V.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c.
Zastosowania
1. Ogólne wyrażenia na aberrację światła
2. Rozpad cząstki o masie M na dwie cząstki o masach m1 i m2
3. Rozpraszanie fotonów z lasera GaAs na wiązce wysokoenergetycznych elektronów z akceleratora LEP
1. Ogólne wyrażenia na aberrację światła
Źródło światła O’ porusza się względem obserwatora O z
prędkością V. Wektor prędkości tworzy kąt θ’ z kierunkiem OO’
w układzie źródła.
W układzie O’ czteropęd fotonu k’µ wynosi:
Wektor k’ możemy rozłożyć na składowe || i prostopadłe do wektora V:
(
0) ʹ
0ʹ
ʹ
µ= ʹ , ʹ G ; kʹ= k G = k = h ν
k k k c c c
θ ʹ G
ʹ V
k G
O’
O y
θ
ʹ = − ʹ cos ʹ; k θ
⊥= − ʹ sin ʹ θ
k k k
x
cd.
Prowadzi to do wyrażenia na częstość:
Transformacja kąta obserwacji w O jako funkcji kąta emisji fotonu w O’ jest skomplikowana i nie będzie dyskutowana.
Obliczymy teraz składowe czterowektora kµ w układzie obserwatora O stosując
transformację Lorentza do k’µ :
0 0
0
ʹ ʹ cos ʹ
ʹ cos ʹ ʹ sin ʹ
⊥
⎛ ⎞
= γ ⎜ − θ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= −γ ⎜ ⎝ θ + ⎟ ⎠
= − θ
V
V
k k V k c
c
k c k c V k
c k c k c
ʹ 1 cos ʹ
ʹ
1 cos ʹ
⎛ ⎞
ν = ν γ ⎜ ⎝ − θ ⎟ ⎠ ν = ν
⎛ ⎞
γ ⎜ ⎝ − θ ⎟ ⎠
V
V
h h V
c
V
c
2. Rozpad cząstki o masie M w locie na dwie cząstki o masach m
1i m
2Przypuśćmy, że cząstka M ma w pewnym układzie inercjalnym pęd P skierowany wzdłuż osi OZ. Wektor czteropędu tej cząstki wynosi:
Cząstka rozpada się dwuciałowo na cząstki o masach m1 i m2. Ile wynoszą energie E1 i E2 produktów w układzie
spoczynkowym cząstki M?
Układ spoczynkowy cząstki M jest układem ŚM produktów jej rozpadu. W tym układzie:
(
2 2,0,0, )
µ
= = +
P E P M P
m
1m
2θ*
G * p
− G *
p
cd...
Wektory czteropędów w układzie ŚM:
Niezmiennik s:
Mamy także związek między energiami:
co daje nam:
( )
1(
12 2)
2(
22 2)
*
µ= ,0,0,0 ; p*
µ= + ,0,0, * ; p*
µ= + ,0,0, − *
P M m p p m p p
( )
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2
* *
µ*
µ* * 2 *
= = = + = + +
s E M p p E E E E
2 2 2 2
2 1 2 1
* = * + −
E E m m
( )
2 2 2 2
2
1 1 1 2 1 2
2 2 2
2
1 2 1 1 2
* * 2 *
2 * 2 *
− − − + =
− + − =
M E E m m E E
M m m E E E
cd...
Podnosząc stronami do kwadratu i upraszczając dostajemy symetryczne wyrażenia energie obu produktów :
Wyrażenie na pęd produktów w układzie spoczynkowym M:
( )
( )
2 2
2
1 2
1
2 2
2
2 1
2
* 2
* 2
+ −
=
+ −
=
M m m
E M
M m m
E M
( )
2( )
22 2
1 2 1 2
* 2
⎡ − + ⎤ ⎡ − − ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= M m m M m m
p M
3. Rozpraszanie fotonów z lasera IR na wiązce
wysokoenergetycznych elektronów z akceleratora LEP.
Zjawisko Comptona (A. Compton, Phys. Rev. 22, 409, (1923)) : rozpraszanie nieelastyczne fotonów rentgenowskich na niemal swobodnych elektronach atomowych.
W tym zjawisku zderzenie następuje w układzie LAB‐ elektrony są tarczami niemal w spoczynku.
Zmiana długości fali fotonów zależy tylko od kąta rozproszenia w tym układzie:
i jest maksymalne do tyłu:
'
C e
h ( cos ) ( cos )
∆λ = λ − λ = m c
1
− θ = λ1
− θ2 ;
C0.0024 nm
∆λ = λ
Cλ =
cd.
W doświadczeniu wykonywanym w CERNie czerwone fotony z lasera GaAs o długości fali 700 nm zderzały się z biegnącą im naprzeciw wiązką elektronów z akceleratora LEP o energii Ee= 45 GeV.
W układzie spoczywających elektronów (odpowiednik układu LAB w zjawisku Comptona) fotony były rentgenowskie
(zjawisko Dopplera).
Przed zderzeniem:
Układ LEP O
Układ spoczynkowy elektronu O’
cd.
Po zderzeniu:
Jaka jest energia rozproszonego fotonu w układzie LEP?
Znajdziemy odpowiedź posługując się explicite transformacjami Lorentza.
Układ spoczynkowy elektronu po zderzeniu
Układ LEP po zderzeniu
Energia fotonów z lasera w układzie LEP
2 197.33
2 1.77
700
π⋅ ⋅
= ν = = π = =
λ λ
= MeV fm
E h hc eV
nm
Dwie metody znajdowania energii rozproszonego fotonu
Metoda I:
•Z układu LEP przechodzimy do układu ŚM.
•Obliczamy energię i pęd fotonu po zderzeniu w ŚM, korzystając z niezmiennika s.
•Transformujemy z powrotem do LEP.
Metoda II:
•Z układu LEP przechodzimy do układu spoczynkowego elektronu (odpowiednik układu LAB dla zjawiska Comptona).
• Stosujemy wzór Comptona na rozproszenie pod kątem 180 stopni.
•Transformujemy z powrotem do układu LEP
Metoda I
Czteropędy przed zderzeniem, układ LEP:
Niezmiennik s:
Układ ŚM‐ czynniki Lorentza:
( ) (
2 2)
‐3 2
,0,0, ; p ,0,0,
45 GeV/c; m=0.511 10 GeV/c
µ
=
µ= = + −
= ×
k E E e m p p
p
( )
2( ) (
2)
2 22 2 2 11 2
2 2
~ 4 4 5.79721 10
761395
µ µ
= + = + − − = + + ≈
≈ + − ≈ + = ⋅
=
s k p E e p E m Ee pE
m Ee m E m Ee eV
e
s eV
59102; ~ 1; ‐
+ −
γ = ≈ = β = ≈ − γβ = ≈ γ
+
E e e E p E p
E e
s s s
Metoda I cd.
W ŚM przed zderzeniem:
Po zderzeniu:
( ) (
2 2)
*
µ= ʹ,0,0, ʹ ; p*
µ= ʹ = + ʹ ,0,0, − ʹ
k E E e m p p
( ) (
2 2)
ʹ*
µ= ʹ,0,0, − ʹ ; p*
µ= ʹ = + ʹ ,0,0, ʹ
k E E e m E E
Metoda I cd.
Niezmiennik s obliczany w ŚM po zderzeniu:
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2 2
2 2 2
2 2
2
ʹ ʹ ʹ 2 ʹ ʹ ʹ ʹ 2 ʹ ʹ ʹ
2 ʹ 2
ʹ 2 ʹ ʹ
2 ʹ 4 ʹ ʹ 4 ʹ 4 ʹ
2 4 ʹ
ʹ ; 1 4
4 2 4
= + = + + = + + +
− + =
⎡ − + ⎤ = = +
⎣ ⎦
+ − =
− −
= = = = + =
+
s E e E E e e E E e m E
s E m E e
s E m E e E E m
s m sm sE
s m s m
E s Ee
E m Ee m
s s Ee
ʹ = 209221.2 eV
E
Metoda I cd.
Wracamy ze ŚM do LEP:
( ʹ ʹ ) ʹ 2 2 ʹ 2
ʹʹ = γ + β = ⋅ γ = e E + ≈ e ʹ = 24. 73
E E E
E E E
s s GeV
Metoda II. czterowektory energii-pędu przed i po zderzeniu
Przed, układ LEP:
Czynniki Lorentza transformacji do układu spoczynkowego
elektronu:
Istotnie:
( ) (
2 2)
‐3 2
,0,0, ; p ,0,0,
45 GeV/c; m=0.511 10 GeV/c
µ
=
µ= = + −
= ×
k E E e m p p
p
4
p
78.81 10 ; =+ 1 (10 ) e
γ = e = ⋅ β = −
−m O
( )
2 2ʹ
ʹ 0
⎛ ⎞ −
= = γ −β = ⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = γ − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
e p e p
e m e p e p
m e m
p p p e
e
Metoda II cd.
Energia fotonu w układzie e:
Obliczenie energii rozproszonego do tyłu fotonu ze wzoru Comptona:
( ) 2
ʹ = γ + β ≈ 1 ~ 2 γ = Ee = 311.74
E E E keV
m
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
ʹʹ ʹ 1 cos
ʹʹ ʹ ʹʹ ʹ ʹʹ ʹʹ ʹ 1 cos
ʹ ʹ
ʹʹ 1 cos 2 140.42
ʹ 1 cos 1 2 ʹ
∆λ = λ − λ = − = ∆ν = − θ
ν ν ν ν
− = − θ
= = − θ = = =
+ − θ +
c c c h
mc mc E E E E
mc E E
E m E E keV
mc
Metoda II cd.
Transformacja do układu LEP:
