BADANIE WPŁYWU ZASTOSOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO NA KONSTRUKCJĘ PORTFELA OPTYMALNEGO

ISSN 2083-8611 Nr 265 · 2016

Katarzyna Zeug-Żebro

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania

Katedra Matematyki

katarzyna.zeug-zebro@ue.katowice.pl

BADANIE WPŁYWU ZASTOSOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO NA KONSTRUKCJĘ

PORTFELA OPTYMALNEGO

Streszczenie: W pracy zbadano wpływ zastosowania nieklasycznej miary ryzyka inwe- stycyjnego, tj. wymiaru fraktalnego, na budowę portfela optymalnego. Miara ta określa zmienność stopy zwrotu i im większa jej wartość, tym większe ryzyko związane z inwe- stowaniem w dany instrument finansowy. Szacowanie tego wymiaru oparto na metodzie segmentowo-wariacyjnej. W badaniach pod uwagę wzięto finansowe szeregi czasowe złożone z cen zamknięcia akcji spółek notowanych na GPW w Warszawie.

Słowa kluczowe: ryzyko inwestycyjne, wymiar fraktalny, metoda segmentowo-wariacyjna, analiza portfelowa.

Wprowadzenie

Ocena ryzyka inwestycji przysparza inwestorom wielu problemów. Poja- wiają się one, gdy próbuje się porównać poziomy ryzyka różnych papierów war- tościowych w tym samym okresie czasu, co jest kluczowym etapem w procesie zarządzania portfelem papierów wartościowych. Z tego powodu powstało wiele metod szacowania poziomu ryzyka. W grupie tych miar znajdują się m.in. od- chylenie standardowe czy też współczynnik zmienności. Wieloletnie badania wykazały jednak, że ich stosowanie na ogół zaniża wartość ryzyka inwestycyj- nego. Opracowano więc metody, które bardziej rzetelnie odzwierciedlają ryzy- kowność podejmowanych inwestycji. Wśród nich można wyróżnić narzędzie pochodzące z teorii chaosu, tj. wymiar fraktalny [Zwolankowska, 1999]. Miara ta określa stopień poszarpania wykresu szeregu czasowego, co pozwala przyjąć,

że im większy wymiar szeregu, tym większa jego zmienność. Zatem papiery wartościowe, których szeregi stóp zwrotu mają większy wymiar, są bardziej zmienne, a to oznacza, że są bardziej ryzykowne [Orzeszko, 2010].

Celem pracy była próba zdywersyfikowania ryzyka portfela inwestycyjne- go. Badanie przeprowadzono na podstawie nieklasycznej miary ryzyka, jaką jest wymiar fraktalny. Do oszacowania tego wymiaru posłużono metodą segmento- wo-wariacyjną. W badaniach wykorzystano szeregi czasowe utworzone z cen za- mknięcia trzydziestu spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie wchodzących w skład indeksu WIG 30 lub jego listy rezerwowej¹. Dane obejmowały okres od 4.01.2010 do 31.10.2014. Obliczenia przeprowadzono przy użyciu programów napisanych przez autorkę w języku programowania Del- phi oraz pakietu Microsoft Excel.

1. Wymiar fraktalny jako miara ryzyka inwestycji

Wymiar fraktalny jest uogólnieniem wymiaru euklidesowego i służy do opisu skomplikowanych strukturalnie obiektów geometrycznych, np. szeregów czasowych. Wymiar ten bada, w jakim stopniu analizowany obiekt (szereg) wy- pełnia przestrzeń, w której jest zanurzony [Orzeszko, 2010]. Jego cechą charak- terystyczną jest fakt, że może on przyjmować wartości niecałkowite.

Dla szeregów szybkozmiennych (antypersystentnych²), im wyższy jest wy- miar fraktalny, tym częściej można obserwować odwracanie się trendu. Z kolei dla szeregów wolnozmiennych (persystentnych), im niższa wartość tego wymiaru, tym zjawisko wzmacniania trendu jest silniejsze. Z tego też względu wymiar fraktalny został uznany za istotną charakterystykę szeregów czasowych pochodzących z rynku finansowego, pozwalającą na ocenę ryzyka inwestycyjnego [Bula, 2012].

