Stany przejściowe w transformatorze trójfazowym na podstawie trójwymiarowego polowego modelu zjawisk elektromagnetycznych

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K I Seria: E L E K T R Y K A z. 176

2001 Nr kol. 1500

Lech N O W A K 1), Andrzej D E M E N K O 2), W ojciech S Z E L Ą G 3’, Patrie DU LA R A)

STANY PRZEJŚCIOWE W TRANSFORMATORZE TRÓJFAZOWYM NA PODSTAWIE TRÓJWYMIAROWEGO POLOWEGO MODELU ZJAWISK ELEKTROMAGNETYCZNYCH

Streszczenie. W stanach przejściowych występujących w trójkolumnowym transformatorze trójfa­

zowym składowe aperiodyczne strumieni silnie nasycają poszczególne części rdzenia. Składowe te za­

mykają się ponadto w przestrzeni otaczającej rdzeń i uzwojenia transformatora. Pole w tym obszarze ma charakter trójwymiarowy. Zaproponowano metodę relaksacji blokowej rozwiązywania zagadnień trójwy­

miarowego pola magnetycznego na bazie metody elementów skończonych. W zaproponowanym algo­

rytmie zadanie trójwymiarowe zdekomponowano, zastępując je iteracyjnym ciągiem zadań quasi- dwuwymiarowych. W analizie stanów przejściowych równania trójwymiarowego pola sprzężono z równa­

niami obwodów transformatora. Wyznaczono przykładowe przebiegi prądów fazowych po załączeniu na­

pięć zasilających - dla różnych wartości napięcia i różnych wartości kąta fazowego.

TR A N S IE N TS O F TH R E E -P H A S E , T H R E E -C O LU M N TR A N S FO R M E R ON T H E BASIS O F 3D M O DEL O F E LE C TR O M A G N E TIC PH E N O M E N A

Sum m ary: The periodic components of the magnetic flux during the transients of a three-phase, three-column transformer cause the saturation of the core parts. The magnetic flux lines close within the space surrounding the core. The field in this region must be considered as three-dimensional. A special block-relaxation algorithm for calculation of the 3D magnetic field has been proposed. The algorithm is based on the finite element method. The 3D global task has been decomposed and substituted with it­

erative sequence of quasi 2D problems. In the analysis of the transients the equations describing the 3D magnetic field have been conjugated with the equations of the transformer electric circuits. Some exem­

plary calculations of the transient currents after the application of the system of supply voltages for differ­

ent values of voltages and their phase angles have been made.

Key w o rd s: transformers, magnetic field, 3D field, transients

1. W P R O W A D Z E N IE

Kom puterow e narzędzia sym ulacyjne zapew niają konstruktorowi m ożliwość weryfikacji pom y­

słów ju ż na etapie projektowania urządzenia. Sym ulacja kom puterowa w ym aga jednak tworzenia dokładnych m odeli m atem atycznych zjaw isk zachodzących w projektowanych urządzeniach. D late­

go w spółcześnie coraz częściej stosuje się m atem atyczne m odele zjawisk elektromagnetycznych, w których param etry przetw orników s ą wyznaczane na podstawie rozkładu pola. W układach charak­

teryzujących się sym etrią płaszczyznow ą lub sym etrią osiow ą stosuje się dwuwymiarowy opis pola.

T akże w analizie stanów pracy w iększości m aszyn elektrycznych, jeżeli pom inąć skos żłobków , kanały w entylacyjne oraz zjaw iska w otoczeniu połączeń czołowych, zazwyczaj w ystarczającą dokładność uzyskuje się po zastosow aniu ujęcia dwuwym iarowego. Jednak do symulacji stanów pracy w ielu innych urządzeń, takich ja k np.: silniki liniowe, m aszyny o biegunach kłowych, silniki tarczow e, łożyska m agnetyczne, układy separacji m agnetycznej, takie podejście nie jest w ysta r­

czające. W urządzeniach tych bowiem silnie zaznacza się trójw ym iarow ość rozkładu pola.

