Geometria z algebrą liniową II, 2020/2021 ćwiczenia 8.
26 marca 2021
1. (·) Rozpatrzmy formę dwuliniową h : R4× R4→ R zadaną wzorem
h((x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4)) = 2x1y1− x1y2+ 5x1y4+ 6x2y3− 4x2y4+ 7x3y3− 3x4y1+ 8x4y3. Niech
A = {(2, 0, 1, 0), (0, 3, 0, 1), (1, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}.
Znajdź G(h, st) oraz G(h, A).
2. Czy odwzorowanie h : V × V → R, gdzie a) V = RR, h(f, g) = f (0)g(1),
b) V = C(R), h(f, g) =R1
0 f (x)g(x) dx,
jest formą dwuliniową? Jeśli tak, to czy jest symetryczną lub antysymetryczną formą?
3. Niech h : C2× C2→ C, h((x1, x2), (y1, y2)) = ix1y2+ (2 − 4i)x2y1. Znajdź G(h, st) oraz G(h, A), gdzie A = {(1 + i, 1 − i), (i, 0)}.
4. (··) Niech h : R3× R3→ R będzie formą dwuliniową, oraz niech A = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}
i
G(h, A) =
1 4 2 1 3 0 0 5 2
.
Znaleźć G(h, B), gdzie B = {(2, 3, 1), (3, 4, 2), (0, 1, 2)} oraz wzór na h.
5. Udowodnij, że jeśli macierze A i B są kongruentne, to a) r(A) = r(B),
b) A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy B jest odwracalna.
6. Wykaż, że jeśli macierze A, B ∈ Mn×n(K) są kongruentne nad K to det A · det B = c2dla pewnego c ∈ K.
7. Udowodnij, że forma dwuliniowa h : V × V → V jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niezerowego wektora v ∈ V istnieje wektor w ∈ V , że h(v, w) 6= 0.
8. (?) Forma dwuliniowa h : V ∪ W → K jest refleksywna, jeśli ∀u,v(h(u, v) = 0 ⇒ h(v, u) = 0), natomiast jest alternująca, jeśli każdy wektor jest izotropowy. Udowodnij, że forma h jest refleksywna wtedy i tylko wtedy gdy jest symetryczna lub alternująca.
1
