What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic
94
0
0
Pełen tekst
(2) !"# $ % & (') *'+ ,-. & /*"#* '1032#465.78#9;:;< =?>6@1A#BC5D9;: EF+G 9;H5 GJI 5 E 2#>6BKMLONPH>6QSRUTV>BC5.WCKJ>465 G H XY Z> G H5R : G 5D2#@[9;5 GMF]\^_a` "#bdceCf ^ ')g \ * ^ fh d $ /ij"#'k \l#m#m#l nh/-.op$* g3qr'+b _ #stouC* _ ';g l#m#m#l#\ v hn"# &C $-D'pop$* g3iw"# ' _6\x ys \ ') *'; ^_ * '+ nhC Ps
(3) %z"#** {|O "#z /- CffC} gaC')gC"# %~#"# &C P z]% +k. &y. % % +#% . &y. + C + . &y. C C#% + . &y. hy% Czk. &y+. !¡u+¢ C. &y£. ##uu+ ¤. &y. z¥ +¦.¢ky %. &y§¨. ©] . &y§¨. C + ª§z + ª. &y§. ¡u ©©] Czu C£§ u¢u +% . &y§. .
(4) ±³²´.µ]¶¸·P¹°µ º f "# g» *C ,"#'; $¼ ez h ') ("# $ n ';eh ^¼½ ^C_ "# _ * C*fs
(5) %z';"# 'ph'+*'+h g ^ "#hU¾C"# gC»D*% ,z ^ ¿ Cz% $6C * & ' _ h Às v f$n b¸¼' _ f%"# gC"#gCÁ "#u"e¾C"# &% gC»D* "# "# _ * Âr6C * & '+ - ')C à opÄJ &ah* 'k$* '; "#bU¾C"# gC»D*% ,"#66 f '+"# &C';n Ch , *f ';}ff ^ /"#ff (* Å &a6C *f%/¾C"# g» *C ,"#fgCC';% & $z-D'kCÆ / a &% Â"# b¸'; "#ff _ b ' _ * '+"# & ga _ n & Ç n ,'k n* d &a¾C"# & g» *C , |r6 * h6 $"#Cb '+¾C}Os
(6) { *"#* 'u*') h &" &C'+"#fC $ n/"#h* &-.¾"# g» *C , & "# ! "#b/" %'k !$*"#6 ,C $ h%gC '+zC-,$* 'u _ n & $#s x ^ gC% } ^ "#6ÈgC')C (C $¾C"# &% gC»D* !') *') h "# &% Å"# (') g3 ';')C' \ 6C u}É & a"1n6nhC a- x Ê{ÊÊ ¾C"# &% gC»D* h "# "#') \ "# $6C 6f% } $ ')z |r"# *f -. C}Ë$* ' ^ f '+z"# ^ & 'ph**'+ ¾"# g» *C ]s op"# & gC'; "# (qy ^¼½ 6 ` h';* &C';À Ì Ã '; "#' _Í o/s Î$ÏopC * & 'pq _ h Ð 'kg"# ~#"# Ñ] ce ¼'+"#f s Òs Ó$Ï Ã 'kCgC'+"# $ g — G F H >6I @15 :;A B G FKJ9;5 :G >I)HÕ >6I A#9;5 5.G @ L#9 GJI;Ö G 4X5 HG >6 H` ÂcÉ Ô "# g"#g hÑ] à ') hhC'; s l s Î$Ï¤× '+6"#f v "#f _ nhÑ] — F >6@1A#B5 9;:u46: G 5 2#@19;5 GJF]Õ 9;:;:k>:u46H46KJ< I;GMI;Õ HCB@19): GJF 46K 4K X>: G 5 2#@ I Ì qy¼ "#' _Í ce '+"#f. —. ` s Øs l Ïqy-D &}É"#'k Ê g '; gCÑhÙ? ¿') #Úyqr* Û"# &C H XBC4kX9 I  ` s Òs Ó — I KJ9;46@1 à ')CgC'+"# g Ô "# gC"#gC nÑ] º '+ "#f ` Û C "# (
(7) ¼C' _ — 4HC5 GJF]I  ` s Ós l Ð * ';"# g3q _ h hÑh à ')C6 hij"# "#gC $¼ I <#H F 2#:k>6H GJÖ 45 G 6> H,s. —. ce '+"#f
(8) r '+ # v fgC'; \` ngC \ Ô "# g"#gC v "#f¸Üz _ÉÝ C')u"# à ;' "#h À ` '+ "#f~# $ ^ ¼' \ |À * &% \ ¾C"# g» *C \ ¾"# g» *C {n &"# "#') \ C g '+"#"#f '+¾C} \ gC"#'kÞg \ ×"#× \ C b '+¾} \ ') f"# &b¸/ ';')C' \ ') g3 ';')C' \ ') g3 C \ f* \ '+¾}Os ßtà µ]¶Cá.âã¹°µ]ä]á à å f% ';-.6C * 'p _ h zC- $ d - C';$"# &C $" ^ ,¾C"# & gC» * "#'+ & $ &ysh
(9) { ')z"#') \ }É b ' \ ')¼$"#';È" ^ f _ - }æhC')6 - "#f 3 - C'+ "# &% " ^ C , ]s Ð /-. & /- } ^ CÈzC $ /n ^¼½ ¼ \ º fC"# gC» Ã C ,op$* "# &C ^_ Ã "# ,qy & ' ^ ~ \ fC g3 !C-,*'; ]s
(10) z*"#*¼'p" '+"#fC $ n/"#h* &C¾"# g» *C "#'; ÌD¾C"# gC»D*% ¸ ') "#- ' Í "# "#bz"Á') 6 6C &C ç _ n & $ ^ f g,s x ,6C hn &C-, ')¼UfCh f _ 6C & d*"#'; #s
(11) { /Û'+h qy¼ &C \è Ù?C % g Ê ';')' \é Å*"#gC l#ê Ò \ hhn z / *f6"# zC-,h g -&- ')¼ !')C gan &'+"# ¼g - C'u ^ "#ne* '+"# &C -."# \ h ^ &'+"#6 C \ f &*f%6"# Å"# (b¸h% Ps x ,"#fnç &"# ^ "#ÈCg') ( -D'+ "# Å Å & . «. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #.