W celu wyznaczenia wymiaru fraktalnego obiektu geometrycznego A, sza- cuje się minimalną liczbę domkniętych hipersześcianów potrzebnych do jego pokrycia. Wymiar ten można obliczyć korzystając z formuły:

( ) ( )

( )

_ε

ε

ε

0 ln 1

, limlnL A A

D = → , (1)

gdzie: L

( )

A,

ε

jest minimalną liczbą hipersześcianów o krawędzi długości (

ε

).

1 Portfel indeksu WIG 30 po korekcie kwartalnej 19.09.2014 (według stanu na 31.07.2014).

2 Dla szeregu antypersystentnego wymiar fraktalny jest większy od 1,5, zaś dla szeregu per- systentnego D

( )

N ≤1,5.

W pierwszym kroku szacowania wymiaru fraktalnego szeregu czasowego

{ }

x_t wyznacza się na płaszczyźnie punkty o współrzędnych

( )

t,x_t . Następnie łącząc je kolejno odcinkami otrzymuje się linię łamaną K. Wymiar fraktalny tak skonstruowanej łamanej K jest wymiarem szeregu czasowego.

Jedną z najpopularniejszych metod szacowania wymiaru fraktalnego jest metoda wariacyjna [Dubuc i in., 1989]. Jej rozszerzeniem jest metoda segmen- towo-wariacyjna S-W zaproponowana przez M. Zwolankowską [2000]. Według tej metody wymiar fraktalny szeregu czasowego

{

x₁

,

x₂

, ... ,

x_N

}

można wyzna- czyć obliczając granicę:

( ) ( )

( )

_ε

ε

ε

0 ln 1

, limlnL K N

D = → ^{, (2)}

gdzie: L(K, ε) jest minimalną liczbą kwadratów o boku długości (ε) pokrywają- cych linię łamaną K. Wzór (2) można przekształcić do prostszej, równoważnej postaci podstawiając za L(K, ε) następującą formułę:

( ) ( )

2

, ,

ε ε

^{P K}

ε

K

L

=

, (3)

gdzie: P(K, ε) jest polem pokrywającym całą łamaną K. Dodatkowo można przy- jąć, że dla dostatecznie małych wartości (ε) prawdziwy jest wzór:

( )

⁽

( )

^ε_ε ⁾

ε 1

,

ln ln

2

K P

N

D

≈

. (4)

Algorytm metody segmentowo-wariacyjnej powstał na podstawie wzoru (4) i przebiega według następujących kroków:

Krok 1. W pierwszej kolejności, dla każdej obserwacji szeregu czasowego

{

x₁

,

x₂

, ... ,

x_N

}

należy wyznaczyć punkty o współrzędnych³ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− xt

N t ,

1

1 , dla

, , ...

, 2 ,

1

N

t

=

a następnie połączyć te punkty odcinkami tworząc linię łamaną K.

3 Pierwsze współrzędne naniesionych punktów są równo oddalone od siebie.

Krok 2. Następnie wyznaczona łamana K zostaje pokryta prostokątami rozpię- tymi nad n (n

≥ , 2

n

∈

N), kolejnymi punktami (rys. 1). Otrzymuje się w ten sposób

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

−

= − 1

1

n

k N ⁴ prostokątów, każdy o podstawie

1 1

−

= −

N d n .

Rys. 1. Konstrukcja pokrycia n punktów linii łamanej K

Krok 3. Jeśli iloraz

1

1

−

−

n

N jest liczbą całkowitą, to kolejne wyznaczone prosto- kąty zostają oznaczone następująco:

( )

n

[

aj bj

] [

a j b j

]

P_∗

= ; × ' ; '

, (5)

gdzie:

(

j

)

d b j d a_j

= − 1 ⋅ ,

_j

= ⋅

,

( ) [ ]

{

j j

}

j K x x a b

a

' = min ; ∈ ;

, b

'

j

= max {

K

( )

x

;

x

∈ [

aj

;

bj

] }

.

W przeciwnym przypadku, po przeprowadzeniu procedury pozostaje niepokry- tych N−

(

n−1

)

⋅k−1 ostatnich punktów łamanej K. Punkty te pokrywa się dodatkowym prostokątem o podstawie

( )

1 1 ' 1

−

−

⋅

−

= −

N k n

d N :

( ) [ ] [ ^{; 1 ;' '} ]

'

n b a b

P_∗

=

_k

×

, (6)

4 Symbol [.] oznacza część całkowitą liczby.

d’

d

K xt

gdzie:

( ) [ ]

{ ; ; 1 }

min

'

K x x b_k

a

= ∈

, b

' = max {

K

( )

x

;

x

∈ [ ]

b_k

; 1 }

.

