Przemysław Garsztka
Rozkład prawdopodobieństwa
zawarcia transakcji jako narzędzie
oceny płynności akcji notowanych na
GPW w Warszawie
Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 409-422
PRZEMYSŁAW GARSZTKA
ROZKŁAD PRAW DOPODOBIEŃSTW A ZAWARCIA TRANSAKCJI JAK O NARZĘDZIE OCENY PŁYNNOŚCI A K C JI NOTOWANYCH NA
G PW W W ARSZAWIE
Wstęp
Płynność papierów wartościowych jest pojęciem mającym wyjaśnić ła twość handlowania papierami wartościowymi w określonym przedziale czasu, po założonej cenie i w założonej ilości. Samo pojęcie płynności papieru warto ściowego nie doczekało się do tej pory jednej dobrej definicji, ponieważ nie można zaobserwować tego zjawiska wprost, jest ono niejednoznaczne i nie można go zmierzyć jedną miarą1. W opracowaniu przyjęto definicję płynności za [7], zgodnie z którą jest to: „Zdolność do handlowania w krótkim czasie, dużymi ilościami papierów wartościowych, bez znaczącego wpływu na ich cenę”. Za bardziej płynne papiery wartościowe uznaje się te, które charaktery zuj ą się stosunkowo małą zmianą ceny, nawet przy zawieraniu transakcji na dużą liczbę walorów i dla których czas oczekiwania na zawarcie transakcji jest stosunkowo krótki.
Opracowania w literaturze światowej poświęcone analizie płynności, sku piają się przede wszystkim na analizie kosztu zawarcia transakcji, jako jednemu
1 Istnieje wiele aspektów płynności, które można zmierzyć wielkościami opartymi na wahaniach ceny, bid-ask spreadzie, stopie zwrotu, ilością i wartością akcji w zleceniu, wielkością spółki czy poziomem aktywności inwestorów. Wybór miernika zależy od preferencji inwestora. Jeżeli np. papier wartościowy jest płynny ze względu na mały spread, ale nie jest płynny ze względu na przeciętnie małą ilość walorów w zleceniu to inwestor zainteresowany kupnem niewielkiej ilości walorów uzna taki papier wartościowy za płynny, natomiast inwestor zainteresowany kupnem znacznej ilości uzna taki papier za mało płynny. W przypadku dużego spreadu i dużej przeciętnej ilości walorów w zleceniu, inwestor chcący kupić dużą ilość walorów może taki papier warto ściowy uznać za płynny, ponieważ mimo potencjalnie dużego kosztu transakcji ma szansę j ą zrealizować.
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
z najlepszych symptomów płynności waloru. Koszt zawarcia transakcji może w dobry sposób tłumaczyć płynność walorów na rynkach opartych na wycenie
waloru dokonywanej przez tzw. m a r k e t m a k e r a . Koszt transakcji można podzie
lić na różne kategorie (por. [4], str. 363), z których największą rolę przy opisie
płynności waloru odgrywa tzw. koszt złego wyboru ( i n v e r s e s e l e c t i o n ) .
W badaniach prowadzonych dla rynku polskiego zwraca się uwagę, że modele opracowane dla potrzeb innych rynków znacznie przeszacowuj ą płyn ność zarówno pojedynczych papierów wartościowych jak i całego rynku. Spo wodowane jest to tym, że polski rynek giełdowy jest oparty na zleceniach umieszczanych w arkuszu zleceń, i w związku z tym nie występują wszystkie składowe kosztu transakcji2. W naturalny sposób powoduje to zwiększoną oce nę płynności, mimo, że nie zmniejsza użyteczności dla innych zastosowań (np. [1]). Przykładem prac, wskazujących na małą użyteczność modeli opartych na koszcie transakcji do oceny płynności, w których ponadto pokazano własny
miernik płynności dla rynku polskiego są prace Milo i Wawruszczaka [5], [6].
Wcześniej prowadzone przez autora badania dotyczące opisu płynności papierów wartościowych skupiały się nad możliwością opisu płynności papie rów wartościowych za pomocą prawdopodobieństwa warunkowego zawarcia transakcji [2], [3]. W opracowaniach tych obliczono miarę płynności mającą cechy dystrybuanty rozkładu (była to funkcja niemalejącą, przyjmująca warto ści z przedziału [0,1]). Podany w tych pracach sposób obliczania miernika płynności opartego na prawdopodobieństwie zawarcia transakcji, bezpośrednio odwołuje się do intuicyjnego rozumienia płynności. Niestety przedstawiony miernik nie może zostać zastosowany jako podstawa aproksymacji prawdopo dobieństwa zawarcia transakcji przy pomocy funkcji gęstości bądź dystrybuanty znanego rozkładu prawdopodobieństwa. Z tego powodu w artykule zapropono wano inny sposób obliczania prawdopodobieństwa zawarcia transakcji pozwa lający uzyskać empiryczny rozkład prawdopodobieństwa. Na podstawie wła sności, jakimi powinien charakteryzować się taki rozkład zostaną sformułowane hipotezy dotyczące postaci funkcji rozkładu opisuj ącego prawdopodobieństwo
2 Dotyczy to zwłaszcza kosztów złego wyboru. Na rynkach opartych na zleceniach ryzyko zawar cia transakcji z inwestorem posiadającym dodatkowe, niedostępne innym informacje nie ma wpływu na cenę transakcji, ponieważ preferencje dotyczące ceny zostały określone w momencie składania zlecenia i nie mogą być modyfikowane przez animatora rynku.