(12) }a C-, "#n'+ g3'kC { g3 ';')' \ "# s
(13) { ulps relative error h d*"#'; ,n6nh & x ÊÊ{Ê ¾"# g» *C ,h "# "#') \ }É 6 Å ^ 6C g '+"#*f _ "#66 * ^_ $ 'k"#fC "#')}É"#'k$"# -D"#6 ')¼'+#s x f 3% É xDÊÊÊ h "# "#')( /') g3 d- C' ^ "#he* '+"# &% Às
(14) Uhhn Å-. & h "# "#')$';"#}É C a & Á "# ';"#f¸ a & Áqr &C \yè ÙPC g Ê '+'kC' \é a*"#g l#ê Òs
(15) e ') *"#'+ n6nh u Á 6 ^ &}É ç¾C"# & gC»D* "# $ & e hg C-,b¸"#';C"#h* 6 -.6C * 'p _ h #s
(16) y*z 6f{/ h ';6 C $h , ngC \ C* &$~# g36C *f '+z"# ( |À * &% Å "# f g,s. ó. x "#b¸/ &'+ ( ç"#b¸C( "#È g3h "# ¼$ &" ^ C ,¾"# g» *C ,}% & C ,"#fn gb g3') "#hC } _ /h "# ¼$ &"#')/ &'; \ ¼n* 6"#ff _ n 6U & ½ n &Û6"# b¸fb¸/ C & g3 C'k/$*f6"# ( "# $ f $ &"#' _ 6"#ffÀs
(17) Ch |À*f"# "# &% u "# "#')e 6 ';"#f¸ O & Á "# a"#')g "#b ^ agC')C* $ " n¼ &% Å6"#ff
(18) { ` "#f \é ha & "# ! _ 6"# ^ /nÈC** d-, n')¼ s x “ *"#'+ &f"#' \ /*')C-DzC-,$"# _ -. & U & C')¼$z"#**¼"#'p Å & %zn¼ &% Pst
(19) / C-! "#6 *')C-,ñ "#'+ȼ(} & _ ^ fÂC}É "U*')C-,ñ C {% 6f \ & ❚ ❚ "#** "#'+z$ "# ¼f _ -DffC}% g3 & /n &"# ,C-, / ') Ss áPã à âä àÁôöõ ¶¶áP¶ qy¿ ~# gO Û f _ "# _ 'k "#f ^ '+ "[Û ^ ¼'?- ^ ') ¿') "# "#**')|r "# /') *')¼n "# &C Ps v f CgC Å & 'k/"#')/ Û f _ "# _ gC '+ \ Ch ,*')g'+"# z /') hf ,-. ¼g 'p6C * "# 6"# ^ /n &C')¼d $Ò#Ø ^ &Às x 6C ';"#n \ gb¸ $"# _ Û|r ( ^ 'pC- ^ \ Ch ,6"#ff"# z}É & Å'k "#f ^ '; }f%f*')6/¿"# & & "# ,"# C ^ / |À"# &f _ ') *')¼n ¼dh% g3 & "# , "# _ ^ #s
(20) ¼') - C')1 /'k nf !C-," ¾C"# g» *C !"#f6f"# C $ n !C- & ^ 1')C $C') 'u aÛ ^ "#È3 ç Û /') *')¼n "# &C Ps
(21) { z')C ga '+')'p & 6 "#';"#6 ';%h Á- "# ')1C-,¾C"# & gC» * ,6C * &"# C Ps è ÙP f"# b¸ Ê ';')'p"# (÷1f* é C $*"#g l#ê#ø h'; ^ C}Ë , "#n')¼us qy 6/$n !¾C"# & gC»D* !"#f6f"# &C "#bU'kC % g3¼'+')'p"# _ }" _\ C¼ "# & 'p-. & ^ "#he"#';% & $ &e*¼'+"# ')6/" f% & f ^ , C')/'kC g ';')C'u "# Å 6 hn"#' _ù
(22) { "# ,¿ h C $" "# Å & ¼$/ & 'kCg C , & zn 6 Ps è ce"#'k ` g & é C $*"#g l#ê#ú hhn .XB46:;LOgC \ " "# -.')¼{6 ga ';')C'u}É $n ^ ';"# & ga }a "#' ^C_ ^ ';Às ce"#'kdgC% &} ')/6C h% 'k h-ûÛ6 f _ *C'; "# ^C_çx å iü & "# { l#m#ø#ú {"# Å"/g"#')Å{gC { É & [{ ^ f *') 6n a- C'; "# a Áq _ h SÚyÒ ø Î["#')6 & &'kÁÌDh gfÁ*') 6%hC ç"#f') "# _ "#$" g"#')(g ÍD\ "# (') 'kCÛ ¼d"#ff |rh g3 "# $ /Û fus
(23) r}a |r"# *f "#')/gCb¸ $ affn &'+"# &/ / &f% _ C-,g"#')(g &Às. ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. ò.
(24)
(25) x ÊÊÊ h "# "#')(g - '+ & 'u "# ½ n !') ¿'+ g3 /n/-." g"#')(g +s x gb "# $"#fg'+ Æ-D'p"# \ h ^ &'+"#6 C \ f &*f6"# \ b¸hC $"# h¿"#'ke')C \ "# $')¼¿'k p & "# *f%¼$ &"# C u*')C6e eh"#$Á') hf "#p & "# "#fg'+ & Ss
(26) \ } $"O*'kCg';"#Çz$b¸ (- ')CÆC / "# / a"# ' \ ') hf -. & ^ "#heC* ';"# z}Éff ^ / /n"# / Å b ' _3^ !%- ^ C $ "# h**'+ , & x ÊÊ{Ê h "# "#') s
(27) zg') "# &f _ h% *fÛ z /*C'; g3C-,*')g'+"# #s Ð & 'pn zC-, *')¼h/n* 6Û6"# C $"#')/gCb¸ $ è#Ê |À"# &f _ Ù?C Ð * ';"# é C $*"#g l#ú#þ s.
(28) ñÿ ÿ. qy¼b¸ ';"#f-û-D¼') ,') *')¼n &"# C -.'k "#f ^ '; "#b ^ $*')*Ch \¸^ ^C_ - "#'p / Ch ,}{¼f _ h ( /¾"# g» *C ,') *'k n¼ &"# C Ps º fC"# g» *C ') *'k n &"# C z "#b/" ^ "#h ÌD} $"#f}" _ "#hh ( ^ / b Í "# (" β l Îe"# 3A l Î s *') 6n çAs x Òe É ^ ¼'PÎs l ')¼*'k n¼ & "# l s Î#Î β × xØU"# ÞA Ø#Ó \ & & 1 6% "#f ^ ' Îs l 6"# ^ 1')¼*') h & Þ |À"# &f _ β ^ !"#**')C|À$"# & f _3l s l Î#Î ll Î#Î l6l Î#Î l6l Î#Î ll Î#Î ll Î l Ø ys x $g ';"#f \ " ¾"# g» × \ } 'kÁL L#L *C ^ 'P}ff ^ ') *') h 3"# L L#L L Le 6"#ff%¼ & ± ×β I;G XH G F 46HL e"# ( "#A g #s ij')/*') 6n f _ L L °L L ') *') h ± … ×β / ^ '. . . . . . . . . . . ! " #. $&%" . –1 ± d0 + d1 β + … + dp – 1 β – ( p – 1) β e , ( 0 ≤ di < β ). ('. Ì l#Í.
(29) U & '+ p>6465 G H XY A#> G HC5.HCB@1TV9;:u}f%f ^ /h ( a "# $" ') "#f ^ 'p "# ,6"# ^ |À"# &f _ ') *') h ( $ /-D'+ "# , 'pn6nhC Ps
(30) y}a 'p*"#';"#$ & '+ "#hn"# & d} $¾C"# & g» *C ,') *')¼n "# &C "#'k/ /f"#')g h ,"# (n "#ff n "#ffC}" ^ f%z |r*C \ 9 p"# 9 #snqr 6 & 'k"#') *nh ^ f%zng Û"# \ "# β l *Chn ^ f/ |r* & \ " ¾C"# & g» *C , ^ 'p6"# ^ / (% 9 e».9. *),+- *)0/ 132. *),+-. .)0/ 1. $. log 2 ( e max – e min + 1 ) + log 2 ( β p ) + 1. 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ? > @ A < B B < : B < = < C @ 8 @ D > C = 8 B < E F G H IJ K L MG L N 8 C O L IK J P Q MF K G R IH N S TU 8 @ V ; 8 8 C O W > B C < B V : 4 X Y Z [ \ ] 8 B @^ ;8 C O < B 8 C O _ ;< 7 > : > V ;> = 4X ` Z a 5 b 5 c A D= @< B 9 ] 8 = DC @B > O V d < O e f g > B = f @A < 8 C O U > ;< B T4 X h ` ai 8 C O A 8 = j < C < B 8 ;;f B < : ;8 d < O @A < > ;O < B @< B 9 S G J HIL L G 5 ký. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #.
(31) l2. ^ \ }É 'k Û "#f - C'p }s. l °- C'. hg ^ ]sh
(32) { *'k h 6C gO° C $*'+ &"# .
