I PRACOWNIA FIZYCZNA 1
POMIAR MOCY PRĄDU ZMIENNEGO METODĄ OSCYLO- SKOPOWĄ
I. Cel ćwiczenia: Pomiar mocy prądu zmiennego za pomocą oscyloskopu, pomiar różnicy faz oscyloskopem, ocena dokładności metody.
II. Przyrządy: Oscyloskop, nieznana pojemność i indukcyjność, opornik dekadowy, kon- densator dekadowy, opornik, generator mocy lub autotransformator, trans- formator, woltomierz.
III. Literatura: [1] W. Rydzewski „Oscyloskop elektroniczny”
[2] R.P. Feynman „Feynmana wykłady z fizyki” tom I część 1 rozdz. 22, tom II część 2 rozdz. 22.
[3] E.M. Purcell „Elektryczność i magnetyzm” rozdz. 8.
IV. Wstęp
Źródło zmiennej w czasie SEM jest połączone poprzez zaciski 1 i 2 z odbiornikiem energii o impedancji (oporności zespolonej) Zo (rys.1) (kreska pozioma pod symbolem impedancji czyli pod literą Z oznacza liczbę zespoloną).
Rys.1
Elementarną pracę źródła SEM równą energii dostarczonej odbiornikowi przedstawić może- my w postaci:
dW = E I dt
jeśli impedancja wewnętrzna źródła jest do zaniedbania tj., gdy Zw «
Zo . Praca wykonana w ciągu jednego okresu równa się sumie prac elementarnych czyli
W =
∫
T0
EIdt
a średnia moc
T P = 1
∫
T0
EIdt
Rozważmy przypadek SEM sinusoidalnie zmiennej w czasie i prądu opóźnionego w stosunku do SEM o kąt przesunięcia fazowego φ – wówczas:
E = Eo⋅cos ωt I = Io ⋅cos(ωt − φ) ŹRÓDŁO
SEM Zw
, E
ODBIORNIK ENERGII
Zo
U(t) 1
2
I(t) P(t)
I PRACOWNIA FIZYCZNA 2
Co daje
T I
P=Eo o
∫
T ⋅ =0
)dt - t cos(
t
cosω ω ϕ
2T I Eo o
∫
+T
0
dt )]
- t cos(2 t
[cosω ω ϕ
Ponieważ
0 )dt t cos(2
T
0
∫
ω -ϕ =to
2 I
P=Eo o cos φ (1)
lub wprowadzając pojęcie wartości skutecznej Is, zdefiniowanej dla natężenia prądu jako T
I2s = 1
2 dt I [I(t)]
2 o T
0
2 =
∫
,Is = Io 2 1 otrzymujemy
s sI E
P = cos φ (2)
gdzie
Es = 2 Eo
W przypadku, kiedy jest spełniony warunek Zw «
Zo wzory (1) i (2) zastępujemy wzorami : 2
I
P= Uo o cos φ (3)
lub
s sI U
P = cos φ (4)
gdzie Uo jest amplitudą, a Us wartością skuteczną napięcia mierzonego na zaciskach 1, 2 odbior- nika energii (rys.1).
Średnia moc P bywa nazywana mocą czynną w przeciwieństwie do tzw. mocy biernej Pb =
2 I Uo o
sin φ = Us Is sin φ oraz modułu mocy zespolonej zwanej mocą pozorną
Pp = Us Is
V. Wyznaczanie mocy średniej z charakterystyki prądowo – napięciowej układu: źródło SEM – odbiornik energii.
Charakterystyką prądowo – napięciową danego układu nazywamy funkcję I = f(U), opisującą zależność natężenia prądu płynącego przez ten układ od przyłożonego napięcia. Charakterystykę taką w najprostszym przypadku wyznaczyć możemy za pomocą amperomierza i woltomierza o dużej oporności wewnętrznej łącząc przyrządy według schematu przedstawionego na rys.2.
