C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. LXIII 1992 FASC. 1

VOL. LXIII 1992 FASC. 1

SUR LES OUVERTS DES CW-COMPLEXES ET LES FIBR ´ ES DE SERRE

PAR

ROBERT C A U T Y (PARIS)

M. Steinberger et J. West ont prouv´ e dans [7] qu’un fibr´ e de Serre p : E → B entre CW-complexes a la propri´ et´ e de rel` evement des homo- topies par rapport aux k-espaces. Malheureusement, leur d´ emonstration contient une l´ eg` ere erreur. Ils affirment que certains ensembles (not´ es U et p ⁻¹ U ×U ) sont des CW-complexes car ce sont des ouverts de CW-complexes.

Ceci est g´ en´ eralement faux, et notre premier objectif dans cette note est de donner des exemples d’ouverts de CW-complexes n’admettant aucune d´ ecomposition CW. Malgr´ e cela, le th´ eor` eme de Steinberger et West est vrai, et notre deuxi` eme objectif est de montrer comment leur d´ emonstration peut ˆ etre rectifi´ ee.

1. D´ ecompositions CW des ouverts d’un CW-complexe. Il est connu que tout ouvert d’un complexe simplicial est triangulable. Dans cette section, nous ´ etudions le probl` eme analogue pour les CW-complexes : Si U est un ouvert d’un CW-complexe X, U admet-il une d´ ecomposition CW?

Nous donnons deux exemples montrant que ce n’est en g´ en´ eral pas le cas.

Le premier est un complexe d´ enombrable de dimension deux, le deuxi` eme un complexe de dimension trois ayant une cellule de dimension z´ ero, une de dimension deux et une de dimension trois. Ces exemples sont minimaux pour ce qui est de la dimension et de la finitude locale. En effet, si X est de dimension un, il est triangulable, donc U aussi; d’autre part, nous montrons ci-dessous que U est d´ ecomposable quand X est un complexe localement fini de dimension deux. Le lecteur d´ esireux de se convaincre que la g´ eom´ etrie des CW-complexes diff` ere de celle des complexes simpliciaux pourra aussi consulter [6].

Nous ne ferons aucune distinction formelle entre un CW-complexe et l’espace topologique sous-jacent. Par une cellule d’un complexe, nous en- tendrons toujours une cellule ouverte.

Exemple 1. Soit I = [0, 1], et soit {x n } ^∞ _n=1 une suite de points de ]0, 1[

dense dans I. Pour tout n = 1, 2, . . . , soit B ² _n une copie du disque unit´ e de

R ² , de bord S _n ¹ , et soit ϕ n : S _n ¹ → I l’application constante ϕ _n (S _n ¹ ) = x n . Soit X le complexe d´ enombrable de dimension deux obtenu en attachant B ² _n

`

a I via ϕ n pour n = 1, 2, . . . Soit ψ n : B _n ² → X la projection correspondante.

Notons E n = ψ n (B _n ² \S _n ¹ ); la fermeture de E n est donc ψ n (B _n ² ) = E n ∪{x _n }.

Pour tout n, soit a n un point de E n . Soit A = {a n | n = 1, 2, . . .}; c’est un ferm´ e de X. Notons U l’ouvert X \ A.

Affirmation. U n’admet aucune d´ ecomposition CW.

Supposons le contraire. Pour 0 ≤ i ≤ 2, soit U ⁱ le i-squelette de cette d´ ecomposition. Nous avons alors

(a) I est contenu dans U ¹ .

Car aucun point de I n’a dans X un voisinage hom´ eomorphe ` a un disque ouvert.

(b) U ¹ est connexe.

Car U est connexe.

(c) Pour tout n ≥ 1, U ¹ ∩ E _n 6= ∅.

