Inleiding elektriciteit

w.

Buijze

Inleiding

I n I e i din gel e

kt

ri c i

t

ei

t

•

Bibliotheek TU Delft

1111111111111

c

1713134 - -- -

I ! h hf f Ij, tI *"

I n I e i din gel e

kt

ri c i

t

ei

t

W. Buijze

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Buijze. W.

Inleiding elektriciteit 1 W. Buijze. - Delft: Delftse U.M .. -111. Met lito opg.

ISBN 90-6562-110-5 SISO 535 UDC 537 Trefw.: elektriciteitsleer.

©VSSD Eerste druk: 1989

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

5

Voorwoord

Aan de TU-Delft worden voor verscheidene faculteiten colleges Elektriciteit gegeven. De inhoud daarvan, de volledigheid en de gestrengheid van het betoog hangt af van hetgeen de betrokken faculteit wenst en mogelijk maakt.

In dit boek worden de onderwerpen uit zulke colleges behandeld. Een onderwerp wordt - waar nodig en waar dat kan - behandeld op verschillende niveaus van mathematische rigueur. Dat maakt het mogelijk uit de paragrafen steeds dié keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. Bij de didactische opzet is daarmee rekening gehouden. Passages aangegeven met 0 kunnen bij een eerste lezing worden overgeslagen; passages met _ kunnen bij een tweede lezing worden overge-slagen.

Het boek is opgezet als studieboek en niet als standaard handboek. Het is - zoals de titel al zegt - een inleiding.

Bij het schrijven heb ik op de voortdurende kritische hulp van mijn collega drs. R. Roest kunnen rekenen. Diegenen die het werk kennen van drs. L.J.N. Oedayrajsingh Varma zullen in de voorliggende tekst duidelijke sporen daarvan aantreffen. Van hem heb ik veel geleerd. Beiden dank ik voor hun hulp. De jarenlange samenwerking met ir. A. Henderson leidde tot de vorm waarin het hoofdstuk over wisselstromen is gegoten. Mijn gedachten gaan ook uit naar A.J. Buijze, die mij destijds (Baros VI, Tjimahi; 23 okt '44-22 aug '45) de eerste beginselen van de natuurkunde bijbracht.

Het is mijn verwachting dat ik er wel weer niet in geslaagd zal zijn alle drukfouten te elimineren. Wellicht zijn er ook tekortkomingen in het betoog. Wie mij op deze feilen wil wijzen zal ik dankbaar zijn.

/ "'rl" rJ][!I'T~ ! I ' I ' l ' "

!!I"' _ _ _ - - ' ! l W t i dW 'rt • . t , t ft

7

Inhoud

VOORWOORD

5

C

D

ELEKTROSTATISCHE VELDEN IN VACUÜM 11

1.1. De Wet van Coulomb 11

1 .2. Elektrische veldsterkte 12 1 .3. Elektrische potentiaal 12 1.4. Veld- en broncoördinaten 13 1.5. Conserverende velden 14 1.6. Potentiaal-verschil 16 1.7. Continue ladingsverdelingen 17

1.8. De Stelling van Gauss (1777-1855) 19

1.9. Voorbeelden 23

1.10. Elektrische geleiders in elektrostatische velden 29

1.11. Condensatoren 29

1.12. De vergelijkingen van Poisson en van De Laplace 34

1.13. De eenduidigheidsstelling 35

1.14. Mutuele potentiële energie van een ladingsverdeling 37

1.15. Overzicht van hoofdstuk 1 40

2. ELEKTROSTATISCHE VELDEN Il'l DIELEKTRICA 41

v---·

2.1. De elektrische dipool 41

----""2.2. Krachtwerking op een starre, elektrische dipool in een uitwendig

elektrisch veld 42 2.3. Polarisatie 2.4. Continuüm-model 2.5. Poissonladingen I 2.6. De elektrische fluxdichtheid 2.7. Poissonladingen TI 2.8. De elektrische fluxdichtheid 2.9. Diëlektrische materialen 46 47 47 48 50 53 54

2.10. Eigenschappen van elektrische velden in grensvlakken 55

2.11. Elektrische veldenergie 57

2.12. Oplossing van problemen met behulp van de vergelijkingen van

Poisson en van De Laplace. 59

8 3. ELEKTRISCHE STROMEN

68

68

69 70 72 74 76 78 80 81 --- 3.1. Stroomsterkte, stroomdichtheid

--

.-- '

3.2. Wet van behoud van lading 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9.

De stroomwet van Kirchhoff (1824-1887)

De wet van Ohm (1789-1854)

De wet van Joule (1818-1889)

De spanningswet van Kirchhoff Schakeling van weerstanden Bronnen van elektrische energie Overzicht van hoofdstuk 3

@

HET MAGNETISCHE VELD V AN STATIONAIRE STROMEN

4.1. Inleiding 82 82 83

86

91 92 97 98 4.2. De krachtwerking tussen twee stroomvoerende geleiders

4.3. Enkele voorbeelden

4.4. Een bewegend deeltje en het magnetische veld 4.5. De circuitregel van Ampère

4.6. De divergentie van de magnetische flux-dichtheid B 4.7. De magnetische vectorpotentiaal

4.8. Voorbeeld 102

4.9. De vergelijking van Poisson voor de vectorpotentiaal 104

4.10: De circuitregel van Ampère 105

4.11. Overzicht van hoofdstuk 4 106

5. MAGNETOSTATISCHE VELDEN IN MAGNETISEERBARE MATERIE 107

5.1. De magnetische dipool 107

5.2. Krachtwerking op een starre magnetische dipool in uniform een

uitwendig magnetisch veld 109

5.3. De magnetische vectorpotentiaal op grote afstand van een

stroom-kring 112

5.4. Het magnetische veld op grote afstand van een magnetische dipool 114 5.5. Krachtwerking op een magnetische dipool in een willekeurig

magnetisch veld 114

5.6. De potentiële energie van en het koppel op een starre magnetische

dipool in een willekeurig veld en het koppel 116

5.7. De magnetisatie 117

5.8. De magnetische veldsterkte en de circuitregel van Ampère 119 5.9. Opnieuw de magnetische veldsterkte en de circuitregel van

AJnpère. 121

5.10. Eigenschappen van magnetische velden in grensvlakken 124

5.12. Magnetische susceptibiliteit

5.13. De oplossing van magnetostatische problemen met behulp van de vergelijking van De Laplace

5.14. Overzicht van hoofdstuk 5

~

6

·

.

)

ELEKTROMAGNETISCHE INDUCTIE

~1. De inductiewet van Faraday-Maxwell

6.2. Inductie en de vectorpotentiaal

6.3. Inductiespanning in een bewegende draad

6.4 . Voorbeelden

6.5.

Superpositie van beide vonnen van inductie

6.6.

Inductie in bewegende en van vonn veranderende kringen

6.7. Mutuele of wederkerige inductie 6.8. Zelfmductie

/6..-9; Magnetische veldenergiedichtheid ~-t0. De transfonnator

/ .6:11. De reciprociteit

,

~.J1. Nog eens de reciprociteit

6.13. Koppelingsfactor

6.14. Magnetische veldenergie van een starre onbeweeglijke stroomkring

6.15.

Overzicht van hoofdstuk

6

~

VERGaIJKINGEN VAN MAxWEll 7.1. Inleiding

7.2. Eerste wet van Maxwell. Verplaatsingsstroom

7.3. Een voorbeeld van voortplanting van elektro-magnetische ver-schijnselen

7.4. Golfvergelijking

7.5. Voortplanting van elektro-magnetische veldenergie

7.6. Overzicht van hoofdstuk 7 8. NETWERKEN EN WISSELSTROMEN

8.1. Spanning en stroom

8.2.

De wetten van Kirchhoff

8.3. Enkele elementen

8.4. Impedantie

8.5.

Bronnen

8.6. Enkele berekeningen in netwerken met weerstanden

8.7. Superpositie en lineariteit 8.8. De stelling van Thévenin

9 128 131 132 133 133

135

136 137 139

141

143 144 146

148

149

150

151

152

155

156

156

157

160

162

165

166 167 167 168 169 172 173 174 175 179

---

--

----

---

~

10

8.9. De stelling van Norton

8.10. Berekeningen met complexe grootheden 8.11. hnpedantie

8.12. De wetten van Kirchhoff

8.13. Enkele berekeningen met complexe grootheden 8.14. Wijzerdiagrammen

8.15. Energie, vermogen en effectieve waarde 8.16. Resonantie

BIJLAGEN

B.l. Functies van meer dan één onafhankelijke veranderlijken B.2. Vectoralgebra

B.3. Het differentiëren van vectoren B.4. De vectoroperator "nabla" (V) B.5. Enkele belangrijke betrekkingen B .6. Coördinatenstelsels B.7. Complexe getallen TREFWOORDENLUST 182 183 188 191 193 196 198

201

205

205 206 209 210

212

213

216 219

~

~---

----

---i.