Krok 4. Następnie należy obliczyć pole pokrycia linii łamanej K zgodnie ze wzorem:

(

,

) (

' '

)

'

(

' '

)

1

a b d a b d d

K

P ^k

j

j

j− + ⋅ −

⋅

=

∑

=

. (7)

Krok 5. Ostatecznie, przekształcając wzór (4) do postaci:

( ) ( ) ( )

2 1

' ' ' ' ' 1 ln

ln d

a b d a b d N d

D

k

j ⋅ j− j + ⋅ −

≈

⋅

∑

= , (8)

wymiar fraktalny szeregu czasowego zostaje oszacowany jako współczynnik

regresji zmiennych d

ln 1

i

( ) ( )

2 1

' ' ' ' '

ln d

a b d a b d

k

j ⋅ j− j + ⋅ −

∑

=

.

2. Konstrukcja portfeli optymalnych

Najczęściej stosowanym narzędziem szacowania udziałów akcji w portfelu jest klasyczny model Markowitza [Markowitz, 1952]. Model ten opiera się na podstawowych charakterystykach, jakimi są stopa zwrotu z inwestycji i związa- nego z tą inwestycją ryzyka :

∑

=

=

^m

i i i

p x R

R

1

, (9)

∑ ∑ ∑

= =+

−

=

+

=

^m

i

m i j

ij j i j i m

i i i

p x S x x S S

S

1 1

1 1 2 2

2

2 ρ

, (10)

gdzie:

Rp– oczekiwana stopa zwrotu portfela m akcji, Sp– ryzyko portfela m akcji,

R

i– oczekiwana stopa zwrotu i-tej akcji,

S

i– odchylenie standardowe akcji i-tej spółki,

ρ

ij– współczynnik korelacji i-tej akcji z j-tą akcją,

x

i– udział i-tej akcji w portfelu,

m i

x

x _i

m i

i

1 , 0 , 1 , ... ,

1

=

≥

∑ =

=

, (11)

m – liczba akcji w portfelu.

Podejście Markowitza polega na zmniejszaniu ryzyka portfela wskutek zwięk- szania liczby akcji w tym portfelu. W tym przypadku zadanie optymalizacji jest poniższej postaci.

Zadanie 1

min

S_p2, (12)

z warunkami ograniczającymi

R0

R_p

≥ 1

1

∑ =

= m i

xi

m i

x

_i

≥ 0 , = 1 , ...,

^,

gdzie:

R

0– oczekiwana stopa zwrotu dla spółek, pozostałe oznaczenia jw.

Propozycją autora jest budowa portfela optymalnego na podstawie wymiaru fraktalnego. W tym celu należy rozwiązać następujące zadanie minimalizacji.

Zadanie 2

( ) ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ∑

= m i

i

i N x

D

1

min

, (13)

z warunkami ograniczającymi:

R0

R_p

≥

0 1

S x S

m i

i

i ≤

∑

=

1

1

∑ =

= m i

xi

m i

x

_i

≥ 0 , = 1 , ... ,

, gdzie:

( )

N

D_i – wymiar fraktalny dla szeregu czasowego generowanego przez ciąg notowań akcji i-tej spółki,

pozostałe oznaczenia jw.

Zadanie 3

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ∑

= m i

i

i N x

D

1

min

,

z warunkami ograniczającymi

R0

R_p

≥

0 1

S x S

m i

i

i ≤

∑

=

0 1

A x

m A

i i

i

≥

∑

=

1

1

∑ =

= m

i xi

m i

x_i

≥ 0 , = 1 , ... ,

. gdzie:

A

i – współczynnik asymetrii,

A

0 – uśredniony współczynnik asymetrii.

pozostałe oznaczenia jw.

3. Wyniki badań empirycznych

Badaniu poddano szeregi finansowe⁵ utworzone z cen zamknięcia 30 spółek notowanych na GPW w Warszawie wchodzących w skład indeksu WIG 30 lub jego listy rezerwowej (tabela 1). Dane obejmują okres od 4.01.2010 do 31.10.2014.

