DZIAŁ NAUKOWY M A T E M A T Y K A S T O S O W A N A 3, 200 2

DZIAŁ NAUKOWY

M A T E M A T Y K A S T O S O W A N A 3, 200 2

A ndr zej L asot a (Katowice)

A sym p totyczn e w łasności półgrup operatorów M arkowa

(Wykład im. Wacława Sierpińskiego, rok 2002)

1. W stęp. Jestem ogromnie zaszczycony faktem, że przyznano mi medal im. Wacława Sierpińskiego. Będę jednak mówił o sprawach na początek dość odległych od olbrzymiej, wszechstronnej spuścizny profesora Sierpińskiego.

Ukształtowanie się i rozwój teorii prawdopodobieństwa przypomina nieco powstanie geometrii. Zacznę od przypomnienia bardzo prostego faktu z hi- storii geometrii. Otóż zanim Euklides około 300 lat przed naszą erą poka- zał, że można zbudować geometrię jako naukę dedukcyjną, znane już były piękne twierdzenia, które do dziś są kanonem geometrii elementarnej. Myślę na przykład o twierdzeniu Talesa z VI wieku p.n.e. i twierdzeniu Pitago- rasa z V wieku p.n.e. Podobnie było w teorii prawdopodobieństwa. Zanim w 1933 roku Kołmogorow nadał jej dzisiejszy kształt i pokazał, jak wyrasta ona z teorii miary [7], trzy wieki wcześniej pracował Pascal, a dwa wieki wcześniej Laplace.

Tak więc w pewnym stopniu historia teorii prawdopodobieństwa jest powtórzeniem po 22 stuleciach historii geometrii. Ale nic nie powtarza się idealnie. Zanim ukształtowała się matematycznie poprawna teoria prawdo- podobieństwa, na ćwierć wieku przed Kołmogorowem A. A. Marków zaini- cjował w pracach z lat 1906-1908 teorię procesów i operatorów, które dziś noszą jego imię. Jest to gałąź teorii prawdopodobieństwa, która okazała się niezwykle ważna zarówno z punktu widzenia matematyki teoretycznej, jak i zastosowań. Dała ona początek precyzyjnej teorii, którą w gruncie rzeczy można uprawiać niezależnie od aksjomatyki Kołmogorowa.

Najprostsze sformułowanie teorii operatorów Markowa jest takie. Dana jest macierz kwadratowa

P

(

)

1

A,

[39]

o elementach rzeczywistych spełniających warunki

N

(1) Pij > 0 , ^ P k j = 1 dla i, j = 1,..., N.

k=i

Macierz taką nazywamy macierzą przejścia albo stochastyczną lub też ma- cierzą Markowa.

Rozpatrujemy dowolny wektor probabilistyczny ( / i , ..., / ^jv ), tj. ciąg liczb, który spełnia warunki

N

(2) / i > 0 dla i = 1...N, = fc=l Interesuje nas zachowanie się ciągu wektorów

(3) P nf dla n = 0,1,2,...

Schemat ten można interpretować następująco. Po przestrzeni X = {l,...,iV} wędruje losowo punkt. Interesują nas jego położenia w chwi- lach n = 0,1,... Wiemy, że w chwili początkowej zajmował jedno z położeń 1,..., N odpowiednio z prawdopodobieństwami / i , ..., / at - Wiemy też, że jeżeli w chwili n nasz punkt zajmował pozycję j, to prawdopodobieństwo, że w chwili n + 1 zajmie pozycję k, wynosi pkj. Wówczas rozkład prawdo- podobieństwa położenia naszego punktu w chwili n dany jest wzorem (3).

Ta interpretacja nie jest precyzyjna bez dokładnego matematycznego określenia, co to znaczy, że punkt w chwili n zajmuje położenie j z prawdo- podobieństwem pj, i co to znaczy, że prawdopodobieństwo przejścia z pozycji j w chwili n do pozycji k w chwili n + 1 wynosi pkj. Sprawa nie jest całkiem banalna i pokonanie tej trudności wymaga skonstruowania pewnej specjal- nej miary [3] na przestrzeni ciągów nieskończonych (żi, i^,...) o wartościach ze zbioru {1,..., N}.