11

1

Elektrostatische velden in vacuum

1.1. De Wet van Coulomb

Door - voor zijn tijd zeer nauwkeurige - metingen te verrichten stelde Coulomb (1736-1806) vast, dat de elektrostatische krachtwerking tussen twee lichamen met zeer kleine afmetingen, geplaatst in vacuüm omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de onderlinge afstand en recht evenredig met de grootte van elk der betrokken ladingen.

Plaatsen we een puntlading q in de nabijheid van een puntlading Q, die zich bijvoor-beeld in de oorsprong bevindt dan geldt:

--. -r lQq

F(r) = f(r)

r

met f(r) = 41tEo

f2

.

Hierbij zijn SJ. eenheden gebruikt en hierin is r de plaatsvector van q. Dan is

f

de eenheidsvector wijzend vanuit

Q

in 0 naar q .

..

-F(~,~_Q_-- r q

Figuur 1.1.

Het door Q veroorzaakte krachtveld is een centraal krachtveld, dat bovendien "omge-keerd" kwadratisch is. De wet van Coulomb is:

--. 1 Qq-r

F

-- 41tEo r 2 r (1.1)

De ladingen zijn uitgedrukt in coulomb (C); de afstand in meter (m) en de kracht in newton (N). De positieve evenredigheidsconstante - 4 1 is gelijk aan 9.109 _Nm2C-2•

1t€o Hiermee volgt voor de permittiviteit Eo van vacuüm

De krachten zijn afstotend als beide ladingen hetzelfde teken hebben en aantrekkend in het andere geval.

Zijn meer ladingen aanwezig dan vindt men de totale kracht op q uit een superpositie als vectorsom van alle op q werkende krachten.

______ . w·

12

1.2. Elektrische veldsterkte

De kracht, die op de eenheid van lading in een willekeurig elektrostatisch vectorveld wordt uitgeoefend, noemt men de eleklrische veldsterkle

Ê.

Voor het geval van figuur 1.1, kan voor het elektrische veld van Q geschreven worden:

--.

Q

r

E = - - · - .

41reor2 r

In het algemeen schrijft men:

--. F

E=q'

(1.2)

(1.3) Men ziet dat (1.2) een bijzonder geval is van (1.3). Merk op dat de elektrische veldsterkte een vector is. De eenheid voor E is NC-1 _{(of Vm-1).}

1.3. Elektrische potentiaal

Wij bekijken het veld van een punûading

Q

die zich bevindt in de oorspong van een cartesisch coördinatenstelsel.

~ ~ ~ ... /

Nuisr=xi +yj +zk-H= ~x2 + y2 + z2.

In de vector-rekening is gedefinieerd een "nabla-vectoroperator" \7, volgens:

~O ~O

-0

\ 7 = t - + J - + k - . OX oy Oz Hiermee volgt: 1

-0

1

-0

1 -

0

1 \7(-)

=

i - (-)

+

j - (-)

+

k - (-). r

ox

r oy r Oz r

Substitutie van r geeft

na

uitvoeren van de partiële differentiaties:

\7(~)=- r~

·f·

Gaditna! Hiermee valt voor (1.2) te schrijven:

E

=

-\7[

41t~r

J.

of

E

= - \7(V), ook wel

E

= - grad(V), (1.4)

waarin V een scalar is die wij potentiaal noemen. Net als hier, is in het algemeen Veen functie van r.

,

-Voor een puntlading geldt dus op afstand r, V(r)

=

4~or

+ constante.

13

Als wij stellen V(oo)

=

0 is de constante nul en schrijven wij voor de potentiaal in een veld rond een puntlading Q:

Q

V = 41teor' (1.5)

De S.L-eenheid voor potentiaal is JC-I. Men noemt deze eenheid volt. o

1.4. Veld- en broncoördinaten

Wanneer wij meerdere ladingen beschouwen bevinden deze zich niet alle in de oor-sprong. De afstandsvector

r'i

van de i-de lading Q tot de lading q wordt dan met

Ri = xiT +yS +Zik

enmet

R=xT +YJ +zk

dus:

r'i

=R-Ri.

z _Oi q y O~ ____________________ __ x Figuur 1.2.

De plaatsvector

R

heeft de kengetallen x, Y en Z die wij de veld-coördinaten noemen

van het punt in de ruimte waar wij het veld (b.v. met een lading q) willen onder-zoeken.

-De vector Ri met de coördinaten van de lading Qi - die een bron is van elektrische krachtwerking - zijn Xi, Yi en Zi. Deze coördinaten noemen wij de bron-coördinaten. Voor de ladingen

Q

en q wordt de wet van Coulomb dan geschreven als:

p

_

__

1_ Qiq

.-r-1 -4ne 3 I '

, . - _ " " . _ 'eee", _ _ . _ =_,

14

Voor de veldsterkte en de potentiaal volgt met (1.2) en (1.4) dan resp.:

t;. _ _ 1_ Qi

.r.

LJj - 41te 3 I o r_i

en

v=

_1_Qi

1 41teo ri .

Bij superpositie over alle ladingen krijgen wij dan

- q ~

Q.

F = - - ~ _ I ·

ri.

41teo i=1

r~

Ë=_I_

±

Qi.f. 41teo i=l r~ I en V=_l_

i:

Qi. 4m:o . ri 1=1

1.5. Conserverende velden

Verreweg de meeste elektrostatische velden ontstaan uit superpositie van de velden van meer (soms zeer vele) ladingen.

Voor een willekeurig elektrostatisch veld kan met gelet op paragraaf (1.4) algemeen schrijven:

Ê

= -

V(V) of

Ê

= -

grad(V). (1.6)

Hi . . V ~a ~a ... k a d bI d dif'c . .

enn IS

=

1 ax + J ay + az' e na avectoroperator waarmee e lerenuaues

naar de veldcoördinaten moeten worden uitgevoerd. Zie in dit verband paragraaf 5.3 van Inleiding Mechanica van Roest.

Bij de vectoranalyse is gebleken dat de rotatie van een gradiëntveld nul is. Dus: rotgrad(V)

=

0

ofwel Vx {VVl

=

o.

Een elektrostatisch veld wordt dus gekenmerkt door:

rot

Ë

=

0

ofwel V x

Ë

=

o.

(1.7)

Het rotatievrij zijn van een vectorveld is een criterium voor het conserverend karakter

w:

van dat veld. Gelet op het voorgaande is het duidelijk dat conserverende velden ook wel potentiaalvelden worden genoemd.

15

Met de integraalstelling van Stokes (1819-1903) kan men het differentiaalcriterium (1.7) ook in de vorm van een integraal schrijven. D~ gaat als volgt:

Stokes bewees dat voor een willekeurig vectorveld A geldt:

f

Ä

·

dl

= (

(V x

A)

·

<iS ,

'<1 C, '<1

A.

c

)s

(1.8)

Hierin is C de contour die in het veld een oppervlak S omrandt. Zie figuur 1.3.

Figuur 1.3.

Voor de kringintegraallangs de contour kiest men een willekeurige omlooprichting. De lijnstukjes dl langs C zijn in overeenstemming hiermee geöriënteerd. Het opper-vlak S verdeelt men in infinitesimaal kleine stukjes dS waaraan men als volgt een vector karakter geeft. Men richt loodrecht op dS een vectortje op waarvan de norm gelijk is aan de grootte van dS. Omdat S twee zijden heeft zijn nog twee richtingen voor dS mogelijk. Men kiest die richting die correspondeert met de gang van een rechtse schroef (kurkentrekker), die past bij de gekozen omloopsrichting van C. Zie figuur 1.3.

Het zal duidelijk zijn dat S een "fatsoenlijk" oppervlak met twee zijden moet zijn en niet een singulier mathematisch bedenksel zoals b.v. de band van Möbius.

Omdat voor een elektrostatisch veld (conserverend veld of gradiëntveld) geldt rot(Ë)

=

0

kan met de integraalsteUing van Stokes ook geschreven worden

1.. .... -.

'f

E·dl

=

0,

c

'<1 C. (1.9)

Dit is een integraal-criterium voor een conserverend veld, dat gelijkwaardig is aan het diffentiaal criterium:

rot Ë

=0.

(1.7)

16

In paragraaf 5.3 van Inleiding Mechanica (Roest, Delft, 1988) wordt aangetoond dat ieder centraal vectorveld conserverend is. Dat geldt ook voor het geval zo'n veld niet omgekeerd kwadratisch is zoals wel het geval is bij de wet van Coulomb of de gravitatie-wet van Newton (1643-1727). Een centraal

krachtveld is een veld waarin:

a. de veldkracht steeds gericht is naar een vast punt toe (het krachtcentrum) of daarvan af.

b. de grootte van de veldkracht alleen een willekeurige functie is van de afstand r tot dat

kracht-centrum. Die functie behoeft dus niet omgekeerd kwadratisch "in r te zijn" zoals bij Coulomb.