Dr hab. inż., prof, nadzw., Politechnika Poznańska, Instytut Elektrotechniki Przemysłowej, ul.Piotrowo 3a, 60-965 Poznań, tel: 061 6652 380, fax: 061 6652 381, e-mail: lech.nowak@put.poznan.pl

2’ Prof. dr hab. inż., Politechnika Poznańska, Instytut Elektrotechniki Przemysłowej, ul.Piotrowo 3a, 60-965 Poznań, tel: 061 6652 126, fax: 061 6652 381, e-mail: andrzej.demenko@put.poznan.pl

3’ Dr hab. inż., Politechnika Poznańska, Instytut Elektrotechniki Przemysłowej, ul.Piotrowo 3a, 60-965 Poznań, tel: 061 6652 116, fax: 061 6652 381, e-mail: wojciech.szelag@put.poznan.pl

Dr, Université de Liege, Institut Montefiore, Bat. B28 Parking 32, B-4000 Liege, Belgium, tel: +324 366 3710, fax: +32 4 366 2910, e-mail: ptric.dular@ulg.ac.be

Ze w zględu na stosunkow o p ro stą strukturę obwodu m agnetycznego transform atorów wydaje się, że w analizie ich sta n ów pracy w ysta rcza ją cą dokładność m ożna uzyskać stosując m odel ob­

w odow y lub dw uw ym iarow y m odel połowy. Jednak w przypadku analizy stanów niesymetrycznych lub stanów nieustalonych takie ujęcia m og ą prow adzić do znacznych błędów. Szczególnie dotyczy to transform atorów trójfazow ych z rdzeniem trójkolum now ym . W stanie przejściow ym , występują­

cym np. po załączeniu napięć zasilających, w przebiegach prądów i strum ieni w ystę p u ją znaczne składowe aperiodyczne, które w yw o łu ją bardzo silne nasycenie części rdzenia. Składow e te od­

d z ia łu ją na siebie i silnie z a kłó ca ją sym etrię rozkładu pola. Reluktancje kolum n i odcinków jarzm o­

w ych różnią się o rzędy w ielkości, przy czym ich w zajem ne relacje zm ie niają się w czasie.

W przypadku rdzenia trójkolum now ego jednokierunkow e składow e strum ieni za m yka ją się poprzez przestrzeń o ta czającą rdzeń i uzwojenia. Pole w tym obszarze m a charakter trójw ym iarowy.

Zaproponow ano b lokow ą m etodę rozw iązywania trójw ym iarow ych zagadnień quasi- m agnetostatycznych z w ykorzystaniem m etody elem entów skończonych (MES), przy czym do opisu pola m agnetycznego w ykorzystano p otencjał wektorowy. W zaproponow anym algorytm ie zadanie trójw ym iarow e zdekom ponow ano, zastępując je iteracyjnym ciągiem zadań quasi- dw uw ym iarow ych. D ekom pozycja obywa się dw upoziom ow o i polega na pozornym oddzieleniu od siebie składow ych potencjału w ektorow ego oraz podziale rozpatrywanego obszaru na „plastry”.

U w zględniono nieliniow e i anizotropow e w łaściw ości rdzenia.

W celu w yznaczenia rozkładu pola w poszczególnych chw ilach czasowych konieczna je s t zna­

jo m o ś ć prądów w uzw ojeniach. Przebiegi tych prądów nie s ą je d n a k znane „a priori”, tj. przed wy­

znaczeniem rozkładu pola. Konieczne je s t w ię c sprzężenie równań trójw ym iarow ego pola m agne­

tycznego z rów naniam i obw odów transform atora. O pracowano zatem i poniżej przedstawiono algorytm rozw iązyw ania sprzężonych równań pola i równań obw odów transform atora (m odel polo- w o-obw odow y zjaw isk elektrom agnetycznych).

2. BLOKOWA METODA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ POLA TRÓJW YMIAROWEGO

Po zastosow aniu m odelu polow o-obw odow ego rozkład trójw ym iarowego pola w środowisku nieliniowym m usi być - podczas analizy stanu nieustalonego - wyznaczany setki lub tysiące razy.

D latego je s t w ażne opracow anie efektyw nej procedury rozw iązyw ania układu równań pola (układu równań M ES), w której w ykorzystyw any byłby fakt, że w kolejnych krokach czasow ych i w kolejnych iteracjach zw iązanych z nieliniow ością m acierz sztyw ności zm ienia się nieznacznie, a pole jest generow ane przez zbliżone do siebie w ektory prądów. W zaproponow anym algorytm ie zadanie trójw ym iarow e zastąpiono iteracyjnym ciągiem zadań quasi-dwuwym iarowych. Proces obliczeniowy obejm uje trzy pętle:

- g łów ną pętlę obliczeniow ą zw iązaną z dyskretyzacją czasu (n = 1, 2 ,...);

- nadrzędną procedurę iteracyjną zw iązaną z nieliniow ością rozpatrywanego obiektu (k = 1 ,2 , ...);

- podstaw ow ą procedurę „iteracji blokow ych” wyznaczania składowych A ^ , A ^ . A ^ (m = 1, 2 ,...).