I PRACOWNIA FIZYCZNA 3
Rys.2
Układ taki służyć może do pomiaru mocy pozornej Pp = Us⋅Is. Jeżeli w układzie tym zastąpimy oba mierniki oscyloskopem, to zamiast uśrednionej po czasie charakterystyki prądowo- napięciowej uzyskamy pełną informację łącznie z wartością kąta przesunięcia fazowego (rys.3).
I(t) = Io cos(ωt + φ), U(t) = Uo cos ωt
Rys. 3 Zdejmowanie charakterystyki prądowo - napięciowej układu źródło - odbiornik za pomocą oscyloskopu XY.
Napięcie na zaciskach odbiornika jest wówczas mierzone bezpośrednio, natomiast natężenie prądu płynącego przez odbiornik znajdujemy znając wartości oporności Rx i spadek potencjału Ux = Rx ⋅I.
Ponieważ wiązka elektronów w lampie oscyloskopowej jest sterowana prostopadłymi do sie- bie polami elektrycznymi o takiej samej częstości ale różnych kątach fazowych, to na ekranie powinniśmy w ogólnym przypadku uzyskać obraz elipsy, z której parametrów możemy obliczyć wartość kąta fazowego (rys.4 oraz przypis1).
ŹRÓDŁO SEM
ODBIORNIK ENERGII 1
2 A
V
ŹRÓDŁO SEM
ODBIORNIK ENERGII
Zo U(t)
1
2 I(t)
Rx«|Zo|
WeY„=”
WeX„=”
I PRACOWNIA FIZYCZNA 4
sin φ = b
a lub sin φ =
XY αβ
Rys.4 Obliczanie kąta przesunięcia fazowego z parametrów obrazu elipsy.
Moc średnią obliczamy ze wzoru:
ϕ 8R cos
s Y s P X
x y
= x =
2
x y
x 1
8R s Y s
X
− b
a (5)
gdzie X, Y, szerokość i wysokość obrazu elipsy [cm] , sx, sy współczynnik odchylania poziomego i pionowego oscyloskopu [V/cm], Rx – oporność opornika szeregowego [Ω].
VI. Pomiary
VI.1 Ocena dokładności metody wyznaczania kąta przesunięcia fazowego
1. Połączyć przyrządy według schematu przedstawionego na rys.5a (wariant A) lub na rys.5b (wariant B).
2. Wybrać wstępnie wartości Ro = 1000 Ω i Co = 1 µF oraz ustalić napięcie zasilania obwodu RC na 3 V przy częstości (dla wersji z generatorem) 100 Hz.
Kąt przesunięcia fazowego φ prądu względem napięcia w obwodzie RC przedstawionym na rys.5 jest funkcją iloczynu wartości R i C tj. τ = RoCo (dla Ro››75 Ω) i częstości kołowej (pulsacji) ω = 2πf:
tg φ =
o oC ωR
1 = ωτ
1 = fτ 2
1
π (6)
gdzie f jest częstością, a τ nosi nazwę stałej czasowej.
Y
Y X
X 0 β
α Y
0 X a
b
a) b)
I PRACOWNIA FIZYCZNA 5
Rys.5 Pomiar przesunięcia fazowego.
Generator nie może mieć obudowy uziemionej ani wyzerowanej (tj. nie może być zasilany z gniazdka sieciowego z bolcem zerującym)1. Obwód RC może być zasilany tylko takim napięciem, dla którego natężenie prądu płynącego w obwodzie nie przekracza wartości dopuszczalnej, poda- nej na obudowie opornika dekadowego.
1. Wykonać kilka – kilkanaście pomiarów kąta φ dla różnych wartości stałej czasu τ tak, aby wartość φ zmieniła się w przedziale od zera (obraz linii prostej nachylonej do osi X na ekra- nie oscyloskopu) do π/2 (w ogólnym przypadku obraz elipsy, której osiami symetrii są osie pozioma X i pionowa Y). Dla układu RoCo z rys.5 granice tego przedziału są niedomknięte z obu stron.
2. Wyniki przedstawić na jednym rysunku w postaci wykresu zależności φ = f(τ), obliczonej ze wzoru (6) i wykresu zależności doświadczalnej z uwzględnieniem błędów.