Een elektrostatisch veld is op grond van de wet van Coulomb opgebouwd via een superpositie van

centrale krachtvelden. Ook met het bewijs uit Inleiding Mechanica van Roest valt dus in te zien dat

een elektrostatisch veld een conserverend ofwel rotatie-vrij veld is.

1.6. Potentiaal-verschil

z

A

Figuur 1.4.

Als geldt:

f

Ë·

dl

=

o.

'V C. dan betekent dit

c

f

B...

(A ...

E·dl

+),

E·dl

=

O. Al Bn C 1II I Y I I I I I V

waarbij de indices I en 11 betrekking hebben op de wegen in figuur 1.4.

l

A ... -

fB ...

-Met E·dl

= -

E·dl geldt

Bu All

f

B

... - fB ... -

E·dl = E·dl. 'V C. dus voor alle I en 11.

Al Au

f

B...

-In woorden betekent dit dat de uitkomst van de integraal A E·dl onafhankelijk is van de gevolgde weg van A naar B. indien

Ê

een conserverend veld is.

17

(1.8)

Alleen omdat de integraal tussen A en B onafhankelijk is van de gevolgde weg kan men zoals in (1.8) een potentiaal verschil definiëren. De vorm (1.8) volgt uit de defInitie Ê = -V(V).

Wij bekijken (1.8) nog eens in een ander licht.

1. Volgens (1.6) is:

- -;>av -;>av -av

E

= -

{l ax + J

ay

+ k

az }.

Met

di

= dxT

+

dYJ

+

dzk,

volgt:

- - av av av E·dl = - {ax dx + ay dy + az dz }, of

Ê·dl

= -

dV. dV=-Ê·di.

(A

(A __

J

B dV =

-

J

B E·dl,

(A_ fB

-VA - VB =

-J

B E·dl = A E·dl. (1.9)

Merk op dat het minteken dat voorkomt in

Ê

= - grad(V) tot gevolg heeft dat de integratie plaats heeft van A~B en niet van B~A.

2. Equipotentiaalvlakken.

TTit (1.9) volgt dat dV = 0 als Ê..l di.

Men ziet, o"t .. ls t!~,"'r, ;:~~h steeds verplaatst loodrecht op het veld, de potentiaal constant blijft. Met andere woorden veldlijnen staan loodrecht op equipotentiaalo vlakken.

1.7.

Continue ladingsverdelingen

Wanneer zich in een gebied zeer veel puntladingen bevinden die zeer dicht opeen zitten spreekt men wel van een ladingscontinuÜIn.

De continue ladingsverdeling kan zich bevinden binnen een volume, op een oppervlak of langs een lijn. De dichtheid van de lading zal niet overal even groot behoeven te

- < 0 0 " "I11III

zijn. Men bekijkt dan een kleine hoeveelheid lading in een klein element en defmieert ,

,..

..

18

a. Een ruimteladingsdichtheid p (Cm-3), deC 1im &}

P

= - ,

~'t-+O ~'t

waarin ~'t een klein volume-elementje is. b. Een oppervlakteladingsdichtheid 0' (Cm-2),

<Lef l' Llq

0' - _~S-+o lID AS'

t i

met ~S als klein oppervlakte-elementje. c. Een lijnladingsdichtheid A (Cm-I),

met /)J een klein lijn-elementje.

Men beschouwt de lading in een elementje als een puntlading en de berekening van veldsterkte en potentiaal verloopt dan door integratie van de vergelijkingen (1.2) en (1.5).

In het licht van paragraaf 1.4 wordt voor ruimteladingen geschreven:

Met p

=

p(x{,yj,z{) terwijl wij ri schrijven als r. Zoals in paragraaf 1.3 kan men zeggen

- i

_{E=- -4 -V(-)d't}

p

1

1t€o r

't

(1.10)

De integratie over 't vindt plaats naar de broncoördinaten terwijl de operator V werkt met veldcoördinaten. De integratie en differentiatie-volgorde mag dus worden omge-keerd waarmee volgt:

Ê=-V{(

r

~}

_{41t€or '}

't

waarmee met (l.4) geschreven kan worden als:

v=-(

pd't .

J

41t€Qr

't

(1.11)

~~---19

Op dezelfde manier kan men voor oppervlakteladingen schrijven:

... f

_E=

_{- - d S}

ar _{met V=}

f.

_{- - ,} adS 4m:or3 41t€or

s

s

en voor lijnladingen krijgen wij dan:

... f

_{E= - - d l met V=}

')..r

f

_{- - .} ')..dJ

4m:or3 41t€or

I I

1.8. De Stelling van Gauss (1777-1855)

De stelling van Gauss legt verband tussen de eigenschappen van een elektrostatisch veld aan het gesloten oppervlak dat een volume bepaalt en de door dat oppervlak omsloten lading.

Om deze stelling te bewijzen gaan wij uit van een willekeurig oppervlak dat één enkele puntlading Q omsluit. Wie de voorgaande paragrafen heeft begrepen ziet in, dat via superpositie het door ons voor één lading Q te vinden resultaat gemakkelijk kan wor-den gegeneraliseerd.

Figuur 1.5.

Bewijs: Kies een lading

+Q

binnen een volume 't bepaald door een oppervlak S. Beschouw een kegeltje met top in Q en met een zeer kleine tophoek. Dit kegeltje snijdt uit het oppervlak S een klein elementje dS. Aan dit elementje geven wij een vectorkarakter, door daar in P loodrecht op S een vector dS te kiezen met een norm

-~ _ _ _ _ :..-:._~---,I:L.' _ _ -L_---'---_ _ _ _ __ : .. ---"

20

gelijk aan de grootte van dS. Net als bij Stokes (paragraaf 1.5) zijn twee richtingen mogelijk. Wij kiezen voor de richting vanuit 't naar buiten toe. Dit impliceert ook hier dat wij een "fatsoenlijk" lichaam hebben waarbij binnen en buiten eenduidig vast te stellen is. Geen singulier mathematisch bedenksel dus.

In het punt P waar dS is opgericht bestaat een elektrisch veld

Ê:

Ê=~

.

r

4ru::or2 r '

Wij bekijken nu het "in"-produkt tussen Ê en dS: Ê.dS

=

Ê.dS cos(9)

=

QdScos(9) .

41tEor 2

Een dergelijk produkt kan voor alle punten van het gesloten oppervlak van S worden bepaald. Als wij over het gehele oppervlak sommeren krijgen wij:

u- -

_{] i}

_E·dS

₌

_4ru:: Q #.dS

₂

_·cos(8).

s

0 sr

Wij bekijken de situatie in P nader in figuur 1.6.

Figuur 1.6.

In P is loodrecht op

Ê

een vlak gekozen waaruit door het kegeltje een oppervlak dS' wordt gesneden. Men ziet dS'

=

dS cos(9).

Vervolgens brengen we dS' over op dS" volgens figuur 1.7.

Met

Q

als middelpunt is een eenheidsbol (straal 1 m) getekend, waaruit hetzelfde kegeltje als hiervoor een oppervlakje dS" snijdt. Omdat de afstanden van

Q

tot dS' en dS" zich verhouden als r: 1 geldt:

dS"

=

d~'

.

(1'1"*=- _-" '. 5"'=' . 'I ' d ' ! ! ! ! 21 dS' Figuur 1.7. Substitutie levert:

#

-+ -+

Q

#

E·dS = 41t" dS" , S <:'0 SN

waannee de integratie over S is overgebracht tot een integratie over de eenheidsbol S". Daarvoor geldt: zodat J-( dS"

=

41t,

ffsN

#

-+ -+

Q

E·dS=-S f.o (1.12a)

De betrekking (1.12a) staat bekend als de stelling van Gauss. Wij hebben aldus een - naar zal blijken - machtig instrument gevonden om problemen uit de elektrostatica op te lossen.

Het resultaat (1.12a) kan worden gegeneraliseerd voor het geval er meer ladingen worden omsloten.

Voor elk geldt:

#

-+ -+

Q.

Ej.dS = --2..

S f.o

22

u "' ...

Q.

11s

"r

Ei

·dS

=

€~

.

Met Ê

=

L

~ en Qomsl

=

L

Q volgt dat voor het superpositieresultaat geldt:

i i

J-l

Ê.dS

=

Qomsl .

'11s

€o (1.12b)

Dat de integratie geschiedt over een gesloten oppervlak S geven wij aan met de

dubbele integraal met daarin een kring.

N.B. Opmerkelijk is dat wij uitsluitend rekening houden met de door het oppervlak S omsloten lading. Die lading geeft een "veldlijnenstroom", m.a.w. een elektrische flux

die via het oppervlak het volume verlaat.