Niezależnie jednak od tej czy innej interpretacji można zajmować się własnościami ciągów postaci (3). To jest właśnie początek teorii operatorów Markowa. Macierz P określa bowiem odwzorowanie przestrzeni R^ w siebie.

Operatory P spełniające warunki (1) mają ciekawe własności asympto- tyczne. Nazwiemy operator P asymptotycznie stabilnym, jeśli dla każdego / spełniającego warunki (2) ciąg (P nf ) zmierza do tej samej granicy /*, nieza- leżnej od wyboru /. Można znaleźć bardzo prosty warunek konieczny i dosta- teczny dla asymptotycznej stabilności. Sformułujemy go najpierw w postaci zbliżonej do oryginalnego sformułowania A. A. Markowa [5].

T wie rd ze ni e 1. Operator (macierz) Markowa P : RN —> MN jest

asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego naturalnego

n istnieje wskaźnik i G {1,..., N} taki, że wszystkie wyrazy i-tego wiersza

macierzy P n są dodatnie.

Pólgrupy operatorów Markowa 41

Sformułowanie to zmienimy w sposób, który na pozór wydaje się dosyć dziwny i sztuczny.

T wierdzenie 1'. Operator Markowa P : HN —► R N jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba 5 > 0 oraz wskaźnik i £ {1,..., N } takie, że

(4) liminf {Pnf ) i > 6 _n—*oo

dla każdego f spełniającego warunki (2). Przez (Pnf)i rozumiemy przy tym i-ty element wektora P nf.

Sprawdzenie równoważności twierdzeń 1 i V jest zupełnie elementarne.

Jako wygodną wskazówkę można przyjąć obserwację, że dla każdego wskaź- nika i £ {1,..., N } minimum z elementów i-tego wiersza macierzy P n jest niemalejącą funkcją zmiennej n. Wynika to łatwo z warunków (1). Istotna różnica pomiędzy tymi twierdzeniami polega na tym, że w V nie zakładamy explicite żadnych własności dotyczących struktury P, a tylko mówimy o wła- snościach ciągów (P nf ). Takie sformułowanie, jak zobaczymy, pozwala na daleko idące uogólnienia. Można przy tym wyróżnić trzy najważniejsze kie- runki uogólnień.

1° Przyjmuje się, że dana jest przestrzeń z miarą (X, A, m), i rozpatruje się operatory działające na Lx(X, A, m) ([6], [10]).

2° Rozpatruje się przestrzeń metryczną (X, g) i operatory działające na miarach borelowskich w tej przestrzeni ([4], [10]).

3° Zakłada się, że dana jest przestrzeń mierzalna (X, A), i rozpatruje się operatory działające na miarach określonych na A ([12]).

Oczywiście podejście 3° jest najbardziej ogólne, będę jednak mówił o ope- ratorach z punktu 2° i 3°. Mają one bowiem liczne zastosowania i, co dla matematyka najważniejsze, można dla nich sformułować proste i jednocze- śnie zaskakujące twierdzenia. Ponadto w przypadku operatorów Markowa działających na L 1 pojawiają się w naturalny sposób zamiast iteracji {Pn}, n £ N, półgrupy {P2 * 4}, t £ [0,oo), z czasem ciągłym.

2. O peratory M arkowa na przestrzeni L1. W rozdziale tym omó- wimy trzy zagadnienia:

1) twierdzenie typu Markowa o ograniczoności z dołu, 2) twierdzenie o asymptotycznej okresowości,

3) alternatywa Foguela.

Niech (X, A, m) będzie przestrzenią z miarą cr-skończoną i niech L1 =

L l (X, A, m). Przez D oznaczymy podzbiór L 1 zawierający gęstości, tj.