Gdy obwód RC zasilany jest transformatorem, to istnieje prawdopodobieństwo, że obraz elip- sy obserwowany na ekranie oscyloskopu będzie zniekształcony. Zniekształcenia takie mogą być powodowane nasyceniem się rdzenia transformatora przy zbyt niskim napięciu w stosunku do napięcia zasilania. Zniekształcenie takie można wyeliminować zmieniając tak napięcie wyjściowe autotransformatora, aby nie dochodziło do nasycenia rdzenia.
1 UWAGA!
Najdogodniej jest zasilać zarówno generator, jak i oscyloskop z gniazdek sieciowych pozba- wionych bolca zerującego. Obudów obu przyrządów nie uziemiać, a punkt A (zaznaczony na rys.5a) połączyć z obudową (masą) oscyloskopu.
WeY„=”
WeX„=”
~
oscyloskop
75Ω
Ro»75Ω
A Co
PO-21
a)
WeY„=”
WeX„=”
oscyloskop
75Ω
Ro»75Ω
Co
~ 220V
220V/24V lub 220/6V Autotransformator
b)
I PRACOWNIA FIZYCZNA 6
VI.2 Pomiar mocy średniej Wariant A
Odbiornik energii zasilany z generatora mocy
1. Połączyć przyrządy według schematu przedstawionego na rys.3, gdzie źródłem SEM jest gene- rator mocy o nieuziemionej i niezerowanej obudowie, a odbiornikiem energii jeden z poniżej przedstawionych układów (w przypadku uziemienia obudowy generatora dolne z gniazd wyj- ściowych generatora znajduje się na potencjale ziemi):
a) b) c) d)
Rys.6
1. Wyznaczyć średnią moc przekazywaną odbiornikowi w postaci szeregowo połączonej z po- jemnością indukcyjności (rys.6a) przy napięciu wyjściowym generatora 7 V (zakres 7,75 V, 6 Ω) i częstości 40, 43, 46, 50, 100, 150 i 200 Hz.
2. Powtórzyć pomiary dla pozostałych odbiorników przy częstościach 50, 100, 150 i 200 Hz.
3. Wyniki przedstawić w postaci wykresu zależności mocy średniej, przesunięcia fazowego i mo- dułu mocy zespolonej od częstości.
4. Oszacować błąd i przeprowadzić dyskusję wyników.
Wariant B
Odbiornik energii zasilany z transformatora
1. Dla kilku wartości napięcia wyjściowego transformatora wykonać pomiary mocy średniej przekazywanej odbiornikom przedstawionym na rys.6.
2. Wyniki przedstawić w postaci wykresów zależności mocy średniej, przesunięcia fazowego i modułu mocy zespolonej od napięcia.
3. Przeprowadzić dyskusję wyników.
VI.3 Oszacowanie wartości L i C.
Na podstawie wyników pomiarów, opisanych w punkcie VI.2 oszacować wartości nieznanej indukcyjności L i nieznanej pojemności C, wykorzystując zmierzone wartości stosunku amplitudy spadku potencjału Uo na danym elemencie do amplitudy natężenia prądu Io płynącego przez ten element (Us, Is - wartości skuteczne). Dla cewki mamy
2 2 2 L o
o s
s R L
I U I
U = = +ω (7)
gdzie RL to oporność rzeczywista cewki.
Podobnie dla pojemności
1 1 1 1
2 2 2 2
C X
L L C
C L
I PRACOWNIA FIZYCZNA 7
C 1 I U I U
o o s
s
=ω
= (8)
Wartość oporności RL możemy wyznaczyć multimetrem cyfrowym bądź metodą amperomie- rza i woltomierza w obwodzie prądu stałego. Natężenie prądu Io w obwodzie prądu zmiennego znajdujemy ze wzoru :
Io =
x x
2R s
X (9)
gdzie X, sx, Rx są zdefiniowane tak samo, jak we wzorze (5).