M etody potencjału w ektorow ego p o legają na podstawieniu B = r o t A . Poszukiw anie rozkładu pola w środow isku niejednorodnym sprowadza się w ówczas do rozw iązywania rów nania [1,6]:

r o t(v ro tA )= J (1)

przy czym :

J

Po uw zględnieniu w arunku C oulom ba d iv A = 0 składow e w ektorow ego rów nania (1) m ożna zapi­

sa ć następująco:

div(v grad A u )= - J u+ grad v • 4 ~ (2)

3u

przy czym u = x , y , z . Pom im o w prow adzenia w arunku Coulom ba, składow e potencjału w środow i­

sku niejednorodnym p o zo sta ją od siebie zależne. W przypadku środow iska cechującego się anizo-

Stany przejściowe w transformatorze trójfazowym.. 177

tropią p ro stokątną [1,7] pojedyncza składow a wektorowego równania (1), np. składowa X , ma postać:

Przestaw iając cyklicznie w spółrzędne oraz indeksy x, y, z otrzym uje się pozostałe dwa równania.

Trudności zw iązane z oprogram ow aniem algorytm u m etody elem entów skończonych z wykorzysta­

niem potencjału w ektorow ego w y n ika ją z dużego zapotrzebow ania na pam ięć operacyjną. Jeśli bowiem trójw ym iarow a siatka dyskretyzująca zawiera lw węzłów, to należy rozw iązać układ 3 lw równań zaw ierający 3 lw niewiadom ych [1]. Zwykle liczba niewiadom ych je st rzędu kilkuset tysięcy.

Dlatego stosuje się m etody iteracyjne, w tym także m etody z podziałem m acierzy sztywności S na bloki. W opracowanym algorytm ie zastosow ano m etodę iteracji „warstwam i", którą m ożna zaliczyć do grupy metod relaksacji blokowej [2].

Pierwszy poziom dekom pozycji polega na pozornym oddzieleniu od siebie składowych poten­

cjału wektorowego. W zajem ne powiązania pom iędzy składowym i są uwzględniane iteracyjnie - poprzez dodatkow e źródła pola, tj. dodatkow e składniki po prawej stronie układu równań MES, odpow iadające drugiem u i trzeciem u członow i po prawej stronie równania (3). W takim przypadku po lewej stronie równań dotyczących poszczególnych składowych w ystępują tylko w artości węzłowe tych składowych. M acierz g lobalną stopnia 3 lw x 3 l w m ożna w stępnie podzielić na 9 następują­

cych bloków, zw iązanych z poszczególnym i składow ym i potencjału [3]:

Sjoc S jc y S * z

s s s

‘- 'y x y y y z

S zx S * y

P odm acierz Su w stopnia lw opisuje wszystkie sprzężenia pom iędzy w artościam i składowych A u i A w potencjału w w ęzłach siatki, przy czym : w ,u = x , y , z .

Drugi poziom dekom pozycji polega na podziale przestrzeni za pom ocą n p nie przecinających się powierzchni. D yskretyzacja na pow ierzchniach je s t przeprowadzana dw uwym iarowo za pomocą elem entów trójkątnych. Dwa odpow iadające sobie trójkąty leżące na dwóch sąsiadujących po­

wierzchniach (rys. 1) stanow ią podstaw y trójkątnej pryzmy, która je s t bazowym trójwymiarowym elem entem skończonym [3].

Rys. 1. Podział przestrzeni Fig. 1. Space division

Każda z podm acierzy Su w m oże być z kolei przedstawiona w postaci zbioru „pod-podm acierzy"

sE;ł, opisujących sprzężenia pom iędzy składow ym i A u i A w w punktach leżących na p-tej i q-tej

pow ierzchni, przy czym q = p - 1 , p, p + 1. Jeżeli w = u oraz q = p, to Sg;5 opisuje „dwuwymiarowy"

rozkład A j składow ej A u na powierzchni p-tej.