5 Dane pochodzą z archiwum plików programu Omega, dostępnych na stronie internetowej www.bossa.pl.

Analiza wymienionych wyżej szeregów czasowych przebiegała w następu- jących etapach:

1.

Szacowanie wymiaru fraktalnego D_i(N).

2.

Wyznaczenie oczekiwanej stopy zwrotu akcji R_i, odchylenia standardowego stóp zwrotu S_i oraz współczynnika asymetrii A_i.

3.

Budowa portfeli optymalny (zadania 1-3).

4.

Obliczenie rocznych stóp zwrotu dla wyznaczonych portfeli.

Przeprowadzone badania empiryczne pozwoliły wyznaczyć wymiar fraktal- ny wykorzystując metodę segmentowo-wariacyjną. Otrzymane wartości przedsta- wiono w tabeli 1⁶, gdzie dodatkowo ukazano wartości oczekiwanej stopy zwrotu, odchylenia standardowego stóp zwrotu i współczynnika asymetrii badanych sze- regów czasowych.

Tabela 1. Wyniki szacowania wymiaru fraktalnego, odchylenia standardowego, oczekiwanej stopy zwrotu i współczynnika asymetrii dla szeregów czasowych spółek wchodzących w skład indeksu WIG 30 lub jego listy rezerwowej*

Szereg Di(N) Si Ri Ai

ASSECOPOL 1,5268 0,0185 –0,0001 –0,0748 BOGDANKA 1,4482 0,0175 0,0006 1,6913

BORYSZEW 1,3433 0,0457 –0,0011 –6,9487 BZWBK 1,4425 0,0146 0,0008 0,3640

CCC 1,3755 0,0189 0,0012 –0,2455 CEZ 1,4877 0,0164 –0,0003 –0,2464 CYFRPLSAT 1,5240 0,0190 0,0007 0,3034

ENEA 1,4820 0,0174 –0,0003 –0,0245 EUROCASH 1,4066 0,0228 0,0014 0,0622

GRUPAAZOTY 1,3628 0,0239 0,0021 0,5715 GTC 1,4270 0,0250 –0,0009 0,0751 HANDLOWY 1,4630 0,0209 0,0008 –0,2033

INGBSK 1,5052 0,0173 0,0005 –0,0481 KERNEL 1,5005 0,0244 0,0003 0,0781

KGHM 1,4604 0,0246 0,0005 –0,9924

LOTOS 1,4391 0,0217 0,0004 –0,1136 LPP 1,3149 0,0191 0,0019 0,3942

MBANK 1,4545 0,0209 0,0009 0,1771 MILLENIUM 1,4666 0,0229 0,0007 0,2408

NETIA 1,5007 0,0181 0,0002 –0,9921 ORANGEPL 1,4257 0,0202 –0,0003 –3,5027

PEKAO 1,5527 0,0191 0,0003 –0,0432

PGE 1,5405 0,0171 –0,0002 –0,3347 PGNIG 1,4782 0,0166 0,0006 0,3897

PKNORLEN 1,4536 0,0204 0,0004 –0,0728

PKOBP 1,5570 0,0176 0,0002 –0,0432 SYNTHOS 1,4176 0,0241 0,0018 –0,1081 TVN 1,4555 0,0235 0,0003 –0,1273

* Obliczenia oparto na danych obejmujących okres od 4.01.2010 do 31.10.2014.

6 W celu oszacowania wymiaru fraktalnego posłużono się programami autora napisanym w języku programowania Delphi.

Rysunek 2 przedstawia wyniki prezentowane w tabeli 1, uporządkowane ze względu na wartość oszacowanego wymiaru fraktalnego i odchylenia standardowego.

Rys. 2. Ranking spółek utworzony według wartości wyznaczonych miar ryzyka

Według rankingów przedstawionych na rys. 2, dotyczących wartości wymiaru fraktalnego, najniższym ryzykiem charakteryzowały się spółki LPP, BORYSZEW, GRUPA AZOTY i CCC. Odmienne rezultaty uzyskano stosując odchylenie standar- dowe, według których najmniej ryzykowną inwestycją byłby zakup akcji spółek BZWBK, PZU, CEZ i TAURONPE. Zaskakujący jest wynik uzyskany dla szeregu czasowego BORYSZEW, zgodnie z którym inwestycja w tę spółkę jest najbardziej ryzykowna. Tymczasem jak zaznaczono wcześniej, w przypadku zastosowania wy- miaru fraktalnego, spółka ta należy do grupy inwestycji najmniej ryzykownych.