(33) ')"#')Á &}É ')¼"#n °}É _ "[')¼"#f ^ 'P g C ^ Á |À"# &f _ ')¼*') h &" ^ f%"# " ¾C"# & g» *C , ^ '+s
(34) { / Ch , $ Åh "# Åffn &'+"# & ^_ & 6$"#f ^ 'pÎs l s v f & gC Å ! "#z" Û / 6$"#f') *')¼n &"# C \ ^ "#' _ "# "# É Û ') * "# & g ') *') h "# &% Ps6
(35) }É Ø \ ^ 'PÎs l f% β h ';%6 f _a^ &}É ¼ Å &}Éa¾C"# g» *C , ^ ';"# ( |À"# &f _ ') *') h " ^ f ^_ ' C-{ Ss v f%¼nñ6C C h "# C 3ñ "# {"U') "#f ^ ' %ñ !-!'+"# gC \ "# , \ " ^ hCf /b"#f%/f"#')gC 'p & "# C'un "#ff 'p "# l s Î s β×β × β ijn !C-, *"#* 'phhn znh¼U &a /Û'+h ,') "#hC Ps C} b¸ ' \ ^ '; "# ,"#'k/C ,C-,'+"# gCU}ff ^ /hnh ( è#x Û _é Å*"#gC l#m#m "# è#` C'+ "#f~# (× ^ '+ é C $*"#gØ#Î#Øs. . . ),+-. . &m. )0/ 1. º f"# g» *C ,')¼*'k n¼ &"# C z"#')/ C , 6 nh"#';%f _ ¿s º C'u |r"# *f \^ l Î P"# l s Î#Î l Î P'k *') h {Îs l s x -{ & ef "# gçgC% p C ~# ')Ì L Îs Î l Î/ × × ≠ ¿"# ÅÌ l#Í " ^ Cb Í \ Å & /') *') h "# &% Åzn"#( ^ /HC>:;@146K GJÖ 9;Ls
(36) l Î ° C';$"#f~# \ } f/Îs Î l l Î ° C +s Ý ¾"# g» *C , ^ ' l s Î#Î × × Ø \ A Ò \ 9 » l "# (9 ØO & ')/"#') l#ø C';$"#f~# (¾"# g» *C β ^ '; \ "# h C} ç º g') ` » l s6
(37) ^ f "#h ç "#'+ÈC 6C';') h*C 3 ^ '; } n/hg Û6"# (% l s Î#Îs Ù? ¿'+ g3 "# ," ¾"# g» *C ,')¼*'k n¼ &"# C ^ C';$"#f~# ( "#È z /') *') h "# &C $ ¿s ÷1 -D'+ & "# & f _\ 'k n &'+6 C "#È z ,$*nh ^ f/ &a') *') h ,~# 'k v "# '+"#f}" _ ç') *') h ,Î } l sÎ \ h / & z*') h '+b & /- "#6 , "# , & / $¼'+6"#f') '+ g3×β C g"# &b¸/') "#f ^ ';6C';') h* ç /f |r6Cg';"#* %ÁC'k{¼'+ g3C-, ' ^ ,Û f \ ¾"# g» *C ,') *'k n &"# C #s Ý Å & / |À*C ,h ') ( Å" "# ! "# z & "# !C f _ Ø » l b"#f z"#'k/"#b¸"#f" ^ f/- C'un1"# |À*C \ h 6/ h ^ /') h '+b ( a'k *') h ,Îs. . . . . n. !. n *),+o- . *)0/ 1 . . qp. )0/ 1 %r". &u. . ts. ×C &[ & "# & % a"/¾"# g» *C ^ '°%p*"#'; C-{ & e C "# &C \ "# Å-û- ') × - ')C "U¾"# g» *C ! f *f _ *¼'+"# Ps¼
(38) { 1 "# gçC-! _ ^ f n Cf × ^ /f "#'u-D'kCÇ & / & |r +s º C'u |r"# *f \ & / |r*') hh% ÅÌ Øs þ l Î Í l Î Í Ì Ós Î × × × b¸fb¸ zC f _ " n gf/¾"# g» *C , f% &*f%6"# Ps. rv. . 4 5 c A D= 8 = = V 9 < = @A < V = V 8 ; 8 B B 8 C j < 9 < C @ ] A < B< @A < < 7 : > C < C @ D= = @> B< O @> @A < ;< ?@ > ? @A < = Dj C Dw d 8 C O 5 ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. k. .
(39) 0. 1. 2. 3. 4. zy|{~}r , }|. î# y# ¡uï%. β. 5. 6. « ò . 7. «. ¢¡,¤£¥¡¦§¨ ©(ª« qy 6/')C g3 '+'kC'pz ')¼ ! ž"# g» *C ,6C * &"# \ ,z% *C'; "# ç "#b/" }É" _ &a "#n')/ & %z '+'kC'+s opC h 'p /¾"# g» *C ,- C';$"# !}É l Î "# (A Ò \ } $}%ff ^ /h ( ')gC C , h 6 C Ps x -, /') hf ,C-," β l Î \ "# ( & /"# h}É 'u}É $$* ¼d & ¾"# g» *C ,6C * &"# C $Òs l Ø × Û /*')¼hC $% s Î#Ò l Ó \ ,6f "#'p "# , & %z $ '+'kC' ^C_ Ø & $ /f"#n l Î \ & ¼ ç% *f"#Cs6qy f"#'+f _\ - Á') "#fC ^ ¼'Ás Î#Ò l Ó l#þ#m ')¼*'k n¼ & "# Òs l Ó × $ '+'kC' ^C_ s l#þ#m $ /f"#n !*f%"#6s x $g ';"#f \ -, /¾"# g» *C ^ 'pL L L h d &a') *'k n Ö6\ $ , $ '+'kC' ^C_ L L L » … ×β … Í ÌÖ Ú &z $ 1f%"#h !*f"#s Á
(40) 1 '; }Éff ^ /h ("#zh C'+ & "# β β ulps - C' è z Å & /f"#h ,*f"#s é x -. /')¼nf ,C-," "#f6f"# &C $ /¾"# g» *C ^ 'p "#')¼n , &a /6C';') 6 ,') hf% \ ,n &ff g ^ / Å ';')' ^C_ "# $"#Os þ s v C & ¼'p}É" _ a "#h'k/ /%-û- ') 6 ^ &}É $" ¾C"# & g» *C , ^ ' ulp "# ( /') "#f ^ 'p ,"#**')|r "# g3:k9)KJ45 G 8#9u9;:;:k>6: \ } %6 $h% *f _ & -&- ')¼ 6 ^ } $ / &}Éç ^ ¼'+z%b ^_ /'k "#f ^ '+s º C'u |r"# *f l Î ° /')¼f%"# &b¸/ ';')C'u$ & (}É $"#**')C|À$"# & gaÒs l Ó l#þ#mO^C_ Òs l Ó × s Î#Î l#þ#m ÚyÒs l Ó l#þ#m s Î#Î#Î þ s. . . . . . $¬%r ". . . ¨. ®. ≈. \ ^ h '+b/ "# ,} ¼ Å"
(41) ra6C * &/ /') f"# &%b/ '+'kC'p & "# ,'+'k n* z ws þ ulp ') "#f ^ 'pz"#**')C|À$"# & ^C_ & U6fCh h ,*Chn ^ f/¾C"# & gC» * , ^ ' \ & / ';')'p"# ^ /"#f"#')gC/"#Îs Î#Îsss Î#Î \ } ') Ä z /%gC L L#L L#L ×β β′ × β β ÚrØ \ & ')/"#')/A & $ /ngC Û"# (C-, /¾C"# & g» *C , ^ ' \ "# (A β Í % &-.Î Å & /ng Û"# (C-, / '+'kC'+s
(42) { z '+')'pÌ Ì ÚyØ Í stqr . ¯¯. °. °. β. β. %$. × β . 4 5 ± C ; < = = @ A < C V 9 e < B ² D = ; 8 B j < B @ A 8 C β³ ´ µ ¶ · 4 > B = 9 8 ; ; < B @ A 8 C β³ ´ ¸ ¹ 5 º V 9 e < B = ] A D d A 8 B < > V @ > ? B 8 C j < D C @ A D = ?8 = A D> C ] D;; C > @ e < d > C = DO < B < O V C @D; ?V B @A < B C > @Dd < 5 b 5 » < @ ^ ¼ e < @ A < ½ > 8 @ D C j ¾ : > D C @ C V 9 e < B @ A 8 @ 8 : : B > 7 D 9 8 @ < = ^ 5 c A < C Q ¿ Q …Q ¾ À ² Á β³ Â βÃ Ä Å D = < Æ V D Ç 8 ; < C @ @ > ^ ¼¾ ^ V ; : À^ ¼ 5 À\ < < È É S P R IÊ G M Ë F S Ì É H G H IF J Í É IQ P ? > B @ A < O < w C D @ D > C > ? V ; : À^   5 _ 9 > B < 8 d d V B 8 @ < ? > B 9 V ; 8 ? > B 9 < 8 = /V B D C j < B ÂB > B D = ^ ¼ ¾ ^ /V ; : À ^  5 ¾ ¾ 6 O 5 x. . ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #.
(43) . ^ ';C-, /- C';ÇL L#L L#L "#ff "#b/ /n"# /" ^ nf% &U¼'+')' \¸^ , "#b¸ … ×β \ /') f"# b/ '+')'p';"# g ^ &}É b¸"#f z "# ,';"# gC ^ &}ɼ "# β β×β Í Í Ì Ì ÚyØ Í Ú "# (Ì Ì ÚrØ Í Ú st
(44) "# , \. β. β. %$. × β β . β. %$ β. . ". × β β Î. β –p 1 –p 1 --- β ≤ --- ulp ≤ --- β 2 2 2. ÌDØ Í. %$. x $*"#'+ &f"#' \ /') f"# b/ '+'kC'p6C';') h*C ga ws þ f*(6"# $b¸"#' _3^_ "O- "#6 'pCs
(45) z-D"#6 'p6"#ff ( /Qz>6TVTVKJ9 qy & g a & /f"#')gC h ,C-, Ì ÚyØ Í ε " ') β"#f β ^ βC ÅÌ Ø Í " ^ b¸ \ }/"# $n" _ . "# ,} ¼ Å ^ 'pz')C ( a & 6fCh n ¾"# g» *C ^ ' \ e') f"# b[ ';')'°p"#f}É" _ ^ C ^C_ \ }É 6 ε 'k -D¼'+') ( &a"#@14 F 2 G HC9u9;A I;G KJ>6H,s. . x a & e |À"#$*fe" ^ b¸ \ & e') f"# &%be ';')'°}"#1s Î#Î l#þ#m ÚyÒs l Ó l#þ#m s Î#Î#Î þ s x çC') '? "#b¸(n $h$"#ff ^ '+ \ /') f"# &b¸/ ';')C'u%z C';$"#ff _ }'+≈ & $"#" - "# &C' þ Ìl Î Í \ } É ç & 6"#n Ì ÚrØ Í s Î#Î þ sn
(46) { & 'k f"# b¸ ';')' }Cf ε ^ / |r*'k nh ("#Ì]s Î#Î l#þ#εm ÚyÒβs l Ó l#þ#βm#Í Ús Î#Î þ#Í Îs l s. %$. . rv . . ε≈. ε.
(47) raffn &'+"# / & U-û-D¼') ^ } $f%*z"# d')¼f"# b¸/ ';')' \ 6C h{¼'p /') "#f l Øs Ò þ s x !"#**')C|À$"# & ^_ \ ^ ' ¼'+')'pÎs þ ˜ l s Ø#Ó l Î s
(48) U s¼
(49) 1 |À"# {b¸"#ulps f1 [') f"# b1 ';')C' ñÎs s¼× |À !6C h% ' & x[$* ×"# &C ú ˜ ε * & (b¸"#f/% ú ú m#ú s ú#\ }É f/ /6C m sm Ø l Î 6st
(50) x/ '+'kC'pz } Ós Î ˜ x × \^ , & /') f"# b/ '+')'ph ffÎs s
(51) / ';')'p "#n') ( ú &$¼ fulps "#')gC ' \ ¼b¸ $ Cg $ /')¼f%"# &b¸/ ';')C'uε /h"#$Cs x ÅgC '+"#f \ }Éulps $ ^ "#n/ \ " Û|À d'k f"# bU¼'+')'p |À*'k nh ( 6"# Å} ^C^ f ^_ " - "#6 C'uC-,*Þ s ulps v β b ';n f _6\ "# ¿"# &C çÌDØ Í " ^ b¸Á h C} \ "[Û|r¼$ ';')C'?- s þ 'k nf β ulps s " ') f"# &%b/ '+'kC'p & "# ,"# $} ^C^ f ^C_. Ï . Ï . . Ð. . Ð. . β.
(52) U n , "# &';"#f}" _ &a "#n')/') g3 ';')C'u s º C'p¼|r"# *f% ') g3 ç / "#') h ,¾C"# & g» *C , ^ 'p6C';') h*Culps ç"# Å ';')'pC-,f n "# $C'u ¿"#f ds þ s C} b ' \ } $"# "#f _ ~# ga /')C ga '+'kC'p6"#n ^C_ b¸"#';C- C'; f"#ulp \ ') f"# b/ '+'kC'pz" ^ & 'p "#h'ks v gC(%ffh '+"# &C $C pp ["# "#f _ npC 3*"#gCØ#Ø ø sVqr 6"# 3Cb ') h "# e [ -û- C-{'kC g ç / "#')¼n !¾C"# &% gC»D* ! ^ ' ^Cε_ & /}É ^^ f/- "# &C'uC- \ ';')'p h "# β C-,- C';$f"#}ff ^ / gC & 'p Å "#6 z}É $" n "#ff s. &m. β. Ý. f _ & 1') ' -! "#g 1-!') gç ';')C' ñ-! 'k n \ "# ε " _3^ /h ( & ')6 "# gC " ^ f _6\ n 6/ _ -&- ' ^C_ "# !$n ," - "#6 C'uCulps - s º C' β \ & "# , "# z "# |À"#$*f \ } $" ¾C"# & g» *C , ^ 'p $ ';')C' ^_ H / ^ 'p-.6C &"#$ "# (g &fg H,s x -. & /'k f"# ulps b¸/ ';')'p Å" β 6C * &"# C $H \ . ε. 6C "# "# (g . ≈. fCg. β. H!s. ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. ÌDÒ Í. .
(53) Ò«Ó ,©ÕÔ ¤ Ð / d-.6C * & g3 /-&- ') 6 ^ &}ɼ Å &}Éa¾C"# gC»D*% , ^ '; &a6C * &/ /%-û- ') 6U¼|r"#6 f _ "# ( Å'kC d , &a / "#') h ,¾"# g» *C , ^ '+s
(54) zb ' _ |À* nb/%-, /C* ';"# -&- 'pgC') "# &f _ Åh~#s v hn g3A l Î e» l s Ø þ l Î e}Cf ^ /6"#ff"# ("# Ò \ Øs l#þ. Ï <. Ï ».< . . ×. . . ×. rÖ. l Î Øs l#þ × l Î s Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î#Î l Ø þ × l Î Øs l Ó m#m#m#m#m#m#m#m#m#m#m#m#m#m#ú#ê#þ. ×. ×. l Î ystÙP"# 'p & "# Ån g3"#ff h/g \ ¾C"# & gC»D* } 6 $')C çØs l#þ × "#')}"#')/ C';$"#ff _ * '+"# & C $" Û|À ( ^ ¼'pC-,g #s qy**Ch/ "# , ^ 'uC-,g &ÈC * ,zA \ "# ( & "# !} $ & /h$"#ff 'uC* ';"# (h -D & ('+gC \ g &"#')/h$*f _ h"#'k dÌ "#**Ch d &a') g Í s
(55) { l Î u» l s Ø þ l Î ^ $¼ Øs l#þ. ×. Ï < Ï ».< . . ×. Ö. . l Î Øs l#þ × Îs Î#Î l Î × l Î Øs l#þ. ×.
(56) /"# h}É 'uñ |r"#6 f _ 1n"# 1"#z-, & 1-&- ')¼ 61 "# ^ $6C * Þ |r"#6 f _ "# ( Å'kC st
(57) r"#ÈC/"# 'p |À"# *f l Îs l » m s m Òst
(58) ^ 6C . Ï <. Ï ».< . . l sÎ l l Î × Îs m#m l Î × s Î#Ø l Î. ×. "# (%
(59) U6C';') 6 ,"# h}É 'u% s l#ê#\ na & /$* (-&- ') 6/-&- ^_ Ò#Î ulps }')C g3 $ b¸¼' _ g C} ^ "#("# $ / ';')C' ^ ù. Øp¨m. ÙÚÜÛ¨Ý Þ&Û¨ßáà â I;G H X$4ãu' >465 G H XY A#> G H5&ä6>:;@[45,Q. äåä. G 5D2 A#46:;46@19;5 9;: I 4HCLOA Õ 46HL F >6@1A#BC5 G H¼X$L G 69;:k9;H F 9 I β B I)G H X$A L G X G 5 I;Õ 5D2#9u:k9;KM45 G 8#9u9;:;:k>6:u> Á5 2#9u:k9 I BKJ5 F 46H3TV9u4 I KJ46:X9u4 I Y s. æä. ç β. èÞ&Ý Ýné v <. Ñ. . êÏ. ëÏ . l s Î#Î ') f"# &b¸/ ';')C'uC» l Å & / |À*') hn »,<O6'+z}É Î "# β … \ }É ') » l s É 'k/<O "#zAOgC Ì "#ff ¿"#f & Í st
(60) / |r"#6 .ρρ…ρ ρ β ρ -&- ')¼ 61 U»,< s C} b¸¼' \ }É 6C * & gç 1"# h}É ' n ga f _ A. . 3Ï. $ β ¬m. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #. &m.
(61) g & \ /';%gC Ch ,g ,-.< g &h -D & d-&- \ # " dha & / 6C * -&- ')¼ 6/ s
(62) { & U¼'+')'p » Ì » l#Í \ "# ( /')¼f%"# &b¸ β β β β β ';')C'u Ì » l#Í Ú » l s. $. β. $&í $ β . β. $. β. ❚. $&í $. Ý l Î \ "# Ø \ ') f"# &b¸ ';')C'."# ^ Á"#°f"#')g"#° ') hf \ "# } β β ^ m &$ °f"#')gC '+s Ð '. & * "# C '.}" _\ } Ø \ ¿"# C ÉÌ Ò Í " ^ Cb¸zn }É β "# ^ ¼'?- "# "# & g &u fg Ì l Ú Í fCg ÌDØ Í Asn
(63) { "# \ "#ffCε /A g z Å & U'k nf ,"#')/}') g Àqy**Ch/ "# , / |À ';" {gC ,"# ( g"#')("#gC"#% h , zn "# &% ÅÌ "zXB46:;L L G X G 5 Í st
(64) "# , \ & /n "#ff 'p ^ 'p l gC \ "# ( & $ & 1'k nf !C-! /h ^ &'+"#6 $z') Þ çA ') 6"# Þ çA g &Às Ý & Å" gC"#')(g \ /*') b¸z |r"# *f ^ ¼$ . . . p. . $. . . 2. Ï <. Ï » _ . l Î l sÎ l 0× l Î Îs m#m Ò × s Î l#ê l Î. . ×. . "# ( /"# h} 'p |À"# +s Ý $" n gCf%/gC"#'kdgC \ /') f"# &%b/ '+'kC'p-. & ') hf , " _3^ /gC') "# & 'p "# \ "# ll Î » ú s þ#m s. Ï <. Ï ».< . . l sl l Î 0× s Î ú#þ l Î × l s Î l#þ l Î. ×. ε. .
(65) %z') & l Î#Ø \ $*"#'k d} $ /6C';') 6 ,"# n} 'p- l Î l s Ó l#\ - C'p" ') f"# &b¸ ';')C' -ps Î#Î ø#\ }É 6 ñg') "# & ' "# s Î#Î þ s x g ';"#f \ [') f"# b1 ';')C' C-! & ε s ij')/*') 6n f _6\ ') hf ,"# ^ /C f _ hf%gC f _ f"#')gC 'p "# . . ε. ÙÚÜÛ¨Ý Þ&Û¨ßáî ï ä|Ï 4HCLO< 46:k9,'p>645 G H¼XYDA#> G H5,HBC@1TV9;: IuG H34ðä6>:;@[45,Q G 5D2 A#46:;46@19;5 9;: I β 4HCLOA Õ 46HL G ä I BCT¼5 :;4 F 5 G >H GJI L#>HC9uQ G 5D2 Atñ¢ç L G X G 5 Ióò G 9ô>HC9{XB46:;L L G X G 5öõ Õ 5 2#9;H35 2#9u:k9;KJ465 G 8#9 :k>6BHL G H X$9;:;:k>: G H35D2#9u:k9 I BCKJ5 GJI KJ9 I;I 5 2#4Hø÷ s ε
(66) %z ') Ç}ff ^ /*')b¸ $ è ÙPC { g Ê ';')C' é C $*"#gØ#Ø þ s v Å f ( Å & /" ^ Cb/ C'k Çh "# d< 6"# ^ /*Ch b/C'p gC"# b¸s. ùÏ. ú 0 üû¡,0
(67) Uf"#h ,h &C $"# ^ /n $"#';~# ^C_ h" _ g3 & "# !}É & !"OgC"#')({gC \ ') f"# &b¸/ ';')C'u$ & (}É $n ^ ';"# &% g3 &}Éç ¼"#' ^C_ ¿"# & z"# ^ /b ' _ f"#')gCs x C '.}C') \ & b"#f"# &C É- "# _ |À*') hn É "# g "Án ^ ';"# &% Ì C'."# É"# C C- ¿"# & °} ÉC**n &h%gC Í 6Cf3') hf É"Á') f"# b ';')C'. ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. ì. .
(68) haf"#')g/ & "# ,4KMK /%gC z"#')/$¼"# gf hÌ
(69) C')¼ l#Í s Ý $h ^ ';"#6 g "#' ^C_ ¿"# \ e$n ng Û"# g &p 3 & [* '+"# p "# 6 3"# $"# 6 f "#6 Å '+s
(70) { 'k/"#')/ }aÈ -.6"# ff"# &% Pt6"# "#h 'kC* e"# ^ gC ?s =?465 4 I 5 :k>6A#2 GJFñF 46H F 9)KJKJ465 G >6H36'+} $ /C* ';"# z"#')/n ^¼½ ¼ , &a') g ';')C';Às º C'p |À"# *f/ $ /¿"#{';"# Á-D'+ f" \ & U¼|r*') hn ÅT e»,ÓÀ4 F 6'+#s
(71) U¿"# & T e"# dÓ#4 F "#')/h ^¼½ ! a'kC g3 ';')'+h / & _ "#')/ ') hf -.¾C"# g» *C , f *f"# &C Às qr**n/ "# , & _ "#')/') ( ç "#') h ¾C"# & g» *C ^ ¼' \ "# $hO"#')Á"#6'+"# &e &} s Ý ç _ ulp "#')eh ^ &'+"#6 \ 6"# ff"# &C a"# a6"#he "# _ C- & e"#66';"# egC% &p &h"#**¼"#' \ f "#b% g ^ d "# f _ g z "# "# & ^_ ')C ga '+')'+s 6/ s º C'u |r"# *f \ h 'pT Òs Ò#Ó \ -&- ')¼ 6/ %gC , "#b¸/"# $ '+')'p-. "# _ ulps l s Ø#Ø \ "# F 4 Øs Ø ú s
(72) { / |À"# !b¸"#f/C-,T e»,Ó#4 F Os Î#Ø m Øs å ,T Á')C ll s Ø "# (Ó#4 F 'kC z l6l s l#\ ¼ 6/ /Û "#f"# n} 'p s l } $"# $ '+'kC' ^C_3ê Î \ b¸¼ Å & gC l6l s Ø » l6l s l %z |r"#6 f _ ¼¿"#f ds l s
(73) /h ^ &'+"#6 Å( ulps ')6/"# _ ';')C' \^ !'+"# 'u |r*Ch ( / ';')C'u% &')C6 d $ / "#';f% ' f &*f%6"# #s. .. .. þ¯ÿ. ~m. . *. . *. . . ðÏ. 9;H G XH F 4H F 9;KJKM45 G >6H C6'+?}É Éh ^ &'+"#6 g |r"#6 f _ ÈC }É ¿"# &% & Às x - e"# a< "#b¸/ a') g3 ';')' \ & ¼ ^C_
(74) C') ÆØ -. & /h ^ &'+"#6 C $ /} $" g"#')(g \ & /{-û- ') #» _ "#" b ' _ n "#ff'k f"# bU¼'+')'pÌ f nz "# $Ø Í s. ùÏ. ε. v. - C'; f"U & "# ! |À ^ ñ6"# "#h ')* 6"# 6 ff"# $6"# hC ^ 1'k "#'+';"# gC ç f$ "# / & /*'k ^ f s v gC"# Å6C h{¼'p /¿"#'+"# Á-D'+ f". – b + b 2 – 4ac – b – b 2 – 4ac r 1 = ---------------------------------------, r 2 = -------------------------------------2a 2a Ý. . b 2 » ac. \ & . b 2 – 4ac. ÌDÓ Í. C z , b¸fb¸/" "# 6 ff"# C $"# . s å ÁC '?"# aÌ n ^ ';"# &C Í a e- Á- C';$f"#u}f%f b2 – 4ac ≈ b "#b¸/" 6"# "#h ')* Á"# 6 ff"# C Ps
(75) ra"#bC( \ f &*f _ / ';"# C'u"# C "# C'uC-,: ^_. . – b – b 2 – 4ac. 4 5 ` i C > @ ` 5 \ D C d < 5 4 ¾ 5 b X b 5 ` Y i @ A < < B B > B D C @ < B 9 = > ? V ; : À 5 b X b  D = ` Y V ; : = 5 ¾ ¾ 6 O 5 Ñý. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #.
(76) Ì "# dh$f"#';f _ - C'p: Í ç ^ "# Ì þ#Í. 2c 2c r 1 = --------------------------------------, r 2 = --------------------------------------– b – b 2 – 4ac – b + b 2 – 4ac x\ $$* g3: h ga-D'+ f%" Ì Ó Í }ff% bCfbU" "# b 2 » ac b>0 6 "# 6 ff"# ?s
(77) ') - C'k \ h/Ì þ#Í - C'p6C * g3: "# (ÌDÓ Í -D'p: s Ð Å & / ' "# \ -,T (Î \ hUÌ Ó Í -D'p6C * & ga: "# (Ì þ#Í - 'p: s. . . . . Ï .
(78) z |r*') hh% » < u?"# C ',-D'+ f"Á "# |À ^ ?"# &"#n &')* "# 6 ff"# C Ps x C'kÁ"#66';"# b"#f"# &Á "# Ì e»< Í Ì 3< Í s ,÷1 fÈ ¿"#{';"# p- C'; f" \ z% *')b¸ (- C';Çh ff "#z" n ^ ';"# &% \¸^ , ," ^ g $"# 6 ff"# C $C¿"# z}É & !')C ga '+'kC' \ ," "# &"#n &')* ÁC s å _
(79) { ') ÆØ \ & ') f"# &b¸/ ';')C'u ».< z"# ,$n !Ø s
(80) { /h"#$/ &';/CÞ<¼s ijf *f _ g3 } ε ¿"# z}É & Å" h$"#ff') f"# &%b/ '+'kC'p'k nf z Å" *')6 ,} $"Oh "#ff'k f"# b ';')C'uÌDh è Ù? g Ê '+')' é Å*"#gCØ#Ø þ#Í s. öÏ. nÏü2. . êÏ. Ï 2. x a') '? O"#b¸$ - n ^ ¼ } a |r"#6 "# $6C * $b"#f \ & Á-DffC} g C &"# C $h s Ý ')¼"# ».< C & & / |À"# !%-û- ') 6U- "# (< \ < \ \ "# C & ° z6C * & 3-û- ') zÌ ks s \ }É & É') g ';')C' Í snqr$f"#';f _ ⊕ ⊗ C /6C * ("#% &C \ $f *f6"# C \ "# dbn \ 'k n* 6 b f _ s v ff 6"#*ñ "# &[ & e$* $b¸"#f[C-{"/- &C \ "#p Ô ×ÉÌ Í ' q /Ù!
(81) Ì Í s Ô }É ' 6"#n/- 6 z"# d &'+"# "#f "# "# 6"#f "# &% Å / 'p¼|r"#6 ,b¸"#f . Ï. ÜÏ. . öÏ. öÏ. "# $f Ì Í "# . öÏ. x. Ï. nÏ. s. öÏ. þÏ. v f & gC ÅÌ < Í Ì < Í z"# Å |À ff ,"#**')|r "# Å & e» _ \ ⊗ ⊕ ¾"# g» *C , ^ '; "# d< g , h fb¸ ^ /"#**')|r "# C z ahC ')/¿"# &%¼ "# s º C'u |r"# *f \ "# g ^ / |r"#6 f _ ÈC }É xˆ yˆ xˆ yˆ 6$"#f ^ '; "# !"# C ^ / |À*') hn ( |À"# &f _ ^ "#' _ s x $ 6"#h \ b¸ gC <1p"1gC$"#**')C|À$"# &C a 1»{< \ 6"# 3 "#b¸e"1 gCe') f"# be '+')' \ "# dha & /"#b"# "#g/-.Ì (< Í Ì ».< Í 6C *"#') ( a & U &';/ |r*') hhC xˆ – yˆ Cb ' » _ ñ C {"#p'+"# "# rs¼qr [6C * & gçÌ Å< Í Ì /»!< Í ñ" ^ C { [h"#$ "# C ,C-,}É'+È3"#z * &% g e» _ \ ,zf "#';f _ /*') - ';') (-D'+Æ Å & % 6"#ns x çgC '+"#f \ }É b ' \ 'k *f"# gO"[6"# "#h ')* p6"# ff"# &C ^C_ " ^ g ç ,}É'+ & } f/%-, / |À*¼ h/f"#')gC ^ 6"#n/ & / * ,-D & ÅÌ ^ ! . Ï. øÏ. ¥Ï. Ï. øÏ. öÏù2. nÏ. öÏt2. nÏ. 4 5 _ ; @ A > V j A @ A < < 7 : B < = = D > C À ¾  À ·  O > < = C > @ d 8 V = < 8 d 8 @ 8 = @ B > : A D d d 8 C d < ; ; 8 @ D > C i D @ D = = ; D j A @ ; f ; < = = 8 d d V B 8 @ < @ A 8 C ¾ D ? x » y > B x « y5 C @ A D = d 8 = < i À ¾  À ·  A 8 = @ A B < < B > V C O D C j < B B > B = i e V @ 7 ¾ f A 8 = > C ; f @ ] > = DC d < @A < B> V C O DC j < B B> B d > 9 9 D@@< O ] A < C d > 9 : V @DC j @A < = 9 8 ;;< B > ? 8 C O O > < = C > @ 8 ??< d @ @A < w C 8 ; = V e @B 8 d @D> C 5 ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. Ñ.
(82) "#f}" _ Í "# $"#**'kC|À% "# &% Ps å , f "# g3" "# 6 ff"# C $ ') f _ ÌD"#z Å & ¿"#'+"# &%Á- C'+ f" Í z}É'+ } f%/ b $-. /"# " "#'kU , |r"#6 ]s
(83) ')Cg u*"#* ' \ }ff ^ e"#hn Å & "# e¾C"# & g» *C * &p O"# 3"#fg'+ & "#') |À"# ,"# ( "# , & /'k nf z"#')/6C * & d"#z"#6'+"# & f _ "#*nh ^ fs. øÏ . nÏ. öÏù2.
(84) [ |r*')¼nhC »{< zñ C'k["#6'+"# &[} ¼ 3') }É'; & 3"#pÌ /»{< Í Ì Å< Í{^ 6"#h "e"# &"#n &')C* p6"# ff"# &C ç°') *f"#¼ } É" ^ g ÉC s Ý |À *') h C') ')¼n & ga |r"# *f C-,- C';$f"# |À ^ g36"# "#h 'kC* e6"# 6 ff"# Å & "# !"# ^ /') }'+ & $ a |À ^ , f _3^ g $6"# 6 ff"# ?s
(85) U"#'k " C-,"O &'+"# gf/6"# ^ / |r*'k nh (') 6 f _ $ ';$zC-, /f gC -. & h{¼4 \ T \ "# F "#. A =. s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c ) , where s = ( a + b + c ) ⁄ 2. Ì ø#Í. 2. F sn
(86) { I qy**Ch ';%"# gCfÁ b ' _ ¾"# ÂÀ "# \ 4 T 4 \ "# 3 Á & '+ËÌ I » 4 Í ≈ ≈ $ ¿,stÌ ø#Í n ^ ';"# & }a "#' ^_ ^ '; \ U-.} $ " _ "#b¸/') g m sÎ \ T F ';')C'+s º C'° |À"# *f \ -{4 Ós þ Ò \ & a [6C';') 6 b¸"#f[- I % m s Î#Ò1"# R Øs Ò#Ó#Øssss Ê b $ Cg $ /6C * & (b¸"#f/C- I Ì m s Î þ#Í %z Å ';')' ^C_ C f _ Ø \ /6C * & db"#fU-¸R Òs Î#Ó \ "# $ '+')'p- ê Î s. . ulps. . . ulps.
(87) ')eu"[}É" _ &'k }É'; Á-D'+ f"1Ì ø#Í nO & "# }Éff') '; a"#6'+"# &e')¼nf u b - C'p¾"# , ';"# gCf OÏÜz"# "# l#m#ú#ø Ñhs x ,. ( a + ( b + c) ) ( c – ( a – b) ) ( c + ( a – b) ) ( a + ( b – c) ) A = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, a ≥ bÌ ê#≥Í c 4 x{ F]\ n *f _ ') "# 1 & ^ -D')["#**f _ gçÌ ê#Í s x - 4 \ Te"# F É {n"# &%h- _ 4 T ≥ ≥ h ';"#g - C';}"#')( a6 È3 & "# , /'+gC » "# (h% zC-,Ì ø#Í "# dÌ ê#Í "#') "#fg ^ ';"#"#ff _ 6"#fkst÷[n g3 & /b"#f zC-,4 \ T \ "# F " ^ Cb/gb " * & "#') " -.Øs Ò þ#\ } 6 Å l $ '+'kC'p"# ( 6 $$')/"#6'+"# &/ "# Å & UÛ'+h ulp - C';$f"s v f & gC É- C'+ f"eÌ ê#Í % ° É C'k"#6'+"# & "# ÉÌ ø#Í - C'. ° |r"# *f \ }Cf ^ / 6 / aÈC C} } } ffÌ ê#Í *¼'+- C';$z ÅgC '+"#fks. Ñ«. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #.
(88) ÙÚÜÛ¨Ý Þ&Û¨ß
(89) 2#9u:k>6BHL. ò õ. åä. G H X$9;:;:k>6: G H F B:):)9)L Qz2#9)H3B )I G H X ,5D> F >6@1A#BC5D9 5D2#9u46:k9;4Á> Á4Á5D: G 4H¼XKJ9 JG I 465 s Î#Î þ#Õ 46HL @1> I 5 6l l Õ A#:k>8 G L#9;LO5 2#465 I BCT¼5 :;4 F 5 G >6H GJI A#9;: 6>6:;@19;L Q G 5 2 4°XB46:;L L G X G 5 Õ 9 ε ≤ 5 2#45 I B46:k9p:k>6>65 I 46:k9 F >@[A#B5 9;L 5D>ÁQ G 5D2 G H l ÚyØ s. ä. . ulp. .
(90) U6C Å & "# ,9 s Î#Î þ , Åb'+ &"#ff _ ¼b¸ ' _ "# &"#f¾"# g» *C ú n') z "# ,9 _ h Ss º 'p |r"# *f/} Ø \ A s Î#Î þ#\ "# (} ¼ β ≥ β A Ò gC ?s. . . ≥. . l Î \. x h "# & $¼ &zfÈC1
(91) ') ÒU & "# {n6nñ 1')¼f"# b¸[ '+')'u-!"# $¼|r*') hn \ '+h C( "# ! / |r*') hhC $6C * & (h g3¾"# g» *C ,"#';% & $ &ys x $*"#'+ &f"#' \ /') f"# b/ '+'kC'pz"# &"#ff _ -. & / |À*') hn . . q 1Ù!
(92) ÌDÌ 4. T. ⊕( ⊕. F]Í Í. F. ⊗(. (. 4. T. ¬õöõ. ⊗. ÌF. ⊕. T Í Í. Ì 4. ⊗. ò4. ⊕. F]Í ÍDÍ. Ì T. . Ì ú#Í. å 6"#h[C-! & 16 ^ ';n$[ "# ')[C-!Ì ú#Í \ 3 [n &"# {C-! & C') ñ}1}ff n"#ff _ h" _ 5 2#9 F >@[A#B5 9;L 8#4KJBC9u> Á7('+"# & 'p "# $}É'; g3 ,7(} $')6f C &"# C Ps. æä. Ê '+'kC' ^ "#'k/h"#f%f _ Cç*¼nh$h rs x Å & / '+6"#f |r"# *fUgCb¸ " ^ Cb \ Á6C * & b¸"#fÁC-Ì ê#Í Øs Ò þ#\ 6C *"#') } ç"[ ')b¸"#fÁC-Øs Ò#Ó#Ø l#ø - C'p" ')¼f"# b¸/ ';')'pC-,Îs ê \ }É 6 Å $f h "# ll s
(93) /$"# $') "#hC $- C' ε ε 6C * & ga '+'kC' ^ C , agC ,*') 6h ^ ^ ,'+"# & 'p çb¸ ';- _ "# /- C';$f" C z ,6C "# $ ';%6"#f*') ^ f Às v. Û "#f |À"#$*f/C-,"# ż|r*') hn Å & "# ,"# ^ /') }'+ & Å &an ^ g Í \ }É 'k 6"# 6 ff"# ÅzÌ l s
(94) |À*'k nhC $"#'+h $Û "# 6"#f x«1 6"#ff"# C #s opC h% 'u *Ch g l Î#Î b¸ ' _ " _ a" ^ "# È3"#6 , & "# "#'; z"# Å"# "#f & ') h ,'+"# &/C- ø É\ 6C *C ({"#f _ s x -.H Ò ø#þ "# G s Î ø#\. 2þÏ 1. . . . /"# C ,C-, C _ "#6 f"# & d"# ! / d-. _ "#'p l Î#Î ( 1 + i ⁄ n ) n – 1 -------------------------------i⁄n Cff"#';Às x -, z$* (n g Ø "# (A Ø#Ó \ /') hf , #Ò ê#ø#l#þ s Ó þ β 6C *"#') ( ç / |À"# !"# n} 'uC- #Ò ê#ø#l Ós Î þ#\ " n6') *"# _ C- l s Ó#Îs
(95) /') "#hC G ÚrH3 b¸Cfb "# g l - C'p & /*'k ^ f Çz "# _ ah s
(96) { / |À*') hnC l s Î#Î#Î l#ø Ó#Ò ú Ò ø#\ nç /fC} ') ' ^ zC- G ÚyH3"#'k/fCh ]s
(97) z')C ga '+'kC'p G ÚyHa'+"#h ( a & UHC $*C} '+s "# *f%Û (}É l. . . 2. . . 2. ë +¼Cì Mu+u#% r#k® %¼ +#¢!í +¦Áz]+#¼î#¢++% yï%ð+ +ñ u%. Ñò.
(98) 1 2 Ï ø. 2. 1 í / !&1#". G ÚrH Í 6"# ^ /'k }É'; ¼ Å"#9 \ } ')
(99) U &') ^ f hC / |r*') hh% ÅÌ l Í - C'Ph$"#ff s Ð Á"#**')"# É h C}ö & *') ^ f &O6C * f% Ì l Í \ $} 6 Å6"#h/ /*" _ ^ ¼$ #Ò ê#ø#l#ê s Ø ø#\ "#**')|r "# C $f Ì l ≈ } 6 $%zC-û- ^C_ #Òs Ø l "# d¼b¸ $f nz"#6'+"# &U & "# Å & / ^ bC- C'; f"s å Í b¸ ' _ "#6'+"# & f _\ "#
(100) C'k ÇÓ h }É 'k/%z" }É" _ &a6C * &/f Ì l Ï }Éf & » Ã "#6È"#'k l#m#ú Ø#Ñ]s
(101) z-D'+ f" _ f #Ò ê#ø#l Ós Î ê#\ "#6'+"# &U &a} Å &}É 6 . 2¢Ï. . ¯m. Ï. Ï. 2¢Ï. . $. p. nÏ ëÏ. öÏ.
(102) C') ÆÓ "#nh$ z "# Ô ×ËÌ Í "#**')|r "# f Ì Í &a}% & l ÚrØ s
(103) ulp Í z C ,6fCh/ af Ì l Í *') ^ f Æ ,hCfb¸ z & "# !}É Ozn "#ff \ Ô ×ÉÌ l ⊕ ^ "#h l "#fn ! / - C'; "# C $ Å & /f%} ') ' ^ zC- s
(104) "# , \ & ⊕ Í z ,6fChU &a z"# &"#fb"#f/} 6C * & (b¸"#f/C-.f Ì l s. Ï. ÙÚÜÛ¨Ý Þ&Û¨ß % ï äÁKJH ò çtñ¢Ïõ. Ï. 2¢Ï. ÜÏ. 2¢Ï. x«1. ,ä. GMIpF >@[A#B5 9;L B I;G H¼XÅ5 2#9 6>6:;@1BCKJ4. Ï. 2¢Ïõ&. f Ì l. ä6>6: l ä6>: l. x ln(1+x) --------------------------( 1 + x) – 1. 5 2#9u:)9)KJ45 G 8#9u9;:;:k>6: GJI 465.@1> I 5 þ. ⊕. Ï. ⊕. Ï. =1 ≠1. '. ä. 3 Õ A#:k>8 G L#9)L I BCTV5D:;4 F 5 G >6H GJI A#9;: 6>6:;@19;L --4 Q G 5 2 4°XB46:;L L G X G 5 Õ 9 (Îs l#Õ 4HCLOKMH GJIuF >6@1A#B5 9;L 5 >eQ G 5 2 G H l ÚrØ s. ε. Qñ2#9;H3Î. ≤. |. . ulp. Ï. ^ , f _ & ') h g3- C' \
(105) %z- C'+ f" }Éff}É'+È3- C'u"# _ b¸"#f/Cx«1 Í s } 6 $} ')/6"# "#h 'kC* Á"# 6 ff%"# &C $C66';z% $ & / "#%b/- C';$f" f Ì l v f & gC Å & /-D'+ f%" " _ h Ç _ n & '+C \ ')/" h$*f/ |À*f"# "# &% Å- ' } _ }É'+È#s Ý. '+ ef Ì l. 2ëÏ. Í "#. 2¢Ï. ( 1 + x) x ln------------------ = xµ ( x ) x. öÏ . sV
(106) [f - "# Å- "#6 C'. 2øÏ Ï. Í Ú [}Éff¸h-&- ' 6"# ^ e6C * & $ |À"# &f _\r^ Á'+g "# $- "# &C' Ì Í f Ì l µ " f"#')g/'kC { g3 ';')'p} $"# g l s C} b¸ ' \ z"#f$n ,6C h "# \ µ Í h 6/f Ì l stqra6 "# gC g Ohfg f _ }Éff , ')6/ 6 $ '+')'+s x . 2¢Ï. C & 'p}C') \ -. Ï µ ÌöÏ Í f Ì l 2þÏ 6C * & Ñký. ≈. Ï. \ x˜ ≈ x. þÏ &m. þÏ. 6C * g. xµ ( x˜ ). Í s x z ')/" b"#f/- C'. ¬ #u +¢h+u#%+%® °¯ #. x˜. }f%f ^ /" gCd"#**')|r "# Å &. - C'p} . x˜. "# . x˜ + 1. "# ^ .
(107) "#6'+"# & f _ù {
(108) ')/h "#$ f _ ¿"#f l s. Ï ⊕. x˜. Ìl. . ⊕. Ï Í. l#\^ "#hU & l. 2. x˜. |À"# &f _.
Powiązane dokumenty
the risk of hypocalcaemia is higher after a total thyroidec- tomy or total thyroidectomy with node dissection [6], and in a transient form, it was observed in 16–55% of
i zdejmowania środków ochrony indywidualnej w czasie opieki nad pacjentami z podejrzeniem lub potwierdzo- nym zakażeniem wirusem SARS-CoV-2 (COVID-19) [31, 32].. Wytyczne
Wśród zalet znieczulenia ogólnego, w porównaniu z przewodowym, wymienia się między innymi fakt, że jest ono psychologicznie łatwiejsze do zaakceptowania dla
Extracorporeal membrane ox- ygenation-assisted primary percutaneous coronary interven- tion may improve survival of patients with acute myocardial infarction complicated by
For proximal nail matrix PGA the total number of lesions in the proximal nail plate is assessed: clear if there are 2 or fewer leukonychia or surface defects other than
• stężenie LDL-C < 115 mg/dl (3,0 mmol/l) u osób małego i umiarkowanego ryzyka sercowo-na- czyniowego (osoby < 40. roku życia z cukrzycą typu 1 bez
The presence of intra-abdominal hypertension (IAH) erroneously increases barometric filling pressures like central venous (CVP) and pulmonary artery occlusion pressure (PAOP)
Ponieważ ryzyko złamania zwiększa się wraz z dawką i czasem trwania kuracji GKS [39], a prze- rwanie leczenia tymi preparatami u części chorych skutkuje „naprawczym”
