WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH UKŁADU STEROWANIA NAPIĘCIEM ZASILANIA SPRĘŻYNY MAGNETYCZNEJ

WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH UKŁADU STEROWANIA NAPIĘCIEM ZASILANIA SPRĘŻYNY MAGNETYCZNEJ

P

H

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Automatyzacji Procesów

e-mail: habel@agh.edu.pl

Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych układu mechanicznego, w którym zastosowano sprężynę magnetyczną ze sterowanym napięciem zasilania. W symulacjach uwzględniono wzajemne oddziaływanie podukładu elektrycznego i podukładu mechanicznego. Model układu zaimplementowano w środowisku MATLAB R2009b. Zaproponowano algorytm przełączający napięcie zasilania cewek, którego celem jest redukcja drgań swobodnych wibroizolowanej masy. W wyniku symulacji otrzymano przebiegi czasowe wielkości elektrycznych i mechanicznych.

1. WSTĘP

Praca zawiera wyniki badań symulacyjnych układu sterowania napięciem zasilania sterowanej sprężyny magnetycznej. Sprężyna magnetyczna została skonstruowana jako urządzenie, które może być wykorzystane w aktywnych układach wibroizolacji.

W symulacjach uwzględniono wzajemne oddziaływanie podukładu mechanicznego i podukładu (obwodu) elektrycznego sprężyny magnetycznej. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest zjawiskiem zachodzącym w polu magnetycznym i jest powszechnie wykorzystywane w wielu współczesnych urządzeniach [1, 2, 3]. Siła elektromotoryczna indukowana w obwodzie elektrycznym sprężyny magnetycznej jest proporcjonalna do zmian strumienia magnetycznego przechodzącego przez obwód w wyniku zmiany położenia magnesów. Sprężyna magnetyczna dzięki zmianie natężenia prądu w cewkach posiada możliwość generowania siły. W pracy [4] przedstawiono układ wibroizolacji, który uwzględnia wzajemne oddziaływanie pomiędzy cewką a magnesami.

2. BUDOWA SPRĘŻYNY MAGNETYCZNEJ

Budowę sprężyny magnetycznej przedstawiono na rys. 1. Sprężyna magnetyczna zawiera cztery walcowe magnesy neodymowe spolaryzowane wzdłuż osi sprężyny o parametrach (dane dla jednego magnesu): indukcja remanentu 1,28 T, natężenie powściągliwe 9,24∙10⁵ A/m, średnica 50 mm oraz wysokość magnesu 20 mm. Dwa neodymowe magnesy górne (1) zamocowano do końca wałka prowadzącego (7), a kolejne dwa (2) do obudowy w osi sprężyny. Magnesy zamocowano w taki sposób, że jednoimienne bieguny magnesów (1) i (2) są skierowane do siebie, wskutek czego siła oddziaływania pomiędzy nimi jest siłą odpychającą. Wałek prowadzący (7) umożliwia ruch magnesów górnych (1) w osi sprężyny – dzięki umieszczeniu go w łożysku liniowym (8). Obwód magnetyczny składa się z czterech

rozgałęzień bocznych (3), na których znajdują się cewki (6), części górnej (4) oraz części dolnej (5), do której przymocowane są magnesy dolne (2). Odpowiednie ułożenie wszystkich elementów zapewnia obudowa górna (9) oraz dolna (10) – połączone ze sobą za pomocą czterech prętów stabilizujących konstrukcję (11). Umieszczone w obwodzie magnetycznym cztery cewki (6) wpływają na rozkład pola magnetycznego w przestrzeni pomiędzy magnesami. Sprężyna zawiera cztery cewki połączone szeregowo. Płynący przez cewki prąd wytwarza skojarzone z obwodem elektrycznym pole magnetyczne. Kierunki wektorów indukcji magnetycznej przechodzą przez środek symetrii każdej cewki i są prostopadłe do osi symetrii sprężyny magnetycznej. Kierunek przepływającego przez cewki prądu określa zwrot każdego z wektorów indukcji magnetycznej. Możliwe zwroty indukcji magnetycznej są następujące: do środka sprężyny lub na zewnątrz dla prądu płynącego w przeciwnym kierunku. Dzięki zmianie natężenia prądów w cewkach sprężyna magnetyczna posiada zdolność aktywnego tłumienia drgań.

11 1 3 2 9 4

6 5 10

7 8

6

Rys. 1. Budowa sprężyny magnetycznej 3. OPIS SPRĘŻYNY MAGNETYCZNEJ

Sprężyna magnetyczna została skonstruowana jako urządzenie mogące pracować w układach aktywnej wibroizolacji. Schemat rozważanego układu został pokazany na rys. 2.

Przyjęto następujące oznaczenia: e – napięcie zasilania, i – prąd, m – masa wibroizolowanej bryły sztywnej, x – przemieszczenie bryły, v – prędkość bryły, Fmag(x,i) – siła sprężyny magnetycznej działająca na bryłę. Wibroizolowana bryła o masie m jest sztywno połączona z magnesami ruchomymi. Zakres przemieszczeń x, ze względu na ograniczenia geometryczne, wynosi x50:8 mm. Dla przyjętej masy m = 30 kg przemieszczenie x = 0 mm jest położeniem równowagi statycznej. Rozpatrywana sprężyna magnetyczna posiada zdolność do tłumienia drgań o amplitudzie do 8 mm tj. w zakresie przemieszczeń x8:8 mm. W położeniu x = 8 mm następuje styk powierzchni magnesów.

m

sygnał sterujący

sprężyna magnetyczna v

e

Fmag(x,i)

x

jednostka sterująca

Rys. 2. Schemat sprężyny magnetycznej 3.1 Algorytm sterowania

Sterowanie siłą oddziaływania sprężyny magnetycznej jest możliwe do uzyskania w wyniku zmiany natężenia prądu w cewkach. Cewki będące elementem obwodu magnetycznego sprężyny są zasilane z zewnętrznego, sterowanego źródła napięcia. Napięcie zasilacza stałoprądowego MeanWell SP-320-24 wykorzystanego do sporządzenia charakterystyk statycznych sprężyny wynosi 24 V. Natężenie prądu ustalonego w obwodzie elektrycznym osiąga wartość i = U/R, określoną przez napięcie źródła i rezystancję obwodu.

Wartości prądów ustalonych w obwodzie elektrycznym sprężyny magnetycznej wynoszą:

i = 1,875 A dla napięcia e = 24 V, i = 0 A dla napięcia e = 0 V oraz i = -1,875 A dla napięcia e = -24 V. Ujemna wartość natężenia prądu oznacza taki kierunek przepływu prądu przez cewki, przy którym następuje zmniejszenie siły Fmag(x,i). Siła oddziaływania sprężyny Fmag(x,i) jest funkcją przemieszczenia x oraz prądu i (rys. 3).

Rys 3. Siła sprężyny magnetycznej w funkcji przemieszczenia x oraz prądu i

W celu realizacji algorytmu sterowania wykorzystano charakterystyki statyczne sprężyny otrzymane na podstawie badań laboratoryjnych Fmag(x,i=1,875), Fmag(x,i=0) i Fmag(x,i=- 1,875).

Algorytm sterowania zakłada przełączanie napięcia e = ±24 V oraz zmianę charakterystyk sprężyny Fmag(x,i=±1,875) zależnie od znaku prędkości v. Dla prędkości v ≥ 0 następuje przełączenie napięcia zasilania e = 24 V oraz zmiana charakterystyki sprężyny Fmag(x,i=1,875). Dla prędkości v < 0 następuje przełączenie napięcia zasilania e = -24 V oraz zmiana charakterystyki sprężyny Fmag(x,i=-1,875). Po osiągnięciu przez układ położenia równowagi statycznej następuje wyłączenie zasilania e, a charakterystyka sprężyny przyjmuje postać Fmag(x,i=0). W punktach zwrotnych ruchu bryły v = 0 m/s wskutek przełączania napięcia następuje skokowa zmiana charakterystyki sprężyny. W kolejnych cyklach położenie wibroizolowanej masy zbliża się do położenia równowagi statycznej.

-5 0 5 8

-8 x 10^-3

0 -1 1

-1.875 1.875

-2002000 400

x [m]

i [A]

F mag [N]

Powyższy algorytm dla siły sprężyny może zostać zapisany w postaci:

 









2 2

mag mag mag

F dx F dx F

x i sign x i sign x i

dt dt

            

( (1)

Dla celów symulacji numerycznych siła Fmag(x,i) dla prądu ustalonego i = 0 A została aproksymowana wielomianem F_mag( ,x i0)a x₃ ³  a x a_{1 0}. W przypadku zasilania cewek prądem ustalonym i = 1,875 A wielomian aproksymujący posiada inne współczynniki

3

3 1 0

( , 1,875)

Fmag x i  b x   b x b . Dla prądu ustalonego i = -1,875 A wielomian aproksymujący ma postać F_mag( , 1,875)x   c x₃ ³  c x c_{1 0}.

3.2 Pomiar parametrów cewek

W celu przeprowadzenia symulacji podukładu elektrycznego sprężyny magnetycznej niezbędna była znajomość parametrów elektrycznych cewek. W budowie sprężyny magnetycznej wykorzystano cewki typu JD-2 24V 50 Hz (rys. 4). Pomiar parametrów cewek wykonano za pomocą mostka cyfrowego RLC typu MIC-4070 firmy Meter International Corp. Kolejno cewki zostały umieszczone na ramieniu magnetowodu pokazanego na rys. 5.

Rys. 4. Cewka JD-2 Rys. 5. Cewka JD-2 zainstalowana na ramieniu magnetowodu

Pomiary wykonano w zakresie przemieszczenia x-6:4 mm oraz w temperaturze pokojowej 22C. Na podstawie wyników pomiarów wielkości elektrycznych wyznaczono:

oporność cewek R = 12,8  oraz indukcyjność L, której wartość zależy od położenia magnesów stałych względem cewek. Indukcyjność cewek jest przyjmowana na ogół jako wartość stała, jednak w rozpatrywanym przypadku wpływ zmiennego strumienia magnetycznego wytwarzanego przez elektromagnesy ma istotny wpływ na indukcyjność.

Indukcyjność cewek L w zależności od przemieszczenia x została pokazana na rys. 6.

Rys. 6. Indukcyjność cewek L w funkcji przemieszczenia x

Wartość indukcyjności cewek zawiera się w przedziale L42:56 mH. Dla położenia równowagi statycznej indukcyjność cewki wynosi L(x=0) = 48 mH. W celu uproszczenia modelu obliczeniowego założono liniową zależność pomiędzy indukcyjnością L a przemieszczeniem x. Wynik aproksymacji został opisany równaniem (2):

L(x)= 1.2111x + 0,0497 H (2)

-6 -4 -2 0 2 4 6

x 10^-3 0.045

0.05 0.055

x [m]

L [H]

pomiar aproksymacja

Indukcyjność cewek w zakresie przemieszczenia x4:6 przyjęto na podstawie aproksymacji opisanej powyższym równaniem. Porównanie wyników z pomiaru z wynikami na podstawie wzoru (2) pokazano na rys. 6. Miara dopasowania modelu liniowego do danych pomiarowych wyrażona za pomocą współczynnika determinacji wynosi 0,9612.

4. MODEL MATEMATYCZNY

W rozważanym układzie wzajemnie oddziaływają na siebie podukład mechaniczny i podukład elektryczny. Schemat podukładu mechanicznego został pokazany na rys. 7.

Rzeczywisty układ elektryczny sprężyny magnetycznej został zastąpiony schematem uproszczonym (rys. 8) z uwzględnieniem indukcyjności i rezystancji cewek. Oznaczenia przyjęte w podukładzie elektrycznym: R – rezystancja cewek, L(x) – indukcyjność cewek, ev – siła elektromotoryczna indukująca się wskutek ruchu magnesów.

m Fmag(x,i) x

R L(x)

e

eV

i

UR UL

Rys. 7. Schemat podukładu mechanicznego Rys. 8. Schemat podukładu elektrycznego Podukład mechaniczny oddziałuje na podukład elektryczny przez indukującą się siłę elektromotoryczną ev wynikającą z ruchu wibroizolowanej masy z prędkością v. Podukład elektryczny wpływa na podukład mechaniczny wskutek zmiany siły Fmag(x,i) dla zmieniającego się prądu i. Zmiany natężenia prądu następują w wyniku realizacji algorytmu sterowania. Prąd w układzie z indukcyjnością nie może zmieniać się skokowo. Czas, w ciągu którego prąd osiągnie wartość ustalona określa stała czasowa . W rozpatrywanym podukładzie elektrycznym stała czasowa  (przy założeniu stałej indukcyjności dla położenia równowagi statycznej) wynosi:  = L(x=0)/R=0,00375 s.

Równanie różniczkowe opisujące podukład mechaniczny ma postać:

2

2 _mag( , ) 0 md x F x i

dt   (3)

Siła elektromotoryczna powstaje w dowolnym obwodzie przy zmianie strumienia magnetycznego skojarzonego z obwodem. W obwodzie elektrycznym sprężyny zmiana strumienia magnetycznego jest spowodowana zmianą przemieszczenia magnesu ruchomego.

Siła elektromotoryczna ev indukowana w cewkach jest proporcjonalna do prędkości v przemieszczającego się magnesu ruchomego i jest oraz została opisana wzorem:

v

e dx

 dt

  (4)

gdzie  oznacza współczynnik napięcia indukowanego zależny od liczby zwojów na jednostkę długości cewki oraz właściwości magnesów. Zakładając, iż konwersja energii mechanicznej na elektryczną następuje bez strat, współczynnik napięcia indukowanego będzie równy współczynnikowi generowanej siły. Założenie to przyjęto również w innych

pracach [4, 5]. Współczynnik generowanej siły dla położenia równowagi statycznej został wyznaczony ze wzoru:

( 0, ) Fmag x i

  i^ (5)

W wyniku dokonania pomiarów cewek oraz wyznaczenia współczynnika napięcia indukowanego  możliwe jest zapisanie równania napięć podukładu elektrycznego w następującej postaci:

( ) di _v

e R i L x e

   dt (6)

5. BADANIA SYMULACYJNE

Przyjęto założenie, że prąd osiąga wartość ustaloną jednocześnie ze zmianą charakterystyki sprężyny dla odpowiadającego jej prądu ustalonego. Napięcie zasilania e = ± 24 V przyjęto w celu możliwości weryfikacji obliczeń symulacyjnych układu sterowania napięciem zasilania na stanowisku laboratoryjnym dla zasilacza MeanWell SP- 320-24 w dalszych etapie badań.

Badania symulacyjne podukładu mechanicznego i elektrycznego przeprowadzono w programie MATLAB R2009b dla następujących warunków początkowych: x(0) = 0 m, v(0) = 0.2 m/s oraz i(0) = 0 A. W symulacji uwzględniono liniową zależność indukcyjności cewek w funkcji przemieszczenia (2). W wyniku symulacji otrzymano przebiegi czasowe wielkości mechanicznych: przemieszczenie masy x (rys. 9a) oraz prędkość v (rys. 9b).

(a) (b)

Rys. 9. Przebiegi czasowe: (a) przemieszczenie, (b) prędkość

Wyniki obliczeń dla podukładu elektrycznego przedstawiono poniżej: prąd i (rys. 10a), napięcie zasilania e (rys. 10b) oraz indukcyjność cewki (rys. 10c).

(a) (b) (c)

Rys. 10. Przebiegi czasowe: (a) prąd i,

(b) napięcie zasilania e oraz (c) indukcyjność cewki L

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-5 0 5

x 10^-3

t [s]

x [m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.2 0 0.2

t [s]

v [m/s]

0 0.5 1

-2 -1 0 1 2

t [s]

i [A]

0 0.5 1

-20 -10 0 10 20

t [s]

e [V]

0 0.5 1

0.045 0.05 0.055

t [s]

L [H]

W wyniku rozwiązań symulacyjnych otrzymano również wartości spadków napięć w obwodzie sterowania napięciem zasilania (rys. 11). Siła elektromotoryczna osiąga wartość maksymalną równą ev = 1,431 V.

(a) (b) (c)

Rys. 11. Napięcie: (a) UR na rezystorze, (b) UL na cewce oraz (c) siła elektromotoryczna ev indukowana w cewce

Na rys. 10b) pokazano zmianę napięcia zasilania podukładu elektrycznego. Pokrywanie się wartości e w dowolnych chwilach t z sumą napięć UR+UL+ev świadczy o poprawności wykonanych obliczeń.

(a) (b)

Rys. 12. Przebiegi czasowe napięcia e, UR, UL oraz siły elektromotorycznej ev: (a) dla t0:1 s, (b) w końcowej fazie ruchu układu przed osiągnięciem położenia

równowagi statycznej 6. WNIOSKI

W pracy przedstawiono model i wyniki badań symulacyjnych układu sterowania napięciem zasilania sprężyny magnetycznej. Rozważono przełączający algorytm sterowania, którego celem jest redukcja drgań swobodnych wibroizolowanej bryły. Przedstawiono przebiegi czasowe napięcia e, natężenia prądu i oraz siły elektromotorycznej ev układu sterowania sprężyny magnetycznej (rys. 12). Wyznaczona stała czasowa układu sterowania

 = 0,00375 s umożliwia sterowanie rozpatrywanym układem wibroizolacji o częstotliwości drgań własnych 0 = 4,97 Hz (odczyt okresu drgań T0 = 0-1 z wykresu przemieszczenia na rys. 9a). Dla rozpatrywanych warunków początkowych indukowana siła elektromotoryczna ev

osiąga maksymalną wartość 1,431 V. Proponowane rozwiązanie może zostać wykorzystane w układach odzysku energii.

0 0.5 1

-20 -10 0 10 20

t [s]

UR [V]

0 0.5 1

-50 0 50

t [s]

UL [V]

0 0.5 1

-2 -1 0 1 2

t [s]

e v [V]

0 0.5 1

-50 0 50

t [s]

e, U R, U L, e V [V]

0.55 0.6 0.65 0.7 -50

0 50

t [s]

e, U R, U L, e V [V] e_V

U_R U_L e_V+U_R+U_L e

LITERATURA

1. Cieśla A.: Elektrotechnika: elektryczność i magnetyzm w przykładach i zadaniach.

Kraków: AGH, Uczel.Wyd. Nauk. –Dyd. , 2008.

2. Hempowicz P., Kiełsznia R., Piłatowicz A. i in.: Elektrotechnika i elektronika dla nieelektryków. Warszawa: WNT, 2004.

3. Halliday D., Resnick R., Walker J.: Podstawy fizyki. T. 1. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2007.

4. Mann B.P, Sims N.D.: Energy harvesting from nonlinear oscillations of magnetic levitation. “Journal of Sound and Vibration” 2009, Vol.319, p. 515- 530.

5. Snamina J., Sapiński B.: Energy balance in self-powered MR damper-based vibration reduction system. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 2011, Vol. 59, No. 1, p. 75 – 80.

6. Snamina J., Habel P.: Magnetic spring as the element of vibration reduction system.

“Mechanics and Control” 2010, Vol. 29 No.1, p. 40 - 44.

7. http://www.mathworks.com

SIMULATION RESULTS OF SUPPLY VOLTAGE CONTROL SYSTEM IN MAGNETIC SPRING

Summary. The paper presents the simulation results of mechanical system that uses magnetic spring with controlled power supply. The system consists of a rigid body and a magnetic spring. Coils parameters were measured using LCR digital bridge MIC-4070. Inductance of the coils for different positions between the magnets were determined experimentally. Vibrations of a mechanical system with one degree of freedom were considered. The interaction of electrical and mechanical subsystems was taken into consideration. The electrical (voltage and current) and the mechanical (displacement and velocity) quantities were obtained as a results of simulations.

Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N N501 228940.