Bozony oddziałuj ˛ ace kontaktowo

(1)

Tunelowanie kilku oddziaªuj¡cych ultrazimnych atomów do otwartej

przestrzeni

Rozprawa doktorska

przedstawiona Radzie Naukowej Instytutu Polskiej Akademii Nauk

przygotowana w Instytucie Fizyki Polskiej Akademii Nauk pod kierunkiem dra hab. Tomasza Sowi«skiego, prof. IF PAN

Warszawa, 2020

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

W rozprawie badam teoretycznie zagadnienie kwantowego tunelowania przez obszar klasycznie zabroniony, koncentrując się na jednowymiarowym układzie kilku silnie skorelowanych cząstek tunelujących ze studni potencjału do otwartej przestrzeni. Motywacją do podjęcia badań są współczesne eksperymenty w dziedzinie fizyki atomowej nad dynamicznymi własnościami ultrazimnych gazów.

Dlatego też rozważam typowy scenariusz, w którym oddziałujące cząstki są początkowo przygotowane w studni harmonicznej, która następnie zostaje nagle otwarta z jednej strony, tak, że cząstki zaczynają tunelować do otwartej przestrzeni. Za pomocą ścisłej symulacji numerycznej bezpośrednio analizuję dynamikę tego układu z punktu widzenia wielkości fizycznych, pozwalających odróżnić od siebie różne kanały rozpadu (tunelowanie sekwencyjne, tunelowanie par, tunelowanie trimerów itp.) i określić ich względny udział w rozpadzie stanu początkowego. W celu przedstawienia jak najbardziej pełnego opisu rozważam cząstki o różnej statystyce (bozony lub fermiony), a także oddziaływania o różnym zasięgu.

Najważniejszą tezą rozprawy jest stwierdzenie, że dominujący kanał rozpadu zmienia się nagle, gdy siła oddziaływań przekracza pewne krytyczne wartości. Zmiany te są odzwierciedlone w różnych wielkościach fizycznych mierzalnych eksperymentalnie, takich jak stała rozpadu stanu początkowego czy rozkład pędów emitowanych cząstek. W pracy demonstruję, jak poprzez zmianę parametrów problemu można zmieniać dynamiczne własności tunelujących cząstek. I odwrotnie – poprzez pomiar tych własności można precyzyjnie ustalać wartości parametrów doświadczalnych. Z tego punktu widzenia, choć rozprawa ma charakter czysto teoretyczny, jej wyniki mogą mieć duże znaczenie doświadczalne. Mogą one bowiem otworzyć drogę do lepszego zrozumienia dynamiki tunelujących układów kilku cząstek oraz zwiększenia kontroli eksperymentalnej nad takimi układami.

(8)

In this work I theoretically analyze the dynamics of quantum tunneling through a classically forbidden region, focusing on a one- dimensional system of a few strongly correlated particles, tunneling from a potential well into open space. This research was motivated by the modern experiments in atomic physics, studying the dynamical properties of ultracold gases. Therefore, I consider a typical scenario where the particles are initially prepared inside a harmonic well, which is then suddenly opened from one side so that the particles can tunnel into open space. By means of an exact numerical simulation, I directly analyze the system dynamics from the point of view of physical observables that allow to distinguish between various decay channels (sequential tunneling, pair tunneling, trimer tunneling etc.) and determine their relative participation in the decay of the initial state. In order to make the description as complete as possible, I consider particles with different statistics (bosons or fermions) as well as interactions with varying ranges.

The most significant thesis of this work is that the dominant decay mechanism changes abruptly as the interaction strength crosses certain critical values. These changes are reflected in experimentally measurable quantities, such as the decay rate of the initial state, or the momentum distributions of the emitted particles. I demonstrate that by tuning the parameters of the problem it is possible to modify the dynamical properties of the tunneling particles, and conversely, by measuring these properties, it is possible to precisely determine the experimental parameters. From this point of view, though the work is purely theoretical, its results can be significant to experiments.

Specifically, they can open a way to a better understanding of the dynamics of tunneling systems, and to exerting greater experimental control over such systems.

(9)

1 Wst ˛ep 1

2 Bozony oddziałuj ˛ace kontaktowo 5

2.1 Hamiltonian układu wielociałowego . . . . 5

2.2 Widmo hamiltonianu wielociałowego . . . . 8

2.3 Stan pocz ˛atkowy układu . . . . 11

2.4 Dynamika po otwarciu studni . . . . 13

2.5 Proste wyja´snienie fenomenologiczne. . . . 22

2.6 Rola kształtu potencjału . . . . 23

2.7 Rozkłady p˛edów tuneluj ˛acych cz ˛astek . . . . 25

3 Bozony z oddziaływaniami o sko ´nczonym zasi ˛egu 35 3.1 Hamiltonian układu wielociałowego . . . . 35

3.2 Widmo hamiltonianu wielociałowego . . . . 37

4 Fermiony z oddziaływaniami o sko ´nczonym zasi ˛egu 49 4.1 Hamiltonian układu wielociałowego i jego widmo. . . . 49

5 Wnioski i zako ´nczenie 61

A Wykorzystanie potencjału absorbuj ˛acego do symulacji niesko ´nczonej prze-

strzeni 63

B Identyfikacja mechanizmów tunelowania przez analiz ˛e pr ˛adu prawdo-

pobie ´nstwa 65

Bibliografia 69

ix

(10)

(11)

Wst ˛ep

Tunelowanie cz ˛astki przez obszar klasycznie zabroniony jest jednym z najbardziej interesuj ˛acych przewidywa ´n mechaniki kwantowej. Zjawisko to jest kluczowe m. in. przy opisie dynamiki cz ˛astek w potencjale podwójnej studni [1,2] lub w sieciach optycznych [3, 4]. Jednak zupełnie inn ˛a klas ˛a problemu jest tunelowanie cz ˛astek ze studni potencjału do pustej przestrzeni. Fundamentalne znaczenie tego zagadnienia zostało pokazane w 1928 roku, kiedy wykorzystano je do wyja´snienia zjawiska j ˛adrowego rozpadu α, opieraj ˛acego si˛e wytłumaczeniu na gruncie fizyki klasycznej [5,6]. Od tamtej pory model cz ˛astek tuneluj ˛acych do otwartej przestrzeni znalazł zastosowanie w analizie wielu zjawisk fizycznych, takich jak rozpady j ˛adrowe [7–11], fuzja [12], fizja [13], fotoasocjacja [14], fotodysocjacja [15] czy funkcjonowanie diod tunelowych [16].

Dzi˛eki długoletniej pracy teoretycznej wiele aspektów tunelowania cz ˛astek do otwartej przestrzeni zostało szczegółowo zbadanych. Na przykład proces tunelowania pojedyn- czej cz ˛astki czy tunelowanie wielociałowego kondensatu Bosego-Einsteina s ˛a obecnie dobrze poznane [17–23]. Pomi˛edzy tymi dwoma skrajnymi sytuacjami znajduje si˛e problem tunelowania układu kilku silnie oddziałuj ˛acych ze sob ˛a cz ˛astek, który okazuje si˛e być znacznie bardziej skomplikowanym zagadnieniem. W takim przypadku w dynamice układu graj ˛a rol˛e silne korelacje mi˛edzyciałowe, w wyniku czego nie da si˛e zredukować jego fizyki do przybli˙zonego opisu na poziomie jednociałowym [24]. Dlatego układy tego rodzaju budz ˛a wiele pyta ń, na które wci ˛a˙z nie ma satysfakcjonuj ˛acych odpowiedzi.

W ostatnich latach zainteresowanie tematem kwantowego tunelowania wzrosło dzi˛eki burzliwemu rozwojowi technik eksperymentalnych w dziedzinie fizyki ultrazimnych ato- mów. Pozwalaj ˛a one na do´swiadczaln ˛a realizacj˛e układów, które wcze´sniej pozostawały w sferze teoretycznych rozwa˙za ń. Mo˙zliwa jest precyzyjna regulacja niemal ka˙zdego parametru układu, takich jak kształt potencjału zewn˛etrznego [25–27], efektywna liczba wymiarów [28–31], stan pocz ˛atkowy [32] czy siła oddziaływa ń mi˛edzycz ˛astkowych [33, 34]. Otwiera to zupełnie nowe mo˙zliwo´sci eksperymentalnego badania podstawowych zagadnie ń fizyki. Z punktu widzenia zagadnienia mezoskopowych układów kwantowych tuneluj ˛acych do otwartej przestrzeni, jednym z najwa˙zniejszych osi ˛agni˛eć do´swiadczalnych ostatnich lat były eksperymenty w grupie Selima Jochima w Heidelbergu [35,36].

W ramach tych eksperymentów wytworzono efektywnie jednowymiarowe układy, składa- j ˛ace si˛e z kilku fermionowych atomów⁶Li o ró˙znych spinach. Atomy były pocz ˛atkowo uwi˛ezione w pułapce oscylatora harmonicznego, po czym potencjał zewn˛etrzny był nagle modyfikowany tak, by umo˙zliwić im tunelowanie z pułapki. Badaj ˛ac dynamik˛e tego układu, autorzy stwierdzili, ˙ze warto´sć siły oddziaływa ń mi˛edzycz ˛astkowych ma zarówno jako´sciowy jak i ilo´sciowy wpływ na proces tunelowania. W przypadku układu z oddziały-

1

(12)

Rysunek 1: Mo˙zliwe mechanizmy tunelowania dla układu dwóch fermionów uwi˛ezionych w studni [36]. Stan pocz ˛atkowy (z lewej) mo˙ze ulec rozpadowi poprzez tunelowanie sekwencyjne (u góry), w którym fermiony opuszczaj ˛a studni˛e jeden za drugim, b ˛ad´z tunelowanie zwi ˛azanych par (u dołu). Zaadaptowano za zgod ˛a wydawcy z rys. 2 w pracy [36].

waniami odpychaj ˛acymi stwierdzono, ˙ze dynamika tunelowania dwóch nieidentycznych fermionów w granicy niesko ńczonych odpycha ń mi˛edzy nimi pokrywa si˛e z dynamik ˛a tunelowania dwóch identycznych, nieoddziałuj ˛acych fermionów [35]. Z kolei dla układu z oddziaływaniami przyci ˛agaj ˛acymi stwierdzono, ˙ze fermiony mog ˛a tunelować nie tylko pojedynczo, ale równie˙z jako zwi ˛azane pary (patrz rys.1), przy czym w granicy silnych przyci ˛aga ń tunelowanie par stanowi jedyny mo˙zliwy kanał tunelowania [36].

Eksperymenty tego rodzaju dostarczaj ˛a ´swie˙zej motywacji dla teoretycznego badania wła´sciwo´sci układów tuneluj ˛acych. W ostatnich latach ukazało si˛e wiele prac, po´swi˛eco- nych tunelowaniu układów zarówno dwuciałowych [9–11,37–48], jak i o wi˛ekszej liczbie cz ˛astek [49–55]. Publikacje te skupiaj ˛a si˛e głównie na układach efektywnie jednowy- miarowych. Pozwala to na wydajn ˛a symulacj˛e ewolucji układu w czasie i bezpo´sredni ˛a analiz˛e jego wła´sciwo´sci dynamicznych z ró˙znych punktów widzenia. W szczególno-

´sci zainteresowanie budzi kwestia, jak oddziaływania mi˛edzycz ˛astkowe wpływaj ˛a na dynamik˛e tunelowania układu.

W dotychczasowych pracach z tego zakresu du˙zo uwagi po´swi˛eca si˛e układom dwu- cz ˛astkowym. S ˛a one najprostszym nietrywialnym przypadkiem układu kilkuciałowego, ale mimo tej prostoty odznaczaj ˛a si˛e interesuj ˛ac ˛a dynamik ˛a. Na przykład wiadomo,

˙ze w układzie tego rodzaju mo˙zna wyró˙znić dwa odr˛ebne mechanizmy rozpadu stanu pocz ˛atkowego: tunelowanie pojedynczych cz ˛astek b ˛ad´z tunelowanie par. Zmiana siły oddziaływa ń mi˛edzycz ˛astkowych ma znaczny wpływ na proporcjonalny udział obu tych mechanizmów w ogólnym procesie rozpadu [9,40,43,44]. Jednak analogiczne zagadnienie dla układów o wi˛ekszej liczbie cz ˛astek, w których mo˙ze istnieć jeszcze wi˛eksze bogactwo mechanizmów rozpadu, nie było poruszane w literaturze. Podobnie wzgl˛ednie mało uwagi po´swi˛econo rozkładowi p˛edu cz ˛astek uciekaj ˛acych ze studni. W pracach [45, 51, 54] przeanalizowano jedynie rozkłady p˛edu dla układów z oddziaływaniami odpychaj ˛acymi i brakowało kompleksowego rozszerzenia tej analizy na pełen zakres oddziaływa ń, od odpychaj ˛acych do przyci ˛agaj ˛acych.

Inn ˛a interesuj ˛ac ˛a kwesti ˛a s ˛a ró˙znice mi˛edzy tunelowaniem układów zło˙zonych z cz ˛astek o ró˙znej statystyce (np. układy identycznych bozonów a układy identycznych fermionów). Dotychczasowe prace poruszaj ˛ace ten temat skupiały si˛e na układach cz ˛astek nieoddziałuj ˛acych [47], w granicy niesko ´nczonych sił oddziaływa ´n [49], b ˛ad´z z oddziaływaniami o ustalonym zasi˛egu i sile [10]. Brakowało jednak systematycznej

(13)

analizy tego zagadnienia dla układów z oddziaływaniami o dowolnie regulowanej sile i zasi˛egu.