D = { / e L1 : / > 0, ll/ll = 1}, gdzie || • || oznacza normę w L 1.

Operator P : L1 —► L1 nazywamy operatorem Markowa, jeśli spełnione są następujące warunki:

(5) P jest liniowy,

(6) P{D) C D.

Jeżeli X — { 1 ,...,N} jest przestrzenią z miarą liczącą, to warunki (5), (6) dokładnie odpowiadają temu, że operator P dany jest przez macierz przejścia. Tak więc nasza nowa definicja jest bezpośrednim uogólnieniem definicji podanej przez Markowa. Podobna jest też definicja asymptotycznej stabilności.

Operator Markowa P : L 1 —■» L1 będziemy nazywali asymptotycznie stabilnym, jeżeli istnieje funkcja /* € D taka, że

(7)

lim \\Pnf - f * || = 0 dla f e D .

Oczywiście funkcja /* spełniająca warunek (4) jest jedyna oraz P/* = /*.

Przyjmijmy oznaczenia

a+ = max{0, a}, a~ = max{0, —a}.

Zamiast twierdzenia 1 mamy teraz następujące twierdzenie o ogranicze- niu z dołu.

T wie rd ze ni e 2. Jeżeli P : L 1 —> L1 jest operatorem Markowa i istnieje funkcja h € L 1 taka, że

(8) h > 0, |H | > 0

oraz

(9)

lim ||(Pn/ - h)~\\ = 0 dla f e D , to operator P jest asymptotycznie stabilny.

Dowody tego twierdzenia nie są trudne. Szczególnie prosty dowód, je- śli chodzi o myśl przewodnią, podał J. Yorke. Zauważył on, że zbiór funkcji Ti C L 1, które są nieujemne i spełniają warunek (9), ma element największy.

Co więcej, ów element największy, jeśli tylko nie jest zerem, musi już speł- niać warunek asymptotycznej stabilności (7). Warunek (8) gwarantuje, że zbiór 7i jest niepusty i w konsekwencji największy element zbioru Ti nie jest zerem ([10], [11]).

Zauważmy dalej, że w przypadku przestrzeni skończonej X = {1,..., N }

twierdzenie 2 pokrywa się z wersją 1' twierdzenia Markowa. Rolę funkcji h

spełnia tu

Półgrupy operatorów Markowa 43

, /, x f 6 dla k = i, fc(*) = \ 0 dl. fc# i.

Mimo swej prostoty twierdzenie 2 znalazło liczne zastosowania. Wymie- nię trzy z nich.

1) Uprościło badanie własności ergodycznych odwzorowań lokalnie roz- szerzających [10] (twierdzenia Renyi’ego i Krzyżewskiego-Szlenka).

2) Dało ciekawe wyniki dotyczące iterowania operatorów całkowych, w szczególności operatorów Volterry z wyprzedzającym argumentem [2].

3) Pozwoliło na uzyskanie nowych wyników w zakresie asymptotyki rów- nań ewolucyjnych postaci

Ut = Au — \u + A Pu,

gdzie P jest operatorem Markowa, zaś A jest generatorem ciągłej półgrupy operatorów Markowa. Do tego typu równań prowadzi na przykład linearyza- cja równań Boltzmanna, równanie ciepła ze źródłami zewnętrznymi i wiele innych ([13], [14]).

