 2
f (2)
· . . . ·
1 − 2
f (2020)
Zadanie 4. Oblicz 3 q
6 +p3 6 +√3
6 + . . ..
Zadanie 5. Rozwiąż równania (a) x + x2+ x3+ . . . = 1;
(b) q
x ·px ·√ . . . = 3;
(c) q
2 + xp 2 + x√
2 + . . . = 14.
Zadanie 6. Znajdź wzór rekurencyjny na ciąg złożony z liczb wymiernych, którego granicą jest dodatni pierwiastek równania x3− x − 1 = 0. Wypisz jego kilka pierwszych wyrazów.
Zadanie 7. Znajdź wszystkie liczby naturalne, dla których 9n+ 10n > 12n. Zadanie 8. Udowodnij, że ciąg
(a) n1+n+11 +n+21 + . . . +4n1 ma granicę;
(b) 1 +14+19+ . . . + n12 ma granicę;
(c) 1 + 12+13+ . . . + n1 nie ma granicy.
Zadanie 9. Czy ciąg n sin(π√
n2+ 1) jest ograniczony?
Zadanie 10. Rozważamy ciąg liczb xn= (1+√ 2+√
3)n. Każdą z nich można zapisać w postaci
xn = qn+ rn
√ 2 + sn
√ 3 + tn
√ 6, gdzie qn, rn, sn, tn są całkowite. Znajdź granice
lim
n→inf ty
rn
qn, lim
n→inf ty
sn
qn, lim
n→inf ty
tn
qn. Powodzenia !