zawarcia transakcji i przeprowadzone zostaną obliczenia, mające na celu znale zienie postaci analitycznej funkcji prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo zawarcia transakcji
Jako zdarzenie elementarne przyjęto zdarzenie polegające na realizacji (bądź braku realizacji) transakcji kupna bądź sprzedaży pewnej ilości papierów wartościowych, dla określonego odstępstwa od bieżącej ceny, w określonym momencie czasu. Możliwość zawarcia transakcji kupna lub sprzedaży uzależ niona jest od wartości, jakie przyjmą trzy zmienne - ilość papierów wartościo wych, cena i czas oczekiwania na zawarcie transakcji. Ponieważ analizowany będzie łączny rozkład prawdopodobieństwa wszystkich trzech zmiennych loso wych, zatem rozważać należy trójwymiarowa zmienną losową.
Zbiór zdarzeń elementarnych W , jest podzbiorem przestrzeni R 3, jego
elementami są trójki (N, P ,t), gdzie:
N - ilość papierów wartościowych;
P - odstępstwo od bieżącej ceny;
t - czas oczekiwania na zawarcie transakcji,
Na tak zdefiniowanej przestrzeni określono pewną funkcję prawdopodobień stwa:
P: W a < 0,1 >, taką, że
P(N = N*,P = P*, t = t*) = p, (co zap. w postaci P(N*,P*, t*)),
gdzie:
p - oznacza wartość prawdopodobieństwa, z jakim zachodzi transakcja;
N* - oznacza liczbę papierów wartościowych;
P* - oznacza odstępstwo od bieżącej ceny;
t* - oznacza czas oczekiwania na zawarcie transakcji.
Funkcja P ( N * ,P * , t * ) oznacza prawdopodobieństwo zawarcia transakcji
kupna lub sprzedaży dokładnie N* papierów wartościowych, po cenie odbiega
jącej od bieżącej o dokładnie P*, po upływie czasu dokładnie t*.
Założono, że prawdopodobieństwa zawarcia transakcji są obliczane dla zleceń realizowanych całkowicie, zatem można zdefiniować prawdopodobień
stwo dotyczące realizacji transakcji dotyczącej, co najwyżej N * papierów war
tościowych, po upływie czasu dokładnie t*, po cenie odbiegającej od bieżącej
P(N < N*,P*, t*) = Z P (H * ,P *, t*). N, *<N* i
W celu oceny płynności waloru zasadne jest obliczenie prawdopodobień
stwa zawarcia transakcji dotyczącej więcej, niż N * walorów, co można zapisać
jako:
P(N > N*,P*, t*) = 1 - P(N < N*,P*, t*).
W celu określenia prawdopodobieństwa zawarcia transakcji dla zadekla rowanych limitów ceny, należy znaleźć wartość:
P(N*,P < P*, t*) = Z P(N*,P,*, t*). p *<p*
Zapis ten należy czytać, jako prawdopodobieństwo zawarcia transakcji pewnej
ilości N * papierów wartościowych, po upływie czasu dokładnie t* , po cenie
odbiegającej od bieżącej ceny waloru nie więcej niż P * . W przypadku kupna
odstępstwo od ceny bieżącej oznacza cenę wyższą, niż bieżąca cena waloru, w przypadku sprzedaży cenę niższą.
W sytuacji, gdy w zleceniu określony jest limit czasu, jaki inwestor jest skłonny czekać na zawarcie transakcji, można zdefiniować:
P (N * ,P * ,t< t* ) = Z P (N * ,P *,ti*), ti*<t*
co należy czytać, jako prawdopodobieństwo zawarcia transakcji pewnej ilości
N * papierów wartościowych, po cenie odbiegającej od bieżącej ceny waloru
dokładnie o P *, w czasie krótszym niż t*.
Konstrukcja rozkładu empirycznego
W celu określenia rozkładu empirycznego (histogramu) prawdopodobień stwa zawarcia transakcji należy zbudować szereg rozdzielczy. W tym celu dla
zmiennych dotyczących liczby walorów w zleceniu
i odstępstwa od bieżącej ceny utworzono dziewiętnaście przedziałów klaso wych, natomiast dla czasu oczekiwania na zawarcie transakcji utworzono dwa dzieścia przedziałów, uzyskując tym samym 7220 klas szeregu rozdzielczego wielowymiarowej zmiennej losowej. Podział na tak dużą liczbę przedziałów dla każdej ze zmiennych ma na celu umożliwienie w miarę dobrego wnioskowania w przypadku analizowania rozkładów brzegowych.