Spośród 31w równań globalnego układu M ES m ożna w yodrębnić n p równań opisujących roz­

kład składow ej A u potencjału na p-tej powierzchni, przy czym njj je st liczbą w ęzłów na p-tej po­

w ierzchni, w których nie je s t zadany w arunek brzegow y Dirichleta dla składowej A u . Po przenie­

sieniu w yrażeń zaw ierających potencjały A j, (q * p lub w * u) na p raw ą stronę otrzym uje się układ równań o strukturze odw zorow ującej strukturę rów nania (3):

przy czym po prawej stronie, jeżeli q = p, to w * u . Jest to rów nanie opisujące dyskretny rozkład składowej A u potencjału na p-tej powierzchni. W prow adzając (w celu przyspieszenia obliczeń) do układu (5) w spółczynnik nadrelaksacji [2,3] to e (l,2), proces iteracyjny m ożna zapisać następująco:

przy czym m oznacza num er iteracji procesu podstawowego, natom iast I = m lub I = m - 1 .

Pierw szy w yraz po prawej stronie rów nania (6) reprezentuje źródła pola (prądy) u-tej składowej na P -te j powierzchni. Pozostałe w yrazy po prawej stronie tego równania s ą w m -tej iteracji znane z iteracji poprzedniej (gdy q = p+1) lub z iteracji bieżącej (gdy q = p -1 ).

R ów nanie (6) je s t rozw iązyw ane m eto d ą rozkładu m acierzy Sp;p na iloczyn m acierzy trójkąt­

nych (m etodą C holesky'ego [ 2 ,7 ] ) . M acierze s ą rozkładane je szcze przed rozpoczęciem procesu iteracji blokowej i zapisyw ane w pam ięci w postaci rozłożonego półpasm a L j pu . W je d n e j iteracji głów nej podstaw ow ego procesu iteracyjnego należy rozw iązać 3np układów postaci (6).

Zbie żn o ść procesu iteracyjnego w algorytm ie relaksacji blokowej zależy w bardzo dużym stop­

niu od siły powiązań pom iędzy blokam i [5]. O zbieżności procesu decyduje zatem sposób podziału m acierzy S na bloki. Podział ten powinien odpow iadać podziałow i rozpatrywanego obszaru na podobszary, w których rozkłady pola s ą od siebie „m ało zależne”. Pożądany je s t podział przestrzeni pow ierzchniam i „m ożliwie prostopadłym i” do kierunku dom inującej składow ej potencjału wektoro­

w ego, a w ię c np. pow ierzchniam i prostopadłym i do linii w ektora gęstości prądu. R ozkłady poten­

cjałów na poszczególnych pow ierzchniach s ą w ów czas prawie dw uw ym iarow e. W układach zawie­

rających rdzeń składany z w ykrojów blach pow ierzchnie podziału pow inny być płaszczyznam i rów­

noległym i do blach. W te d y w obszarze rdzenia dom inuje składowa potencjału w ektorow ego prosto­

padła do pow ierzchni blach, a je j rozkład m a charakter prawie dw uw ym iarow y.

3. ALGO RYTM ROZW IĄZYW AN IA SPRZĘŻONYCH RÓW NAŃ POLA I RÓWNAŃ O BW O DÓ W

Załóżm y, że rozpatryw any obwód elektryczny składa się z ng gałęzi, przy czym i-ta gałąź za­

w iera uzw ojenie o rezystancji R j skojarzone ze strum ieniem y , oraz indukcyjność sku p io n ą L - ,.

Po zastosow aniu schem atu z różnicam i w stecznym i do dyskretyzacji czasu układ równań napięcio­

wych opisujących gałęzie obwodu przyjm uje w n-tej chwili czasowej postać:

V i , „ - V i . n - i + L i ( i i , „ - i i , „ - , ) + A t R iil = A tU ; ; i = 1,2... n g (7 )

S5:EAp = V upJ p- z Z S V « A l (5)

q = p —1 w = x ,y ,z

q = p —1 w = x ,y ,z

(⁶)