1,151,2 1,251,3 1,351,4 1,451,5 1,551,6

PKOBP PEKAO PGE ASSECOPOL CYFRPLSAT TAURONPE INGBSK PZU NETIA KERNEL CEZ ENEA PGNIG MILLENIUM HANDLOWY KGHM TVN MBANK PKNORLEN BOGDANKA BZWBK LOTOS GTC ORANGEPL SYNTHOS EUROCASH CCC GRUPAAZOTY BORYSZEW LPP

WYMIAR FRAKTALNY

a) metoda S-W

0,0050,010 0,0150,02 0,0250,03 0,0350,04 0,0450,05

BORYSZEW GTC KGHM KERNEL SYNTHOS GRUPAAZOTY TVN MILLENIUM EUROCASH LOTOS HANDLOWY MBANK PKNORLEN ORANGEPL LPP PEKAO CYFRPLSAT CCC ASSECOPOL NETIA PKOBP BOGDANKA ENEA INGBSK PGE PGNIG TAURONPE CEZ PZU BZWBK

S_i

b) odchylenie standardowe stóp zwrotu

Do dalszej analizy wzięto pod uwagę spółki o dodatniej historycznej wartości stopy zwrotu. Następnie zbudowano 12 optymalnych portfeli akcji, rozwiązując wcześniej określone zadania optymalizacyjne. W skład portfeli oznaczonych nume- rami 1, 2 i 3 weszły spółki będące odpowiednio rozwiązaniem zadania: 1, 2 i 3.

W celach porównawczych zbudowano portfele 4, 5 i 6, będące rozwiązaniami zadań 1, 2 i 3, w których uwzględniono dodatkowy warunek ograniczający, po- staci: x_i

≤ 0 , 3 ,

i

= 1 , ... ,

m

.

Następnie przyjmując założenie D_i

( )

N

≤ 1 , 5

po- wtórzono całe badanie (portfele 1’-6’). Szczegółowe informacje na temat budo- wy poszczególnych portfeli zawiera tabela 2.

Tabela 2. Budowa portfeli optymalnych

Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 1

xi ≤ 0,3

Zadanie 2 xi ≤ 0,3

Zadanie 3 xi ≤ 0,3 Portfel 1’ Portfel 2’ Portfel 3’ Portfel 4’ Portfel 5’ Portfel 6’

Zadanie 1 Di (N) ≤ 1,5

Zadanie 2 Di (N) ≤ 1,5

Zadanie 3 Di (N) ≤ 1,5

Zadanie 1 xi ≤ 0,3 Di (N) ≤ 1,5

Zadanie 2 xi ≤ 0,3 Di (N) ≤ 1,5

Zadanie 3 xi ≤ 0,3 Di (N) ≤ 1,5

Do obliczenia udziałów poszczególnych spółek w portfelu wykorzystano na- rzędzie solver – dodatek arkusza kalkulacyjnego Excel. Następnie oszacowano stopę zwrotu i ryzyko każdego portfela. Wyniki umieszczono w tabelach 3 i 4. Znak „–”

postawiono przy spółkach, które nie weszły w skład portfela optymalnego.

Tabela 3. Udziały akcji w wyznaczonych portfelach, stopa zwrotu i ryzyko

Spółka Udziały akcji

Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6

1 2 3 4 5 6 7

BOGDANKA 0,0702046 – – 0,0793734 – –

BZWBK 0,1881412 – – 0,2039780 0,0673250 0,0673250 CCC 0,1593820 – – 0,1655132 0,3000000 0,3000000 CYFRPLSAT 0,0541579 – – 0,0596630 – –

EUROCASH 0,0542479 0,0000007 – 0,0556013 0,0326750 0,0326750 GRUPA AZOTY 0,0150319 – – 0,0100729 0,3000000 0,3000000 HANDLOWY 0,0044162 – – – – – INGBSK 0,0571914 – – 0,0514371 – – KERNEL 0,0124288 0,0000007 0,0000001 0,0051544 – – KGHM – – 0,0000002 – – –