Z uwagi na to, że a p r i o r i nie wiadomo, jakimi prawdopodobieństwami ce
chuj ą pojedyncze zdarzenia, postanowiono utworzyć przedziały klasowe równej szerokości, w ten sposób, aby pokrywały co najmniej 95% obserwacji dla
kładów brzegowych dotyczących ilości oraz odstępstwa od bieżącej ceny, oraz aby nie występowały przedziały klasowe (dla rozkładów brzegowych) nie za wierające żadnych obserwacji. W przypadku czasu oczekiwania na zawarcie transakcji, przyjęto, że maksymalny czas oczekiwania na zawarcie transakcji, jaki został ustalony dla badań empirycznych, będzie wynosił 1 dzień roboczy (7 godzin). Dane empiryczne, dla których przeprowadzono obliczenia zostały w odpowiedni sposób przetworzone, w celu usunięcia okresów, w których nie przeprowadzano notowań (godziny „nocne” oraz dni wolne).
W algorytmie obliczania histogramu, zawieraj ącego liczebności zdarzeń sprzyjających, symuluje się składanie nowego zlecenia. Przy czym budowa histogramu przeprowadzana jest osobno dla transakcji kupna i sprzedaży. Za kładając, że zlecenie jest składane w pewnym momencie czasu t, następuje sprawdzenie możliwości zawarcia transakcji dla odstępstwa od bieżącej ceny oraz ilości akcji obejmuj ących pierwsze przedziały klasowe względem zmien
nych P oraz N kolejno w pierwszym przedziale klasowym dla czasu oczekiwa
nia t, następnie - jeżeli jest to konieczne w drugim przedziale klasowym zmiennej t, i kolejnych. W ten sposób sprawdzono jakiego czasu oczekiwania na zawarcie transakcji należy się spodziewać dla transakcji dotyczącej naj mniejszego odstępstwa od bieżącej ceny i najmniejszej liczby akcji w zleceniu. Dalsze obliczenia dotyczące budowy histogramu obejmowały sprawdzenie
możliwości zawarcia transakcji dla większego odstępstwa od bieżącej ceny p, a
na końcu dla większych ilości akcji, dla których możliwe jest zawarcie transak cji. Zbadanie możliwości zawarcia transakcji wymagało przeprowadzenia sy mulacji składania zlecenia w każdym momencie czasu t, w badanym okresie. Rozkład prawdopodobieństwa zawarcia transakcji
Funkcja P ( N *, P * ,t* ) określa prawdopodobieństwo, z jakim można zre
alizować transakcję kupna lub sprzedaży N * papierów wartościowych po cenie
odbiegającej od bieżącej ceny o P * w momencie czasu t*. Ze specyfiki handlu
papierami wartościowymi powinny wynikać następujące własności:
1. " P (N *,P *, t*) < P (N *,P * , t*),
N*i >N* i J
2. P* >" P ( N * , P * . , t *) < P ( N * , P * . , t*),p* i j
o <
RYNEK KAPITAŁOWY - SKUTECZNE INWESTOWANIE
Pierwsza własność oznacza, że jeżeli inwestor chce zawrzeć transakcję, przy ustalonym odstępstwie od bieżącej ceny i w ustalonym momencie czasu, to większą szansę powodzenia ma w przypadku mniejszej liczby papierów warto ściowych w zleceniu. Podobnie własność druga, oznacza, że jeżeli inwestor chce zawrzeć transakcję na ustaloną liczbę papierów wartościowych i w określonym momencie czasu, większą szansę powodzenia ma w przypadku mniejszego odstępstwa od bieżącej ceny. Własność ta będzie spełniona w przy padku stosunkowo płynnych papierów wartościowych, dla których można się spodziewać, że inwestorzy składaj ą zlecenia po cenach zbliżonych do bieżącej (nie należy mylić tego ze składaniem zlecenia z limitem ceny - w takim przypadku transakcje dotyczące większego limitu odstępstwa od ceny mają większą szansę realizacji). Ponieważ parametr t jest odpowiedzialny za czas oczekiwania na zawarcie transakcji, zatem należy się spodziewać, że prawdopodobieństwo zawarcia transakcji będzie mniejsze dla większych wartości t*. Z drugiej strony nowe zlecenia, pojawiające się w arkuszu zleceń, jako nie zrealizowane transakcje, mogą powodować, że w każdym momencie będzie możliwe zawarcie transakcji.
Rozkład prawdopodobieństwa, który spełnia warunki 1-3, powinien przyjmować wartości nieujemne (zmienne przyjmuj ą wartości dodatnie, odstęp stwo od ceny i czas oczekiwania mogą być zerowe). Ponadto powinien być to rozkład malej ący, wraz ze wzrostem wartości zmiennych. Założenia te spełnia kilka, znanych w literaturze rozkładów prawdopodobieństwa jak rozkład We- ibulla bądź też klasa rozkładów Gamma, obejmująca m.in. rozkład wykładni
czy, z funkcją gęstości: f (x ;1 ) = l e x p ( - l x ) ; dla x > 0 oraz l > 0 .
Rozkład wykładniczy jest często wykorzystywany do modelowania pomia
rów w sytuacji, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe
w określonym przedziale czasu. W przypadku, gdy prawdopodobieństwo suk cesu zmienia się w czasie bardziej stosownym typem rozkładu jest rozkład We- ibulla z funkcj ą gęstości zdefiniowaną za pomocą wzoru:
k ( x Y-1 ( (x Y l
f(x ,k , l ) = — J e x p - J ; dla x > 0 oraz parametrów k,l > 0.
Jeżeli parametr k = 0 , to rozkład Weibulla redukuje się do rozkładu wykład
niczego z parametrem j . Dla innych wartości tego parametru rozkład Weibulla upodabnia się do różnych rozkładów, np. dla k=2, redukuje się do rozkładu
Rayleigh’a, a dla 2,6<k<3,7 rozkład Weibulla ma współczynnik skośności bliski zeru i przebieg podobny do rozkładu normalnego.
Przejęte rozkłady swój charakterystyczny kształt funkcji gęstości przyjmu
ją dla stosunkowo niewielkich wartości zmiennej losowej, rzędu maksymalnie
kilkuset. Tymczasem wartości, które mogą przyjąć zmienne losowe w niektó
rych przypadkach są duże. Aproksymacja prawdopodobieństw empirycznych
rozkładami wykładniczym oraz Wiebulla zmusza do nadania przedziałom kla
sowym mniejszych wartości - pozwalając równocześnie na zastosowanie tej
samej metody obliczeń dla różnych walorów. Dlatego też w obliczeniach empi
rycznych oraz testach statystycznych przedziały klasowe zostały oznaczone
rangami, przyjmującymi wartości między 1 a 19 (od 1 do 20 dla czasu oczeki
wania).
W ybór próby do badań empirycznych
Do badań empirycznych wybrano akcje pięciu spółek giełdowych, noto
wanych w systemie notowań ciągłych GPW w Warszawie, (obejmujących sto
sunkowo płynne walory). Są to akcje podstawowe spółek Agora S.A., BRE
S.A., BZWBK S.A., Lotos S.A. oraz MOL S.A. Nie należą one do akcji mogą
cych być określane jako najbardziej płynne, bądź też mało płynne. W ten spo
sób uniknięto mogących się pojawić anomalii, utrudniaj ących aproksymacj ę
rozkładu.
Badania przeprowadzono dla szeregów miesięcznych notowań „tick-by-
tick” pochodzących z okresu luty - październik 2006, osobno dla transakcji
kupna (na podstawie oczekuj ących ofert sprzedaży) i transakcji sprzedaży (na
podstawie oczekuj ących ofert sprzedaży). W ten sposób uzyskano 90 rozkładów
prawdopodobieństwa (po 45 dla transakcji kupna i transakcji sprzedaży) dla
każdej hipotezy dotyczącej postaci rozkładu.
W celu oceny zgodności dopasowanego rozkładu prawdopodobieństwa
z rozkładem empirycznym zastosowano statystykę opartą na statystyce Kołmo-
gorowa postaci D n = sup|F0( x) - S n(x) |. Służy ona do oceny zgodności
dys-trybuanty empirycznej S n (x) z dystrybuantą hipotetyczną F 0 (x) . Wskazania
statystyki Kołmogorowa do oceny zgodności rozkładów
w przeprowadzonych badaniach są obarczone pewnym błędem, ponieważ pa
________ R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE _________________
Również korzystając z rozkładu granicznego statystyki Dn postaci
P ( J n D n > 1(1 - a ) ) = a weryfikacja hipotezy dotyczącej zgodności rozkła dów jest problematyczna z uwagi na bardzo duże liczebności elementów w szeregach rozdzielczych, sięgające 800 000. W takiej sytuacji dystrybuanty
musiałby być prawie idealnie zgodne (wartość statystyki Dn mniejsza niż
0.002), aby test zgodności Kołmogorowa nie odrzucił hipotezy zerowej.
W dalszych rozważaniach statystyką D n posłużono się bezpośrednio do oceny
maksymalnej różnicy pomiędzy dystrybuantami, nie weryfikuj ąc hipotez staty stycznych.
Wyniki aproksymacji rozkładu prawdopodobieństwa
Obserwacja histogramów rozkładów brzegowych, zarówno jedno - , jak i dwuwymiarowych częściowo potwierdza hipotezę o postaci analitycznej funk cji gęstości rozkładu.
W przypadku zmiennych P oraz N , dotyczących odstępstwa od bieżącej
ceny, oraz liczby walorów, rozkłady brzegowe miały różne kształty, czasami nie pozwalające na postawienie hipotezy dotyczącej rozkładu. Przykładowy histogram przedstawiony na rys. 1 może sugerować, że właściwym rozkładem mógłby być rozkład mieszany np. wykładniczo-Weibulla.
R y s . 1. P r z y k ł a d o w y h i s t o g r a m p r a w d o p o d o b i e ń s t w a b r z e g o w e g o , d l a z m i e n n e j P . O b l i c z o n e d l a s p ó ł k i B Z W B K S .A . d l a d a n y c h z 0 4 . 2 0 0 6 , t r a n s a k c j e k u p n a .
Źródło: obliczenia własne
W większości przypadków były to jednak przebiegi zbliżone do rozkładu gamma lub Weibulla (por. rys. 2)3.
3 Na rysunku 2 liczby obok nazwy spółki oznaczają szerokość przedziału klasowego, natomiast na osi OX oznaczono numery przedziałów klasowych.
H i s t o g r a m r o z k ł a d u b r z e g o w e g o d o t y c z ą c e g o z m i e n n e j t , w e w s z y s t k i c h a n a l i z o w a n y c h p r z y p a d k a c h m i a ł c h a r a k t e r y s t y c z n y k s z t a ł t , p r z e d s t a w i o n y n a r y s . 3 . Z t e g o p o w o d u r o z k ł a d b r z e g o w y w z g l ę d e m c z a s u j e s t p r z y b l i ż o n y r o z k ł a d e m m i e s z a n y m w y k ł a d n i c z o - j e d n o s t a j n y m o f u n k c j i g ę s t o ś c i p o s t a c i f ( t ; l ) = p 1 • ( 1 e x p ( - 1 t ) ) + (1 - p 1) • 0 . 0 5 ; d l a p 1 e ( 0 , 1 ) . P a r a m e t r l c z ę ś c i w y k ł a d n i c z e j r o z k ł a d u , o r a z w a r t o ś ć p 1 o d p o w i e d z i a l n y z a u d z i a ł k a ż d e g o z r o z k ł a d ó w w r o z k ł a d z i e m i e s z a n y m b y ł d o b i e r a n y t a k , a b y o t r z y m a ć m o ż l i w i e n a j l e p s z e d o p a s o w a n i e r o z k ł a d u e m p i r y c z n e g o i h i p o t e t y c z n e g o , m i e r z o n e s t a t y s t y k ą D n K o ł m o g o r o w a . W l i t e r a t u r z e z n a n e s ą w i e l o w y m i a r o w e r o z k ł a d y d l a k t ó r y c h r o z k ł a d y b r z e g o w e m a j ą r o z k ł a d g a m m a ( z b l i ż o n y d o r o z k ł a d u W e i b u l l a ) l u b r o z k ł a d w y k ł a d n i c z y . T a k i c h w i e l o w y m i a r o w y c h r o z k ł a d ó w j e s t k i l k a i n a j c z ę ś c i e j m u s z ą s p e ł n i a ć d o ś ć s p e c y f i c z n e z a ł o ż e n i a d o t y c z ą c e c h a r a k t e r u d a n y c h e m p i r y c z n y c h . P o n a d t o w w i ę k s z o ś c i p r z y p a d k ó w r o z k ł a d y t e s ą z d e f i n i o w a n e z a p o m o c ą f u n k c j i u w i k ł a n y c h ( m . i n . w p o s t a c i f u n k c j i B e s s e l a p i e r w s z e g o r o d z a j u , b ę d ą c e j s u m ą s z e r e g u p o t ę g o w e g o ) . R y s . 2 . H i s t o g r a m y p r a w d o p o d o b i e ń s t w a b r z e g o w e g o d l a z m i e n n e j N . O b l i c z o n e d l a l u t e g o 2 0 0 6 , t r a n s a k c j e k u p n a . C z a s w a ż n o ś c i z l e c e n i a 1 d z i e ń .
Źródło: obliczenia własne.
A u t o r z y z r e g u ł y n i e p o d a j ą d y s t r y b u a n t y r o z k ł a d u ( p o r . [ 8 ] ) , o g r a n i c z a j ą c s i ę d o p o d a n i a f u n k c j i s p e c j a l n y c h i f u n k c j i g ę s t o ś c i . P o w o d u j e t o , ż e o c e n a p r z y d a t n o ś c i d a n e g o r o z k ł a d u w i e l o w y m i a r o w e g o s t a j e s i ę p r o b l e m a t y c z n a .
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE Z p o w o d u w y m i e n i o n y c h t r u d n o ś c i a u t o r p o s t a n o w i ł p r a w d o p o d o b i e ń s t w o z a w a r c i a t r a n s a k c j i p r z e d s t a w i ć j a k o i l o c z y n r o z k ł a d ó w b r z e g o w y c h , k t ó r y c h p a r a m e t r y b y ł y s z a c o w a n e n a p o d s t a w i e h i s t o g r a m ó w p r a w d o p o d o b i e ń s t w b r z e g o w y c h d o t y c z ą c y c h l i c z b y w a l o r ó w , o d s t ę p s t w a o d b i e ż ą c e j c e n y o r a z c z a s u . R y s . 3 . P r z y k ł a d o w y h i s t o g r a m p r a w d o p o d o b i e ń s t w a b r z e g o w e g o o r a z f u n k c j i g ę s t o ś c i f ( t l ) . O b l i c z o n e d l a s p ó ł k i B R E S .A . d l a 0 6 . 2 0 0 6 , t r a n s a k c j e k u p n a .