Stany przejściowe w transformatorze trójfazowym.. 179

Załóżm y wstępnie, że rozpatrywany obwód je s t liniowy. Do wyznaczania rozkładu potencjału m ożna w ów czas w ykorzystać zasadę superpozycji. Niech w ektor A j0 oznacza rozkład potencjału pochodzący od założonego w stępnie prądu i 0 w j-ty m uzwojeniu, podczas gdy prądy w pozostałych uzw ojeniach s ą równe zeru. Rozkład A j0 je s t w ię c generowany przez w e kto r prądów:

l j0 = [00 i0 OOj . Niech tpijo oznacza strum ień skojarzony z i-tym uzwojeniem, ale pocho­

dzący tylko od prądu w j-ty m uzwojeniu, tzn. pochodzący od wektora I j0 Wówczas

przy czym Xj oznacza stosunek rzeczywistego prądu w uzwojeniu j-tym do prądu i 0 . Równania obw odów dla n-tej chw ili czasowej m ożna w ów czas przedstaw ić w postaci:

Jest to układ ng równań zaw ierający ng niewiadomych „ . Po jego rozwiązaniu obliczany je st w ypadkow y rozkład pola, prądy w uzwojeniach oraz strum ienie skojarzone z uzwojeniam i:

W przypadku obwodu liniowego w pierwszym kroku czasowym należy w yznaczyć n g rozkła­

dów przyczynkow ych A j0 i na tej podstawie ng przyczynkowych strumieni ^/yo w następnych krokach czasow ych obliczanie rozkładów pola nie je s t ju ż konieczne. Przedstawiona procedura je st w ię c równoważna w yznaczeniu indukcyjności własnych i wzajem nych na podstawie trójw ym iarow e­

go polowego m odelu zjaw isk m agnetycznych, a następnie analizie stanu nieustalonego klasycznym i m etodam i obw odow ym i (schem atu zastępczego).

4. NIELINIOW OŚĆ

Zagadnienie kom plikuje się w przypadku nieliniowego obwodu magnetycznego. W kolejnych krokach czasow ych zm ienia się bowiem stopień nasycenia, a w ięc reluktancje poszczególnych części rdzenia. Zm ienia się w ię c m acierz sztywności układu równań MES. M acierz ta zależy od poszukiw anego rozw iązania, m usi być w ię c poszukiwana iteracyjnie. Ponieważ w każdej iteracji rozpatrywane je s t zagadnienie liniowe, zatem opisana powyżej procedura m oże być wykorzystana także w przypadku nieliniowym . Jednak rozkłady przyczynkowe muszą być w yznaczane w każdym kroku czasowym , a nawet w każdej iteracji dotyczącej nieliniowości „od nowa". W pojedynczej iteracji w szystkie rozkłady przyczynkowe są wyznaczane przy tej samej macierzy sztyw ności układu równań MES, skonstruowanej je d n a k na podstawie w y p a d k o w e g o rozkładu pola w iteracji po­

przedniej, pochodzącego od obliczonych wg zależności (10b) prądów w uzwojeniach. W artości prądów w każdym kroku czasowym są w ięc także w yznaczane iteracyjnie [4],

Po w yznaczeniu w k-tej iteracji (w n-tym kroku czasowym) rozkładów przyczynkowych A ^ , , rozw iązyw any je s t układ równań napięciowych (9), z którego wyznacza się współczynniki X-0 n , po czym - z zależności (10a,b) - oblicza się w ypadkowy rozkład potencjałów A „ oraz prądy w uzwo­

jeniach i j , . W końcowym etapie każdej iteracji wyznacza się rozkład modułu indukcji m agnetycznej w poszczególnych elem entach. Następnie, przed przystąpieniem do obliczeń w kolejnej, (k + 1 )-te j

n g

= Z ^ 'k ijo (8)

(9)

(10a,b,c)

iteracji określa się nowe w artości indukcji - wg reguły w ykorzystyw anej w m etodzie „chord" [3], W dalszej kolejności, z charakterystyki m agnesowania określa się reluktywności elem entów skoń­

czonych, po czym następuje m odyfikacja m acierzy sztywności. Obliczenia rozkładów przyczynko­

w ych s ą pow tarzane od nowa. W procesie iteracji blokowych jako przybliżenie początkowe (A jo, n )m=0 do obliczania rozkładów przyczynkow ych w n-tym kroku czasowym i w k-tej iteracji zw iązanej z nie lin io w o ścią przyjm uje się rozw iązanie końcow e z (k-1)-ej, a .mianowicie:

(A jo,n )m=0 = A i‘o” l i . przy czym m - num er kroku procesu iteracji blokowych. T aka procedura zmniej­

sza liczbę w ykonyw anych iteracji blokowych nawet kilkakrotnie. W kolejnych bow iem iteracjach

„nieliniow ych” w ektory w ym uszeń (w ektory prądów) nie ulegają zm ianie; s ą równe I j0 .