Buiten het volume gelegen ladingen geven natuurlijk een bijdrage tot de grootte van het elektrische veld in de ruimte en dus ook op het oppervlak S. Maar het is zo dat de bijdrage tot het linkerlid van de stelling van Gauss (1.12) nul moet zijn. Dat komt omdat een "veldlijnenstroom" of een elektrische flux van de zich buiten S bevindende

ladingen die het lichaam binnenkomt dat lichaam ook weer moet verlaten. Alleen de

flux die binnen S "geboren wordt" in de ladingen Qomsl geeft een netto, van nul verschillende, bijdrage.

Men kan dat inzicht ook verkrijgen door het betoog dat werd gegeven voor het bewijs van de stelling van Gauss opnieuw te geven maar nu voor een puntlading buiten S. Hierbij is het omgekeerd kwadratisch veld essentieel. Voor velden die niet omgekeerd

kwadratisch zijn geldt de stelling van Gauss niet.

De stelling van Gauss (1.12a) is geschreven in integraalvorm. Als wij bedenken dat

Q

=

i

pd-r krijgen wij:

't

J-l .... -

I (

ffs

E·dS

=

€o J't pd-r, (1.13)

waarin S het oppervlak is dat -r omsluit.

Nu bestaat er in de wiskunde een integraalstelling, voor willekeurige vectorvelden, die de divergentiesteUing wordt genoemd.

Deze luidt, als wij hem schrijven voor een veld Ê:

#

Ê·dS =

1

div(Ê) d'r, '<:j Ê.

s 't

5'

23 Het bewijs van deze stelling is niet zo moeilijk; wij verwijzen hiervoor naar de boeken over vectoranalyse.

Als wij (1.13) en (1.14) vergelijken en als wij bedenken dat die gelden voor alle "fatsoenlijke" oppervlakken S die een volume 't omsluiten volgt:

- p - P

div(E) = - of V·E =

-Eo Eo (1.15)

De vormen (1.15) noemt men de stelling van Gauss in differentiaalvorm; wat duidelijk is, omdat de nabla operator een (vector-)differentiaal-operator is.

Door de vergelijking (1.15) wordt benadrukt dat elektrische velden divergeren uit de aanwezige ladingen. In dat verband is het begrijpelijk waarom de operatie V divergentie wordt genoemd.

Daarmee wordt tot uitdrukking gebracht dat de bronnen van het elektrisch veld zetelen

in de ladingen.

1.9. Voorbeelden

a. Wij bekijken het veld van een uniform met lading bezet verticaal lijnstuk in een in het middelloodvlak gelegen punt P. Op een lijnelementje dz van de rechte draad bevindt zich een lading

Mz,

als À de lijnladingsdichtheid is.

À dz -2/ zl dE

c

dEp Figuur 1.8.

De veldsterkte die deze lading in het punt P geeft is:

.... _ _ 1_.

MzI

dEp - 41tEo r 2 r .

Wegens de symmetrie van de configuratie zal van deze bijdrage

<lÊp,

alleen de horizontale component na sommering overblijven.

Immers, symmetrisch t.o.v. C gelegen lijnelementjes geven even grote, verschillende, maar symmetrische bijdragen waarvan de verticale componenten elkaar daar telkens twee aan twee opheffen. Voor de totale veldsterkte in P geldt dat deze loodrecht op de

· .

--

..

-24

draad naar rechts wijst. Stel dE = dEpcos(<p). Dan is:

E

=

_1_

f

À.dz cos( <p) 4rn::o r2

gehele draad

z Rd<p

Uit tan(<p)

=

R volgt dz

=

2 . cos (<p) Omdat r

=

_R_ geldt: cos(<p) À

f

Rd<p cos2(<p) E

=

4-- 2r 2 cos(<p), rn::o cos-\<p) R gehele draad À .

I

+<Pmax E

=

_{4rn::oR sm(q»} -<Pmax zodat:

b. Indien de draad zeer lang is (I » R) nadert de veldsterkte tot:

À

E = _2rn::oR = E(R).

c. Het laatste resultaat kunnen wij ook vinden met de stelling van Gauss. Van een oneindig lange rechte en uniform met lading bezette draad kan men zeggen dat de veldsterkte E steeds loodrecht op de draad staat. Als de draad samenvalt met de z-as, kiezen wij een rechte cirkel-cilinder met straal R en hoogte h met de z-as als as. Voor de platte·boven- en onder-vlakken geldt steeds: Ê(r) 1. dS. Zodat Ê·dS

=

0 en de bijdragen van die oppervlakken tot de integraal van Gauss

I

Ê· dS =

o

.

Op het cilindrische oppervlak geldt juist steeds: Ê(R) II dS, zodat Ê(R)·dS

=

E(R)dS. De door de cilinder omsloten lading is A.h Coulomb.

De stelling van Gauss geeft dan:

U

E(R) dS = Àh met E(R) = constant.

11

Eo'

ei!. opp.

E(R)

ft

dS = E(R)-21tRh =

~~ ~

E(R) =

21t~R

' ei!. opp.

evenals wij hiervoor gevonden hebben.

.

'

25

Figuur 1.9.

d. Wij berekenen nu het elektrische veld op de as van een uniform geladen, in een cirkelvorm gebogen draad. Wij gebruiken hier de wet van Coulomb.

z

dË

x

Op een lijnstukje dl van de cirkelomtrek bevindt zich een lading MJI. Deze lading geeft in het punt P een bijdrage tot het elektrische veld:

Aan de hand van figuur 1.10 valt in te zien dat dankzij de symmetrie in de situatie de totale elektrische veldsterkte in P in de richting van de positieve y-as wijst. De loodrecht op de y-as staande componenten van de vectorbijdragen dÊp van tegenover elkaar liggende lijnstukjes, zullen elkaar opnieuw steeds opheffen. Er geldt dus ook hier: dE

=

dEpcos( <p) zodat

26

f

Adl Àcos( ep)

f

E

=

- - 2 COS(ep)

=

dl

.41tEQr 4m:or2 cirkel

cirkel

ÀR COS(<p) E - - - - ·

- 2eo r2 ' omwerken geeft:

'~e. Dit resultaat is ook op een andere manier te vinden. Immers de bijdragen van een lijnstukje dl tot de potentiaal Pis:

[zie (1.5)]

De sommering hiervan over de gehele cirkelomtrek is eenvoudig, omdat de potentiaal een scalar is en geen vector.

y'=ÀR= Y

p 2Eor A 2eo(y2 + R2)~ .

... dV_p

Uit E = -VV volgt hier

Ep

= - dy .

Als we deze differentiatie uitvoeren vinden we het antwoord onder d weer. Ga dit na! f)Wij berekenen nu de elektrische veldsterkte op de as van een uniform met lading bedekte schijf. (De oppervlakte-Iadingsdichtheid is cr).

z

re ! ! I

27

Een ringetje met straal î' en breedte di' is bezet met 2mJ î' di' coulomb. Deze lading geeft met het resultaat van het vorige probleem een bijdrage tot het veld in de richting van de y-as gelijk aan:

Controleer dit!

Omdat alle dË in de richting van de positieve y-as wijst geldt:

Om deze integraal te berekenen kiezen wij als nieuwe variabele de hoek <p, zie figuur 1.11.

Dus

r

=

y tan(<p) -7 df

=

y~)

cos <p Verder geldt:

Daannee volgt:

of:

en

g. Als het geladen oppervlak zich tot in het oneindige uitstrekt (R-7oo) _{vereenvoudigt}

deze vorm zich tot:

(1.16) Het opmerkelijke daarvan is dat de sterkte van het elektrische veld in een punt van de ruimte

niet

afhangt van de afstand van dat punt tot het geladen vlak.

h. Het resultaat (g) kan veel sneller gevonden worden door gebruik te maken van de stelling van Gauss. Beschouw een cilinder als in figuur 1.12. Op grond van symmetrie kan men zeggen dat E steeds loodrecht staat op het geladen vlak. Langs de cilinderwand is steeds Ë .1. dS en een bijdrage tot de integraal van Gauss is dan dus

/

28

nul. Op de platte grensvlakken van de cilinder geldt steeds,

Ë

II

ciS

zodat daar de bijdrage tot de integraal van Gauss niet nul is. Als de cilinder links en rechts even ver

buiten het vlak steekt weet men dat Elinks

=

Erechts

=

E.

Ê

Figuur 1.12.

De door de cilinder omsloten lading is aS, zodat met:

J-l

Ë.dS

=

Qomsl volgt

~i1

eo

2ES

=

crS

eo '

of E

=

2~o'

evenals hiervoor.

i. Wij beschouwen nu een bolvormig deel van de ruimte met straal R) dat uniform

gevuld is met een totale ruimtelading Q. Wij passen de stelling van Gauss toe op een bol met straal r ~ R.

J-l

Ë.dS

=

Qomsl.

