C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. LXIII 1992 FASC. 1

C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M

VOL. LXIII 1992 FASC. 1

ERRATUM ` A L’ARTICLE “SUR UN TH ´ EOR ` EME DE DAY, UN TH ´ EOR ` EME DE MAZUR–ORLICZ ET UNE G ´ EN ´ ERALISATION

DE QUELQUES TH ´ EOR ` EMES DE SILVERMAN”

(COLLOQUIUM MATHEMATICUM 50 (1986), 257–262)

PAR

WOJCIECH C H O J N A C K I (WARSZAWA)

Le raisonnement sur la page 259 entre les phrases “Si λ ∈ R et x ∈ E. . . ” et “. . . on parvient ` a l’identit´ e λf (x) = f (λx)” n´ ecessite une correction, la raison ´ etant le fait que f (x) et p(x) ne doivent pas ˆ etre positifs. Voil` a une telle correction.

Pour achever la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1, il suffit de montrer que λf (x) = f (λx) pour tout x ∈ E et tout nombre positif λ.

Etant donn´ ´ e x ∈ E, posons

q(x) = p(x) + p(−x) , r 1 (x) = f (x) + p(−x) , r 2 (x) = p(x) − f (x) .

Il est clair que la fonction q est positivement homog` ene et qu’on a 0 ≤ r i (x) ≤ q(x) pour x ∈ E et i = 1, 2. En outre, quels que soient x ∈ E, λ > 0 et i = 1, 2, on a

λr i (x) − r i (λx) = inf{wr i (x) − r i (λx) : w > λ, w ∈ Q}

= inf{r i ((w − λ)x) : w > λ, w ∈ Q}

≤ inf{q((w − λ)x) : w > λ, w ∈ Q}

= inf{(w − λ)q(x) : w > λ, w ∈ Q} = 0 .

En combinant cette in´ egalit´ e avec les identit´ es λr 1 (x) − r 1 (λx) = λf (x) −

f (λx) et λr 2 (x) − r 2 (λx) = f (λx) − λf (x) on parvient ` a l’identit´ e d´ esir´ ee.