LOTOS – – – – – –

LPP 0,1719484 0,9999994 0,9999994 0,1519208 0,3000000 0,3000000

MBANK – – – – – –

MILLENIUM – – 0,0000001 – – – NETIA 0,0835403 – – 0,0852166 – – PEKAO 0,0008649 – – – – – PGNIG 0,1031165 – – 0,1191519 – –

PKNORLEN – – – – – –

PKOBP 0,0008649 – – – – –

cd. tabeli 3

1 2 3 4 5 6 7

SYNTHOS 0,0193174 0,0000002 – 0,0129043 – – TVN 0,0051458 – 0,0000002 0,0000130 – – Stopa zwrotu portfela 0,0010067 0,0019495 0,0019495 0,0009755 0,0016477 0,0016477 Ryzyko portfela 0,0077724 0,0190543 0,0190543 0,0077486 0,0113855 0,0113855

Tabela 4. Udziały akcji w wyznaczonych portfelach, stopa zwrotu i ryzyko (z warunkiem Di (N) ≤ 1,5)

Spółka Udziały akcji

Portfel 1’ Portfel 2’ Portfel 3’ Portfel 4’ Portfel 5’ Portfel 6’

BOGDANKA 0,1012948 – – 0,1012948 – – BZWBK 0,2406696 – – 0,2406696 – 0,0029534 CCC 0,1815341 – – 0,1815341 0,3000000 0,3000000 EUROCASH 0,0658487 – – 0,0658487 0,1000010 0,0970466 GRUPAAZOTY 0,0228907 – – 0,0228907 0,3000000 0,3000000 HANDLOWY 0,0195431 – – 0,0195431 – – KGHM – 0,0000002 – – – – LOTOS – 0,0000003 – – – – LPP 0,1678125 0,9999990 1,0000000 0,1678125 0,3000000 0,3000000 MBANK – 0,0000001 – – – – MILLENIUM – – – – – – PGNIG 0,1458758 – – 0,1458758 – – PKNORLEN – 0,0000002 – – – – SYNTHOS 0,0333197 – – 0,0333197 – – TVN 0,0212109 0,0000002 – 0,0212109 – – Stopa zwrotu

portfela 0,0010952 0,0019495 0,0019495 0,0010952 0,0016872 0,0016854 Ryzyko portfela 0,0080660 0,0190543 0,0190543 0,0080660 0,0116248 0,0116087

Analizując dane przedstawione w tabelach 3 i 4 można stwierdzić, że port- fele 2, 3, 2’ i 3’ charakteryzują się najwyższą oczekiwaną stopą zwrotu. Nato- miast portfel 4 obarczony jest najniższym poziomem ryzyka. Dodatkowe założenie, dotyczące szeregów persystentnych (D_i (N) ≤ 1,5), wpływa tylko w znikomym stop- niu na skład portfela optymalnego i nie dywersyfikuje ryzyka związanego z inwe- stycją w taki portfel. Świadczą o tym portfele 1’, 4’, 5’ i 6’, dla których uzyska- no nieznaczny wzrost wartości stopy zwrotu i niestety wyższy poziom ryzyka.

Ponadto należy zauważyć, że portfele 2 i 3 oraz 2’ i 3’ w bardzo małym stopniu różnią się od siebie (według których należy inwestować w tylko jeden walor), a portfele 5 i 6 mają taki sam skład.

W kolejnym kroku badań obliczono roczne stopy zwrotu (dla wyznaczo- nych portfeli) uzyskane w okresie 31.10.2013-31.10.2014. Otrzymane rezultaty zamieszczono w tabeli 5.

Tabela 5. Roczna stopa zwrotu dla wyznaczonych portfeli optymalnych

Portfel 1 Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela 10,9403% 11,6556% 11,6556% 10,8215% 11,0673% 11,0673%

Portfel 1’ Portfel 2’ Portfel 3’ Portfel 4’ Portfel 5’ Portfel 6’

Stopa zysku portfela 10,6811% 11,6556% 11,6556% 10,6811% 11,1052% 11,1035%

Z danych przedstawionych w tabeli 5 wynika, że największy zysk w okresie 31.10.2013-31.10.2014 można było uzyskać inwestując w portfele 2, 2’, 3, 3’

zbudowane na podstawie wymiaru fraktalnego. Portfele 1, 1’ oraz 4 i 4’ zbudo- wane na podstawie klasycznego modelu Markowitza (zadanie 1) charakteryzuje zbliżona wartość zysku i jest ona najniższa. Warto zwrócić uwagę, że stopa zysku portfeli 5 i 6 nieznacznie wzrosła w przypadku zastosowania dodatkowego założe- nia – Di (N) ≤ 1,5 (portfel 5’ i 6’), zaś w przypadku portfeli 1 i 4 wartość ta spadła.

