1. Wyrażenia algebraiczne

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”

realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik

1. Wyrażenia algebraiczne

Ćw. 1.1 Przedstaw w najprostszej postaci wyrażenia 1. (2x²− 3x)²,

2. (3x²− x)³,

3. (p + q− r)(p − q + r), 4. (3a²− 2a + 1)²,

5. (a² − a + 1)²− (a²+ a − 1)². Ćw. 1.2 Wykonaj działania

1. 1 2n + 1

n², 2. ^x ·x − 2

x+ 2



:



x: x − 2 x+ 2



,

3.



(a²+ b²) : 1 b −

1 a

!

−



(a² − b²) : 1 b + 1

a

!

,

4. a − b

a+ b +a+ b a − b

! a²+ b² 2ab + 1

!

· ab a+ b, 5. x²+ 2x + 4

x+ 2 −

x² − 2x + 4

x − 2 + 16 + x² x²− 4

!

: x² x² − 4

,

6.

a+ x

a − x − a − x a+ x a+ x

a − x + a − x a+ x ,

7. ^a+ x

a − x − y x



: x²+ ay a² , 8. p²

p+ q −

p³ p²+ q² + 2pq

!

: p² p²− q² −

p p+ q

!

,

9. x+ y x − y −

x²− 2xy + 5y

2

x²− y²

!

· x+ y

2y , 10. a²

x² + ab xy + b²

y²

!x a −

y b



,

1

Ćw. 1.3 Skróć ułamki 1. x⁴y²− x²

x²y − x , 2. xy²(x − y)³

x²y(x³− y³),

3. x²+ 1 x x+ 1

x − 1 ,

4. 9p²− q² 9p²+ 6pq + q².

Ćw. 1.4 Wyłącz z ułamków wyrażenie całkowite 1. n − 3

n+ 1, 2. 6x + 5 2x − 1, 3. x³+ x²y+ 5

x+ y ,

4. 10x²− 5xy + 2x − y

2x − y ,

5. x²− xy + y²+ 5xy x²+ xy + y² . Ćw. 1.5 Która z liczb:

a=^16 · 0, 25^3n−2:^−0, 5 · 0, 25

3n−4

czy

b = 81 ·

2 3

¹²−4n

· 3 ·



− 2 3

⁴n−7

,

(n oznacza dowolną liczbę naturalną) jest większa i o ile?

Ćw. 1.6 Przedstaw w najprostszej postaci wyrażenia 1. ^a − 1

a²

−1

+ (1 − a)⁻¹,

2. a^mb²ⁿ⁻¹c^p+1 d^2re^s

!

: a^1+mb³ⁿ⁺²c^p−1 d^re^3s

!

,

3. (x^a+5y^b−2)⁻³ x^−6by^b−a ,

2

4.





x²ⁿ⁺¹y³ⁿ⁺² x²y²ⁿ⁺¹

!3

: x²ⁿ⁻³ y³ⁿ⁺¹

!₋₁

· x⁴

y

!_−n

,

5. (x³ⁿ⁺¹y²ⁿ⁻²)⁴ : x y

!n!

: yⁿ x²ⁿy²

!−1

.

Ćw. 1.7 Skróć ułamek

xⁿ⁺²− xⁿ⁺³ xⁿ⁺¹− xⁿ⁺⁴ .

Ćw. 1.8 Oblicz

n

aⁿ+ 1 + n aⁿ− 1−

2naⁿ a²ⁿ− 1

.

Ćw. 1.9 Oblicz 1. ^q5 +√

3 +

q

5 −√ 3

²

,

2. ^q11 + 6√

2 −^q11 − 6√ 2

2

,

3. ^q√ 7 −√

3 −^q√ 7 +√

3

2

,

4. (√

21 − 1)

q

11 +√ 21 2√

2 .

Ćw. 1.10 Zapisz w najprostszej postaci 1. ^√³

a²−

√3

b^{ }√a +³ √³ b^2, 2. ^2n√x + ²ⁿ√y^{ 2n}√x− ²ⁿ√y^, 3. ^√ⁿ

a²− b⁴

: (√aⁿ − b²) ,

4. (x + 1)^1/2− (x − 1)^−1/2 (x + 1)^1/2+ 2(x + 1)^−1/2, 5. ^a+ b + 2(ab)^1/21/2−

a^1/2+ b^1/2, 6. ^mqx√x :^{n mq}x²√ⁿ

x²



·

n

q

x√x,^m

7.

1 +

sa − x a+ x 1 −

sa − x a+ x .

3