Należy nadmienić, że opisana powyżej metoda jest mniej dokładna w przeciwieństwie do me- tody mostkowej, opisanej w ćwiczeniu E-31. Stopień dokładności metody amperomierza i wolto- mierza możemy ocenić obliczając na podstawie znalezionych wartości L i C przewidywaną war- tość stosunku Uo/Io dla odbiorników z rys. (6c) i (6d), a następnie porównujemy ją z wartością doświadczalną.
I PRACOWNIA FIZYCZNA 8
PRZYPIS 1. Pomiar kąta przesunięcia fazowego
Jeśli do torów odchylania poziomego i pionowego oscyloskopu doprowadzimy napięcia sinu- soidalnie zmienne w czasie o takich samych częstościach, ale o różnych fazach, to na ekranie oscyloskopu powstanie obraz elipsy.
Kształt obrazu można odtworzyć graficznie metodą nanoszenia kolejnych punktów. Ruch wiązki elektronów w płaszczyźnie ekranu opisany jest zależnościami:
Y = Yo⋅cos ωt i X = Xo⋅cos(ωt + φ) lub
Y = Yo⋅cos ωt i X = Xo⋅(cos ωt ⋅cos φ – sin ωt ⋅sin φ)
Wartości argumentu ωt = π/2 odpowiadają wartości Y = 0 i X = −−−− Xo⋅sin φ , które lokalizują punkt 1 na elipsie przedstawionej na rys.7. Odpowiednio warunek ωt = 3/2π daje Y = 0 i X = + Xo⋅sin φ, co określa położenie punktu 7.
Jeżeli odległość między punktami 1 i 7 na elipsie oznaczymy przez a, to a = 2 Xo⋅sin φ
stąd
sin φ = b a
lub
φ = arc sin b a
gdzie a jest szerokością elipsy przy przecięciu z osią X, a b jest całkowitą szerokością elipsy rów- ną 2Xo .
Rys.7
6 1 t
2 3
4 5
9 10
11 12 7
8
13
Yo cosωt
t
11 10 13 12
2 1 3
4
5 6 7
8 9
Xocos(ωt+φ)
1
4 2 3
5
8 11 12
Y
6
9 10
X
13
7
I PRACOWNIA FIZYCZNA 9
Możemy również przyjąć napięcie doprowadzone do toru X za napięcie odniesienia, a wówczas a i b oznaczać będą odpowiednio wysokość elipsy przy przecięciu z osią Y i całkowitą wysokość elipsy równą 2Yo. (patrz rys. 4a tej instrukcji).Wartość przesunięcia fazowego ϕ jest identyczna.
PRZYPIS.2
Metoda wielkości zespolonych [2[,[3]
Analiza obwodów prądu zmiennego wymaga operowania wielkościami typu A = Ao⋅cos(ωt + φ) lub A = Ao⋅sin (ωt + φ), gdzie wielkości A i Ao oznaczać mogą, w zależności od potrzeby, wartości amplitudy napięcia lub prądu, a φ jest kątem przesunięcia fazowego. Wiel- kości te przy wykorzystaniu analizy harmonicznej mogą być stosowane nie tylko do opisu prądu przemiennego (sinusoidalnie zmiennego w czasie) ale i do opisu prądu dowolnie zmiennego w czasie. Metoda wielkości zespolonych polega na zastąpieniu wielkości rzeczywistych typu A = Ao⋅cos (ωt + φ), wielkościami zespolonymi typu A=Aoei(ωt+ϕ), wykonaniu obliczeń, uzyska- niu „wyniku zespolonego” i przejściu z powrotem do części rzeczywistej wyniku zespolonego jako szukanego „wyniku fizycznego”. Np. jeśli uzyskany wynik w postaci zespolonej ma postać
) t i(
oe B B= ω+ψ to wynikiem fizycznym jest
B = Re B = Bo cos (ωt + ψ), (1’) zaś kąt fazowy i amplituda są określone wzorami
tg ψ =
0) (t B Re
0) t ( B Im
=
= (2’)
Bo = B = BB* (3’)
gdzie B jest wielkością sprzężoną do B . * Jeśli
B = Re B + i Im B to B = Re B − i Im B * Metoda wielkości zespolonych oparta jest na własnościach wzoru Eulera:
Z
ei = cos Z + i sin Z (4’)
który pozwala przejść od postaci trygonometrycznej wielkości zespolonej Z= x + i y = x +2 y2 (cos φ + i sin φ) = r (cos φ + i sin φ) do równoważnej postaci wykładniczej:
Z= r e iφ
r
0 x1 x
iy
iy1
φ
Z(x1,iy1) Rys.8
I PRACOWNIA FIZYCZNA 10
Zastosujmy tę metodę do analizy obwodu złożonego ze źródła SEM, opornika i kondensatora.
Suma spadków potencjału na oporniku i kondensatorze równa jest wartości SEM:
E(t) = RI(t) + C
1 Q(t) (5’)
gdzie Q(t) jest ładunkiem zgromadzonym na okładkach kondensatora w chwili t.
Po zróżniczkowaniu względem czasu
CI(t) 1 dt dI(t) dt R
dQ(t) C 1 dt dI(t) dt R
dE(t)
+
= +
= (6’)
Zastępując E(t) = Eocos ωt przez E = Eoe iωt a I(t) = Iocos (ωt + φ) przez I = Ioe i(ωt+φ) otrzymu- jemy po prostych przekształceniach
Eoe iωt = E = R⋅Ioe i(ωt+φ) + C i
1 ω Ioe
i(ωt+φ)
= R⋅ I + C i
1
ω I (7’)
Oporność zespoloną – impedancję obwodu Z definiujemy jako stosunek zespolonej SEM E do zespolonego natężenia prądu I , co w połączeniu z (7’) daje:
Z= I
E = R + C i
1
ω = R C
i
− ω
Moduł oporności zespolonej (impedancji) obliczamy w sposób następujący:
Z= ZZ* = )
C )( i
C ( i
ω
ω +
− R
R =
2 2 2
C R i
+ω (8’)
Z drugiej strony zachodzi
Z =
o o
I E =
Is
Es
Dzieląc stronami (7’) przeze iωt i wykonując elementarne przekształcenia otrzymujemy wzór na kąt przesunięcia fazowego prądu względem napięcia :
e iφ =
o o
I E
C R i
1
−ω =
2 2 2
C R 1
1 +ω
(R + C i ω )
i na podstawie (2’)
tg φ = RC
i
ω (9’)
E = Eocosωt
~
I(t) = Io ⋅cos(ωt+φ)
C R
Rys.9
I PRACOWNIA FIZYCZNA 11
Analizując obwód równoległy wygodniej posłużyć się przewodnością zespoloną będącą od- wrotnością impedancji: Y =1/Z. W metodzie wielkości zespolonych nie zachodzi konieczność konstruowania równania różniczkowego w celu znalezienia np. modułu impedancji. Punktem wyjściowym jest po prostu napisanie sumy impedancji lub przewodności poszczególnych elemen- tów [2], [3].
Przewodność zespoloną Y obwodu równoległego (rys.10) przedstawić możemy jako sumę przewodności zespolonych obu równoległych gałęzi:
Y=
C i R
1
L + ω + iωC natomiast impedancja
Y Z 1
= =
− +
+ 2 2 + 2L 2 2
2 L
L
L ω R C ωL L i
ω R
R
1 ω co daje wartość modułu impedancji
Z= ZZ* = 2
L 2
2 2 2 L
C) R ( LC) ω (1
L ω R
ω +
−
+
Dla obwodu szeregowego (rys.11) możemy napisać:
Z= RL + iωL ωC i
−
a zatem Z= ZZ* =
−
−
⋅
−
+ C
L 1 i C R
L 1 i
RL L
ω ω
ω ω =
2 2
L C
L 1
R
−
+ ω ω
Element Impedancja Z Przewodność zespolona Y
R R 1/R
C C i ω
−
iωC
L iωL L
i ω
−
~
I(t)
U(t)
L
RL
)
C 1
2
Rys.10
2
~
I(t)
U(t) L
RL
C 1
Rys.11