Podsumowanie

Zastosowanie wymiaru fraktalnego jako miary ryzyka inwestycyjnego oraz jako wsparcie w doborze papierów wartościowych do portfela, wydaje się istot- nym elementem badań dotyczących analizy portfelowej. Wynika to z interpreta- cji tego narzędzia, tj. jeśli ryzyko jest zdefiniowane jak zmienność ceny i jeśli większa zmienność oznacza większe ryzyko, to wyższe wartości wymiaru frak- talnego oznaczają wyższe ryzyko, a niższe jego wartości niższe ryzyko [Przeko- ta, Waściński, 2012].

W pracy przeprowadzono analizę ryzyka wybranych finansowych szeregów czasowych na podstawie wymiaru fraktalnego i odchylenia standardowego. W celu oszacowania wymiaru fraktalnego posłużono się metodą segmentowo-wariacyjną.

Następnie wartości tego wymiaru zastosowano w budowie portfeli optymalnych.

Niestety przeprowadzone badania pokazały, że zadanie minimalizacji związane z wymiarem fraktalnym nie daje zdecydowanie lepszych rezultatów niż klasyczne zadanie Markowitza. Wraz ze wzrostem wartości oczekiwanych stóp zwrotu, ob- serwuje się również wzrost ryzyka portfela. Uzyskane rezultaty pokazują jednak, że warto przeprowadzić dodatkowe badania, w których zastosowane zostaną inne na- rzędzia wywodzące się z teorii chaosu [Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, 2015].

Literatura

Bula R. (2012), Aspekty metodyczne szacowania wymiaru fraktalnego finansowych szere- gów czasowych, „Młodzi Naukowcy dla Polskiej Nauki”, Vol. 2, No. 9, s. 192-200.

Dubuc B., Quininou J.F., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S.W. (1989), Evaluating the Fractal Dimension of Profiles, “Physical Review A”, Vol. 39.

Markowitz H. (1952), Portfolio Selection, “Journal of Finance”, s. 77-91.

Miśkiewicz-Nawrocka M., Zeug-Żebro K. (2015), Zastosowanie wykładników Lapuno- wa do wyznaczania portfeli optymalnych, „Studia Ekonomiczne”, nr 221, s. 61-72.

Orzeszko W. (2010), Wymiar fraktalny szeregów czasowych a ryzyko inwestowania,

„Acta Universitatis Nicolai Copernici. Ekonomia XLI. Nauki Humanistyczno- Społeczne”, z. 397.

Przekota G., Waściński T. (2012), Wybrane problemy oceny ryzyka zmian ceny akcji za pomocą miar klasycznych i nieklasycznych, „Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Humani- styczno-Przyrodniczego w Siedlcach. Administracja i Zarządzanie”, nr 95, s. 71-82.

Zwolankowska D. (1999), Wykorzystanie wymiaru fraktalnego w ocenie ryzyka inwesty- cji giełdowych [w:] T. Trzaskalik (red.), Modelowanie preferencji a ryzyko ’99, Cz. 1, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Katowice.

Zwolankowska D. (2000), Metoda segmentowo-wariacyjna. Nowa propozycja liczenia wymiaru fraktalnego, „Przegląd Statystyczny”, R. 47, z. 1-2.

THE STUDY OF THE EFFECT OF FRACTAL DIMENSION ON CONSTRUCTION OF OPTIMAL PORTFOLIO

Summary: In the paper studied the effect of application of non-classical measure of investment risk, i.e. fractal dimension, for building an optimal portfolio. This measure determines the variability of rates of returns and the greater value of this measure, the greater the risk associated with investing in the financial instrument. This dimension was estimated based on segment-variation method. The test will be conducted based on the financial time series which consist of closing prices of stock market indices and compa- nies listed on the Warsaw Stock Exchange.

Keywords: investment risk, fractal dimension, segment-variation method, portfolio analysis.