Główn ˛a motywacj ˛a bada ń zaprezentowanych w tej rozprawie jest rzucenie ´swiatła na te dot ˛ad niezbadane zagadnienia. W tym celu w pierwszej cz˛e´sci rozprawy analizuj˛e dynamik˛e efektywnie jednowymiarowego układu kilku ultrazimnych bozonów, które tuneluj ˛a ze studni potencjału do otwartej przestrzeni. Przeprowadzam numeryczn ˛a symulacj˛e ewolucji układu w czasie, dla ró˙znych warto´sci siły oddziaływa ń oraz dla ró˙znych liczb cz ˛astek (dwie lub trzy cz ˛astki). W ten sposób analizuj˛e dokładnie dynamik˛e tunelowania pod k ˛atem ró˙znych wielko´sci fizycznych, takich jak liczba cz ˛astek pozostaj ˛acych w studni b ˛ad´z korelacje mi˛edzy poło˙zeniami cz ˛astek. W szczególno´sci skupiam si˛e na tym, czy cz ˛astki tuneluj ˛a ze studni pojedynczo, czy te˙z jako wi˛eksze grupy i jak odpowied´z na to pytanie zale˙zy od siły oddziaływa ń. Dominuj ˛acy w dynamice mechanizm tunelowania jest odzwierciedlony w mo˙zliwych do pomiaru wielko´sciach fizycznych, takich jak stała rozpadu stanu pocz ˛atkowego lub rozkład p˛edów uciekaj ˛acych cz ˛astek. Dzi˛eki temu realna jest weryfikacja wyników na drodze do´swiadczalnej. Choć przyj˛ety przez mnie model jest uproszczony, układy tego rodzaju s ˛a w praktyce mo˙zliwe do realizacji eksperymentalnej. W drugiej cz˛e´sci rozprawy analizuj˛e natomiast dynamik˛e układu dwóch identycznych bozonów lub fermionów, z oddziaływaniami mi˛edzycz ˛ast- kowymi o dowolnie regulowanym zasi˛egu i sile. W ten sposób porównuj˛e wła´sciwo´sci dynamiczne układów w zale˙zno´sci od statystyki cz ˛astek.

Struktura pracy

Analiz˛e układów tuneluj ˛acych rozpoczynam w rozdziale2., w którym skupiam si˛e na układzie kilku identycznych bozonów z oddziaływaniami kontaktowymi. Zakładam scenariusz, w którym cz ˛astki pocz ˛atkowo (w chwili t < 0) s ˛a uwi˛ezione w studni potencjału.

W chwili t = 0 studnia zostaje nagle otwarta z jednej strony, tak, ˙ze bozony mog ˛a tunelo- wać przez barier˛e do otwartej przestrzeni. Rozpad stanu pocz ˛atkowego mo˙ze wówczas zachodzić poprzez kilka ró˙znych procesów. Na przykład dla układu dwuciałowego bozony mog ˛a opu´scić studni˛e pojedynczo (jeden za drugim) lub opu´scić j ˛a razem jako zwi ˛a- zana para. Aby odpowiedzieć na pytanie, w jakim stopniu ró˙zne mechanizmy rozpadu uczestnicz ˛a w całkowitym procesie tunelowania, przeprowadzam dokładn ˛a numeryczn ˛a analiz˛e dynamiki układu dla t ≥ 0. Badaj ˛ac ewolucj˛e w czasie odpowiednich wielko´sci fizycznych, pokazuj˛e, ˙ze udział poszczególnych mechanizmów rozpadu zale˙zy w znacz ˛acy sposób od siły oddziaływa ń. Przedstawiam tak˙ze prosty model teoretyczny pozwalaj ˛acy przewidzieć, jakie procesy tunelowania b˛ed ˛a dost˛epne dla ró˙znych sił oddziaływa ń. W ko ńcowej cz˛e´sci rozdziału opisuj˛e rozkłady p˛edów tuneluj ˛acych cz ˛astek w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ń i pokazuj˛e, ˙ze postać tych rozkładów jest ´sci´sle zale˙zna od dominacji konkretnych procesów tunelowania.

W rozdziale3. przechodz˛e do układu dwóch identycznych bozonów, oddziałuj ˛acych potencjałem o sko ńczonym, istotnie niezerowym zasi˛egu. W tym przypadku obok siły oddziaływa ń mamy do dyspozycji nowy parametr – zasi˛eg oddziaływa ń. Choć w granicy zerowego zasi˛egu układ jest praktycznie równowa˙zny układowi oddziałuj ˛acych kontaktowo cz ˛astek, zachodzi pytanie, jak zmieniaj ˛a si˛e wła´sciwo´sci układu dla oddziaływa ń o wi˛ekszym zasi˛egu. Do analizy stosuj˛e te same metody, co poprzednio, dzi˛eki czemu wyniki mo˙zna bezpo´srednio porównać z wynikami z poprzedniego rozdziału.

W rozdziale 4. id˛e krok dalej i analizuj˛e układ dwóch identycznych fermionów o oddziaływaniach takich samych, jak dla bozonów z rozdziału3. Ze wzgl˛edu na odmienn ˛a

(14)

statystyk˛e, układy fermionowe mog ˛a wykazywa´c diametralnie ró˙zne wła´sciwo´sci od układów bozonowych. Szczególnie tworzenie par mi˛edzy cz ˛astkami mo˙ze mie´c odmienn ˛a natur˛e ze wzgl˛edu na zakaz Pauliego, uniemo˙zliwiaj ˛acy fermionom przebywanie w tym samym stanie. Po raz kolejny wykorzystuj˛e zastosowane wcze´sniej techniki do zbadania dynamiki tunelowania. Porównuj ˛ac wyniki z przypadkiem bozonów, pokazuj˛e, jak zmiana statystyki cz ˛astek przejawia si˛e w dynamice układu.

Rozdział5. stanowi podsumowanie i zako ´nczenie pracy.

Praca została przygotowana w ramach projektu badawczego SONATA BIS finan- sowanego przez Narodowe Centrum Nauki nr 2016/22/E/ST2/00555 realizowanego w Instytucie Fizyki Polskiej Akademii Nauk w latach 2017-2021.

Publikacje naukowe

Cz˛e´s´c opisanych w tej rozprawie wyników było podstaw ˛a nast˛epuj ˛acych artykułów:

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Dynamics of a few interacting bosons esca- ping from an open well, Phys. Rev. A 98, 013634 (2018).

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Momentum correlations of a few ultracold bosons escaping from an open well, Phys. Rev. A 99, 063608 (2019).

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Two Rydberg-dressed atoms escaping from an open well, arXiv:2009.04839 (2020).

Jestem równie˙z współautorem innych prac, których wyniki, cho´c nie zwi ˛azane bezpo-

´srednio z tunelowaniem do otwartej przestrzeni, stanowi ˛a szersze omówienie problemu ultrazimnych układów kilkuciałowych:

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Exact dynamics of two ultra-cold bosons confined in a one-dimensional double-well potential, Eur. Phys. J. D 70, 83 (2016).

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Effective two-mode description of a few ultra-cold bosons in a double-well potential, Phys. Lett. A 382, 394 (2018).

• Jacek Dobrzyniecki, Xikun Li, Anne E. B. Nielsen, Tomasz Sowi ´nski: Effective three-body interactions for bosons in a double-well confinement, Phys. Rev. A 97, 013609 (2018).

• Jacek Dobrzyniecki, Tomasz Sowi ´nski: Simulating artificial 1D physics with ultra- cold fermionic atoms: three exemplary themes, Adv. Quantum Technol. 3, 2000010 (2020).