Supposons le contraire; alors E n \{a n } ⊂ U ² \U ¹ . Soit e ² une 2-cellule de U rencontrant E n \{a _n }. Puisque e ² est ouverte dans U ² \U ¹ , e ² ∩(E _n \{a _n }) est ouvert dans E n \{a _n }, donc, par invariance du domaine, dans e ² . Puisque la fermeture de E n \{a n } dans U est ´ egale ` a ψ(B _n ² \{a n }) = (E n \{a n })∪{x n } et que x n ∈ U ¹ , e ² ∩ (E _n \ {a _n }) = e ² ∩ ψ(B ² _n \ {a _n }) est ferm´ e dans e ² . Par connexit´ e, e ² = E n \ {a _n }, ce qui est absurde, E _n \ {a _n } n’´ etant pas un disque ouvert.

(d) Pour tout n ≥ 1, x n appartient ` a U ⁰ .

Puisque U ¹ ∩ E _n 6= ∅ et que U ¹ est connexe, U ¹ contient un arc simple J dont une extr´ emit´ e est x n et l’autre un point de E n . Puisque la fronti` ere de E n est r´ eduite ` a {x n }, J \ {x n } est contenu dans E n , donc l’ensemble I ∪ J est une triode de sommet x n contenue dans U ¹ . Par suite, x n n’a dans U ¹ aucun voisinage hom´ eomorphe ` a une 1-cellule, donc x n appartient ` a U ⁰ .

D’apr` es (d), {x n } ^∞ _n=1 est un ferm´ e discret de U , contrairement au fait que cet ensemble est dense dans I ⊂ U .

Exemple 2. Soit Σ la 2-sph` ere qui est le bord du cube [−1, 1] × [0, 2] ² ⊂ R ³ . Soit L le sous-ensemble de Σ d´ efini comme suit : L = S ∞

n=0 L n , o` u L 0 = [−1, 1] × {0} × {0}, et, pour n ≥ 1, L n = {(x, y, 0) ∈ R ³ | x ² + (y − 1/n) ² = 1/n ² }. Soient a = (−1, 0, 0) et b = (1, 0, 0). Il est facile de construire une surjection continue h de [−1, 1] sur L telle que h ⁻¹ (a) = {−1} et h ⁻¹ (b)

= {1}.

Soient B ³ la boule unit´ e de R ³ , S ² son bord et B

³ = B ³ \ S ² . Soit

π : S ² → [−1, 1] la projection π(x, y, z) = z, et soit ϕ = h ◦ π : S ² → L;

c’est une surjection continue telle que ϕ ⁻¹ (a) = {(0, 0, −1)} et ϕ ⁻¹ (b) = {(0, 0, 1)}.

Σ peut ˆ etre consid´ er´ ee comme un CW-complexe ayant une 0-cellule et une 2-cellule. Formons un complexe X de dimension trois en attachant B ³

`

a Σ via ϕ. Soit ψ : B ³ → X l’application caract´ eristique correspondante.

Soient K = {0} × {0} × [−1, 1] ⊂ B ³ et A = ψ(K); A est un ferm´ e de X tel que A ∩ Σ = {a, b}. Soit U l’ouvert X \ A.

Affirmation. U n’admet aucune d´ ecomposition CW.

Supposons le contraire. Pour 0 ≤ i ≤ 3, soit U ⁱ le i-squelette de cette d´ ecomposition. Posons Σ ⁰ = U ∩ Σ = Σ \ {a, b} et L ⁰ = L \ {a, b}. Nous avons alors

(a) L ⁰ n’est pas triangulable.

Car aucun voisinage du point (0, 0, 0) dans L n’est contractile (chaque tel voisinage peut ˆ etre r´ etract´ e sur un cercle L n , n grand).

(b) Σ ⁰ est contenu dans U ² .

Puisque U est localement une surface en tout point de Σ ⁰ \ L ⁰ , Σ ⁰ \ L ⁰ ⊂ U ² . Puisque U ² est ferm´ e dans U , il contient la fermeture Σ ⁰ de Σ ⁰ \ L ⁰ . (c) Si une 2-cellule de U rencontre Σ ⁰ , elle est contenue dans Σ ⁰ .

Soit e ² une 2-cellule de U rencontrant Σ ⁰ . Alors e ² est ouverte dans U ² , donc e ² ∩ Σ ⁰ est ouvert dans Σ ⁰ . Par invariance du domaine, e ² ∩ Σ ⁰ est ouvert dans e ² . Puisque Σ ⁰ est ferm´ e dans U , e ² ∩ Σ ⁰ est aussi ferm´ e dans e ² , donc e ² ∩ Σ ⁰ = e ² .

(d) L ⁰ est contenu dans U ¹ .

Pour −1 < t < 1, soit C t le cercle S ² ∩ π ⁻¹ (t). Alors ϕ(C t ) est un point de L ⁰ et nous devons prouver qu’il est dans U ¹ . Si nous param´ etrons C t de fa¸ con naturelle, nous obtenons un chemin ferm´ e s C t (s), s ∈ I, qui est essentiel dans B ³ \ K. Soit T un voisinage compact de C _t dans B ³ \ K. En utilisant le fait qu’aucun ferm´ e de dimension un ne s´ epare localement R ³ , il est facile de construire une suite de chemins ferm´ es ω n : I → B ³ v´ erifiant (1) ω n (I) ⊂ (T \ S ² ) \ U ¹ .

(2) d(ω n (s), C t (s)) < 1/n quels que soient s et n (d est la distance eucli- dienne).

(3) ω n est homotope ` a C t dans B ³ \ K.

Alors, ψ(ω n (I)) rencontre U ² car, dans le cas contraire, il serait contenu dans une 3-cellule e ³ de U , laquelle est contenue dans ψ( B

³ ) d’apr` es (b).

Mais alors, ω n = ψ ⁻¹ ◦ (ψ ◦ ω n ) serait homotope ` a z´ ero dans ψ ⁻¹ (e ³ ) ⊂

◦

B ³ \ K, contrairement ` a (3). Puisque ψ(T ) est compact, il ne rencontre

qu’un nombre fini de cellules, donc, quitte ` a remplacer {ω n } par une sous- suite, nous pouvons supposer l’existence d’une 2-cellule e <sup>2</sup> de U telle que ψ(ω n (I)) ∩ e <sup>2</sup> 6= ∅ pour tout n. Si x n est un point de ψ(ω n (I)) ∩ e <sup>2</sup> , la suite {x n } tend vers ψ(C <sub>t</sub> ) d’apr` es (2). Il r´ esulte de (1) et (c) que e ² est contenue dans ψ( B

³ ), donc ne contient pas ψ(C t ); par suite ψ(C t ) appartient

`

a e ² \ e ² ⊂ U ¹ , d’o` u (d).

Il ne reste plus qu’` a remarquer que (a) et (d) sont contradictoires car tout sous-ensemble ferm´ e connexe d’un complexe de dimension un est trian- gulable.

Proposition. Si X est un CW-complexe localement fini de dimension deux , tout ouvert U de X admet une d´ ecomposition CW.

D ´ e m o n s t r a t i o n . Soient (e i ) i∈J les 2-cellules de X. Pour tout i dans J , soit B _i ² une copie du disque unit´ e de R ² , de bord S _i ¹ , et soit ψ i : B _i ² → e _i une application caract´ eristique pour e i .

Il est facile de v´ erifier que si (K i ) i∈J est une famille localement finie de sous-ensembles ferm´ es connexes d’un complexe K de dimension un, il existe une triangulation de K dont tous les K i sont des sous-complexes. Nous pouvons donc trouver une triangulation X ⁰ de X ¹ dont tous les ensembles e i \ e _i sont des sous-complexes. Prenons une triangulation U ⁰ de U ∩ X ¹ dont chaque simplexe est contenu dans un simplexe de X ⁰ . Alors, pour tout i dans J , U ⁰ ∩ (e _i \ e _i ) est un sous-complexe de U ⁰ .

Il suffit de montrer que, pour i fix´ e, il est possible d’´ etendre, sans l’alt´ erer, la d´ ecomposition U ⁰ de U ∩ X ¹ en une d´ ecomposition de (U ∩ X ¹ ) ∪ (U ∩ e i ).

Soient U i = ψ _i ⁻¹ (U ) et O i = S _i ¹ ∩ U _i . Prenons une d´ ecomposition cellulaire de O i telle que, pour tout sommet v de cette d´ ecomposition, ψ i (v) soit un sommet de U ⁰ (trois cas ` a distinguer pour la construire:

(a) O i = S _i ¹ et ψ i (S _i ¹ ) est un point : trivial,

(b) O i = S _i ¹ et ψ i (S _i ¹ ) contient plus d’un point; puisque ψ i (S _i ¹ ) est un sous-complexe simplicial non trivial de U ⁰ , il a au moins deux sommets distincts w 1 et w 2 ; prendre une d´ ecomposition cellulaire de S _i ¹ ayant deux sommets v 1 et v 2 avec v j ∈ ψ ⁻¹ _i (w j ),

(c) O i 6= S _i ¹ ; la possibilit´ e de d´ ecomposer une composante C de O i r´ esulte alors du fait que tout sous-ensemble connexe de U ∩ X ¹ dont la fermeture rencontre X \ U contient une infinit´ e de sommets de U ⁰ ).

Il est connu, et facile de v´ erifier, que toute d´ ecomposition CW du bord

d’une surface peut se prolonger (sans subdiviser le bord) en une d´ ecomposi-

tion CW de cette surface. Nous pouvons donc ´ etendre la d´ ecomposition de

O i construite ci-dessus en une d´ ecomposition CW de ψ _i ⁻¹ (U i ) pour laquelle

ψ i |O _i : O i → U ⁰ est cellulaire. Cette d´ ecomposition induit donc une d´ ecom-

position de ψ i (U i ) = U i ∩ e _i , qui prolonge la d´ ecomposition U ⁰ de U ∩ X ¹ .

2. Le but de cette section est de d´ emontrer le th´ eor` eme suivant, dont la partie (a) est le r´ esultat de Steinberger–West cit´ e dans l’introduction.

Dans le cas particulier o` u E et B sont des complexes simpliciaux et B est localement fini, la partie (b) a ´ et´ e d´ emontr´ ee par J. E. Arnold [1].

Th´ eor` eme. Soit p : E → B un fibr´ e de Serre, o` u E et B sont des CW-complexes. Alors

(a) p a la propri´ et´ e de rel` evement des homotopies par rapport aux k- espaces.

(b) Si le produit E × B est un k-espace, p est un fibr´ e de Hurewicz.

Nous avons besoin de quelques pr´ eliminaires.

Lemme 1. Si U est un ouvert d’un CW-complexe X, il existe un complexe simplicial K tel que U soit hom´ eomorphe ` a un r´ etracte de K.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Nous avons prouv´ e dans [3] que, pour tout CW- complexe X, il existe un complexe simplicial L et un plongement de X sur un sous-ensemble ferm´ e de L qui est un r´ etracte de voisinage de L. Par suite, U est hom´ eomorphe ` a un r´ etracte d’un ouvert de L, d’o` u le r´ esultat puisque tout ouvert d’un complexe simplicial est triangulable.

Nous dirons qu’une application p : E → B a la propri´ et´ e de rel` evement r´ egulier des homotopies par rapport ` a un espace X si, pour toute fonction f : X → B et toute homotopie h : X × I → B telles que p ◦ f = h 0 , il existe une homotopie H : X × I → E v´ erifiant (i) p ◦ H = h, (ii) H 0 = f , et (iii) le chemin t H(x, t) est constant si, et seulement si, le chemin t h(x, t) l’est.

Lemme 2. Soit p : E → B un fibr´ e de Serre, et soit X un r´ etracte d’un complexe simplicial K. Alors

(a) p a la propri´ et´ e de rel` evement des homotopies par rapport ` a X.

(b) Si B est s´ epar´ e, p a la propri´ et´ e de rel` evement r´ egulier des homo- topies par rapport ` a X.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (a) Soient f : X → E et h : X × I → B telles que h 0 = p ◦ f . Soit r : K → X une r´ etraction, et soient g = f ◦ r : K → E et k = h ◦ (r × id) : K × I → B. Alors p ◦ g = k 0 , donc il existe G : K × I → E telle que G 0 = g et p ◦ G = k. Alors F = G|X × I v´ erifie p ◦ F = h et F 0 = f .

(b) Si B est s´ epar´ e et h : I ⁿ × I → B continue, alors h(I ⁿ × I),

image s´ epar´ ee d’un espace m´ etrique compact, est m´ etrique compact. Un

raisonnement classique (voir par exemple [8]) montre alors que, pour tout

rel` evement f de h 0 , il existe un rel` evement r´ egulier de h prolongeant f .

La m´ ethode habituelle de prolongement squelette par squelette montre que

p a la propri´ et´ e de rel` evement r´ egulier des homotopies par rapport ` a tout complexe simplicial. Il suffit alors de r´ ep´ eter l’argument de (a).

Un espace topologique X est dit ULC s’il existe un voisinage V de la diagonale de X × X et une application continue λ : V × I → X v´ erifiant

(i) λ(x, y, 0) = x et λ(x, y, 1) = y quel que soit (x, y) ∈ V , (ii) λ(x, x, t) = x quels que soient x ∈ X et t ∈ I.

Lemme 3. Tout CW-complexe X est ULC.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Nous renvoyons ` a [4] pour la d´ efinition des termes utilis´ es dans cette d´ emonstration. D’apr` es [4], corollaire 2.4, X a la propri´ et´ e d’extension locale par rapport aux espaces stratifiables. D’apr` es [2], X × X × I est stratifiable, donc, notant ∆ la diagonale de X × X, l’application µ : (X × X × {0, 1}) ∪ (∆ × I) → X d´ efinie par µ(x, y, 0) = x, µ(x, y, 1) = y et µ(x, x, t) = x a un prolongement ` a un ouvert de X × X × I. Le lemme en r´ esulte.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e. Puisque B est paracompact, il suffit (voir [5], chap. XX, th. 4.2) de construire, pour tout point b de B, un voisinage ouvert U de b et une fonction ω : U × p <sup>−1</sup> (U ) → E, continue pour la topologie de k-espace associ´ ee ` a la topologie produit (ces deux topologies co¨ıncident dans le cas (b)) et v´ erifiant

(1) p ◦ ω(b, e) = b quel que soit (b, e) ∈ U × p ⁻¹ (U ), (2) ω(p(e), e) = e pour tout e ∈ p ⁻¹ (U ).

Le lemme 3 permet de trouver un voisinage ouvert U de x dans B et une fonction continue λ : U × U × I → B telle que λ(x, y, 0) = x, λ(x, y, 1) = y et λ(x, x, t) = x quels que soient x, y dans U et t dans I. La fonction F : U × p ⁻¹ (U ) × I → B d´ efinie par F (b, e, t) = λ(p(e), b, t) est continue, donc les lemmes 1 et 2 permettent de trouver un rel` evement r´ egulier G : U × p <sup>−1</sup> (U ) × I → E, continu pour la topologie de k-espace associ´ ee ` a la topologie produit (` a la diff´ erence de λ et F qui, elles, sont continues pour la topologie produit) et tel que G(b, e, 0) = e quel que soit (b, e) ∈ U × p ⁻¹ (U ).

Il suffit de prendre ω(b, e) = G(b, e, 1).

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U.F.R. DE MATH ´ EMATIQUES PURES ET APPLIQU ´ EES UNIVERSIT ´ E PARIS VI

4, PLACE JUSSIEU

F-75252 PARIS CEDEX 05, FRANCE

Re¸ cu par la R´ edaction le 6.4.1990