'11;,01

Eo

Uit de bolsymrnetrie blijkt dat steeds

Ë

II

dS. Overal op de bol met straal r, heeft de veldsterkte dezelfde grootte. Daarom kan men schrijven

EJ-l dS =

Q

~E=~.

~ol

Eo 41teor

Dit resultaat is natuurlijk niet zeer verrassend omdat de stelling van Gauss weer de wet van Coulomb levert die wij voor de afleiding van die stelling hebben gebruikt.

Het blijkt dus, dat wij (zolang wij ons buiten een bol bevinden) alle lading in het

• f ! _.e'+

29

Het valt gemakkelijk in te zien dat de laatste uitspraak eveneens geldt indien de ladingsverdeling binnen de bol met straal R, niet uniform is maar willekeurig, mits er maar bolsymmetrie bestaat.

N.B.

Vergelijk dit met paragraaf 12.2 van Inleiding Mechanica van Roest.

1.10. Elektrische geleiders in elektrostatische velden

-a. Wanneer een geleider gebracht wordt in een uitwendig elektrostatisch veld E zullen de vrije ladingen in die geleider een kracht ondervinden als gevolg waarvan zij zich binnen die geleider gaan verplaatsten. Hierdoor ontstaat in die geleider plaatselijk een overschot aan positieve lading en elders een overschot aan negatieve lading.

Deze influentieladingen veroorzaken binnen die geleider een elektrisch veld

Ê

j • De

vrije ladingsdragers zullen zich niet meer verplaatsen als:

Dan bestaat er weer een (elektro-)statische situatie; het totale elektrische veld binnen een geleider is dan nul.

Omdat binnen de geleider in elk punt geldt div

Ê

=

~o'

en in elk punt

Ê

=

0

betekent dit dat binnen de geleider p = O. Eventuele ladingen kunnen zich dus alleen bevinden aan het buiten-oppervlak van de geleider.

b. Omdat voor een potentiaalverschil tussen twee punten A en B geldt:

volgt hieruit voor een geleider in een elektrostatische situatie dat VA = V B, 'ti A en 'ti B van de geleider.

In woorden geformuleerd betekent dit dat alle punten van zo'n geleider dezelfde potentiaal hebben. Het oppervlak van die geleider is dus een equipotentiaal oppervlak.

Als buiten de geleider

Ê

":t

0,

houdt dit met het oog op paragraaf 1.6.2 in, dat de veldlijnen van het veld buiten de geleider loodrecht staan op het oppervlak van die geleider.

1.11. Condensatoren; capaciteit

Wij denken ons een geleider A waarop zich een lading Q bevindt. Om deze geleider slaan wij een geleider B die ongeladen is. De situatie is statisch. Overal binnen de geleider B is het elektrische veld nul zodat volgens Gauss voor het gesloten oppervlak SB geldt

Ir.",' '~-Il 11.' 'IT • •• , ! I "

30

u

-11:

E·dS =0.

SB

Het oppervlak SB omsluit dus een totale lading nul.

Figuur 1.13.

Omdat QA

=

Qf 0 moet zich aan de binnenzijde van B een even grote influentielading

Q

maar met het tegengestelde teken bevinden. Als men twee tegenover elkaar geplaatste oppervlakken heeft waarop zich een even grote maar tegengestelde lading bevindt spreekt men in die combinatie van een condensator. Voor een gesloten oppervlak S tussen A en B geldt volgens de stelling van Gauss:

# - -

_{E·dS =}

_e'

Q

'rj S.

S 0

Als de lading

Q

van A met een bepaalde factor vergroot wordt volgt hieruit dat het elektrische veld overal in dezelfde verhouding toeneemt. (lineariteit van de vacuüm-ruimte). Hieruit volgt weer dat:

f

B

-VAB= A E·dl

ook evenredig toeneemt, zodat V AB oe Q.

De constante verhouding noemt men de capaciteit C.

def

Q

C = VAB of Q=CVAB (1.17)

31

a. Als voorbeeld berekenen wij de capaciteit van een bolcondensator, zie figuur 1.14.

Figuur 1.14.

Stel op A bevindt zich een lading +Q dan bevindt zich aan de binnenzijde van Been lading -Q. Tussen A en B bestaat een radiaal veld. Met de stelling van Gauss, of met hetgeen gezegd is in paragraaf 1.9i kan men schrijven:

E(r)=-Q-,

4ru::or2

VAB=

r4~~2

=

4!!.

(~A -~Bl,

A

of

Voor de capaciteit van een bo1condensator geldt dus:

b. Voor een vlakke plaatcondensator (figuur 1.15) met

QA

=

Q

en

QB

=

-Q kan men de stelling van Gauss gebruiken op een cilindertje met de as loodrecht op de platen. Een van de vlakke begrenzingen laten wij vallen binnen het metaal van plaat A. De andere vlakke begrenzing bevindt zich tussen A en B. Die cilinder omsluit een lading crLlS met cr

=

~

,dus een lading

~

LlS.

~

S

( ós

lJ

d Figuur 1.15. A B

-

','.--/

32

Met Gauss vinden wij op analoge wijze als in paragraaf 1.9h

1 Q~ Q

EtlS=- - - ~ E =

-Eo S EoS'

Voor het potentiaalverschil V AB geldt

Ql

EoS

VAB=E·d ~ VAB=EoS ~ Q=(iVAB,

zodat Cv/-pl =(1' EoS (1.18)

Uit deze afleiding blijkt dat wij ervan uitgegaan zijn dat de platen A en B zeer groot zijn en/of dat de afstand d daartussen relatief klein is.

Met andere woorden: de afgeleide formule voor de capaciteit van een vlakke plaat-condensator geldt alleen als wij afzien van "rand-effecten".

c. Als men in een schakeling een condensator wil aangeven, gebruikt men het sym-bool van figuur 1.16.

Figuur 1.16.

Onder de lading van een condensator verstaat men de lading van de positieve plaat, terwijl men het potentiaalverschil tussen de platen wel de spanning over de conden-sator noemt:

Dus Q=CU (1.19)

Als condensatoren verbonden zijn zoals is aangegeven in figuur 1.17 spreekt men van parallelschakeling.

De spanning over elke condensator is dezelfde en is gelijk aan het potentiaalverschil U tussen de klenunen A en B.

Uit Ql = CIU,Q2 = C2U, ... ,Qn = CnU

vol&t: Ql + ~ + ... +

Qn

= (C 1 + C2 + ... + Cn) U .

A Figuur 1.17.

Q={

±Ck}U

.

k=l I I I

-,_.

I Ck I 33

Omdat Q de totaal via klem A aan het systeem toegevoerde lading is en de spanning U de spanning over het systeem, kan men de schakeling tussen de klemmen A en B substitueren door een capaciteit:

(l.20)

Cs noemt men de vervangings--( of substitie-)capaciteit.

De schakeling van figuur 1.18 heet een serieschakeling van condensatoren.

Figuur 1.18.

Wij gaan uit van ongeladen condensatoren. Als men op de linkerplaat van C een lading

+Q

brengt, dan wordt op de rechterplaat een lading -Q geïnfluenceerd. Daardoor wordt de linkerplaat van C2 met

+Q

bezet en de rechter plaat daarvan weer met -Q. Dit gaat steeds zo. Alle condensatoren bevatten dus dezelfde lading. Er geldt:

Q

... , Un = C n • Hieruit volgt: UI + U2 + ... + Un

={d

l +

d

2 + ... +

dJQ.

-34

Omdat voor de totale spanning U tussen de klemmen A en B geschreven kan worden U

=

UI + U2 + ... + Un,

krijgen wij U =

{±d

}Q.

k=l k

Hieruit volgt voor de vervangingscapaciteit van een serieschakeling van condensa-toren:

1 n 1

Cs

=

LCk

k=l

(1.21)

1.12. De vergelijkingen van Poisson

(1780-1840)

en van De Laplace

(1749-1827)

Indien een ladingsverdeling over de ruimte gegeven is kan men met behulp van de wet van Coulomb, de stelling van Gauss en de vergelijkingen (1.18), (1.19), (1.20) en (1.21) veldsterkten en potentialen in die ruimte berekenen.

Meestal echter is juist de ladingsverdeling onbekend, terwijl juist wel potentialen bekend zijn. Daarmee is het probleem dus omgekeerd. Met de genoemde vergelijkin-gen kan men bij eenvoudige gegeven ladingsverdelinvergelijkin-gen in symmetrische gevallen nog wel een eind komen. Maar voor ingewikkelder ploblemen zullen wij een andere aanpak moeten kiezen.

Wij vallen dan terug op de vergelijkingen (1.4) en (1.15), d.w.z. op:

en

Ê=-VV

-. P

V·E=-_Eo·

Substitutie van (1.4) en (1.15) geeft:

of

p

V·(VV)=--Eo'

P

V2(V) = -Eo' a2 a2 a2 waarin de operator V2

= -

+ -

+ - .

ax2 ay2 az2

De vergelijking (1.22) heet de vergelijking van Poisson.