Pozwolę sobie nieco szerzej omówić przypadek 2), ponieważ prowadzi do dosyć zaskakujących rezultatów. Rozpatrzmy równanie

Xx

(10) f{x) = \ K{x,y)f{y)dy,

o

gdzie jądro K : R+ x R+ —> R jest daną funkcją ciągłą, A stałą dodatnią, a / : R_|_ — R poszukiwaną funkcją. Równanie to w przypadku A = 1 bada się na początku każdego niemal podręcznika równań całkowych i dowodzi, że jedynym jego rozwiązaniem jest / = 0. To samo dotyczy oczywiście przy- padku 0 < A < 1. Natomiast dla A > 1 równanie może mieć nietrywialne rozwiązanie. Co więcej, przy A > 1 dla pewnych klas jąder K operator P : L1(R+) —> L l {R+) dany wzorem

\ x

Pf(x) = \ K(x,y)f(y)dy o

jest operatorem Markowa asymptotycznie stabilnym. Dowód otrzymuje się przy użyciu twierdzenia 2. Mianowicie, dzięki założeniu, że A > 1, iteracje Pnf(x) dla dużych n są w otoczeniu punktu x = 0 dodatnie, co po pewnych rachunkach prowadzi do znalezienia funkcji h.

Warto dodać, że równania postaci (10) pojawiły się przy próbach mate- matycznego modelowania cyklu komórkowego.

Skoro pewne ograniczenia dolne dla ciągów (Pnf ) decydują o ich asymp-

totyce, powstaje naturalne pytanie, co się dzieje w przypadku, gdy ciągi te

są ograniczone z góry. Zaczniemy od definicji.

Mówimy, że ciąg (Jn), / n € L 1, jest asymptotycznie okresowy, jeśli ist- nieje ciąg okresowy (/n), f n E L 1, taki, że

lim ||/n - /n|| = 0.

n —*oo

Zachodzi następujące

T wi er dze nie 3. Jeżeli P : L1 —» L1 jest operatorem Markowa i istnieje funkcja g E L 1, g > 0, taka, że

(11) n—*oo lim ||( P " /- g ) +|| = 0 d l a f e D ,

to dla każdego f E D ciąg (P nf ) jest asymptotycznie okresowy o okresie nie większym niż ||^||.

W odróżnieniu od poprzedniego, dowód twierdzenia 3 nie jest prosty.

Pierwszą wersję dla dość specjalnych klas operatorów podali F. Hoffbauer i G. Keller w 1982 roku. Znacznie ogólniejszy rezultat, z którego twierdzenie 3 natychmiast wynika, podał w pięć lat później J. Komornik ([8], [9]).

Warto prześledzić, na czym polegało uogólnienie podane przez Komor- nika. Otóż wiadomo, że dla g E L 1, g > 0, zbiór funkcji

{ f e L 1 : \f \<g}

jest słabo zwarty w L1. Założenie (11) mówi więc, że ciągi (Pnf ) dla f ED zbliżają się do pewnego zbioru słabo zwartego. Komornik pokazał, że założe- nie (11) można zastąpić przez warunek następujący. Istnieje liczba 0 < A < 1 oraz zbiór G C L 1 słabo zwarty takie, że

(11') lim supd(Pn/ , G) < A dla / € D, n—*

gdzie d(f, G) oznacza odległości funkcji / od zbioru G, tj.

d(/,G ) = i n f { | | / - / | | : / < G } .

Bardzo piękną ilustracją twierdzenia Komornika jest fakt, że nawet małe perturbacje układów dynamicznych powodują, że generowane przez te uk- łady ciągi gęstości są asymptotycznie okresowe. Rozpatrzmy mianowicie w przestrzeni Rd sperturbowany układ dynamiczny postaci

X n Ą.\ = S ( x n ) T ^Tl = 0, 1, . . .

Zakładamy, że S : jest odwzorowaniem borelowskim, a (£n) cią- giem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, który ma gęstość q. Niech f n oznacza gęstość xn (dla n > 1). Jeżeli w dodatku ciąg (£n) jest niezależny od

^, to

f n + i = P f n dla n = 1,2,...,

Pólgrupy operatorów Markowa 45

gdzie P jest operatorem Markowa danym wzorem Pf(x) = \ f(y)q(x - S(y))dy.

Rd

Bardzo łatwo podać warunki, przy których spełnione jest założenie (11) lub (11'). Najprostsze, ale w miarę sensowne są takie, że funkcja q jest ograniczona, o nośniku zwartym i zbiór S(Rd) jest ograniczony. Wówczas jako funkcję g z warunku (11) wystarczy przyjąć

rt/ V > - / supQ dla z e if, 9{X) “ \ 0 dla x # K ,

gdzie K C M.d jest dostatecznie dużą kulą (zawierającą nośniki f n).

Przejdziemy teraz do ostatniego zagadnienia dotyczącego asymptotyki operatorów Markowa działających na L1, tj. do alternatywy Foguela. Została ona sformułowana w dosyć specjalnej sytuacji przez S. R. Foguela w 1966 roku. Najogólniej rzecz biorąc, mówi ona, że przy pewnych założeniach ope- rator Markowa musi być albo asymptotycznie stabilny, albo wymiatający.

Zaczniemy więc od definicji wymiatania.

Niech *4o będzie pewną rodziną zbiorów mierzalnych (tzn.

C A, gdzie A jest cr-algebrą z naszej wyjściowej przestrzeni z miarą (X , A, m)). Mówimy, że operator P : L1 —> L 1 jest wymiatający względem Ao, jeśli

lim \ P n fd m = 0 dla A G Ao, / € D.

n—>oo -*

/I

Istotny postęp w uproszczeniu sformułowania alternatywy Foguela uzy- skali T. Komorowski i J. Tyrcha. Obecnie najogólniejsze rezultaty z tego zakresu należą do R. Rudnickiego. Przytoczę jeden z nich, który szczególnie prosto wypowiada się w przypadku, gdy X jest przestrzenią metryczną, A rodziną podzbiorów borelowskich, a m miarą borelowską cr-skończoną [15].

Będziemy zakładali, że operator P spełnia warunek (12) Pf(x) > \ K{x,y)f{y)m{dy) dla f £ D,

x

w którym K : X x X —> R jest zadanym jądrem. Mamy wówczas następujące T wierdzenie 4. Niech P

L 1

L1 będzie operatorem Markowa, który spełnia nierówność (12) z jądrem K ciągłym i dodatnim. Wówczas P jest albo asymptotycznie stabilny, albo wymiatający względem rodziny podzbio- rów zwartych w X . Jeśli dodatkowo jądro K jest ograniczone i P nie jest asymptotycznie stabilny, to P jest wymiatający względem rodziny zbiorów mierzalnych o mierze skończonej.

Dowody alternatywy Foguela są ściśle związane z teorią operatorów Har-

risa [6].

Definicje asymptotycznej stabilności i wymiatania przenosi się w natu- ralny sposób na półgrupy operatorów Markowa P ł : L1 —> L1 z czasem cią- głym t £ [0, oo). W naturalny sposób przenosi się też twierdzenie 4. W tym przypadku wystarczy, że warunek (12) jest spełniony dla jednego operatora P*Vo > 0.

Bardzo wygodnie stosuje się twierdzenie 4 do półgrup generowanych przez równanie ewolucyjne postaci

ut = Au + Xu -j- XPu, t > 0, x £ Rd, u = u(t, x),

gdzie A jest danym operatorem eliptycznym lub ogólniej różniczkowym z wy- różnioną częścią eliptyczną. Zakłada się przy tym, że A jest operatorem Markowa, a A jest stałą dodatnią. Wiadomo bowiem wówczas (twierdzenie perturbacyjne Phillipsa), że półgrupa generowana przez pełne równanie jest półgrupą operatorów Markowa, która spełnia warunek (12) z jądrem K cią- głym, dodatnim i ograniczonym. Wobec tego dla dowodu asymptotycznej stabilności wystarczy stwierdzić, że jakikolwiek funkcjonał postaci

| u(t, x)V{x) dx,

gdzie limia-i^oo V{x) = oo, jest przy dużych t ograniczony. Wyklucza to bowiem wymiatanie.

3. O peratory M arkowa na m iarach borelowskich. Niech (X, g) bę- dzie przestrzenią metryczną, a B cr-algebrą podzbiorów borelowskich prze- strzeni X. Przez M. oznaczymy rodzinę skończonych miar borelowskich, a przez M.\ podrodzinę miar probabilistycznych. Przez A4sjg oznaczymy przestrzeń miar skończonych znakozmiennych, tzn.

M sig = {fJLi - fi2 : /ii, ju € M ) .

Funkcję 7r: X x B —> [0,1] nazywamy funkcją przejścia, jeśli dla każdego x E X funkcja n(x, •) jest miarą probabilistyczną, a dla każdego A 6 B funkcja 7r(-, A) jest mierzalna. Mając daną funkcję przejścia, określamy od- powiadający jej operator Markowa P : Xi —> M. wzorem

Pfi(A) = J tc ( x , A) n{dx) dla /i € Afsig, A € B.

x

Ewidentnie P jest operatorem liniowym, P(A4 ¹ ) C M.\ i widać, że dla prze- strzeni skończonej X — {1,..., N } definicja nasza pokrywa się z definicją Markowa.

Chcąc studiować asymptotykę ciągów (Pn/i), musimy przede wszystkim określić zbieżność ciągów miar. Z wielu względów najbardziej naturalna i wy- godna jest tu słaba zbieżność. Zaczniemy jednak od definicji pewnej normy.

Niech C(X) będzie przestrzenią funkcji ciągłych i ograniczonych / : X —► R.

Półgrupy operatorów Markowa 47

Wprowadzimy skrótowe oznaczenie dla całki (f,V>) = \ f{x)p(dx),

x

a przez T C C ( X ) będziemy oznaczali zbiór funkcji / : X —> R spełniają- cych warunki

\ f ( x ) \ < l , \f(x) - f(y)\< g(x,y) dla x,y e X.

Dla /i 6 A1sig definiujemy normę Forteta-Mouriera wzorem

\\I jl \\ f m - sup{|(/,/x)| : / € P},

Z łatwością można sprawdzić, że wzór ten określa normę w M Sig- Co więcej, w przypadku gdy X jest przestrzenią polską (metryczną, zupełną i ośrod- kową), przestrzeń M z metryką generowaną przez normę Forteta-Mouriera ma dwie ważne własności. Po pierwsze, przestrzeń ta jest zupełna, a po drugie zbieżność

lim \\/in — i i \\ f m = 0,

jest równoważna zbieżności słabej, tj. warunkowi lim (/, iin) = (/, p) dla / <E C{X).

Niech Sx dla x G X oznacza miarę określoną wzorem c v f l dla x e A, 5* W = i o dla x $ A.

Nazywamy ją deltą Diraca skupioną w x. Łatwo sprawdzić, że

| | f i y II — q (,X) y) dla X) y G X , q { x ^ y) 2.

Tak więc metryka Forteta-Mouriera jest dość naturalnym przeniesieniem odległości z punktów na miary.

Niestety metryka Forteta-Mouriera nie wiąże się tak dobrze z definicją operatora Markowa działającego na M sig, jak odległość w przestrzeni L 1 z definicją operatora Markowa na L 1. Musimy więc wprowadzić nową klasę operatorów Markowa.

Operator Markowa P : M s\g —> M s\g nazywamy nierozszerzającym, jeśli spełnia warunek

\\PfJLi - Pp2\\FM < ll/il - M 2 IIFM dla /Xi, li2 € M l.

Jak poprzednio, wprowadzimy też pojęcie operatora asymptotycznie sta- bilnego. Jest to operator, który spełnia dwa warunki. Po pierwsze, istnieje miara niezmiennicza //* € M i , tzn. taka, że P/i* = ^*, a po drugie

(13) lim \\Pni i - ii*\\FM = 0 dla n G M \.

W odróżnieniu od operatorów działających na L1 warunek (13) nie gwaran- tuje niezmienniczości miary.

Odpowiednikiem klasycznego twierdzenia Markowa 1 lub 1' jest teraz następujące

T wie rd ze ni e 5. Niech X będzie przestrzenią polską i niech P : ,MSig —>

•Adsig będzie nierozszerzającym operatorem Markowa. Zakładamy, że dla każ- dego £ > 0 istnieje zbiór mierzalny A oraz liczba a > 0 takie, że diam A < e oraz

(14) liminf P nfi(A) > a dla fi € M \ .

Przy tych założeniach operator P jest asymptotycznie stabilny.

Dla przestrzeni, w których kule domknięte są zwarte, dowód twierdzenia 5 nie jest specjalnie trudny. Dla przestrzeni polskich dowód podał T. Sza- rek [16].

Warto zauważyć, że z twierdzeń A. D. Aleksandrowa dotyczących sła- bych zbieżności miar wynika, że warunek (14) jest warunkiem koniecznym asymptotycznej stabilności. Natomiast bardzo ograniczający wydaje się wa- runek nierozszerzania dla operatora P. W tej chwili można tylko powiedzieć, że po opuszczeniu tego warunku twierdzenie nie jest prawdziwe.

Twierdzenie 5 znalazło wiele zastosowań. Najciekawsze wiążą się z teorią iterowanych układów funkcyjnych [1].

Niech Wi : X —> X dla i = 1 , . . . , N będą funkcjami ciągłymi i niech (pi,... ,pjv) będzie wektorem probabilistycznym. Rodzinę par

{(wi,pi) :i = l,...,iV}

nazywamy iterowanym układem funkcyjnym. Z układem tym wiążemy ope- rator P : A4sig —> A4sig określony wzorem

N

(15) Pp(A) = y£ 2 p in {w f1{A)) dla fi € A4sig, A e B.

i=l

Dla N = 1 jest to po prostu transport miary przez odwzorowanie w \. Ogólnie dla (i E M.\ można prawą stronę wzoru (15) interpretować następująco.

Przypuśćmy, że fi jest rozkładem pewnego elementu (punktu) losowego xo]

oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia xq G A dla A <E B wynosi fi(A). Wybieramy losowo z ciągu liczb (1 ,...,iV) jedną w taki sposób, że wybór liczby k następuje z prawdopodobieństwem pk. Jeżeli wybrana została liczba ko, to przyjmujemy x\ = Wk0{xo)- Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite wynika, że dla A € B prawdopodobieństwo zdarzenia x\ 6 A wynosi Pfi(A).

Proces ten możemy kontynuować. W n-tym kroku otrzymujemy punkt

%n = Wkn-i (^n-i) taki, że prawdopodobieństwo zdarzenia xn € A jest równe

Pólgrupy operatorów Markowa 49

Pnp(A). Uzasadnia to nazwę „iterowany układ funkcyjny”. Oczywiście, aby ta konstrukcja była poprawna, trzeba pokonać te same trudności, o jakich mówiliśmy przy interpretacji potęg macierzy Markowa. Można jednak pro- blem ten pominąć i po prostu rozważać iteracje operatora P. Znajdziemy się wtedy w sytuacji pod względem formalnym całkowicie poprawnej i na tym polega wygoda teorii operatorów Markowa.

Korzystając z twierdzenia 5, można dosyć łatwo uzyskać następujący rezultat.

T

6. Niech (X , g) będzie przestrzenią polską. Zakładamy, że istnieje liczba 0 < A < 1 oraz wskaźnik io 6 {1,..., N ] takie, że spełnione są dwa następujące warunki:

N

(16) ^2piQ(wi(x),Wi(y)) < Xg(x,y) d l a x , y e X ,

i

=1

(17) g(wio(x),wio(y)) < Xg(x,y) d l a x , y € X .

Wówczas operator P dany wzorem (15) jest asymptotycznie stabilny.

Istotnie, korzystając z warunku (16), łatwo sprawdzić, że operator P jest nierozszerzający. Ponadto, używając tego samego warunku, można pokazać, że istnieje mierzalny i ograniczony zbiór C taki, że

(18) liminf P np{C) > ^ dla p G M .\.

Korzystając z (17) i (18), sprawdzamy bez trudu pozostałe założenia twier- dzenia 5.

Korzystając z silniejszych środków, można pokazać [17], że twierdzenie 6 jest prawdziwe bez warunku (17).

Jedyną miarę niezmienniczą p* e M i, która istnieje na podstawie twier- dzenia 6, nazywamy miarą fraktalną. Jej nośnik

A* = supp /i*

nie zależy od wyboru wektora probabilistycznego (pi,. •. ,P jv ), jeśli tylko spełniony jest warunek (17) oraz Pi > 0 dla i = 1,..., N.

Tytułem przykładu rozpatrzymy w przestrzeni X = M2 z normą eukli- desową iterowany układ funkcyjny {(wi,pi) : i = 1,2,3}, gdzie

Wi X\

%2

1/2 0

0 1/2 xi

%2 + i — 1,2,3,

i i

ai = b i = 0; a2 = -, b2 = 0; a3 = -, 03 -

oraz

Wówczas dla dowolnego wektora probabilistycznego {p\,P

iP

) warunki (16) i (17) są spełnione.

Jeśli Pi > 0 dla i = 1,2,3, to nośnik miary niezmienniczej przyjmuje postać

Jest to dobrze znany trójkąt Sierpińskiego.

Literatura

[1] M. F. Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, New York, 1988.

[2] K. Baron, A. Lasota, Asymptotic properties of Markov operators defined by Volterra type integrals, Ann. Polon. Math. 58 (1993), 161-175.

[3] P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa, 1987.

[4] S. N. Ethier, T. G. Kurtz, Markov Processes, Characterization and Convergence, John Wiley, New York, 1986.

[5] M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, War- szawa, 1958.

[6] S. R. Foguel, The Ergodic Theory of Markov Processes, Van Nostrand-Reinhold, New York, 1969.

[7] A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer Verlag, Berlin, 1933.

[8] J. Komornik Asymptotic periodicity of the iterates of weakly constrictive Markov operators, Tóhoku Math. J. 38 (1986), 15-27.

[9] J. Komornik, A. Lasota, Asymptotic decomposition of Markov operators, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 35 (1987), 321-327.

[10] A. Lasota, M. C. Mackey, Chaos, Fractals and Noice, Stochastic Aspects of Dyna- mics, Springer Verlag, New York, 1995.

[11] A. Lasota, J. A. Yorke, Exact dynamical systems and the Frobenius-Perron operator, Trans. Amer. Math. Soc. 273 (1982), 375-384.

[12] E. Nummelin, General Irreducible Markov Chains and Non-Negative Operators, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984.

[13] K. Pichór, Asymptotic stability of a partial differential equation with an integral

perturbation, Ann. Polon. Math. 68 (1998), 83-96.

Półgrupy operatorów Markowa 51 [14] K. Pichór, R. Rudnicki, Continuous Markov semigroups and stability of transport

equations, J. Math. Anal. Appl. 249 (2000), 668-685.

[15] R. Rudnicki, On asymptotic stability and sweeping for Markov operators, Bull. Po- lish Acad. Sci. Math. 43 (1995), 245-262.

[16] T. Szarek, The stability of Markov operators on Polish spaces, Studia Math. 142 (2000), 145-152.

[17] T. Szarek, Invariant measures for Markov operators with application to function systems, w druku.

Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Bankowa 14 40-007 Katowice

E-mail: [email protected]

kach (s. 19, 20, 21 w artykule A. Deutscha i S. Dormann oraz s. 50 w artykule A. Lasoty) wydrukowano pionowe kreski z prawej strony rysunku.

Przepraszamy Autorów i Czytelników za ten błąd.