C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. LXIII 1992 FASC. 1

VOL. LXIII 1992 FASC. 1

ANALYSE DE FOURIER ADAPT ´ EE ` A UNE PARTITION PAR DES CUBES DE WHITNEY

PAR

R. R. C O I F M A N (NEW HAVEN, CONNECTICUT)

Y. M E Y E R (PARIS)

EN HOMMAGE AU PROFESSEUR STANIS LAW HARTMAN

1. Introduction. Soit Ω un ouvert born´ e de R ⁿ . Consid´ erons une partition de Ω par des cubes dyadiques Q j , j ∈ J . Ces cubes seront appel´ es des cubes de Whitney s’il existe une constante C > 1 telle que, pour tout j ∈ J , la distance (not´ ee L j ) entre Q j et la fronti` ere ∂Ω de Ω et la longueur l j du cˆ ot´ e de Q j soient reli´ ees par

(1.1) C ⁻¹ l j < L j < Cl j .

Sous certaines conditions (n = 2 et choix appropri´ e des Q j ), nous nous proposons de construire une analyse de Fourier adapt´ ee ` a une telle partition de Whitney. Il s’agira, en fait, de d´ efinir, pour chaque Q j , une fenˆ etre w j

adapt´ ee ` a Q j . Cela signifie que

(1.2) le support de w j est inclus dans 2Q j ,

(1.3) w j ∈ C ₀ ^∞ (Ω) ,

(1.4) |∂ ^α w j (x)| ≤ C α l ^−|α| _j .

Rappelons que 2Q j est le cube dont le centre est le mˆ eme que celui de Q j

et dont le cˆ ot´ e est le double de celui de Q j .

On a pos´ e ∂ ^α = (∂/∂x 1 ) ^α

. . . (∂/∂x n ) ^α

, |α| = α 1 + . . . + α n , et les constantes C α sont ind´ ependantes de j.

Un programme trop optimiste est que l’on puisse choisir les fenˆ etres w j (x) de sorte que la famille l ^−n/2 _j w j (x) exp(2πik · x/l j ), k ∈ Z ⁿ , soit une base orthonorm´ ee de L ² (Ω). On consultera ` a ce propos [2]. Mais nous mon- trerons que si n = 2 et si les w j (x) ainsi que les Q j sont convenablement choisis, notre programme peut ˆ etre r´ ealis´ e, quitte ` a remplacer les exponen- tielles imaginaire par les fonctions

(1.5) sin[π(k 1 + ¹ ₂ )(x 1 − a ⁽¹⁾ _j )/l j ] sin[π(k 2 + ¹ ₂ )(x 2 − a ⁽²⁾ _j )/l j ].

On a d´ esign´ e par (a ⁽¹⁾ _j , a ⁽²⁾ _j ) un sommet du carr´ e Q j .

A quoi peuvent servir de telles bases? Si Ω est un ouvert born´ e r´ egulier, elles conviennent ` a la description des espaces de Sobolev H ₀ ^s (Ω), s ≥ 0.

Une fonction f appartient ` a H ₀ ^s (Ω) si et seulement si ses coefficients α(j, k), k = (k 1 , k 2 ), dans cette base v´ erifient P

j

P

k 4 ^js (1+|k|) ^2s |α(j, k)| ² <

∞. Il en r´esulte, par dualit´ e, que les espaces de Sobolev H ^s (Ω), s ≤ 0, sont caract´ eris´ es ´ egalement par cette condition.

2. Rappels sur la construction en dimension 1. D´ esignons par θ(x) une fonction ind´ efiniment d´ erivable de la variable r´ eelle x, ` a valeurs dans [0, 1], ´ egale ` a 1 si x ≤ −1, ` a 0 si x ≥ 1 et v´ erifiant, en outre,

(2.1) θ ² (x) + θ ² (−x) = 1 pour tout x r´ eel .

On d´ esigne par H 0 le sous-espace ferm´ e de L ² (R) compos´e des fonctions f (x) nulles si x ≥ 1, de la forme θ(x)p(x) o` u p(x) ∈ L ² [−1, 1], p(x) = p(−x), sur [−1, 1] et arbitraires si x ≤ −1. L’op´ erateur P de projection orthogonale sur H 0 est donn´ e par

(2.2) P f (x) = θ ² (x)f (x) + θ(x)θ(−x)f (−x).

On d´ efinit de mˆ eme H 1 ⊂ L ² (R) par les conditions f (x) = 0 si x ≥ 1, f (x) = θ(x)q(x), q(x) ∈ L ² [−1, 1], q(−x) = −q(x) si −1 ≤ x ≤ 1 et f (x) est arbitraire si x ≤ −1. Alors l’op´ erateur de projection orthogonale sur H 1 est donn´ e par

(2.3) Qf (x) = θ ² (x)f (x) − θ(x)θ(−x)f (−x).

Donnons-nous maintenant un intervalle [a, b] ainsi que deux nombres r´ eels positifs η et η ⁰ tels que η + η ⁰ ≤ l = b − a. On d´ efinit, par simple changement d’origine et changement d’´ echelle, les projecteurs P a et P b . On a donc

(2.4) P a f (x) = θ ²  x − a η



f (x) + θ  x − a η



θ  a − x η



f (2a − x) et de mˆ eme pour P b en rempla¸ cant η par η ⁰ .

On a, dans ces conditions, P a ≤ P _b et P b − P _a est un op´ erateur de projection orthogonale sur un sous-espace ferm´ e W _(a,b) de L ² (R) que nous allons d´ efinir.

Une fonction f ∈ W _(a,b) est nulle si x ≤ a − η ou si x ≥ b + η ⁰ , est arbitraire si a + η ≤ x ≤ b − η ⁰ , et elle s’´ ecrit

(2.5) f (x) = θ  x − a η



θ  a − x η



q(x − a) si |x − a| ≤ η o` u q(t) ∈ L ² [−η, η], q(−t) = −q(t). De mˆ eme,

(2.6) f (x) = θ  x − b η ⁰



θ  b − x η ⁰



p(x − b) si |x − b| ≤ η ⁰

o` u p(t) ∈ L ² [−η ⁰ , η ⁰ ], p(−t) = p(t).

On pose

w (a,b) (x) =



θ ²  x − b η ⁰



− θ ² x − a η

 1/2

. Alors les fonctions

(2.7)

r 2 l sin

 π

 k + 1

2

 x − a l



w (a,b) (x), k = 0, 1, 2, . . . , constituent une base orthonorm´ ee de W _(a,b) .

Les remarques pr´ ec´ edentes conduisent ` a la construction d’une base or- thonorm´ ee de L <sup>2</sup> (R) adapt´ee `a une partition arbitraire de R par des inter- valles [a j , a j+1 ]. On suppose donc que a j , j ∈ Z, est une suite strictement croissante de nombres r´ eels v´ erifiant lim j→±∞ a j = ±∞. On consid` ere une suite η j > 0 v´ erifiant η j + η j+1 ≤ l _j pour tout j ∈ Z et l’on construit les fenˆ etres w j (x) = w (a

,b

) (x). Alors les fonctions

(2.8)

s 2 l j

sin

 π

 k + 1

2

 x − a _j l j



w j (x), j ∈ Z, k ∈ N , constituent une base orthonorm´ ee de L ² (R).

En effet, pour chaque j fix´ e, les fonctions u j,k , k ∈ N, d´efinies par (2.8), constituent une base orthonorm´ ee d’un sous-espace W j de L ² (R). L’op´era- teur de projection orthogonale sur W j est P j+1 − P _j o` u P j = P a

. Or lim j→+∞ P j = I car lim j→+∞ a j = +∞ et lim j→−∞ P j = 0 car lim j→−∞ a j

= −∞.

Tous ces r´ esultats sont ´ etablis dans [1] ou [2].

3. Le passage ` a la dimension 2. Soit R un rectangle [a, b] × [α, β]

de R ² . Les deux cˆ ot´ es horizontaux de R seront appel´ es Γ 1 et Γ 3 , les deux cˆ ot´ es verticaux Γ 2 et Γ 4 . On d´ esignera par η 1 , η 2 , η 3 et η 4 quatre nombres strictement positifs tels que η 1 + η 3 ≤ β − α, η ₂ + η 4 ≤ b − a.

D` es que η 1 , η 2 , η 3 et η 4 sont fix´ es, le sous-espace correspondant W R = W _R ^(η

^,η

^,η

^,η

⁾ de L ² (R ² ) est d´ efini par les trois caract´ erisations ´ equivalentes suivantes:

(a) W R est la fermeture dans L ² (R ² ) du produit tensoriel W _(a,b) ⊗W _(α,β) o` u W (a,b) est d´ efini comme il est indiqu´ e dans la section 2 avec η = η 2 et η ⁰ = η 4 et de mˆ eme W (α,β) avec η = η 1 et η ⁰ = η 3 .

(b) W R est l’image de L ² (R ² ) par le projecteur P R = (P b − P _a ) ⊗ (P β − P _α )

o` u η 2 , η 4 , η 1 et η 3 servent ` a d´ efinir respectivement P a , P b , P α et P β .

(c) Les fonctions

√ 2 lL sin



π  x 1 − a l



k 1 + 1 2



sin



π  x 2 − a L



k 2 + 1 2



w R (x 1 , x 2 ) o` u l = b − a, L = β − α et w R (x 1 , x 2 ) = w _(a,b) (x 1 )w _(α,β) (x 2 ) constituent une base orthonorm´ ee de W R .

Notre propos sera de choisir convenablement les fenˆ etres w R , c’est-` a-dire les valeurs de η 1 , η 2 , η 3 et η 4 pour que L <sup>2</sup> (Ω) soit la somme hilbertienne directe des espaces W Q associ´ es ` a une partition de Ω par des carr´ es de Whitney Q. Nous poserons η 1 = δ R (Γ 1 ), . . . , η 4 = δ R (Γ 4 ) dans tout ce qui suit. Tout comme en dimension 1, les choix de δ R (Γ 1 ), δ R (Γ 2 ), δ R (Γ 3 ) et δ R (Γ 4 ) d´ ependront des choix d´ ej` a faits pour les carr´ es R <sup>0</sup> adjacents ` a R ou rencontrant R. Cette d´ ependance, que nous expliciterons dans la sec- tion suivante, assurera l’orthogonalit´ e entre les W R et ´ egalement le fait que L ² (Ω) soit la somme hilbertienne directe des W R .

4. Le choix des δ Q (Γ ). Soit Ω un ouvert born´ e de R ² . Pour tout carr´ e dyadique Q = [a, b] × [α, β] de R ² , nous d´ esignerons par 3Q le “carr´ e triple”, ayant mˆ eme centre que Q et dont les cˆ ot´ es ont des longueurs triples de celles de Q.

On consid` ere l’ensemble E de tous les carr´ es dyadiques Q de R <sup>2</sup> tels que 3Q ⊂ Ω. On d´ esigne par E ⊂ E l’ensemble des carr´ es dyadiques, appartenant ` a E et maximaux pour l’inclusion. Alors Ω est la r´ eunion dis- jointe (` a un ensemble de mesure nulle pr` es) des carr´ es Q appartenant ` a E.

Soit Ω j ⊂ Ω la r´ eunion des carr´ es dyadiques ferm´ es Q, de cˆ ot´ e 2 ^−j , tels que 3Q soit inclus dans Ω. D´ esignons, par ailleurs, par E j ⊂ E l’ensemble des Q ∈ E de cˆ ot´ e 2 ^−j et par G j leur r´ eunion. Alors Ω j est la r´ eunion disjointe de Ω j−1 et de G j .

Enfin, Ω j n’est pas vide si et seulement si j ≥ j 0 . Passons ` a la d´ efinition des nombres δ Q (Γ ) lorsque Q ∈ E j et que Γ est un cˆ ot´ e de Q.

Tout d’abord on d´ ecide que δ Q (Γ ) = ¹ ₄ 2 ^−j

chaque fois que Q ∈ E j

. On d´ efinit ensuite les nombres δ Q (Γ ), de proche en proche, si j ≥ j 0 + 1, en appliquant les trois r` egles suivantes:

(4.1) Si Q ∈ E j+1 et Q ∩ Ω j = ∅, alors δ Q (Γ ) = ¹ ₄ 2 ^−j−1 pour tout cˆ ot´ e Γ de Q.

(4.2) Si un cˆ ot´ e Γ de Q est contenu dans Ω j , alors δ Q (Γ ) = ¹ ₂ 2 ^−j−1 . (4.3) Si l’intersection Q ∩ Ω j se r´ eduit ` a un sommet s de Q, on d´ esigne

par Γ 1 le cˆ ot´ e horizontal de Q contenant s et par Γ 2 le cˆ ot´ e vertical

de Q contenant s. Alors δ Q (Γ 1 ) = ¹ ₂ 2 ^−j−1 et δ Q (Γ 2 ) = ¹ ₄ 2 ^−j−1 .

(4.4) Si aucune des r` egles pr´ ec´ edentes ne s’applique ` a Γ , cˆ ot´ e de Q (Q ∈ E j+1 ), alors δ Q (Γ ) = ¹ ₄ 2 ^−j−1 .

Une fois que η 1 = δ Q (Γ 1 ), . . . , η 4 = δ Q (Γ 4 ) sont d´ efinis, la fenˆ etre w Q (x 1 , x 2 ) correspondante en d´ ecoule par la construction des sections 2 et 3.

Th´ eor` eme 1. Si les fenˆ etres w Q (x 1 , x 2 ) sont d´ efinies par les r´ egles pr´ ec´ edentes, alors la collection des fonctions

(4.5) 2 ^−j−1 sin[π(q 1 + ¹ ₂ )(2 ^j x 1 − k ₁ )]

× sin[π(q ₂ + ¹ ₂ )(2 ^j x 2 − k ₂ )]w Q (x 1 , x 2 ) o` u j ≥ j 0 , Q ∈ E, Q = [2 ^−j k 1 , 2 ^−j (k 1 + 1)] × [2 ^−j k 2 , 2 ⁻¹ (k 2 + 1)], q 1 ∈ N, q 2 ∈ N, est une base orthonorm´ee de L ² (Ω).

Comme souvent, il est imm´ ediat de v´ erifier que la suite ψ Q,q (x), Q ∈ E, q ∈ N ² , des fonctions d´ efinies par (4.5) est une suite orthonormale et les difficult´ es apparaissent lorsqu’on veut ´ etablir la compl´ etude. Nous nous limiterons donc ` a la compl´ etude.

5. La preuve du th´ eor` eme 1. D´ esignons par U j la collection des cubes Q de cˆ ot´ e 2 ^−j inclus dans Ω j . Pour Q ∈ U j , nous d´ efinirons la

“fenˆ etre canonique” w e Q (x 1 , x 2 ) en imposant le choix δ Q (Γ ) = ¹ ₄ 2 ^−j pour tous les cˆ ot´ es Γ de Q. Enfin, on pose

(5.1) Π j = X

Q∈U

P e Q

o` u e P Q est le projecteur sur le sous-espace f W Q construit ` a l’aide de la m´ ethode de la section 2 ` a partir de w e Q . Nous revenons aux fonctions d´ efinies par (4.5).

Elles forment une base orthonorm´ ee d’un sous-espace W Q . Nous d´ esignerons par P Q : L ² (R ² ) → W Q le projecteur orthogonal et nous aurons d´ emontr´ e le th´ eor` eme 1 si nous ´ etablissons

(5.2) X

Q∈E

P Q = Π j − Π _j−1 avec Π j

−1 = 0.

Il est, en effet, facile de v´ erifier que Π j → I sur L ² (Ω) quand j tend vers +∞, c’est-` a-dire que lim kΠ j (f ) − f k _L

_(Ω) = 0 pour j ∈ L ² (Ω). En fait, on se limite ` a des fonctions f continues, ` a support compact inclus dans Ω. Pour une telle fonction f , on ne change pas Π j (f ) en rempla¸ cant U j

par l’ensemble de tous les carr´ es dyadiques de cˆ ot´ e 2 ^−j , du moins lorsque j est assez grand. Dans ces conditions Π j (f ) = f , lorsque j est assez grand.

Revenons ` a la preuve de (5.2). Si j = j 0 , E j = U j et P Q = e P Q pour tout

Q ∈ E j .

Si j ≥ j 0 + 1, on commence par d´ ecomposer chaque carr´ e dyadique Q ∈ U j−1 en quatre carr´ es dyadiques Q 1 , Q 2 , Q 3 et Q 4 . On d´ ecompose du mˆ eme coup l’op´ erateur e P Q en P _Q ^]

+ P _Q ^]

+ P _Q ^]

+ P _Q ^]

. Voici la d´ efinition de ces quatre projecteurs. Revenons ` a la dimension 1 et aux notations de la section 2. Si a < c < b et si η <sup>00</sup> > 0 est assez petit pour que η + η <sup>00</sup> ≤ c − a, η <sup>0</sup> + η <sup>00</sup> ≤ b − c, alors P <sub>b</sub> − P <sub>a</sub> = P b − P <sub>c</sub> + P c − P <sub>a</sub> o` u P a = P a,η , P b = P b,η

et P c = P c,η

.

Si Q = [a, b] × [α, β], c = (a + b)/2, γ = (α + β)/2, η + η ⁰ = l/4 o` u l = b − a = β − α et enfin η ⁰⁰ = 1/8. On ´ ecrit (P b − P _a ) ⊗ (P β − P _α ) = [(P b − P _c ) + (P c − P _a )] ⊗ [(P β − P _γ ) + (P γ − P _α )], ce qui conduit aux termes P _Q ^]

, P _Q ^]

, P _Q ^]

et P _Q ^]

.

On a donc

Π j−1 + X

Q∈E

P Q = X

Q∈U

L j

o` u L Q = P Q si Q ∈ E j et L Q = P <sub>Q</sub> <sup>]</sup> si Q 6∈ E j . Il reste ` a montrer que l’on peut en fait remplacer chaque L Q par e P Q .

Si Q ∈ U j et Q ∩ Ω j−1 = ∅, alors Q ∈ E j et, par construction, P Q = e P Q

de sorte que ces termes peuvent ˆ etre oubli´ es.

Si Q ∈ U j et Q ∩ Ω j−1 n’est pas vide, alors l’un des sommets s de Q est de la forme (2k 1 2 ^−j , 2k 2 2 ^−j ). En outre les trois autre carr´ es dyadiques de cˆ ot´ e 2 ^−j et ayant s pour sommet appartiennent ´ egalement ` a U j . Ces quatre carr´ es sont donc obtenus en divisant en quatre la “boˆıte” B s , d´ efinie comme le carr´ e de centre s et de cˆ ot´ e 2 ^−j+1 .

Ces boˆıtes sont deux ` a deux disjointes et nous nous proposons de d´ emon- trer que, pour tout s appartenant ` a la fois ` a Ω j−1 et au r´ eseau 2 ^−j+1 Z ² , on a

(5.3) X

{Q∈U

,Q⊂B

}

L Q = X

{Q∈U

,Q⊂B

}

P e Q .

Pour ´ etablir (5.3), on ´ ecrit B s = [a, b] × [α, β], on pose c = (a + b)/2,

γ = (α + β)/2 et l’on d´ ecompose chacun des op´ erateurs L Q ` a l’aide des

op´ erateurs P a , P b , P c , P α , P β et P γ . Ces six op´ erateurs sont, en fait, douze

car les trois nombres η, η ⁰ et η ⁰⁰ peuvent prendre chacun deux valeurs, ` a

savoir ¹ ₂ 2 ^−j et ¹ ₄ 2 ^−j . On ´ ecrira dans le premier cas P a , P b , . . . et dans

le second P a , P b , . . . Les r` egles (4.2), (4.3) et (4.4) limitent cependant le

nombre de cas possibles. Une limitation suppl´ ementaire est obtenue en

observant que le probl` eme est sym´ etrique en les variables x 1 et x 2 et que

l’on peut ´ egalement changer x 1 en −x 1 ou x 2 en −x 2 . Finalement, il ne reste

que deux cas. Pour le premier, s = (c, γ), η = η ⁰ = ¹ ₄ 2 ^−j et η ⁰⁰ = ¹ ₂ 2 ^−j , tant

pour la variable x 1 que pour la variable x 2 . L’identit´ e (5.3) se r´ eduit alors ` a

(5.4) (P c − P _a ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P c − P _a ) ⊗ (P β − P γ )

+ (P b − P c ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P b − P c ) ⊗ (P β − P γ )

= (P c − P _a ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P c − P _a ) ⊗ (P β − P _γ ) +(P b − P _c ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P b − P _c ) ⊗ (P β − P _γ ).

Ceci est presque ´ evident.

Compte tenu des sym´ etries, le second cas peut toujours ˆ etre d´ efini par les choix suivants :

(5.5) En ce qui concerne la variable x 2 , les choix de η, η ⁰ et η ⁰⁰ sont η = η ⁰ = ¹ ₄ 2 ^−j et η ⁰⁰ = ¹ ₂ 2 ^−j .

(5.6) En ce qui concerne la variable x 1 , η = η ⁰ = η ⁰⁰ = ¹ ₄ 2 ^−j pour les deux carr´ es sup´ erieurs de la boˆıte B s , tandis que η ⁰⁰ = ¹ ₂ 2 ^−j , η = η ⁰ = ¹ ₄ 2 ^−j pour les deux carr´ es inf´ erieurs.

L’identit´ e (5.3) se ram` ene alors ` a

(5.7) (P c − P a ) ⊗ (P γ − P α ) + (P b − P ^c ) ⊗ (P γ − P α ) + (P c − P _a ) ⊗ (P β − P γ ) + (P b − P _c ) ⊗ (P β − P γ )

= (P c − P a ) ⊗ (P γ − P α ) + (P b − P c ) ⊗ (P γ − P α ) + (P c − P _a ) ⊗ (P β − P _γ ) + (P b − P _c ) ⊗ (P β − P _γ ).

La r` egle (4.3) a pour finalit´ e d’´ eviter le choix η ⁰⁰ = ¹ ₂ 2 ^−j pour les deux carr´ es inf´ erieurs, η ⁰⁰ = ¹ ₄ 2 ^−j pour les carr´ es sup´ erieurs (en ce qui concerne la variable x 1 ) et le choix similaire en ce qui concerne x 2 . Au lieu de (5.4) ou (5.5) on tomberait sur

(P c − P _a ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P b − P c ) ⊗ (P γ − P _α ) + (P c − P _a ) ⊗ (P β − P γ ) + (P b − P _c ) ⊗ (P γ − P _α ) que l’on peut simplifier.

R ´ EF ´ ERENCES

[1] P. A u s c h e r and G. W e i s s, The local sine and cosine base, preprint, Department of Mathematics, Washington University, St. Louis, Missouri.

[2] R. R. C o i f m a n et Y. M e y e r, Remarques sur l’analyse de Fourier ` a fenˆ etre, C. R.

Acad. Sci. Paris 312 (1991), 259–261.

[3] Y. M e y e r, Ondelettes et op´ erateurs, Hermann, Paris 1990.

DEPARTMENT OF MATHEMATICS CEREMADE, UNIVERSIT ´ E PARIS-IX

YALE UNIVERSITY DAUPHINE

NEW HAVEN, CONNECTICUT 06520 PLACE DE-LATTRE-DE-TASSIGNY

U.S.A. 75775 PARIS CEDEX 16, FRANCE

Re¸ cu par la R´ edaction le 11.2.1991