(1.4) (1.15)

(1.22)

daar-35

tussen zich geen ruimtelading bevindt, dan geldt voor dit laatste deel van de ruimte

p = O. Daar geldt dan de vergelijking van De Laplace:

V2_(V)

=

_{0, (1.23)}

die een bijzonder geval is van de vergelijking van Poisson.

Het oplossen van deze partiële differentiaalvergelijking van De Laplace of Poisson betekent het oplossen van het gestelde probleem van het berekenen van velden en ladingsverdelingen als de potentiaal in een ruimte gegeven is.

Daarbij moeten wij bedenken dat de fysica enige (rand-)voorwaarden stelt. De potentiaal in het oneindige kiezen wij meestal nul. Binnen en op een geleider moet de potentiaal overal dezelfde zijn en verder moet de lading begrensd zijn naar grootte en ruimtelijke verdeling. Daarnaast is nergens het veld onbegrensd groot. Dit betekent dat overal V continu is. Iedere oplossing moet aan deze randvoorwaarden voldoen.

Opmerking. De Laplace was een wiskundige die zich in het bijzonder bezig hield

met de hemelmechanica. De wisselwerking tussen massa's in het heelal wordt bepaald door de gravitatiewet van Newton (1642-1727). Deze wet heeft een vorm analoog aan die van de wet van Coulomb. De berekeningen aan gravitatie velden kunnen dus op dezelfde wijze worden geformuleerd als wij dat nu doen voor de elektrostatica. Het behoeft dus geen verwondering te wekken dat de differentiaalbetrekking die De Laplace vond voor de gravitatievelden van de hemelmechanica hier weer tevoorschijn komen in de elektrostatica.

1.13. De eenduidigheidsstelling

De vergelijking van De Laplace is een lineaire tweede orde (partiële) differentiaalver-gelijking die in beginsel twee onafhankelijke oplossingen heeft; elke lineaire combi-natie daarvan is weer een oplossing. Toch blijkt er in een gegeven configuratie maar één oplossing te bestaan.

De stelling is: Heeft men met de vergelijking van De Laplace in een bepaald geval een fJ oplossing gevonden die voldoet aan de randvoorwaarden, dan is die oplossing de enig mogelijke.

Bewijs: Er is een aantal geleiders A,B, ... , waarvan de potentialen respectievelijk zijn

V A,VB, .... In de ruimte tussen de geleiders bevindt zich geen lading. Stel dat er twee onafhankelijke oplossingen V'(T) en V"(r) zouden bestaan die beide aan de vergelijking van De Laplace voldoen en die tevens beide voldoen aan de randvoorwaarden, dan zegt de eenduidigheidsstelling V' = V".

Daarom beschouwen wij de functie

36

Dan is V(J) een oplossing van de situatie waarbij alle geleiders een potentiaal nul hebben; immers de randvoorwaarden voor V'(J) en V"(J) zijn gelijk. Indien V(J) in de ruimte 't tussen de geleiders A.B .... een van nul afwijkende waarde zou hebben moet V(J) ergens in die ruimte 't een maximum of een minimum vertonen. In de buurt van zo'n extreem divergeert (of convergeert) het elektrische veld; dan zou zich in 't

lading bevinden. Dit is in strijd met het uitgangspunt. dus V(J) == 0 in 't. ofwel V'(f) == V"(J).

Heeft men. op welke wijze dan ook een oplossing van de vergelijking van De Laplace gevonden. die aan alle randvoorwaarden gehoorzaamt dan kan men op grond van de eenduidigheidsstelling zeggen dat dat ook de enige oplossing is.

Twee voorbeelden

1. Het veld van een puntlading nabij een B groot geleidend geaard plat vlak. S'

~---t---_

P ... ,-

_,

,

Figuur 1.19.

Uit Q divergeren veldlijnen die het geaarde oppervlak S loodrecht treffen, zo dat zich op de linkerzijde van S negatieve influëntielading (totaal-Q) verzamelt. Dit veld lijkt voor wat de ruimte links van S betreft op het veld van een lading Q en een lading -Q op een afstand 2a uiteen. In beide gevallen is voldaan aan de randvoorwaarde dat de potentiaal van S nul is. Volgens de eenduidigheidsstelling zijn beide gevallen equivalent Dat de lading -Q op een afstand a van de plaat ligt en even groot is als Q is intuïtief in te zien maar kan ook worden bewezen.

Stel dat -Q

=

Q' en de afstand tot de plaat is x. Dan geldt in C:

Q

Q'

Vc = 41teoa + 41teox = 0 -+ Q' = -

i

Q. Ook in een willekeurig punt P moet Vp

=

0 zijn zodat:

Qcos(q» Q'cos(q>') Vp = 41t€Qa + 41tEox =

o.

37 Uit beide volgt cos(<p) = cos(<p'), zodat S inderdaad in het middelloodvlak ligt en x = a terwijl Q'

=-Q.

Men noemt Q' de beeldlading van Q. Zo'n beeldlading is niet echt aanwezig maar is een hulpmiddel dat buiten de ruimte is gelegen waarin men het veld wil bepalen.

2. Het veld van een puntlading nabij een geleidende, geaarde bol.

Figuur 1.20.

Op grond van het vorige voorbeeld denken wij ons Q gespiegeld binnen de bol als Q'.

Vanwege de symmetrie ligt Q' ergens op de verbindingslijn AB; stel op x van C.

In elk willekeurig punt P van het boloppervlak is V

=

0, zodat:

Dit moet gelden voor elke waarde van <po Hieruit volgt:

Met de eenduidigheidsstelling weten wij nu dat het veld buiten de bol te berekenen is met de ladingen Q en Q' op de aangegeven plaatsen.

Een andere oplossing kan er volgens deze stelling niet zijn.

1.14. Mutuele potentiële energie van een ladingsverdeling

Op een afstand r12 van een puntlading Ql bestaat een potentiaal:

V

=

Ql 1 41t€0f12·

Als men, vanuit het oneindige. een puntlading

02

op r12 van Ql plaatst is de potentiële energie van dit stelsel ladingen:

leWIW'f,,! •• 1.I.W· ,+_,+, +. _ _ a _ _ _ "'_~'\"=-_'.

___

gJ:l • _ 11-' P"P _ _

n "

1

38

Brengt men een derde puntlading Q3 vanuit het oneindige naar een punt gelegen op r13 van QI en r23 van

02

dan is de potentiële energie van deze lading in het veld van QlenQ2:

De totale energie is dan

U =_1_{QIQ2+ QIQ3+ Q2Q3}

e 41tto I12 I13 r23 · Het toevoegen van een vierde lading Q geeft dan

Als we dit schrijven als een matrixprodukt is de structuur van deze vorm beter te zien.

0 _{r12 r13} 1 1 _rIn 1 Ql 1 1

02

0 0 _{r23 r2n} 1 Ue = 41tto [QI,Q2, ... ,Qn] 0 0 0 _r3n 1 0 0 0 0 _r(n-l)n 1 0 0 0 0 0 Qo

Omdat r12 = r21 enzovoorts, kunnen wij ook schrijven

1 1 1 Ql 0 _{r12 r13 rIn} 1 1 1

02

Ue =

~x 4~o

[Ql,Q2, ... ,Qo] f21 0 f23 f2n 1 1 0 1 f31 f41 r3n 0 Qo

• ,jHt ".tM Mi! Je HW .'uv_

39

waarbij uit de nul-elementen op de hoofddiagonaal blijkt dat tennen met QQj

ontbre-ken als i

=

j. De factor ~ is nodig omdat het matrixprodukt met de nu symmetrisch gemaakte matrix met door toevoeging van de elementen /. twee maal zo groot is als

JI

eerst.

We kunnen nu inzien, dat ook geschreven kan worden:

1 ~ ~ QiQj . .

Ue = 2" ~ ~ 41tE r.. met 1 :F J. i=lj=1 0 IJ

(1.24)

Dit is een nogal ingewikkelde vorm voor de mutuele potentiële energie van een stelsel ladingen.

Stellen wij de potentiaal veroorzaakt door alle ladingen (behalve Q) ter plekke van Q voor door n 1 Qj y. - " " - -I -~41tE r'" '-1 0 I} J.-. J~I

dan kan de vorm wat eenvoudiger worden geschreven als

n

Ue=t

I

QiVj,

i=l

(1.25)

(1.26)

Voor een continu verdeelde ruimtelading waarbij geen andere geladen lichamen in de buurt zijn kunnen we de lading Qivervangen door

p

d't. De sommatie wordt dan een sommatie over een oneindig aantal oneindig kleine ladingen; een integraal dus.

