Drgania własne belki o sztywności ciągło-dyskretnej

(1)

Jerzy CABAŃSKI Wydział Mechaniczny

Akademia Techniczno-Rolnicza Bydgoszcz

DRGANIA WŁASNE BELKI O SZTYWNOŚCI CIĄGŁO - DYSKRETNEJ Streszczenie. W pracy przedstawiono jednolity metodę rozwiązania zagadnienia drgań własnych belki o sztywności ciąąło-dyskretnej. Zjawisko drgań własnych belki opisano tylko jednym równaniem różniczkowym z dystrybucją Diraca. Rozwiązanie tego równania różniczkowego z warunkami brzegowymi je st podstawą do wyznaczania częstości i postaci drgań własnych belki.

FREE VIBRATION OF A BEAM WITH THE DISCRETE-CONTINUOUS STIFFNESS

Sum m ary. In this paper a uniform method o f a solution o f a problem o f free vib ratio n o f a beam with the discrete - continuous stiffness is presented. A phenomenon of free vibration o f a beam is described by one-differential equation with D irac’s distribution. The solution o f this differential equation with the boundary conditions is the base to obtain eigenfrequencies and modes o f the beam.

CDQBOTlHhlE K 0 1 E B A H H H 5 A J IK H C H K ILPEPM BH O -ZIH CK .PETH O H X E C T K O C T b lO

Pp'iitim p- D p a 6 o r e iipe/tcTSBJiciio oitH opoaH iilł MeTO/t pem eim n 3aitariH cBo6o2timx KOJie6aH«ii fiaaxH c HenpopHBHO-nycKpeTHoft wocTicocTbio.

E$<j>eiCT CBo6oaHHX Koae6aHHfi 6aaKH onHcaHO t o u l k o o a h o m aH4>$ppeHii,iioHHiiM ypamieHHeM c o6o6m,eHHOH $yHicii,Heft ZlHpaxa.

PemeHHe eT oro a.H<j>4>epeHii,HOHHoro ypaBHeHHii, c lcpaeBHMH ycaoBHHMH, PCT OCHOBBHHeM AJISI OHpOiteDieHHH UBCTOTH H $opMH c b o 6 o a h u x KOJIcSaHHfi ÓaJIKH.

(2)

56 J. Cabański

1. W STĘP

W konstrukcjach technicznych występuj? dość często belki. Belka może mieć sztywność ciągłą lub ciągło-dyskretną. Dyskretna sztywność belki jest spowodowana lokalną niejednorodności?, geometryczn? lub fizyczn?, i tworzy tzw."przegub" sprężysty lub sprężysto-plastyczny. Istoto? cech? mechaniczn? belki o sztywności ciągło-dyskretnej jest nieci?glość k?ta ugięcia tej belki w miejscu przegubu.

R y s .l. Schemat belki o sztywności ciagło-dyskretnej F ig .l. The scheme o f a beam with the discrete-continuous stiffness

Klasyczne rozwi?zanie zagadnienia drgań własnych belki o sztywności ci?gto-dyskretoej polega na "zszywaniu", warunkami ci?głości i nieci?glości, rozwi?zań poszczególnych odcinków belki o sztywnościach ci?głych [1], Takie podejście prowadzi do dużej ilości warunków brzegowych, co komplikuje matematycznie rozwiązanie problemu brzegowego.

Aby uniknąć tych trudności podjęto próbę opracowania prostszej metody rozwiązania zagadnienia drgań własnych belki o sztywności ciągło-dyskretnej.

(3)

2. OPIS METODY

Zjawisko drgań belki o sztywności ciągło-dyskretnej (rys. 1) jest opisane następującym równaniem różniczkowym:

M Ł i a H Ź , " * - : o . 0 , < »

dx* dt2

U

^{k j} ^dx2 ^j

gdzie E - moduł Younga materiału belki,

J - moment bezwładności przekroju poprzecznego belki, H - masa belki przypadająca na jednostkę długości, Kj - sztywność dyskretna belki,

w = w (x ,t) - funkcja ugięcia belki, 0 (x-Xj) - delta Diraca.

Dokonując w równaniu (1) separacji zmiennych, tj. stosując podstawienie

w(x,t) = W(x) T[t) (2 >

otrzym ano równanie ruchu

T + o 2r = 0 <3 )

oraz równanie amplitud

d*W a A

A ^ - J t 4 W - Y — --- = 0, (4)

dxA U Kj dx2 p

gdzie (■> je st częstością drgań belki, natomiast

4

\

po>2 (5)

E J

Stosując, w celu rozwiązania równania (4), metodę Cauchy’ego [2] otrzymano

W = C lS h kx + C2ChXx + CjSinXx + C4cosA,x + + — Y — — [S/iX(x-x3 + sinX(x-xi)] H (x -x ),

2X U Kj dx* * * '

gdzie: H(x-Xj)- funkcja Heavside’a; C,, Q , C3, C4 - stałe całkowania.

(

6

)

(4)

58 J. Cabariski

Problem brzegowy, dla belki (ry s.l), jest sformułowany następującymi jednorodnym i warunkami brzegowymi:

K-o " 0 = 0

= 0 = 0 (7)

dx

# w

, „ . , ,

Po podstawieniu (6) do (7) otrzymano jednorodny układ liniowych równań algebraicznych, który w zapisie macierzowym ma postać

A X = 0, (8)

gdzie X je st wektorem kolumnowym niewiadomych układu równań (8), natomiast A je st m acierzą charakterystyczną tego układu równań.

W przypadku n = 1 macierz charakterystyczna przyjmuje postać

A =

ShXl sin XI

ShXl -sinA.1

ShXxl -smAx,

[ S ń k a -^ j+ s in M /-* !) ] [S/rA.(/—jcx) - s in k ( l -Xj)]

2Ki

~e j x

Po wyznaczeniu w artości własnych z równania charakterystycznego

det A = 0

(9)

(

10

)

i podstawieniu ich do (6) otrzymuje się postać drgań własnych belki. Zagadnienie początkowe rozwiązuje się metodą klasyczną.

(5)

LITERATURA

[1] Ostachowicz W ., Krawczuk M .: Analiza drgań własnych belki ze szczeliny. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej. Mechanika Z. 18, s. 61-64, VII Sympozjum Dynamiki Konstrukcji, Rzeszów 1989.

[2] Stiepanow W .W .: Równania różniczkowe. PW N, Warszawa 1964.

Recenzent: prof. dr hab. inż. J. M aryniak W płynęło do redakcji w grudniu 1994 r.