5. STAN NIEUSTALO NY TRAN SFO R M ATO R A

R ozpatryw ano stan nieustalony w ystępujący w transform atorze trójfazow ym z rdzeniem trójko- lum now ym po załączeniu układu napięć: fazowych; u j( t)= i/2 -^ L s in ^ lO O irt+ y 7t ( j -2) -n p u

j

czym j= 1 ,2,3 - num er uzwojenia i num er kolum ny transform atora (kolum nę środkow ą oznaczono num erem 2). Strona w tórna nie była obciążona. T aki przypadek m a m iejsce po załączeniu napięć do układu połączonego po stronie pierw otnej w gw iazdę z przew odem zerowym lub w trójkąt. A nali­

zow ano tran sfo rm a to r o m ocy znam ionow ej S„ =160 kVA i napięciu U „ =20/0,525 kV.

Na rys.2a,b przedstaw iono przebiegi prądów fazowych ij(t); j = 1,2,3 po załączeniu układu na­

pięć o w artości skutecznej równej odpow iednio: 0,3 oraz 0,9 U „ , dla kąta fazow ego <pu = 0 .

--- 1 1 — — 1 2 1 3 --- 1 1 1 2 1 3

Rys. 2. Przebiegi prądów fazowych dla kąta <pu =0 oraz dla napięć: (a) 0,3U„; (b) 0,9U„

Fig. 2. Phase current waveforms for angle cpu =0 and for voltages: (a) 0,3U„\ (b) 0,9U„

C hwilowe w artości prądów w uzw ojeniach, nawet dla U=0,3 U„ kilkakrotnie przew yższają sku­

te c z n ą w a rto ść ustalonego prądu biegu jałow ego (0,24 A), natom iast przy 0 0 , 9 U n prąd w im pul­

sie je st o 3 rzędy w ielkości w iększy od tej w artości. Szczytowa w a rto ść prądu je s t ponad 70 razy w iększa od prądu ustalonego przy obciążeniu znam ionowym .

Rysunki 3a,b ilustrują w pływ kąta cpu na przebiegi prądów. Obliczenia wykonano dla U=0,9 U„ , dla kątów <pu = 7 1 / 6 i 7t /3. Na ostatnim rysunku przedstawiono rozkład składowej By = f( x ,z ) wekto­

ra indukcji w płaszczyźnie przecinającej kolum ny transformatora w ich środkowych częściach. Począ­

tek układu współrzędnych umieszczono w środku symetrii transformatora. W spółrzędna y je st równo­

Stany przejściowe w transformatorze trójfazowym.. 181

legła do kolumn; współrzędna x natomiast - do jarzm trasformatora. W spółrzędna z je st prostopadła do płaszczyzny blach rdzenia. Ze względu na symetrię wględem płaszczyzny z=0=const rozpatrywa­

no tylko połowę obszaru (dla z > 0 ). Z rozkładu wynika, ż wskutek bardzo silnego nasycenia kolumny środkowej strum ień d>2 skojarzony z uzwojeniem tej blumny „przepływa” także rów noległą drogę poprzez powietrze w obszarze okien transformatora, latom iast nasycenie kolumn zewnętrznych powoduje, że strum ień cj>2 „powraca” poprzez przestreń przed i za pakietem rdzenia. Pole trans­

form atora ma w ię c charakter zdecydow anie trójwymiarwy.

(a) (»

Rys. 3. Przebiegi prądów fazowych dla U=0,9J„ oraz dla kątów <pu : (a) nJ6; (b) n/3 Fig. 3. Phase current waveforms for U=0,9U, and for angles q u : (a) 0,3U„; (b) 0,9U„

' ‘ By

Rys. 4. Rozkład indukcji w transformatorze Fig 4. Magnetic flux distribution in the transformer

6. WNIOSKI

Opracowany algorytm um ożliwia w yznacza­

nie rozkładu trójw ym iarow ego pola m agnetycz­

nego na kom puterach klasy PC w stosunkowo krótkim czasie, rzędu pojedynczych sekund.

Dlatego oprogram owanie m oże być skutecznym narzędziem do sym ulacji przejściow ych stanów pracy urządzeń elektrom agnetycznych z nieli­

niowym rdzeniem ferrom agnetycznym - na podstawie polowego, trójw ym iarow ego m odelu zjawisk elektrom agnetycznych.

D zięki sprzężeniu równań pola i równań ob­

wodów elektrycznych m ożliwa je s t sym ulacja stanów w ystępujących przy w ym uszeniach napięciowych.

L ITE R A T U R A

1. Dem erdash N.A., Nehl T., Fouad F.A., Mohammed O.A.; Three dim ensional finite elem ent vector potential form ulation of m agnetic fields in electrical apparatus, IEEE Transactions, on Power A p ­ paratus ans System s, Vol. 100, No.8, 1981, s.4104-4122.

2. G olub G. H., V an Loan C.F.: M atrix com putations, North O xford Academ ic,O xford 1983.

3. Nowak L.: Iterative procedure fo r 3D m odelling o f electrom agnetic actuators. IEEE Transactions on M agnetics, Vol.31, No.3, M ay 1995, s.1428-1431.

4. N owak L., Kow alski K.: T he 3D coupled field-circuit sim ulation o f transients in non-linear systems.

IEEE Transactions on M agnetics, Vol.32, No.3, 1996, s.1078-1081.

5. Nowak L.: M odele polow e przetw orników elektrom echanicznych w stanach nieustalonych, W y ­ daw nictw o Politechniki Poznańskiej, Poznań 1999.

6. Preis K., Biro O., M agele C., Renhart K.R., Vrisk.: FEM analysis of 3D m agnetostatic fields, Proc.

o f 4-th International IGTE Sym posium , G raz (Austria), 1990, s. 195-204.

7. Silvester P.P., Ferrari K.L.: Finite elem ents fo r electrical engineers, Cam bridge, London 1983.

Recenzent: Dr hab. inż. M arian Łukaniszyn Profesor Politechniki O polskiej

W płynęło do Redakcji dnia 15 lutego 2001 r.

A b s tra c t

T he m agnetic field existing in m any electrom agnetic converters m ust be considered as three- dim ensional. A lso the field in a three-phase, three-colum n transform er during the transients m ust be considered as 3D. T he direct com ponents o f the m agnetic flux during the transients cause the saturation o f the core parts. T he m agnetic flux lines close within the space surrounding the core.

N um erical im plem entation o f the algorithm is based on FEM. The m agnetic vector potential (M VP) has been em ployed fo r field description. The potential com ponents are associated with each other - see equation (3). Therefore, the requirem ent fo r large com puter m em ory is the m ain diffi­

culty. T he proposed algorithm is an attem pt at elaborating an effective and relatively fast tool fo r 3D com putation. A special block-relaxation iterative procedure has been proposed. T he 3D global task has been decom posed and substituted w ith iterative sequence of quasi 2D problem s.

T he first level o f the decom position consists in separation o f the M VP com ponents - see (4).

Equations concerning individual com ponents are solved separately. M utual connections between the com ponents are taken into account iteratively by m eans o f additional field sources o f the FEM equations (5) and (6).

T he second level of decom position consists in space division into layers Fig.1. T he division is perform ed by m eans o f num ber o f surfaces On each surface the discretization is tw o-dim ensional, with triangle elem ents. T he triangular prism w ith two triangular bases situated on tw o adjoining surfaces constitute the 3D elem ent.

In ord e r to include nonlinearity o f the ferrom agnetic core an additional iterative procedure has been applied. T his procedure is superior in relation to the basic one used fo r the solution o f the set of FEM equations.

T he tran sie n t m agnetic field In nonlinear structures is usually produced under supply voltage constraint. T his m eans that the currents in converter windings are not known in advance, i.e. prior to the calculation o f the field distribution. Therefore, the equations describing the 3D m agnetic field has been conjugated w ith the equations o f the transform er electric circuits. In order to solve transient problem the tim e-stepping algorithm has been applied.

Som e exem plary calculations o f the transient phase-currents o f the three-colum n transform er after the application o f the system o f supply voltages fo r different values o f voltages and th e ir phase angles have been made.