Schrijven wij voor Vi nu V dan geldt

(1.27) waarbij 't willekeurig mag zijn mits maar de gehele ruimtelading in 't besloten ligt Voor een met een lading Q geladen lichaam dat een potentiaal V heeft volgt uit (1.27)

(1.28) Een dergelijk lichaam heeft een capaciteit C

=

~,

zodat ook geschreven kan worden:

Ue=~CV2

of

Ue=~ ~2

.

• _ _ 'JI_MW __ f . . . _ • • ' • • ,._-.-.-~M.

40

1.15. Overzicht van hoofdstuk 1

Wet van Coulomb:

Veldsterkte: Potentiaal: Veldsterkte: CoIiserverend E-veld: Gauss: Capaciteit: Poisson: De LaplaCe: - 1 Ql

r

F

=

41t€o

f2r'

- F

_E=q'

f

B -VAB= E·dl. A

Ê

= -grad(V).

f

Ê·dl

=

0

of' rot (Ê)

=

O.

c

U

Ê.<iS

=

OomSI.

1fs

Eo

-

P

div(E)

=

EO' Q C=U' V2(V) =-

:0'

V2(V)

=

O.

Eenduidigheid van oplossingen van de vergelijking van De Laplace.

2

Elektrostatische velden

d iëlektrica

2.1. De elektrische dipool

"'''''H1_

·W_ ... _

o . . . . , -W'!"'or!~ 41

.

In

Twee ladingen +q en -<I van gelijke grootte maar tegengesteld teken, die op een afstand s van elkaar geplaatst zijn, vormen een elektrische dipool. Wij zullen hier het geval beschouwen, dat de afstand s relatief klein is.

Sommige moleculen als H20 of Hel blijken permanent een dipool te vormen. De afstand s is dan op atomaire schaal, en dus zeer klein. Sommige moleculen vormen alleen een dipool als zij zich bevinden in een uitwendig elektrisch veld; glas en mica zijn hiervan voorbeelden. Voor de beschrijving van de elektrische eigenschappen van materie is de kennis van elektrische dipolen onontbeerlijk.

~ _, \

Figuur 2.1.

De potentiaal in P als gevolg van de beide ladingen +q en -<I volgt uit superpositie. Wij gebruiken vergelijking (1.5).

V =_q _ _ _ q_

=

_q_ {r2-rl}

p 41reOrl 41tEor2 41tEo rl r2 .

Voor r

»

s geldt r2 - rl "" s cos(8) en flf2 "" f2. Wij definiëren nu een elektrisch

dipoolmoment

p

door:

eet . .

42

Daarbij is aan de lengte s een vectorkarakter gegeven waarbij

s

een vector is die wijst van de negatieve lading naar de positieve! Zo volgt:

p·r

of Vp = - - 3 . 41tEor Voor de radiële component

Er

van E vinden we met:

Ê=-VV,

av

Er=-Tr

-+ 2p cos(<p) Er

=

-=----'--41tEor3 en voor de transversale component Ecp volgt:

E _ P sin(<p)

cp - 41tEor3 .

(2.1)

(2.2a)

(2.2b) Merk op, dat wij hier geen cartesische-, maar bolcoördinaten hebben gebruikt. Omdat

Er

en

Bep,

dus

Ê

p in hetzelfde vlak liggen als de vector pis Vp geen functie van

a

en is Ea=O.

N.B. Men ziet dat de sterkte van het elektrische veld van een dipool evenredig is met

r-3 _{en dus veel sneller afneemt dan volgens de wet van Coulomb voor een puntlading.}

2.2.

Krachtwerking op een starre, elektrische dipool in een

uitwendig elektrisch veld

Figuur 2.2.

a.

Aan de hand van figuur

2.2

is gemakkelijk in te zien dat in een uniform elektrisch veld de totale krachtwerking op een dipool nul is. De grootte van het koppelmoment is T

=

qsE sin(9)

=

pE sin(9) Rekening houdend met de richting van de vector

T

kan men zeggen:

(2.3) b. Als het elektrische veld niet uniform is kan men gemakkelijk inzien dat de netto krachtwerking ongelijk aan nul is. Zie figuur 2.3.

! f I

43

Figuur 2.3.

In een veld waarvan de sterkte van de plaats afhangt, kan men voor de resulterende kracht schrijven:

F+ -

ït

= q{Ê+ -Ê-l. Stel Ê_ = Ê(7) = Ê(x,y,z) dan is

Ê+ = Ê(f + S) = Ê{(x+tlx),(y+~y),(z+tlz)} waann:

Beschouwen wij de x-component van

F

dan schrijven wij: Fx = q[Ex{(x+~x),(y+~y),(z+~z)} - Ex{x,y,z}].

Volgens Taylor (1685-1731) geldt bij verwaarlozing van termen van de tweede orde en hoger:

Zodat:

aEx aEx aEx

Ex {(x+~x),(y+~y),(z+~z)} = Ex(x,y,z) + ax ~x + ay ~y + az &.

- aEx aEx aEx ~

Fx=q{ ax ~+ ay ~y+

az

&}1, Fx = q·(S·V)Ex = (p.V)Ex.

Een analoge vorm vinden wij voor Fy en Fz, d.w.z. Fy = @.V)Ey en Fz = @·V)Ez; waarmee:

(2.4) Wij zien dat als Ê een uniform veld is de differentiaaloperatie @·V) op Ê de nulvector oplevert. Dit is in overeenstemming met wat wij onder a al intuïtief vaststelden.

c.

Het koppelmoment werkend op een elektrische dipool in een niet uniform elektrisch veld is ongelijk aan nul, zoals snel blijkt na het bezien van figuur 2.3.

44

Stel

de

plaatsvector van het midden van de dipool is r; dan is de plaatsvector van de

positieve lading q, (7 +

~8).

Voor de negatieve lading is dat ( r -

~S).

Voor het krachtmoment t.O.V. de oorsprong 0 schrijven wij dus:

1 .... 1 1 . . . . 1

Mo

=

(7 + ïS) x qE(f + ï8) - (7 - ïS) x qE(f - ïS)'

Met (2.4) kunnen wij schrijven

Eer

+

~8)

- E(r)

=

(~S.V)

E(r)

en

Eer -

~S)

- E(r)

= -

(~S.V)

E(r),

als wij evenals hiervoor genoegen nemen met een eerste-orde benadering. Substitutie geeft met

p

=

qs en het stellen

Ë[rj

=

Ë,

na enig rekenen:

Mo

=

ex

@.V)Ë

+

px Ë,

(2.5)

met andere woorden: Mo =

r

x F+

T,

waarin T wederom het koppelmoment is. Wij zien als Ë een uniform veld is dat

de

differentiaal operatie @.V)Ë

=

Ö

oplevert zodat (2.5) overgaat in het bijzondere geval (2.3).

d1. De poteruiële energie van een starre elektrische dipool in een uitwendig elektrisch veld is de som van de potentiële energie van de lading +q en de lading -q in dat veld.

Epot

=

qV(7 + S) -qV(f), als r de plaatsvector van de negatieve lading is. Met

r

=

x

T

+ y

T

+ z k en

s

=

.:1x

T

+.:1y

T

+.:1z k wordt,

V(7 + 8)

=

V(x+.:1x,y+~y, z+&),

hetgeen in een eerste ordebenadering geschreven wordt als:

av

av

av

V(7 + 8) = V(x,y,z) +dx~ +dy~y+

az

~z=

=

V(x,y,z) + (~x

T

+ ~y

T

+ &kHVV).

Verder geldt V(f)

=

V(x,y,z). Deze vormen, met

p

=

qs substituerend in de vorm van de potentiële energie vinden wij:

Epot

=

p.VV.

Met

Ë

= - VV volgt:

45

Omdat men in berekeningen wel het risico loopt

Epot

te verwarren met een veldsterkte

schrijft men ook wel:

... -+

U=-p·E. (2.6)

Ook U is een door de normalisatie toegelaten notering voor energie (en

potentiaal-verschil).

.

d2. Indien de dipool niet star is zoals bijvoorbeeld het geval is in polariseerbare media

waarin

p

oe

Ë

geldt een iets andere berekening met ook een ander resultaat dan (2.6).

In dit geval zijn

p

en

Ë

gelijk gericht; stel

p=

(l

Ë.

Vanuit een bepaald punt P in de ruimte bewegen wij de dipool naar het oneindige waar

wij de potentiële energie

Ep

of U gelijk stellen aan nul.

Wij kiezen bijvoorbeeld een weg van P --+ 00 evenwijdig aan de x-as, zodat dr = dx.

met (2.4) krijgen wij

l

°O{

dEx dEx dEx}

U = (l p Exdx

+

E

_ydy

+

EzdZ"" dx.

.... ... dEx dEx dEx dEx

Het E-veld is conserverend::::) rot E = O. Hieruit volgt

dy

=

dx

en

dz

=

dx .

Substitutie hiervan geeft:

Nu is: d(E

2

) = 2{E dEx

+

E dEx

+

E dEx}

dx xTx y dX z dX '

46

en omdat

P

=

aË

kunnen wij hiervoor ook schrijven: U =

-!

p.