Podzi ˛ekowania

Serdecznie dzi˛ekuj˛e dr. hab. Tomaszowi Sowi ´nskiemu za wieloletni ˛a opiek˛e, cierpli- wo´s´c, trosk˛e i nieocenion ˛a pomoc. Dzi˛ekuj˛e równie˙z wszystkim pracownikom Instytutu Fizyki PAN za stworzenie znakomitej atmosfery naukowej pracy, dzi˛eki której studia doktoranckie były dla mnie prawdziw ˛a przyjemno´sci ˛a.

(15)

Bozony oddziałuj ˛ ace kontaktowo

Aby zbada´c proces tunelowania układu kilkuciałowego, zaczynamy od jednego z najprost- szych przypadków – jednowymiarowego układu kilku identycznych bozonów, oddziałuj ˛a- cych potencjałem kontaktowym. Model tego rodzaju jest cz˛esto stosowany w literaturze do teoretycznego opisu ultrazimnych atomów. Wyniki poni˙zszego rozdziału stanowi´c b˛ed ˛a punkt odniesienia dla pozostałej cz˛e´sci pracy.

Dla ustalonego potencjału zewn˛etrznego i liczby cz ˛astek, o dynamice tego układu decyduje jeden tylko parametr – siła oddziaływa ´n. Na pocz ˛atku rozdziału zbadamy, jak wygl ˛ada widmo stanów własnych hamiltonianu wielociałowego w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ´n, co da nam pewne poj˛ecie o tym, jak ten parametr wpływa na fizyk˛e układu.

Nast˛epnie dokładnie opiszemy dynamik˛e tunelowania układu w czasie t ≥ 0 (zarówno dla układu dwóch, jak i trzech bozonów), porównuj ˛ac wyniki dla ró˙znych warto´sci siły oddziaływa ´n.

2.1 Hamiltonian układu wielociałowego

2.1.1 Hamiltonian efektywnie jednowymiarowy

Rozwa˙zamy układ N identycznych, bezspinowych ultrazimnych bozonów o masie m, umieszczonych w statycznym zewn˛etrznym potencjale. Ogólna posta´c hamiltonianu wielociałowego dla tego układu jest nast˛epuj ˛aca:

H_3D=

N

X

i=1

−~²

2m∇²_i + V_3D(~r_i)

+

N

X

i=1 N

X

j>i

U_3D(~r_i− ~r_j), (2.1)

gdzie ~r_i oznacza pozycj˛e i-tej cz ˛astki. Zakładamy, ˙ze bozony s ˛a umieszczone w potencjale zewn˛etrznym opisanym funkcj ˛a V_3D(~r) i oddziałuj ˛a dwuciałowo za po´srednictwem potencjału U_3D(~r).

W praktyce eksperymentalnej jednym ze sposobów uzyskania efektywnie jednowymiarowego układu zimnych atomów jest poddanie układu działaniu silnego potencjału pułapkuj ˛acego, który ogranicza ruch cz ˛astek w kierunkach prostopadłych do głównej osi ruchu [32,56–60]. Na przykład atomy mo˙zna uwi˛ezić w pułapce stromego oscylatora harmonicznego działaj ˛acej w kierunkach y i z, tak, ˙ze cz ˛astki mog ˛a si˛e swobodnie poruszać jedynie wzdłu˙z osi x. Potencjał zewn˛etrzny V_3D(~r) mo˙zna w takim przypadku zapisać nast˛epuj ˛aco:

V_3D(~r) = V (x) +1

2mω²_⊥(y²+ z²), (2.2)

5

(16)

gdzie V (x) jest dowolnie wybranym potencjałem jednowymiarowym. Zakładamy, ˙ze cz˛estotliwo´s´c ω_⊥ jest na tyle wysoka, ˙ze energia wzbudzenia ~ω⊥ jest znacznie wi˛ek- sza ni˙z energie cz ˛astek. Wówczas dynamika ka˙zdej z cz ˛astek w kierunkach poprzecz- nych jest ograniczona do stanu podstawowego oscylatora harmonicznego φ₀(y, z) = (mω⊥/π~)^1/4exp[−(mω⊥/2~)(y²+ z²)]. Funkcj˛e falow ˛a układu, Ψ(~r1, ..., ~r_N), mo˙zna zapi-

sa´c w tej sytuacji jako

Ψ(~r₁, ..., ~r_N) = Ψ(x₁, ..., x_N)

N

Y

i=1

φ₀(y_i, z_i). (2.3) Co za tym idzie, stopnie swobody y, z mo˙zna łatwo odseparowa´c i opisywa´c stan układu funkcj ˛a falow ˛a Ψ(x₁, ..., xN).

Przejd´zmy teraz do potencjału oddziaływa ń mi˛edzycz ˛astkowych. Dla układów ultrazimnych atomów rozpraszanie cz ˛astek mo˙zna w przybli˙zeniu opisać przez oddziaływania kontaktowe. W trzech wymiarach mo˙zna je opisać przez pseudopotencjał Lee-Huanga- Yanga U_3D(~r) = g3Dδ⁽³⁾(~r)_∂r^∂ (r·), gdzie g3D to siła oddziaływa ń, proporcjonalna do dłu- go´sci rozpraszania cz ˛astek [61]. Po ograniczeniu układu do jednego wymiaru potencjał U3D(~r) przechodzi w efektywnie jednowymiarowy potencjał oddziaływa ń U_1D(r) o postaci

U1D(r) = gδ(r), (2.4)

gdzie g jest efektywn ˛a sił ˛a oddziaływa ´n w jednym wymiarze, zale˙zn ˛a od g_3Di ω_⊥ [62].

Warto´sć g mo˙zna regulować do´swiadczalnie, np. modyfikuj ˛ac długo´sć rozpraszania za pomoc ˛a zewn˛etrznych pól magnetycznych (tzw. metoda rezonansu Feshbacha) [33,34]

b ˛ad´z reguluj ˛ac cz˛estotliwo´s´c ω_⊥ pułapki w kierunku poprzecznym [62,63]. Dla g > 0 oddziaływania s ˛a odpychaj ˛ace, dla g < 0 s ˛a przyci ˛agaj ˛ace.

Ostatecznie, efektywnie jednowymiarowy układ N ultrazimnych bozonów opisa´c mo˙zna nast˛epuj ˛acym hamiltonianem:

H =

N

X

i=1

−~² 2m

∂²

∂x²_i + V (x_i)

+

N

X

i=1 N

X

j>i

gδ(x_i− x_j). (2.5)

2.1.2 Posta ´c potencjału zewn ˛etrznego

W tej rozprawie rozwa˙zamy tunelowanie cz ˛astek ze studni potencjału do pustej przestrzeni (obszaru o zerowym potencjale zewn˛etrznym). Co za tym idzie, odpowiedni wybór kształtu potencjału zewn˛etrznego V (x) ma fundamentalne znaczenie dla naszego modelu.

Dla ustalenia uwagi załó˙zmy, ˙ze przed rozpocz˛eciem symulacji (tj. dla czasów t < 0) cz ˛astki uwi˛ezione s ˛a w studni potencjału oscylatora harmonicznego o cz˛estotliwo´sci Ω, tzn. potencjał zewn˛etrzny dla t < 0 ma posta´c

V₀(x) = 1

2mΩ²x². (2.6)

Zakładamy, ˙ze stan pocz ˛atkowy układu Ψ(x₁, ...x_N; t = 0) b˛edzie identyczny ze stanem podstawowym N oddziałuj ˛acych cz ˛astek w potencjale oscylatora harmonicznego V₀(x).

Nast˛epnie, w chwili t = 0, studnia zostaje nagle otwarta, tak, ˙ze potencjał zewn˛etrzny dla czasu t ≥ 0 jest opisany nast˛epuj ˛ac ˛a funkcj ˛a:

V (x) = (₁

2mΩ²x², x <√ 2λx₀,

1

2mΩ²x²e^−6(x/x⁰⁻

√

2λ)², x ≥√

2λx0, (2.7)

(17)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2 0 2 4 6 8

V(x) (jedn. oscylatorowe)

x (jedn. oscylatorowe) V₀(x) V(x), λ = 1.5 V(x), λ = 2.5

Rysunek 2: Kształt potencjału zewn˛etrznego dla czasu t < 0 (V0(x), szara linia ci ˛agła) i po nagłej zmianie w chwili t = 0 (V (x), czerwona i niebieska linia prze- rywana), dla dwóch ró˙znych warto´sci parametru λ = 1.5, 2.5. Energia i długo´s´c podane s ˛a odpowiednio w jednostkach ~Ω ip

~/mΩ.

gdzie x₀ =p

~/mΩ jest oscylatorow ˛a jednostk ˛a długo´sci. Funkcja V (x) ma kształt studni oddzielonej od otwartej przestrzeni barier ˛a o sko ´nczonej wysoko´sci¹. Potencjał ten jest sparametryzowany przez bezwymiarowy parametr λ, w przybli˙zeniu równy wysoko´sci bariery w oscylatorowych jednostkach energii ~Ω. Posta´c potencjału zewn˛etrznego V (x) ukazana została na rys.2i porównana z potencjałem oscylatora harmonicznego V₀(x).

W tej rozprawie warto´sć parametru λ została tak dobrana, by mieć pewno´sć, ˙ze bariera jest wy˙zsza ni˙z energia cz ˛astek. Oznacza to, ˙ze cz ˛astki mog ˛a uciec ze studni jedynie na drodze tunelowania przez obszar klasycznie zabroniony. Dla badanego w tym rozdziale układu kilku bozonów przyjmujemy λ = 1.5.

W dalszej cz˛e´sci pracy, dla zwi˛ezło´sci, wszystkie wielko´sci b˛edziemy wyra˙za´c w jednostkach oscylatorowych, tj. energia wyra˙zana b˛edzie w jednostkach ~Ω, długo´sci w jednostkachp

~/mΩ, czas w jednostkach 1/Ω, za´s siła oddziaływa ´n g w jednostkach p

~³Ω/m.

2.1.3 Przykładowa realizacja eksperymentalna

Choć dalsza cz˛e´sć rozprawy skupia si˛e na zagadnieniach czysto teoretycznych, warto przyjrzeć si˛e, jakie s ˛a typowe skale długo´sci i czasu w eksperymentalnych układach tego rodzaju. Pozwoli to lepiej odnie´sć teoretyczne rozwa˙zania do rzeczywisto´sci. Za przykład typowej realizacji do´swiadczalnej posłu˙zyć mo˙ze, wspomniany ju˙z we wst˛epie, eksperyment w Heidelbergu [36]. W eksperymencie tym przygotowano układ kilku ultrazimnych fermionów w pułapce optycznej maj ˛acej wydłu˙zony kształt, tak, ˙ze układ był

1Nale˙zy zaznaczyć, ˙ze w moich wcze´sniejszych publikacjach [64, 65], na których oparto tre´sć tego rozdziału, kształt potencjału zewn˛etrznego jest nieco inny. Z tego powodu wyniki w tym rozdziale nie s ˛a całkowicie identyczne z tymi zaprezentowanymi w pracach [64] i [65]. Pozostaj ˛a jednak z nimi w pełni zgodne pod wzgl˛edem jako´sciowym. Nowy wybór potencjału (2.7) został podyktowany trosk ˛a o spójno´sć oraz czytelno´sć mojej rozprawy (potencjały zewn˛etrzne rozwa˙zane w oryginalnych publikacjach [65] i [64] ró˙zniły si˛e nieco od siebie). Tak wi˛ec na potrzeby tej rozprawy przyj˛eto jedn ˛a, konsekwentn ˛a postać potencjału zewn˛etrznego V (x).

(18)

efektywnie jednowymiarowy (cz˛estotliwo´sć pułapkowania w kierunkach prostopadłych do głównej osi ruchu wynosiła ω_⊥). Pocz ˛atkowy efektywny potencjał jednowymiarowy odczuwany przez atomy miał kształt harmonicznej studni o cz˛estotliwo´sci ω_k ω_⊥, w której przygotowano kilka (od 1 do 6) fermionowych atomów ⁶Li w dwóch ró˙znych stanach spinowych. Po przygotowaniu stanu pocz ˛atkowego układ poddano działaniu gradientu pola magnetycznego, skierowanego wzdłu˙z osi pułapki. W ten sposób zmie- niono odczuwany przez atomy potencjał zewn˛etrzny, nadaj ˛ac mu postać do´sć zbli˙zon ˛a do u˙zywanego w tej rozprawie modelowego potencjału V (x) (2.7) i umo˙zliwiaj ˛ac fermionom tunelowanie ze studni. Wysoko´sć bariery, przez któr ˛a tunelowały fermiony, była (tak, jak zakładam w mojej rozprawie) rz˛edu naturalnej jednostki energii ~ωk. Mi˛edzy fermionami o przeciwnych spinach wyst˛epowały oddziaływania krótkozasi˛egowe o sile oddziaływa ń g, któr ˛a w eksperymencie regulowano z wykorzystaniem zjawiska rezonansu Feshbacha.

Cho´c eksperyment wykorzystywał atomy fermionowe, w mojej rozprawie zakładam, ˙ze układy bozonowe równie˙z mog ˛a by´c realizowane w podobnych warunkach.

Tabela2.1stanowi podsumowanie do´swiadczalnych parametrów i naturalnych jedno- stek w tym eksperymencie, daj ˛ac poj˛ecie o typowych skalach w ultrazimnych układach tego rodzaju.

masa atomów⁶Li, m 6.015122 u

temperatura układu, T 250 nK

cz˛esto´s´c pułapki, ω_k 2π × 1.488 kHz

cz˛esto´s´c pułapkowania w kierunkach prostopadłych, ω_⊥ 2π × 14.22 kHz temperatura Fermiego w pułapce pocz ˛atkowej, T_F 3 µK

stosunek cz˛esto´sci, ω_⊥/ωk ≈ 9.6

stosunek temperatur, T /T_F ≈ 0.08

naturalna jednostka długo´sci, x₀ =q

~/mωk 1.063 µm

naturalna jednostka energii, ~ωk 9.859 · 10⁻³¹J

naturalna jednostka czasu, 1/ω_k 0.1070 ms

zakres sił oddziaływa ´n g (w jednostkach x₀~ωk) −1.27 ≤ g ≤ −0.44

Tabela 2.1: Parametry do´swiadczalne w eksperymencie [36] i odpowiadaj ˛ace im naturalne skale długo´sci, energii i czasu.

2.2 Widmo hamiltonianu wielociałowego

Zanim zaczniemy rozwa˙zać dynamik˛e układu opisanego hamiltonianem (2.5), przyjrzyjmy si˛e najpierw widmu jego wielociałowych stanów własnych. Pozwoli nam to uzyskać podstawowe poj˛ecie o tym, jakie stany mog ˛a tworzyć cz ˛astki po tunelowaniu do otwartej przestrzeni oraz jaki wpływ ma na to siła oddziaływa ń.

Zacznijmy od przypadku dwóch bozonów. Na rys.3a przedstawiono energie kolejnych stanów własnych hamiltonianu (2.5) w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ´n g, obliczone dla N = 2 bozonów w potencjale V (x) (2.7). Energie te zostały obliczone numerycznie na drodze bezpo´sredniej diagonalizacji hamiltonianu, przedstawionego w postaci macierzowej (w tym celu wykorzystano bibliotek˛e ARPACK dla j˛ezyka Fortran).

Zastanówmy si˛e nad struktur ˛a tego widma. Mo˙ze nam w tym pomóc porównanie go do widma dobrze znanego modelu Gaudina-Lieba-Linigera [66–68] (po jego adaptacji dla

(19)

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

×10^-2

Energia

Siła oddziaływania g

0 10 20 30 40

(b) g = -0.4

x2

0 10 20 30 40

(b) g = 0.0

0 10 20 30 40

(b) g = +0.4

0 10 20 30 40

(c) g = -0.4

x2

x₁

0 10 20 30 40

(c) g = 0.0

x₁

0 10 20 30 40

(c) g = +0.4

x₁

Rysunek 3: (a) Energie własne hamiltonianu wielociałowego (2.5) dla N = 2 bozonów, w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ń kontaktowych g. Stany własne mo˙zna podzielić na dwie grupy: stany, które opisuj ˛a par˛e prawie niezale˙znych cz ˛astek dla wszystkich g (ich energie oznaczono na czerwono), i stany, które dla g > 0 opisuj ˛a dwie niezale˙zne cz ˛astki, ale dla g < 0 opisuj ˛a zwi ˛azane pary bozonów z energi ˛a silnie zale˙zn ˛a od g (na niebiesko). Okr ˛agłe symbole wskazuj ˛a energie stanów własnych, których rozkład g˛esto´sci dla ró˙znych g przedstawiono na wykresach (b) i (c). (b) G˛esto´sć dwuciałowa ρ2(x₁, x₂) dla jednego ze stanów własnych z pierwszej grupy, w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ń g. (c) G˛esto´sć dwuciałowa ρ₂(x₁, x₂) dla jednego ze stanów własnych z drugiej grupy, w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ń g.

Oblicze ´n dokonano dla układu ograniczonego do obszaru x ∈ [−4, 40]. Energie podano w jednostkach ~Ω, sił˛e oddziaływa ´n w jednostkachp

~³Ω/m. (Oparto na rys. 3 z [65].)

(20)

przypadku N = 2). Model ten opisuje jednowymiarowy układ N ultrazimnych bozonów w pustej przestrzeni i mo˙ze by´c stosowany z powodzeniem dla ultrazimnych układów ró˙znego rodzaju [69–74]. Wła´sciwo´sci widma jego hamiltonianu s ˛a dobrze znane [75,76].

Oczywi´scie badany przez nas układ jest nieco inny od oryginalnego modelu, poniewa˙z potencjał zewn˛etrzny nie jest stały w całej przestrzeni i ro´snie bez ogranicze ´n dla x < 0.

Widma stanów własnych obu hamiltonianów s ˛a jednak podobne, a stany własne i ich energie zachowuj ˛a si˛e w obu przypadkach w zbli˙zony sposób. W szczególno´sci wszystkie stany własne naszego hamiltonianu da si˛e podzieli´c na dwie grupy.

Pierwsza grupa składa si˛e ze stanów opisuj ˛acych dwa niemal niezale˙zne bozony o p˛edach k₁, k₂, tj. całkowita energia ka˙zdego z tych stanów wynosi w przybli˙zeniu E ≈ k₁²/2 + k²₂/2. Poniewa˙z energie te s ˛a niemal niezale˙zne od siły oddziaływa ´n g, stany te wida´c na wykresie jako niemal poziome linie (oznaczone na czerwono).

Druga grupa składa si˛e ze stanów, które dla oddziaływa ń przyci ˛agaj ˛acych opisuj ˛a zwi ˛azan ˛a par˛e bozonów. Oznacza to, ˙ze dla g < 0 całkowita energia danego stanu zale˙zy silnie od siły oddziaływa ń. Przez analogi˛e do modelu Lieba-Linigera energia ta wynosi w przybli˙zeniu E ≈ K²/4 − g²/4, gdzie K jest p˛edem ´srodka masy pary [76]. Z kolei dla oddziaływa ń odpychaj ˛acych (g > 0) stany te maj ˛a podobne wła´sciwo´sci, co stany z pierwszej grupy, a ich energia jest niemal niezale˙zna od oddziaływa ń. Tak wi˛ec na rys.3a stany te widać jako charakterystyczne linie (oznaczone na niebiesko), które dla oddziaływa ń przyci ˛agaj ˛acych maj ˛a postać paraboliczn ˛a, a dla oddziaływa ń odpychaj ˛acych przechodz ˛a w niemal poziome linie.

Aby przekonać si˛e, ˙ze stany te rzeczywi´scie mo˙zna opisać w ten sposób, mo˙zemy im si˛e przyjrzeć z punktu widzenia rozkładu cz ˛astek w przestrzeni. W tym celu posługujemy si˛e rozkładem g˛esto´sci dwuciałowej ρ₂(x1, x2) = |Ψ(x1, x2)|², oznaczaj ˛acym prawdopodobie ństwo jednoczesnego znalezienia dwóch bozonów na pozycjach x₁ i x₂ dla stanu opisanego funkcj ˛a falow ˛a Ψ(x₁, x2). Na rys.3b,c przedstawiono rozkład ρ₂(x1, x2) dla przykładowego stanu z grupy pierwszej i grupy drugiej dla ró˙znych warto´sci g (energie tych stanów dla danych g zaznaczono symbolami na rys.3a). Dla g = 0.0 dwuciałowe funkcje falowe obu tych stanów stanowi ˛a w przybli˙zeniu zło˙zenie dwóch periodycznych funkcji Ψ(x₁, x2) ≈ sin(k1x1) sin(k2x2), maj ˛a wi˛ec bardzo zbli˙zon ˛a natur˛e do funkcji falo- wych cz ˛astek swobodnych. W przypadku stanu z grupy pierwszej (rys.3b), dla g ró˙znych od zera wygl ˛ad funkcji falowej zmienia si˛e w pobli˙zu diagonali x₁ = x₂, ale w przybli-

˙zeniu zachowuje natur˛e swobodnych cz ˛astek. Inaczej jest dla stanu z grupy drugiej (rys. 3c): dla g < 0 jego struktura przestrzenna znacznie si˛e zmienia – dwuciałowa funkcja falowa obu bozonów przybiera posta´c zwi ˛azanej pary, tj. g˛esto´s´c jest skupiona blisko diagonali x₁ = x2. ´Swiadczy to, ˙ze stany z grupy pierwszej i drugiej rzeczywi´scie opisuj ˛a, odpowiednio, stany swobodnych i zwi ˛azanych w pary bozonów.

W podobny sposób opisać mo˙zna widmo hamiltonianu dla układu N = 3 bozonów. W tym przypadku, przez analogi˛e do modelu Gaudina-Lieba-Linigera (po jego adaptacji do przypadku N = 3), wielociałowe stany własne podzielić mo˙zna na trzy grupy [76]. W skład pierwszej grupy wchodz ˛a stany trzech niezale˙znych cz ˛astek o energii niezale˙znej od oddziaływa ń, E ≈ k₁²/2 + k²₂/2 + k₃²/2. Druga grupa zawiera stany, które dla g < 0 składaj ˛a si˛e ze zwi ˛azanej pary cz ˛astek i trzeciej, niezale˙znej cz ˛astki. Odpowiadaj ˛aca takiej konfiguracji energia własna mo˙ze być zapisana jako E ≈ K²/4 − g²/4 + k₃²/2, gdzie K oznacza energi˛e ´srodka masy pary. W ko ńcu grupa trzecia zawiera stany, które dla g < 0 opisuj ˛a zwi ˛azane trimery o energii E ≈ P²/6 − g², gdzie P to p˛ed ´srodka masy trimeru.

Ewolucja stanu układu, przygotowanego jako stan podstawowy zamkni˛etego układu, zale˙zy od jego bezpo´sredniego rozkładu na wielociałowe stany własne hamiltonianu po

(21)

otwarciu studni. Z naszego opisu widma hamiltonianu wyłania si˛e nast˛epuj ˛acy obraz:

dla siły oddziaływa ń g ≥ 0 cz ˛astki nie mog ˛a tworzyć ˙zadnych stanów zwi ˛azanych i mog ˛a tunelować ze studni wył ˛acznie pojedynczo. Dla g < 0 pojawia si˛e mo˙zliwo´sć, ˙ze cz ˛astki b˛ed ˛a opuszczać studni˛e w postaci zwi ˛azanych par albo trimerów (b ˛ad´z, w przypadku N > 3, jeszcze wi˛ekszych grup). Mo˙zemy zatem przewidzieć, ˙ze dla g < 0 w dynamice układu b˛edzie uczestniczyło kilka odr˛ebnych procesów tunelowania.

Samo widmo energii własnych nie dostarcza oczywi´scie bezpo´srednio informacji o tym, który z mechanizmów tunelowania b˛edzie dominował w dynamice. W tym celu nale˙załoby rozło˙zyć stan pocz ˛atkowy na stany własne hamiltonianu i w ten sposób ustalić wzgl˛edny udział stanów danego rodzaju. Niestety, ze wzgl˛edu na zło˙zono´sć numeryczn ˛a, wspomnianego rozkładu nie mo˙zna dokonać wydajnie i dokładnie. Dlatego do odpowiedzi na pytanie o udział ró˙znych procesów tunelowania trzeba zastosować inne podej´scie. W tym celu przeprowadzimy bezpo´sredni ˛a analiz˛e ewolucji stanu układu w czasie, rozwi ˛azuj ˛ac wprost wielociałowe równanie Schrödingera:

id

dtΨ(x1, ..., xN; t) = HΨ(x1, ..., xN; t). (2.8) Równanie (2.8) rozwi ˛azywane jest numerycznie w reprezentacji poło˙zeniowej, u˙zywa- j ˛ac metody Rungego-Kutty czwartego rz˛edu, z odpowiednio małym krokiem czasowym δt = 0.005. Obliczenia dokonywane s ˛a na g˛estej siatce punktów poło˙zonych w równych od- st˛epach δx (przy czym δx = 0.25 dla przypadku dwóch cz ˛astek, δx = 0.33 dla przypadku trzech cz ˛astek). Wielko´s´c symulowanego obszaru przyj˛eta została jako x ∈ [−4, 300] (dla przypadku dwóch cz ˛astek) lub jako x ∈ [−4, 120] (dla przypadku trzech cz ˛astek), tak, ˙ze uwzgl˛edniony został du˙zy odcinek przestrzeni w obszarze poza studni ˛a. Sprawdzono przy tym, ˙ze wyniki oblicze ´n numerycznych pozostaj ˛a praktycznie bez zmian przy modyfikacji rozmiaru symulowanego obszaru lub przy zastosowaniu g˛estszej siatki (δx = 0.125).

2.3 Stan pocz ˛atkowy układu

Oczywi´scie, aby otrzymać stan układu w chwili t > 0, musimy znać jego stan w chwili pocz ˛atkowej t = 0. Jak ju˙z wspomniano, w rozprawie zakładam, ˙ze w chwili pocz ˛atkowej układ znajduje si˛e w stanie podstawowym N bozonów umieszczonych w potencjale oscylatora harmonicznego, oddziałuj ˛acych potencjałem kontaktowym gδ(r). Dla N = 2 odpowiedni stan podstawowy mo˙zna znale´zć analitycznie dla dowolnego g [77], ale dla N > 2 rozwi ˛azanie analityczne nie jest dost˛epne. Z tego powodu w tej pracy znajdujemy stan podstawowy układu numerycznie, wykorzystuj ˛ac metod˛e propagacji funkcji próbnej w czasie urojonym. Jest to standardowa metoda znajdowania stanu podstawowego danego hamiltonianu i wymaga ona jedynie rozwi ˛azania równania Schrödingera (2.8) po zamianie t → −iτ . Dla układu dwóch bozonów energie otrzymane t ˛a metod ˛a zgadzaj ˛a si˛e bardzo dobrze z wynikami analitycznymi z pracy [77].

Na rys.4ukazano energi˛e stanu podstawowego E_N(g) dla układu N = 1, 2, 3 bozonów, w zale˙zno´sci od siły oddziaływa ´n g. Dla N = 1 energia ta jest oczywi´scie niezale˙zna od g i równa jest energii najni˙zszego stanu własnego oscylatora harmonicznego, E₁ = 1/2.

Dla N > 1 energia stanu podstawowego ro´snie monotonicznie wraz z g (dla g → −∞

energia spada bez ogranicze ´n). Oczywi´scie po otwarciu studni potencjał zewn˛etrzny odczuwany przez cz ˛astki ulega zmianie, w zwi ˛azku z czym energia układu dla t ≥ 0 nie b˛edzie dokładnie równa energii dla t < 0. Jednak zmiana ta jest nieznaczna, gdy˙z potencjał w obszarze zajmowanym przez cz ˛astki w stanie pocz ˛atkowym pozostaje prawie niezmieniony.

(22)

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Energia początkowa

Siła oddziaływania g N=1

N=2 N=3

Rysunek 4: Energia stanu podstawowego N bozonów w pułapce harmonicznej dla ró˙znych warto´sci siły oddziaływa ´n kontaktowych g. Energi˛e podano w jednostkach

~Ω, sił ˛e oddziaływa ´n w jednostkachp

~³Ω/m.

Istniej ˛a dwa przypadki graniczne, w których energia jest bardzo prosta do obliczenia. Pierwszym z nich jest przypadek układu nieoddziałuj ˛acego (g = 0). W tym przypadku ka˙zdy z N bozonów jest w stanie podstawowym oscylatora harmonicznego, a wi˛ec E_N(0) = N/2. Drugim przypadkiem jest granica niesko ńczonych odpycha ń g → +∞, tzw. granica Tonks-Girardeau [78]. W tej granicy na bozonow ˛a funkcj˛e falow ˛a nało˙zony jest warunek podobny do fermionowego zakazu Pauliego, tj. dwa bozony nie mog ˛a prze- bywać w tym samym miejscu. Bozony ulegaj ˛a przez to tzw. fermionizacji, tj. pewne wielko´sci fizyczne układu maj ˛a takie same warto´sci, co w analogicznym układzie N identycznych, nieoddziałuj ˛acych fermionów. Energia stanu podstawowego w tym wypadku b˛edzie taka sama, jak dla fermionów, a wi˛ec b˛edzie sum ˛a energii N najni˙zszych stanów własnych oscylatora harmonicznego: E_N(+∞) =PN

n=1(n − 1/2) = N²/2.

Przyjrzyjmy si˛e teraz, jak b˛edzie wygl ˛adał otrzymany stan podstawowy pod wzgl˛e- dem rozkładu cz ˛astek w przestrzeni, na przykładzie układu dwuciałowego. W tym celu wykorzystamy rozkład g˛esto´sci dwuciałowej ρ₂(x1, x2) = |Ψ(x1, x2)|², wyra˙zaj ˛acy prawdopodobie ństwo jednoczesnego znalezienia dwóch bozonów na pozycjach x₁ i x₂, oraz rozkład g˛esto´sci jednociałowej ρ₁(x) = R dx₂|Ψ(x, x₂)|², wyra˙zaj ˛acy prawdopodobie ństwo znalezienia bozonu w punkcie x. Na rys.5ukazano rozkłady g˛esto´sci stanu podstawowego N = 2 bozonów dla kilku przykładowych warto´sci g: braku oddziaływa ń (g = 0), oddziaływa ń przyci ˛agaj ˛acych (g = −1) oraz oddziaływa ń odpychaj ˛acych (g = +1, g = +12).

Dla przypadku g = 0 oba bozony zajmuj ˛a najni˙zszy stan własny oscylatora harmonicznego. Rozkłady g˛esto´sci maj ˛a zatem kształt gaussowski: ρ₂(x1, x2) ∼ e^−(x²¹^+x²²⁾oraz ρ₁(x) ∼ e^−x². W tym przypadku g˛esto´sć dwuciałowa nie wykazuje ˙zadnych korelacji mi˛edzyciałowych – wykrycie bozonu w jednym miejscu nie dostarcza ˙zadnej dodatkowej informacji o tym, gdzie znajdziemy drugi bozon. Poło˙zenia bozonów staj ˛a si˛e skorelowane dopiero dla niezerowych oddziaływa ń. Dla układu z oddziaływaniami odpychaj ˛acymi prawdopobie ństwo znalezienia dwóch bozonów blisko siebie jest mniejsze (zmniejsza si˛e g˛esto´sć dwuciałowa ρ₂w pobli˙zu linii x₁ = x2). Zarazem rozkład jednociałowy ρ₁ staje si˛e szerszy, a znalezienie bozonu staje si˛e mniej prawdopodobne blisko centralnego punktu

(23)

-2 0 2

x 2

(a)

g = 0.0

0 0.1

g = -1.0 0.2

-2 0 2

x 2

x₁ g = +1.0

-2 0 2 x₁

0 0.1

g = +12.0 0.2 ₀ 0.2 0.4 0.6

-2 -1 0 1 2 ρ 1(x)

x g = 0.0 g = -1.0 g = +1.0 g = +12.0 (b)

Rysunek 5: (a) Rozkład g˛esto´sci dwuciałowej ρ2(x1, x2) stanu podstawowego układu N = 2 bozonów dla ró˙znych warto´sci siły oddziaływa ´n kontaktowych g:

brak oddziaływa ń (g = 0), oddziaływania przyci ˛agaj ˛ace (g = −1) lub odpychaj ˛ace (g = +1, g = +12). Wraz ze zmian ˛a siły oddziaływa ń wzrasta lub spada prawdopodobie ństwo znalezienia bozonów blisko siebie, wyra˙zone przez g˛esto´sć w pobli˙zu diagonali x1= x2. (b) Rozkład g˛esto´sci jednociałowej ρ1(x) stanu podstawowego dla ró˙znych warto´sci g. Zmiana siły oddziaływa ń wpływa na szeroko´sć profilu funkcji falowej oraz prawdopodobie ństwo znalezienia bozonu w ´srodku pułapki. Poło˙zenie podano w jednostkachp

~/mΩ, sił ˛e oddziaływa ´n w jednostkachp

~³Ω/m. (Oparto na rys. 2 z [65].)

pułapki. Dla szczególnie silnych oddziaływa ń odpychaj ˛acych (g = +12) centralne maksi- mum w rozkładzie jednociałowym ρ₁ rozdziela si˛e na dwa maksima. Dla oddziaływa ń przyci ˛agaj ˛acych zachodz ˛a efekty odwrotne. G˛esto´sć dwuciałowa jest w tym przypadku silniej skupiona wzdłu˙z linii x₁ = x₂, a z rozkładu g˛esto´sci jednociałowej widać, ˙ze bozony s ˛a skupione bli˙zej centrum pułapki.

2.4 Dynamika po otwarciu studni

2.4.1 Dynamika dwóch bozonów

Po tym, jak studnia zostaje otwarta w chwili t = 0, cz ˛astki zaczynaj ˛a tunelowa´c ze studni do otwartej przestrzeni. Zbadajmy teraz dynamik˛e układu, skupiaj ˛ac si˛e najpierw na najprostszym przypadku N = 2 bozonów.

Ewolucja g ˛esto´sci prawdopodobie ´nstwa

Naturalnymi wielko´sciami charakteryzuj ˛acymi ewolucj˛e układu s ˛a prawdopodobie ´n- stwa P_n(t), ˙ze w danej chwili t znajdziemy w studni dokładnie n cz ˛astek (0 ≤ n ≤ 2).

Wielko´sci P_n(t) s ˛a mo˙zliwe do zmierzenia do´swiadczalnego [36, 40]. Dla dwóch cz ˛a- stek b˛edziemy mieli do czynienia z trzema prawdopodobie ´nstwami: P₂(t), P1(t), P0(t).

Ka˙zde z tych prawdopodobie ´nstw jest bezpo´srednio zakodowane w profilu g˛esto´sci