Ź ró d ło : o b lic z e n ia w łasne
O d p o w i a d a t o z a ł o ż e n i u n i e z a l e ż n o ś c i z m i e n n y c h i m o ż e p o w o d o w a ć , ż e c z ę ś ć z m i e n n o ś c i w y n i k a j ą c a z e s k o r e l o w a n i a z m i e n n y c h b ę d z i e n i e d o ś ć d o b r z e p r z y b l i ż a n a r o z k ł a d e m ł ą c z n y m . J e d n a k ż e z n a l e z i o n y r o z k ł a d p o z w o l i n a w s t ę p n ą o r i e n t a c j ę j a k o ś c i a p r o k s y m a c j i p r a w d o p o d o b i e ń s t w a e m p i r y c z n e g o r o z k ł a d e m w i e l o w y m i a r o w y m . O b l i c z e n i a d o t y c z ą c e z n a l e z i e n i a f U n k c ji g ę s t o ś c i r o z k ł a d ó w b r z e g o w y c h d l a z m i e n n y c h P o r a z N b y ł y p r z e p r o w a d z o n e w t r z e c h w a r i a n t a c h : 1. r o z k ł a d y b r z e g o w e d l a z m i e n n y c h P o r a z N s ą r o z k ł a d a m i w y k ł a d n i c z y m i ; 2 . r o z k ł a d y b r z e g o w e d l a z m i e n n y c h P o r a z N s ą r o z k ł a d a m i W e i b u l l a ; 3 . r o z k ł a d y b r z e g o w e d l a z m i e n n y c h P o r a z N s ą r o z k ł a d a m i m i e s z a n y m i w y k ł a d n i c z o - W e i b u l l a . W p r z y p a d k u r o z k ł a d u w y k ł a d n i c z e g o w p i e r w s z y m i t r z e c i m w a r i a n c i e o b l i c z e ń p a r a m e t r l r o z k ł a d u b y ł e s t y m o w a n y m e t o d ą n a j w i ę k s z e j w i a r o g o d n o - ś c i . W p r z y p a d k u r o z k ł a d u W e i b u l l a w d r u g i m w a r i a n c i e o b l i c z e ń , p a r a m e t r y r o z k ł a d u k i l s z a c o w a n e b y ł y m e t o d ą n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t ó w . Z a s t o s o w a n i e m e t o d y n a j w i ę k s z e j w i a r o g o d n o ś c i w p r z y p a d k u r o z k ł a d u W e i b u l l a s p r o w a d z a s i ę d o p r z e p r o w a d z a n i a s y m u l a c j i o p t y m a l i z u j ą c y c h w i e l k o ś c i p a r a m e t r ó w z u w a g i n a b r a k r o z w i ą z a n i a a n a l i t y c z n e g o p r o b l e m u z n a l e z i e n i a m a k s i m u m f u n k c j i w i a r o g o d n o ś c i d l a t e g o r o z k ł a d u . O p t y m a l i z a c j a p a r a m e t r ó w r o z k ł a d u
Weibulla została przeprowadzona w trzecim wariancie obliczeń, gdzie równo cześnie optymalizowano udział każdego z rozkładów w rozkładzie mieszanym.
Znalezione rozkłady brzegowe były podstawą do zbudowania dystrybuanty rozkładu łącznego, jako iloczynu dystrybuant rozkładów brzegowych. Uzyska no zatem dystrybuanty postaci:
1. dla wariantu pierwszego:
f (x) = [pi (1 - exp(-1TtR) + (1 - pi)£ Tr] • (1 - exp(-1NNR) • (1 - exp(-1pPR), 2. dla wariantu drugiego:
f (x) = [p1 (1 - exp(-1TtR) + (1 - p ^ i Tr] • (1 - exp(-GŃR)kN)] • (1 - exp(-(Ł)kp)], 3. dla wariantu trzeciego:
f (x) = [p1 (1 - exp(-1ttR) + (1 - Tr] • [p2 (1 - exp(-1 nNr ) + (1 - p2 )(1 - exp(-(NL)kN)] • [p3 (1 - exp(-1 pPr) + (1 - p3)(1 - exp(-(|R)kp)],
gdzie zmienne tR, N R,PR oznaczają rangi nadane zmiennym odp. t , N,P . Zestawienie ocen zgodności najlepiej dopasowanej dystrybuanty hipote tycznej z dystrybuantą empiryczną (prawdopodobieństwami skumulowanymi),
w oparciu o statystykę D n przedstawione zostało w tabelach.
Tabela 1. Najlepiej dopasowane trójwymiarowe niezależne rozkłady prawdopodobień stwa zawarcia transakcji. Ważność zlecenia 1 dzień. Transakcje kupna.
A G O R A B R E B Z W B K L O T O S M O L l u t y m ie s z a n y ( 0 .0 5 3 ) m i e s z a n y ( 0 .0 6 3 ) m ie s z a n y ( 0 .0 3 5 ) m i e s z a n y ( 0 .0 6 3 ) M ie s z a n y ( 0 .0 8 7 ) m a r z e c m ie s z a n y ( 0 .0 6 5 ) m i e s z a n y ( 0 .0 7 2 ) w y k ła d n ic z y ( 0 .0 9 7 ) W e i b u lla ( 0 .0 6 7 ) M ie s z a n y ( 0 .0 7 0 ) k w i e c i e ń m ie s z a n y ( 0 .0 4 8 ) m i e s z a n y ( 0 .0 6 4 ) m ie s z a n y ( 0 .0 6 5 ) W e i b u lla ( 0 .0 6 1 ) W e i b u lla ( 0 .0 6 3 ) m a j W e i b u lla ( 0 .0 5 9 ) m i e s z a n y ( 0 .0 7 0 ) m ie s z a n y ( 0 .0 4 5 ) w y k ła d n ic z y ( 0 .0 5 9 ) W e i b u lla ( 0 .0 5 8 ) c z e r w i e c m ie s z a n y ( 0 .0 5 4 ) m i e s z a n y ( 0 .0 4 8 ) m ie s z a n y ( 0 .0 3 7 ) m i e s z a n y ( 0 .0 5 1 ) M ie s z a n y ( 0 .0 4 3 ) l i p i e c m ie s z a n y ( 0 .0 4 8 ) W e i b u lla ( 0 .0 4 5 ) W e i b u lla ( 0 .0 5 3 ) W e i b u lla ( 0 .0 5 5 ) M ie s z a n y ( 0 .0 5 8 ) s i e r p i e ń W e i b u lla ( 0 .0 4 4 ) m i e s z a n y ( 0 .0 4 4 ) m ie s z a n y ( 0 .0 7 0 ) W e i b u lla ( 0 .0 4 5 ) M ie s z a n y ( 0 .0 7 3 ) w r z e s i e ń w y k ła d n ic z y ( 0 .0 5 6 ) W e i b u lla ( 0 .0 4 6 ) m ie s z a n y ( 0 .0 7 8 ) m i e s z a n y ( 0 .0 4 9 ) M ie s z a n y ( 0 .0 5 5 ) p a ź d z i e r n i k W e i b u lla ( 0 .0 6 5 ) m i e s z a n y ( 0 .0 5 1 ) W e i b u lla ( 0 .0 5 3 ) m i e s z a n y ( 0 .0 6 1 ) M ie s z a n y ( 0 .0 4 8 )
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
Ponadto w wyniku przeprowadzonych obliczeń zauważono, że najgorsze wyniki aproksymacji uzyskano dla rozkładu wykładniczego (pierwszy wariant obliczeń). Natomiast wyniki uzyskane w drugim (rozkład Weibulla) i trzecim (rozkład mieszany) wariancie są zbliżone, przy czym metody symulacyjne wy korzystane w trzecim wariancie obliczeń dały nieznacznie lepsze wyniki. Moż na stwierdzić, że rozkłady uzyskane w drugim i trzecim wariancie obliczeń dobrze przybliżają prawdopodobieństwo zawarcia transakcji.
Tabela 2. Najlepiej dopasowane trójwymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa zawar cia transakcji. Ważność zlecenia 1 dzień. Transakcje sprzedaży.
AGORA BRE BZWBK LOTOS MOL
luty mieszany
(0.068) mieszany(0.087) mieszany(0.076) wykładniczy(0.071) Mieszany(0.072)
marzec Weibulla
(0.091) mieszany(0.072) Weibulla(0.091) mieszany(0.104) Mieszany(0.078)
kwiecień mieszany
(0.075) Weibulla(0.139) mieszany(0.056) mieszany(0.084) Mieszany(0.068)
maj wykładniczy
(0.081) mieszany(0.059) Weibulla(0.073) wykładniczy(0.075) Mieszany(0.072)
czerwiec wykładniczy
(0.072) Weibulla(0.097) mieszany(0.059) wykładniczy(0.071) mieszany(0.074)
lipiec mieszany
(0.066) Weibulla(0.075) mieszany(0.068) mieszany(0.070) Mieszany(0.079)
sierpień mieszany
(0.065) mieszany(0.055) wykładniczy(0.073) Weibulla(0.072) Mieszany(0.0820
wrzesień Weibulla
(0.071) Weibulla(0.052) Weibulla(0.061) mieszany(0.075) Mieszany(0.054)
październik mieszany
(0.078) mieszany(0.062) mieszany(0.073) Weibulla(0.089) Weibulla(0.053)
Źródło: obliczenia własne. Wnioski
Przedstawiony w artykule sposób obliczania prawdopodobieństwa zawar cia transakcji w zasadzie jest zgodny z wcześniejszymi pracami. Powala jednak na postawienie hipotezy dotyczącej rozkładu wielowymiarowej zmiennej loso wej, co było utrudnione w przypadku prawdopodobieństw skumulowanych. Znalezione dystrybuanty rozkładu wykazuj ą dużą zgodność z prawdopodobień stwami empirycznymi, stanowiąc dobra bazę do dalszych badań. Znajomość charakterystyki rozkładu oraz momentów pozwala na lepsze opisanie mikro struktury rynku giełdowego w przypadku notowań ciągłych akcji. Obliczone momenty rozkładu mogą służyć do redukcji ryzyka inwestycyjnego, zwłaszcza
do redukcji ryzyka płynności. Ponadto mogą służyć weryfikacji założeń modeli, w których zakłada się idealną płynność walorów.
Analiza szczegółowych wyników nasuwa przypuszczenie, że w większości przypadków rozkładem wystarczaj ącym w zastosowaniach może być rozkład, którego dystrybuanta jest iloczynem rozkładu mieszanego wykładniczo- jednostajnego względem czasu oraz Weibulla względem odstępstwa od bieżącej ceny i ilości walorów. Zastosowanie metody najmniejszych kwadratów do sza cowania parametrów rozkładów Weibulla, oraz proste zadanie decyzyjne do znalezienia parametrów rozkładu mieszanego powoduje, że procedura znalezie nia dystrybuanty rozkładu łącznego nie jest nadmiernie skomplikowana, co daje przewagę nad, z reguły dokładniejszą, ale bardziej skomplikowaną i złożoną obliczeniowo metodą zastosowaną w ostatnim wariancie obliczeń.
Literatura
1. Garsztka P. Z a s t o s o w a n i e a n a l i z y d y s k r y m i n a c y j n e j i m o d e l u G l o s t e n a - H a r r i s a d o o c e n y p ł y n n o ś c i a k c j i n o t o w a n y c h n a G P W w W a r s z a w i e. Prace z ekonometrii fi
nansowej. Poznań, Wydaw. AE, 2007.
2. Garsztka P., Matuszewski P., Wieloch K., A n a l i z a p ł y n n o ś c i p a p i e r ó w w a r t o ś c i o w y c h n o t o w a n y c h w s y s t e m i e W A R S E T, Acta Universitatis Lodziensis. Folia
Oeconomica nr 166, WUŁ, Łódź 2003, 225-239.
3. Garsztka P., Matuszewski P., Wieloch K., A n a l i z a p ł y n n o ś c i p a p i e r ó w w a r t o ś c i o w y c h n o t o w a n y c h w s y s t e m i e W A R S E T - c z a s, Acta Universitatis Lodziensis. Folia
Oeconomica nr 177, WUŁ, Łódź 2004, 225-239.
4. Gourieroux C., Jasiak J., F i n a n c i a l E c o n o m e t r i c s . P r o b l e m s , M o d e l s a n d M e t c h o d s, Princeton University Press, Princeton and Oxford 2001.
5. Milo W., Wawruszczak M., A n a l i z a p ł y n n o ś c i f i n a n s o w e j n a G P W w W a r s z a w i e,
Inwestycje finansowe i ubezpieczenia- tendencje światowe a polski rynek” t. 2, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej im. Oskara Lanego we Wrocławiu, nr
1088, Wrocław 2005, 27-36.
6. Milo W., Wawruszczak M., P ł y n n o ś ć f i n a n s o w a G P W w W a r s z a w i e ( n a p r z y k ł a d z i e s p ó ł e k W I G 2 0 ), Metody matematyczne, ekonometryczne i informatyczne w fi
nansach i ubezpieczeniach, t. 1, Wydawnictwo AE w Katowicach, 2006.
7. Pastor Lubos i Robert F. Stambaught, L i q u i d i t y r i s k a n d e x p e c t e d s t o c k r e t u r n s,
R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E
8. Yue S., Ouarda T., Bobée B., A r e v i e w o f b i v a r i a t e g a m m a d i s t r i b u t i o n f o r h y d r o l o g i c a l a p p l i c a t i o n , Journal of Hydrology 246/2001, 1-18.
STRESZCZENIE
W artykule zaproponowano miarę płynności, opartą na prawdopodobieństwie za warcia transakcji. Podano sposób obliczania wielowymiarowego rozkładu empiryczne go, oraz własności tego rozkładu istotne ze względu na ocenę płynności walorów. Po nadto podano hipotezy dotyczące dystrybuanty zdefiniowanego rozkładu empirycznego, oraz możliwą metodę estymacji parametrów wielowymiarowego rozkładu prawdopodo bieństwa.
Uzyskane wyniki dla akcji spółek notowanych na GPW w Warszawie sugerują, że zaproponowane rozkłady prawdopodobieństwa wykazują dużą zgodność z rozkładami empirycznymi. Może to stanowić podstawę do dalszych badań dotyczących płynności papierów wartościowych.
TRANSACTION PROBABILITY DISTRIBUTION IN ORDER TO EVALUATE STOCK LIQUIDITY ON WARSAW STOCK EXCHANGE
SUMMARY
In the paper measure of the liquidity, based on the transaction probability is pro posed. Method of multidimensional empirical distribution is given. Distribution proper ties significant to evaluation of stock liquidity are defined. Hypothesis about distribu tion function of defined empirical probability and estimation methods of multidimen sional distribution function parameters were also given.
Findings suggest that for stocks on Warsaw Stock Exchange proposed probability distributions and empirical distribution appear to be similar. It could be a starting point for future research on stock liquidity.
T r a n s l a t e d b y P . G a r s z t k a
M g r P r z e m y s ł a w G a r s t k a
Akademia Ekonomiczna w Poznaniu fredie@katek.ae.poznan.pl