Ëp.

Als gevolg van het niet star zijn van de dipool en de lineairiteit treedt hier t.o.v. formule (2.6) een correctiefactor! op.

2.3. Polarisatie

Een diëlektricum is niet geleidende stof, dus een conglomeraat van positieve en negatieve ladingen die zich niet vrij tussen de atomen en moleculen kunnen verplaatsen. Bij, overigens elektrisch neutrale, moleculen is het mogelijk dat de "zwaartepunten" van de positieve en negatieve elektrische ladingen niet samenvallen (water en alcohol bijvoorbeeld). Dergelijke moleculen zijn permanente dipoLen die in een elektrisch veld krachten en koppels kunnen ondervinden volgens de beschouwingen van paragraaf 2.2. Wanneer men een groot aantal van dergelijke polaire moleculen bijeenbrengt zullen de dipoolmomenten

Pi

in het algemeen

wille-n

keurig georiënteerd zijn. Het resulterent dipoolmoment

L

Pi

is dan nul. Zij kunnen

i=1

gericht worden door het aanbrengen van een uitwendig elektrisch veld, hoewel de warmtebeweging dat zal tegenwerken. Op zeker ogenblik heeft zich een dynamisch

n ....

evenwicht ingesteld waardoor de materie een permanent dipoolmoment

L

Pi

"*

0 vertoont. Men zegt dan dat het diëlektricum gepolariseerd is. i= 1

Naast moleculen die permanent een dipoolmoment bezitten zijn er ook moleculen die men door een uitwendig elektrisch veld een geïnduceerd dipoolmoment kan geven dat weer verdwijnt als het veld wegvalt. In normale toestand vallen de "zwaartepunten" van de positieve en negatieve ladingen daarbij samen. Door het uitwendige elektrische veld kan men die centra ten opzichte van elkaar verplaatsen, waardoor het molecuul

tijdelijk een dipoolmoment verkrijgt. Sommige kristallen zoals kwarts kunnen gepolariseerd worden als gevolg van het aanbrengen van mechanische druk. Die polarisatie verdwijnt weer als men de druk wegneemt. Een kristalelement van een pick-up-element maakt van deze eigenschap gebruik. Men noemt deze eigenschap

piëzo-elektriciteit. Maar door welke oorzaak de materie ook gepolariseerd moge zijn, voor de beschrijving van de elektrische eigenschappen daarvan, moet men uitgaan van

n

het aanwezige totale dipoolmoment

L

Pi.

i=1

Natuurlijk neemt de grootte van dat dipoolmoment toe naarmate het aantal moleculen groter wordt daarom beschouwt men het dipoolmoment per volume-eenheid van de gepolariseerde materie. Men defmieert: n

LPi

... de{ _P

=

_{_1-_ _} '-1 ~'t ' (2.7)

47

als in het volume-element .6:t zich n moleculen bevinden met dipoolmomenten

Pi.

Ó't is klein, maar niet zo klein dat er niet vele moleculen in zitten. Men noemt de vector

P

wel de polarisatievector of gewoon de polarisatie.

2.4. Continuüm-model

Als wij materie in detail willen bekijken, zullen we niet kunnen ontkomen aan beschouwing van het fundamenteel corpusculaire of discrete karakter daarvan. Als wij op microscopische schaal kijken nemen wij locaal separate positieve en negatieve ladingen waar. Als wij echter een klein volume ~'t nemen dat op macroscopische schaal klein is maar op atomaire schaal bekeken groot, kunnen wij over ~'t

bijvoorbeeld ladingsdichtheden van positieve respectievelijk negatieve ladingen aangeven. Die ruimteladingen vertonen dan op macroscopische schaal een continu karakter. Men spreekt dan van een beschouwing van de materie volgens het continuüm-model. Men laat daarbij dan los, de lotgevallen van individuele moleculen maar kijkt naar een statistisch gemiddeld gedrag gemeten over grote aantallen.

Is een diëlektricum niet gepolariseerd, dan is in elk volume-element het resulterend dipoolmoment nul. In het continuüm-model betekent dit dat in elk volume-element de centra van de positieve en negatieve ruimteladingen samenvallen. Brengt men het diëlektricum in een uitwendig elektrisch veld dan zullen in elk volume-element de ladingscentra ten opzichte van elkaar worden verplaatst.

2.5. Poissonladingen I

Ter verduidelijking van het voorgaande beschouwen wij eerst een neutraal rechthoekig blok niet-gepolariseerde materie die homogeen, lineair en isotroop is. Homogeen betekent dat de eigenschappen in elk deel van het blok dezelfde zijn. Lineair betekent dat superpositie mag worden toegepast. Isotroop betekent dat de eigenschappen in alle richtingen dezelfde zijn.

Het in deze paragraaf te geven betoog beperkt zich tot een rechthoekig blok materie uniform gepolariseerd in een richting loodrecht op twee zijvlakken. Alles wat hiervoor

wordt afgeleid geldt strikt genomen alleen voor dit geval. Toch blijkt dat de begrippen

en afgeleide formules ook gelden voor alle andere gevallen waarvoor het continuüm model gebruikt wordt. Dus ook voor willekeurige en niet uniform gepolariseerde stukken materie. Voor het verkrijgen van een eerste inzicht is deze paragraaf zeer geschikt. Voor een ingewikkelder, maar algemener bewijs wordt verwezen naar paragraaf2.8.

De positieve ladingen denken wij ons uniform verdeeld in de ruimte die in figuur 2.4a met / / / / is aangegeven. De negatieve ladingen denken wij ons ook uniform verdeeld en aangegeven met \ \ \ \.

Een ruimte die in beide richtingen is gearceerd is neutraal.

-1&" st 'd! , ! 11" 48 d

s

s.+

a

b

--+

Figuur 2.4.

Indien het blok gepolariseerd wordt, bijvoorbeeld door het aanbrengen van uitwendig elektrisch veld!" ontstaat door verschuiving van de ladingscentra t.o.v. elkaar, de situatie van figuur 2.4b. Er ontstaan aldus twee lagen elektrische lading met dezelfde ladingsdichtheid, maar met een tegengesteld teken.

De materie is aldus uniform gepolariseerd met polarisatie

P.

Volgens de beschouwingen onder (2.3) is het totale dipoolrnoment

p.'[

=

P·Sd (2.8)

Beschouwen wij het systeem als een elektrische dubbellaag met resp. +Op en --(fp als oppervlakte ladingsdichtheid, dan is de grootte van de totale lading op een oppervlak S

gelijk aan opS. De oppervlakteladingen +OpS en -<JpS bevinden zich op een afstand d en vertegenwoordigen zo een dipoolrnornent met een grootte:

(2.9) Uit (2.8) en (2.9) volgt:

Op

=

P. (2.10)

De lading die als gevolg van de polarisatie aan het oppervlak van een diëlektricum komt te zitten is geen vrije, doch gebonden lading en heet de polarisatielading of

poissonlading.

Men noemt <Jp de polarisatieladingsdichtheid.

2.6. De elektrische fluxdichtheid

Nu wordt een geval bekeken waarbij naast polarisatieladingen ook vrije ladingen voorkomen.

49

Qv met een dichtheid CJv• Plaat b wordt bezet met negatieve lading met dezelfde dichtheid. Als gevolg van deze "vrije" ladingen bestaat er tussen a en b een elektrisch veld

Ev.

Wij schuiven tussen de platen een diëlektricum dat door

Ev

gepolariseerd wordt. De linker en rechterzijvlakken van dat medium zijn dan bezet met negatieve en positieve

poissonladingen met een dichtheid CJp. Als gevolg hiervan bestaat een veld

Êp

dat tegengesteld gericht is aan

Êv

uit superpositie volgt:

a b .r - " +0;, I I I -0;, ',- -..)-' r---l.~

Ev

,...

E

,-+ P '---l.~ E Figuur 2.5.

Wij zien dat

Ep

<

Ev.

en doordat

Êp

en

Êv

tegengesteld gericht zijn wordt het veld tussen a en b verzwakt. Het potentiaalverschil Uab neemt dus af bij het aanbrengen van het medium. Omdat Qv

=

CUab en Qv constant blijft wordt de capaciteit C groter. De in figuur 2.5 gegeven situatie van twee platen a en b met een medium is equivalent aan een condensator met twee platen a en b bezet met oppervlakte lading waarvan de dichtheid (CJv - CJp) resp. (CJp - CJv) is. Hierdoor bestaat de werkelijke veldsterkte

Ë.

die het gevolg is van de superpositie van de werking van de vrije lading en de gebonden lading.

Passen wij de stelling van Gauss toe op een "pillen"-doosje volgens figuur 2.5 dan schrijven wij:

Nu is CJvS gelijk aan de vrije lading Qv. Met (2.10) is dan te schrijven: