ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ / 1969
S e r i a : AUTOMATYKA z . 14 Nr k o l . 267
mgr i n ż . Mi ch ał L a t a r n i k K a t e d r a T e o r i i R e g u l a c j i
2 . 3 . WYKORZYSTANIE ITERACYJNEJ MASZYNY ANALOGOWEJ DO IDENTYFI
KACJI METODĄ ZMIENNEGO MODELU
I d e a metody zmiennego modelu j e s t p r o s t a i szczegółowo o p i s a n a w l i t e r a t u r z e [ i ] . Przy k o r z y s t a n i u z t e j metody na w e j ś o i a
o b i e k t u i zmiennego modelu podawane s ą t e same s y g n a ł y s ( t ) , a r ó ż n i c ę pomiędzy s y g n a ł a m i wyjś ciowymi o b i e k t u i zmiennego mo
d e l u m ( t ) i n ( t ) wprowadza s i ę do u r z ą d z e n i a l i c z ą c e g o , k t ó r e zmienia w e k to r parametrów x modelu w t e n s p o s ó b , by w możliwie n a j k r ó t s z y m o z a s i e u zys kaó małą ( m i n i m a l n ą ) , w okr eś lonym s e n s i e , o d l e g ł o ś ó [2] między s y g n a ł a m i wyjściowymi o b i e k t u i mode
l u .
Rys . 1 . I de a zmiennego modelu
120 Michał L a t a r n i k Dla r o z p a t r y w a n e g o p r z e z n a s o b i e k t u je dn o we j śc i ow eg o i j e - d nowyj ści owego , problem można s p r o wa d zi ć do p os zu k iw an ia wek
t o r a parametrów x = x ^ s p e ł n i a j ą c e g o r e l a c j e :
n ( t ) = A j n ( t ) , s ( t ) , x ( t ) | (1)
d^ - o p t ' ~ miD d* (2)
g d z i e :
A - dany o p e r a t o r ,
d*(x) = d*[m(t), n ( t ) ] - o d l e g ł o ś ć między s y g n a ł a m i w y j ś c i o wymi o b i e k t u i modelu d l a o k r e ś l o u e j r e a l i z a c j i
s ( t ) .
Wykorzystywany w praoy a l g o r y t m p o s z u ki w an i a we kt or a p o l e g a na k ol e jn ym p os z u k iw a n i u mi nimalnych w a r t o ś o i f u n k c j i ^ :
d ( x i ) = d ( x i | x . 1 , x 2 , , . . x ( i - l ) , x ( i + 1 ) , . . . , x n ) (3) względem k o l e j n o w y b i e r a n y c h parametrów x l » x 1 , x 2 , x n.
W praoy r o z p a t r y w a n e s ą p ro bl emy, d l a k t ó r y c h f u n k c j e d ( x i ) s ą f u n k c j a m i c i ą g ł y m i względem z mienia nego p a r a m e t r u x i , a i c h p i e r w s z e pochodne względem x i s ą f u n k c j a m i c i ą g ł y m i w p r z e d z i a l e x i 6 [ 0, 1] za w y j ą t k i e m s k o ń c z o n e j i l o ś c i punktów n i e c i ą g ł o ś c i p ie r w s z eg o r o d z a j u t j . t a k i c h , w k t ó r y c h i s t n i e j ą g r a n i c e pr awo- i l e w o s t r o n n e . Dodatkowo zakł adamy, że w p r z e d z i a l e x i 6 [0,1] pochodne t e s ą f u n k c j a m i r o s n ą c y m i pr zec h od zą cy mi
p r z e z z e r o d l a x i = x i ^ lub p o s i a d a j ą c y m i w x i ^ pun kt n i e c i ą g ł o ś c i p ie r w s z e g o r o d z a j u mający t ę w ł a s n o ś ć , ż e :
s i g n [ l i m 4 s i g n [lim ( M
x i " ^ x i 1 x i —- X i . j
X i > X ± 1 x i < x i 1
' A l go r yt m t e n znany j e s t ja k o a l g o r y t m G a u s s a - S e i d e l a . X )
Wy k or z y s t a n i e l t e r a c y j n e j maszyny a n a l o g o w e j , . 121 O g r a n i c z e n i e zmian p o s z c z e g ó l n y c h parametrów do p r z e d z i a ł u [ 0 , l ] z o s t a ł o wprowadzone j e d y n i e d l a u ł a t w i e n i a z a p i s u w d a l s z e j o z ę ś c i p r a c y . Oczywistym j e s t , że dowolny skończony p r z e d z i a ł zmian p a r a m e t r u można p r z e z odp owiedni dohór s k a l i zmien
nych s p ro w a d z i ć do p r z e d z i a ł u [0,1] .
Z b i ó r { d [ j n ( t ) , n ( t ) j j - s t a n o w i ą e l emen ty z b i o r u ^d*[m(t), wyznaczone pr zy ok reś lonym s ( t ) , d l a w s z y s t k i c h r e a l i z a c j i w e k t o r a x możliwych do u z y s k a n i a na w y j ś c i u u r z ą d z e n i a l i c z ą c e g o .
W a r t o ś c i minimalne d l a p o s z c z e g ó l n y c h p r z e k r o j ó w d ( x l ) wyznaczane s ą na d rodze i t e r a c j i w o p a r c i u o n a s t ę p u j ą c y a l g o r y t m :
x l 2k = I “ Cł )P * V l * 3 i g n { d [m ( t ) » n2 p - 1 ( t ) ] “ P ^
( 5 ) - d [ m ( t ) , n 2 p - 2 f t ) l }
g d z i e :
1 . d [ m ( t ) , E2p_2^ ^ - w a r t o ś ó f u n k o j i o d l e g ł o ś c i u z y s k a n i a d l a x i = x i 2 p_2 w ( p - O - y m k ro ku praoy wykonanym w danym p r z e k r o j u d ( x i ) . Na ( p - l ) - s z y t a k t p racy s k ł a da s i ę ( p - l ) - s z y k r o k praoy o r a z ( p - O - s z y k r o k p r ó b n y .
2 . d [ m ( t ) , n 2 p - i ^ ^ 3 - w a r t o ś ó f u n k c j i o d l e g ł o ś c i uzyskana d l a x i = x i 2 p_^ w (p-1 )-ym krolcu próbnym wykonany w da
nym p r z e k r o j u d ( x i ) .
122 5i o h a ł L a t a r n i k
3 * x i 2p-1 ‘ Xl2p -2 + 6 ( 6 )
0 j e ś l i d [ m ( t ) , n 2 p - 1 ^ t ^ “ n 2 p - 2 ^ 3 ^ a
1 j e ś l i d [ m ( t ) , n2p_ 1 ( t ) ] - d [ m ( t ) , E2p -1^ 3> a
g d z i e a > 0.
Można wykazaó [4j , że i t e r a o y j n y p r o c e s p os zu ki wan ia m i n i m a l ne j w a r t o ś o i w danym p r z e k r o j u d ( x i ) p r z e b i e g a j ą c y w o p a r c i u o zaproponowany a l g o r y t m ( 5) j e s t z b i e ż n y d l a a = O do pu nk tu x i Q s p e ł n i a j ą c e g o r e l a c j ę :
n a t o m i a s t d l a a > O p r o c e s t e n o s i ą g a punkt n a l e ż ą c y do p r z e -
Obecnie uzasadnimy wybór p r z e d s t a w i o n e g o powyżej a l g o r y t m u p ra cy u r z ą d z e n i a l i c z ą c e g o porównując go z innymi znanymi a l g o rytmami pr acy u r z ą d z e ń l i c z ą c y c h t e g o t y p u . Ze względu na t o , że w i e l e al gorytmów p o s z uk i w an i a w a r t o ś c i optymalnych parame
trów [6l , [8] z uwagi na skomplikowany sposób do ber u kr oku r o boczego nie z n a l a z ł o j e s z c z e swej t e c h n i c z n e j r e a l i z a c j i ,
0 < x i 1 - x i Q < £ ( 7 )
d z i a ł u [ x i d , x i g] o t a c z a j ą c e g o punkt x l Q; g r a n i c e t e g o p r z e d z i a ł u można wyznaczyó z r e l a c j i :
d [>ig+ £] “ d [x l gl = d [x l d] “ d [x l g+£] 3 a (8)
Wy k or z y s t a n i e i t e r a o y j n e j maszyny a n a l o g o w e j . » « 123 ograniozymy s i ę do porównania r o z p a t r y w a n e g o a l g o r y t m u p o s zu k i w a n i a z a l g o r y t m a m i poszukiwań p r z e d s t a w i o n y m i w pr ao ao h
[ 5 ] , [ 7 ] . K o n k r e t n i e porównamy proponowany a l g o r y t m z dwoma r o z p a t r y w a n y m i w praoy [5] a l g o r y t m a m i :
a ) z al goryt mem wymagającym o k r e ś l e n i a g r a d i e n t u .
Układ wykonuje n ruchów w zd łu ż w s p ó ł r z ę d n y c h , po czym na p o d s t a w i e o k r e ś l o n e g o g r a d i e n t u wykonuje s kok o d ł u -
w k i e r u n k u n a j s i l n i e j s z e g o z m n i e j s z e n i a w a r t o ś c i p r z y j ę t e j f u n k c j i o d l e g ł o ś o i .
b ) z al goryt mem przypadkowego p o s z u k i w a n i a , d l a k t ó r e g o powr ót po ewentualnym błędnym k r ok u o r a z n a s t ę p n y k r o k
A x i+1 odbywają s i ę r ó w n o c z e ś n i e :
1 . A x ± = [ ( Ax1 ) ±, ( A x 2 ) ±, . . . , ( A x n ) J - w ek to r p r z y r o s t u , k t ó r e g o k i e r u n e k w y b ie r a s i ę p r z y p a d kowo z równomiernym prawdopodobieństwem we w s z y s t k i c h k i e r u n k a o h .
g o ś c i
(9)
*1+1 " ^ i " a i A* i + A *i+1 (10) g d z i e
2 . | A x J = y j ; ( A x j ) * - h
124 Mi ch ał L a t a r n i k 3 . - j e ś l i wprowadzony w o s t a t n i m przypadkowym k r o
ku wekt or p r z y r o s t u A x ^ n i e spowodował z m n i e j s z e n i a w a r t o ś c i f u n k c j i o d l e g ł o ś c i
- j e ś l i wprowadzony w o s t a t n i m przypadkowym k r o ku wekt or p r z y r o s t u A x ^ spowodował z m n i e j s z e n i e w a r t o ś o i f u n k c j i o d l e g ł o ś c i .
Przyjmujemy za p r a o ą [5] n a s t ę p u j ą o ą p o s t a ó f u n k c j i o d l e g ł o ś - o i od optimum x opt O ^ o p t ’ <x 2 >opt» ( x n >optl :
d - \ / [ x 1 - ( x D opt] 2 + [ x 2 - ( x 2 ) o p t j 2 + . . . + [ x n - ( x n ) opt ] 2 = r (11) t z n . metody po szukiwań bę dą porównywane pod względem p r z y d a t n o ś c i i o h do r o z w ią z yw an i a problemów, d l a k t ó r y c h można p r z y -
jąó f u n k o j ę o d l e g ł o ś c i o p o s t a o i ( 1 1 ) . Dodatkowo zakł adamy, że :
1 . Punkt optymalny x Qpt może przyjmowaó z jednakowym prawdopo
dobieństwem dowolne p o ł o ż e n i e w h i p e r s z e ś c i a n i e X, k t ó r e g o w s p ó ł r z ę d n e s p e ł n i a j ą r e l a o j ę :
0 < x l < 1 i = 1 , 2 , . . . n (12) 2 . Przy w y z na cz a ni u optymalnych w a r t o ś c i parametrów o g r a n i
czamy s i ę do d o k ł a d n o ś c i h o k r e ś l o n e j j a k o :
[ ( x l ) - ( x l ) Qpt] 2 + [(x 2) *-( x2) o p t ] 2 + . . . + [ ( x n ) - ( x n ) o pt] 2 < h 2 (13) g d z i e :
(x1 )*, (x2)^ . . . , ( x n ) * s ą w a r t o ś c i a m i parametrów po z a - k o ń o z e n i u ' p r o c e s u p o s z u k i w a n i a .
3 . K r y t e r i u m porównania s t a n o w i ś r e d n i a s t a t y s t y c z n a r ^ w ar t o ś c i f u n k c j i o d l e g ł o ś c i wyznaczonych d l a punktów r o z p o o z ę -
o la procesów p o szu k iw a n ia o s ią g a j ą c y o h po K krokaoh punkt x* = [ ( x l) ^ ( x 2 )*, . . . , (x n )* ] n a le ż ą c y do k u l i o k r e ś lo n e j r e l a o j ą ( i 3 ) .
I l o ś ó K kroków j e s t ta k d o b ra n a , by p r o c e s , p r z e b ie g a ją o y w o p a r o iu o proponowany w n i n i e j s z e j praoy a lg o r y tm p o s z u k i
w a n ia , o s i ą g a ł w t e j i l o ś o i kroków d o w o ln ie p o ło ż o n y w h i p e r - 3 z e ś o i a n i e (1 2 ) punkt optym alny z d o k ła d n o ś o ią o k r e ś lo n ą r e l a o j ą (1 3 )«
I l o ś ó K kroków j e s t w ię o równa:
K ( h , n ) - 2 n N ( h , n ) (1 4 )
g d z i e :
N (h , n ) - l u f (m > - j ^ - g - ) (1 5 ) m * 1« n at«
Dla metody g r a d ie n to w e j ( a ) wspom nianą pow yżej ś r e d n ią w a r - t o ś ó x śx f u n k o j i o d l e g ło ś o i ograniozym y od góry w y k o rzy stu ją o r a l a o j ę w y n ik a ją o ą z p r z y j ę t e g o a lg o ry tm u ( a ) :
r a ś r (h »n ) < z aśx “ h ENTIEH [ * n+1 ^ + 1] i 1 6 )
D la metody poszukiw ań przypadkowych (b ) o d l e g ło ś ó * b ś r mo- żemy o k r e ś l i ó k o r z y s t a j ą c z t e g o , że w a r to śó oozekiw ana suma
r y c z n e g o z b l i ż e n i a , d la p r o c e su o s ią g a j ą o e g o po K krokaoh od
l e g ł o ś ó r k < h , równa j e s t sum ie w a r t o ś o i oczek iw an ych z b l i żeń uzysk an yoh w p o s z c z e g ó ln y c h K krokaoh o z y l l :
Wy k or z y s t a n i e l t e r a o y j n e j maszyny a n a l o g o w e j . . . _____________ 125
*bśr “ E {^1_a1^ Ar.j+(l-a2 ) Ar2+ . . . + ( l - a k) Ark+rk } -
" 1?1 E l + B( x * )
(17)
126 Mi chał l a t a r n i k g d z i e :
E i r ^ ) - w a r t o ś ó oczekiwana f u n k c j i o d l e g ł o ś c i d l a punktów końoowych p r o c e s u r k h .
arccos
J
( r Ł - Y r2+h2+2^)1003f
) s inQ-2y
d<p B i { A r 1 ( l ^ 1 )J = 2 --- 1 ---2
J
s in 11-2^ .d<f- w a r t o ś ó oczekiwana z b l i ż e n i a w i - t y m k r o ku p r o c e s u [ 5 ] .
({? - k ą t za wa rt y między w e k to r am i - x Ł) o r a z A ? l + 1*
Ze względu na t o , że wspomniana powyżej w a r t o ś ó oczekiwa
n a z b l i ż e n i a Ei { A r ^ C l - a ^ } - j e s t f u n k c j ą r o s n ą c ą z r.^ o g r a niczymy r b ^r od góry o b l i c z a j ą c r ^ d l a ^ -* - 0 0 c z y l i :
r b ś r < xb ś r 3 K e {a* I > ~ ~ , f ] } + h (18) g d z i e w a r t o ś ó oozeki waną z b l i ż e n i a E -^Ar [ r - “ oo , <£]j- możemy wyznaozyó z r e l a c j i [5] :
x2
a
J
cos(f . s i n n “’2 if d«fE { A r [ r - o o , f ]} = - T — (19)
2 / 2s i n n ”,i<(? d(f
Doty chcz as n i e u w z g l ę d n i a l i ś m y n a r z u c on y ch wymiarami h i p e r - s z e ś o i a n u (12) o g r a n i c z e ń zmian parametrów x , 00 j e s t s ł u s z n e d l a p r zy p a d k u , gdy k u l a Q o p r o m i e n i u R = h (K+1) i ś r o d k u w optimum o a ł k o w i o i e z a w a r t a w h i p e r s z e ś c i a n i e ( 1 2 ) . Dla p r z y padku, gdy wspomniana k u l a Q n i e j e s t c a ł k o w i c i e z a wa rt a w h i p e r s z e ś c i a n i e ( 1 2 ) , w a r t o ś ó oczekiwana u l e g n i e z m n i e j s z e n i u . J e s t to spowodowane z m n i ej s z e n i e m s i ę i l o ś c i n a j b a r d z i e j o d l e g ł y o h od optimum punktów r o z p o c z ę c i a procesów p o-
W y k o r z y s t a n i e i t e r a o y j n e j maszyny a n a l o g o w e j » . 127 s z u k i w a n i a o s i ą g a j ą c y c h po K k r o k ac h k u l ę ( 1 3 ) , (ho w ł a ś n i e t e punkty z n a j d ą s i ę na z e w n ą t r z h i p e r s z e ś o i a n u ) ' o r a z z m n i e j s z e niem s i ę prawdopodobieństwa wykonania poprawnego k r ok u w p o b l i żu ś c i a n h i p e r s z e ś o i a n u . Tym samym r ó w n i e ż d l a te g o przyp ad ku s p e ł n i o n a j e s t r e a l o j a ( 1 8 ) .
B i o r ą c pod uwagę pr zeprowadzone powyżej r o z w a ż a n i a możemy s t w i e r d A ó ( r y s . 2 ) , że d l a dużych d o k ł a d n o ś c i wy zn ac za n ia w a r t o ś c i optymalnych o r a z m a łe j i l o ś c i n p ar am et ró w, p r o p o -
R y s . 2 . Z a l e ż n o ś ć d ł u g o ś c i umownego p r o m i e n i a r ^ r od n - i l o ś o i parametrów o r a z h - d o k ł a d n o ś c i w yz na cz e ni a optimum
nowana w n i n i e j s z e j p r ac y metoda poszukiwań wymaga, w s e n s i e s t a t y s t y o z n y m , m n i e j s z e j i l o ś c i kroków p o t r z e b n y c h do wyzna
c z e n i a optymalnyoh w a r t o ś c i parametrów z zad aną d o k ł a d n o ś o i ą ( 1 3 ) .
Pr zeds tawimy o beonl e k o n k r e t n y , z r e a l i z o w a n y na i t e r a c y j - n e j maszynie a n a l o g o w e j , u k ł a d i d e n t y f i k a c j i w a r t o ś o i parame
trów o b i e k t u w y k o r z y s t u j ą c y metodę zmiennego modelu. R o z p a t r z my p rz yp a d e k i d e n t y o z n y c h s t r u k t u r o b i e k t u i zamknięt ego zmiennego modelu [ 3 j . F unkcje p r z e j ś c i a o b i e k t u i modelu po
s i a d a j ą t ę samą p o s t a ó :
" a Q + a^p
oo odpowiada s chematowi maszynowemu pr ze ds ta wi o ne mu na r y s . 3 .
128 Mi ch ał L a t a r n i k Tok p r zep ro wadza nych o b l i c z e ń w u k ł a d z i e p r z e d s t a w i o n o w po
s t a c i schematu blokowego ( r y s , 4 ) . Swraoa s i ę uwagę na pewne pod ob ie ńst wa programowania i t e r a c y j n e j maszyny a n a l o go we j i programowania maszyn c yf r ow yc h. Nowymi e l e me nt a mi programu i t e r a c y j n e j maszyny a n a l o g o w e j w porównaniu z programem kon
w e nc j o n a l n y c h maszyn analogowych s ą :
- możliwość zaprogramowania r e p e t y o y j n e g o r o z w ią z yw an i a wybra
n e j o p e r a c j i m a t e m a t y c z n e j ,
- możliwość a l t e r n a t y w n e g o wyboru o p e r a o j i ma tema ty czn ej w t o -
•ku pr zepr owadza nych o b l i c z e ń ,
- możliwość w y k o r z y s t a n i a w danym kr ok u o bli ozeniowym wyników uzy sk an yo h w k r o k ac h p o p r z e d n i o h .
Rys. 3 . Sohemat maszynowy o b i e k t u i modelu
Omówimy o b ec ni e p r a c ę zaproponowanego u k ł a d u i d e n t y f i k a c j i ( r y s . 5 ) . Wygodnie j e s t w y k o r z y s t a ć do t e g o c e l u d ia gr am p r zep ły wu i n f o r m a c j i w tym u k ł a d z i e . El ement p a m i ę c i a n a l o g o wej 1 o t rz ym u je w k o l e j n y c h k r o k ac h i t e r a c j i i n f o r m u j e o w a r -
W y k o r z y s t a n i e l n t e r a o y j n e j maszyny an al ogowej««» 129
p* pt-l
x('X ,-( { ) Psiqn A d
p - pH
sign Ad i
Rys« 4« Sohemat blokow y o b lio z e ń
start
130 Miohał L a t a r n i k
R y s. 3» Sohemat m aseyno*y układu i d e n t y f i k a o j l m etodą sm ien n e£0 modelu
W y k o r z y s t a n i a i n t e r a o y j n e j maszyny a n a l o g o w e j . . . 131
M n 4 a W p i ł c n
H g f c r o t p r a c g H n h t t p r t b n )
Sn
<
o ■ l|
R y s . 6 . Diagram przepływ u in f o r m a c j i
Mi ch ał l a t a r n i k t o ś c i a c h p r z y j ę t e j f u n k c j i o d l e g ł o ś c i ' u zy sk an yc h d l a w a r t o ś c i X 1
p a r a m e t r u x1 - x 1 2k o r a z x1 * x 1 2k + € (przy s t a ł y m x 2) w z g l ę d n i e d l a x2 = x2 2k o r a z x2 = x22k + £ (pr zy s t a ł y m x l ) . I n f o r macja o w a r t o ś c i a c h f u n k c j i o d l e g ł o ś c i uzyskanyoh d l a x1 =
= x 1 2k ( wz gl ęd ni e x2 = x 2 2 k ) z o s t a j e p r z e s ł a n a do e l e m e n t u pa
m i ę c i a n a l o go we j 2 . Sygnały ' wyjściowe elementów 1 i 2 s ą n a s t ę p n i e podawane na w e j ś c i e e l e m e n t u n i e l i n i o w e g o o c h a r a k t e r y s t y c e p r z e k a ź n i k a t r ó j p o ł o ź e n i o w e g o , na któr egcr wy j ś o i u u z y skujemy s y g n a ł I k s i g n A d k . Niezbędny do o k r e ś l e n i a b e zw z gl ę d
n e j w a r t o ś c i e w e n t u a l n e j zmiany p a r a m e t r u c i ą g w a r t o ś c i :
lA x 2k+2 I “ ł I A x 2 kl
uzyskujemy na w y j ś c i u i n t e g r a t o r a 4 p ę t l i ( 3 , 4 ) . P ę t l e pamię
ciowe ( 5 , 6 ) c r a z ( 7 , 8 ) o pr aoo wu ją s y g n a ł y x1 o r a z x2 będąoe f i z y o z n y m i r e a l i z a o j a r f i p r z y j ę t e g o a l g o r y t m u ( 5 ) . Reżim pr acy
p o s z o z eg ól n y oh elementów u k ł a d u j e s t n ar zu c on y p r z e z z e r o jedynkowe s y g n a ł y o r g a n i z a o y j n e , S2 , . . . , S ^ , k t ó r e wy
t w a r z a n e s ą w u k ł a d z i e s t e r o w a n i a ł t e r a o y j n e j maszyny a n a l o gowe j .
Uwagi końcowe
Zaporoponowany u k ł a d u r z ą d z a n i a l i c z ą o e g o r e l i z o w a n e g o na i t e r a o y j n e j maszynie a n a l o g o w e j można w y k o r zy s ta ó do r o z w i ą zywania b a r d z o s z e r o k i e g o z a k r e s u z a g a d n i e ń , w k t ó r y o h w y s t ę p uj e problem o p t y m a l i z a c j i f u n k c j o n a ł ó w w ypukłych. I s t o t n ą z a l e t ą omówionej metody J e s t t o , że może byó zas to s ow an a z równym powodzeniem do r oz wi ąz ywa ni a problemów l i n i o w y c h j a k i n i e l l n i o w y o h , k t ó r y c h r o z w i ą z a n i e a n a l i t y c z n e by ło by b a r d z o c z a s o c h ł o n n e l u b wr ęcz n i e m o ż l i w e .
x ^Jako f u n k c j ę o d l e g ł o ś c i p r z y j ę t o f u n k c j ę H i l b e r t a o p o s t a o i : d [ m ( t ) , n ( t ) ] = y j [ m (t ) - n ( t ) ] 2 d t
O
W y k o r z y s t a n i e l t e r a o y j n e j maszyny ana logowe.1, 133 LITERATURA
[ i ] Maslow, E . P . , Osowski L.M, - S a m o n a s t r i a i w a j u s z c z i j e s j a s i s t i e m y u p r a w l e n i j a z m o d e l j u . A. 1 T. 6 / 1 9 6 6 .
Węgrzyn S. - Podstawy a u t o m a t y k i k ompl eks owej . P i ao e IA PAN z e s z y t 81.
[3] N or ki n K . , S p ii l d o no w W. - I s s l i e d o w a n l e polskowyoh m l e t o - dow n a s t r o j k i u p r a w i ł a j e m y c h m o d l e l i e j w z a d a ęz ao h o p r i e — d i e l l e n i j a parametrów l i n i e j n y c h o h i e k t o w . A, i T. 1 / 1 9 6 9 . [4] L a t a r n i k M. - P r ac a dyplomowa.
[5] R a s t r i g l o L.A. - 0 s c h o d i m o s t i ml et od a s ł u c z a j n o w o p o l s k a p r i e k s t r e m a l n i m r i e g u l l r o w a n i i n m o g o p a r a m i e t r i o z e s k i c h s l s t e m . A, i T. t.XXIY, nr 11.
[ó] Lewin L. - Mietody r i e s z e n i j a t i e o h n l c z e s k i c h zada oz z i s p ol z o wa ni e m analogowych wyozi s l i t i e l n y c h maszyn. I z d .
" Mi r ” Moskwa 1966.
[7] Korn G„A. - Random P r o o e s s S i m u l a t i o n and Measurements Mc G r a w - H i l l , N.Y. 1966.
[8] Korn G .A . , Korn Th.M. - E l e k t r o n i e Analog and Hy br id Com
p u t e r s . Mo Graw - H i l l , N.Y. 1964.
