Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu typu Roessera

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXXII (1989)

Ba r b a r a Bi ł y

Jaworzno

Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu typu Roessera

(Praca wpłynęła do Redakcji 1986.06.05)

1. Wprowadzenie i sformułowanie problemu. Układy dynamiczne typu 2-D są to układy dyskretne o dwu zmiennych niezależnych, czyli układy określone w dyskretnych punktach płaszczyzny. Rozwój teorii układów dynamicznych typu 2-D wiąże się ściśle z coraz szerszym ich zastosowaniem w praktyce, w szczególności przy projektowaniu filtrów dwuwymiarowych [4], [6] oraz w teorii sterowania [3], [8], [9].

Ogólnie w podejściu do analizy układów dynamicznych typu 2-D można wyróżnić dwa zasadnicze kierunki: pierwszy, oparty na rachunku macierzo- wym, oraz drugi, polegający na wykorzystaniu teorii i metod algebraicznych, w szczególności teorii wielomianów wielu zmiennych.

W niniejszej pracy, wykorzystując podejście macierzowe, zostanie roz- wiązany problem sterowania optymalnego przy kwadratowym wskaźniku jakości dla liniowego, stacjonarnego, skończenie wymiarowego układu dyna-

micznego opisanego modelem Roessera.

Zainteresowanie problemem liniowo-kwadratowym wynikło z kilku powo- dów: — przede wszystkim należy on do grupy niewielu zadań sterowania, mających rozwiązania w postaci jawnej,

— przez właściwe sformułowanie problemu można wyrazić prawie wszyst- kie standardowe wymagania stawiane liniowym układom sterowania,

— często kwadratowy wskaźnik jakości ma bezpośrednią interpretację fizyczną lub ekonomiczną, np. reprezentuje straty energii zużytej na sterowanie.

Z zadań sterowania optymalnego dla układu 2-D dotychczas został rozwiązany problem sterowania z minimalną energią [7], [10]. Przy założeniu, że rozpatrywany układ jest lokalnie sterowalny, problem ten został rozwiązany przez podanie analitycznego wzoru na sterowanie, wykorzystując tzw. macierz lokalnej sterowalności.

Problem tu rozważany jest rozszerzeniem zadania minimalnoenergetycz- nego. Uogólniono wskaźnik jakości, dodając w nim sumę zależną od wektorów

[19]

20

stanu, a nie tylko od wektorów sterowań, jak to było w zadaniu z minimalną energią.

Proponowana metoda rozwiązania wykorzystuje metody sterowania kwad- ratowego i może być zastosowana również dla ogólniejszych układów typu M-D. Warto zauważyć, że problem dla klasycznych układów z jedną zmienną niezależną, analogiczny do rozpatrywanego w pracy, ma efektywne roz- wiązanie w terminach dyskretnego równania Riccatiego [5]. Ta metoda zawodzi jednak w przypadkach z dwoma zmiennymi niezależnymi. Wynika to z następującej trudności: w zbiorze par liczb całkowitych nieujemnych Z + możemy zdefiniować jedynie częściowy porządek, a metody analogiczne do proponowanych dla układów 1-D wymagałyby dobrego porządku.

Rozważmy układ dynamiczny opisany modelem Roessera postaci [11]:

x(i+l,j) = A l x(i,j) + A2y(i,j) + Bl u(i,j), y(Uj+ 1) = A3x(i,j) + AĄy{i,j) + B2u(iJ),

gdzie (i,j)eZ + x Z +, x(i,j)eRn, y{i,j)eRm, u(i,j)eRp, At, B{ są macierzami rzeczywistymi odpowiedniego wymiaru. Układ ten rozpatrujemy w ustalonym prostokącie Dr>s:

(1.2) Drs = {(/,

')

Z + x Z + : O ^ i ^ r , O ^ j ^ s} ,

w którym zakładamy lokalną sterowalność układu [8]. W każdym punkcie tego prostokąta określony jest zatem lokalny wektor stanu układu postaci

(1.3) S(iJ) eR

Zakładamy, że są dane warunki brzegowe na dwu ścianach prostokąta Z)r s, tzn.

(1Ą) x(0 J) = x? U = 0 ,1 ,...,s),

y(i,0) = yf (i = 0, l,...,r),

oraz że lokalny wektor stanu S(r, s) jest również dany, tzn.

(1.5) S(r,s) = ck = eRn

Przy tych założeniach postawmy następujące zadanie sterowania optymalnego:

wyznaczyć sekwencję wektorów u(i,j) dla dyskretnych punktów prostokąta Dr s oraz odpowiadającą jej trajektorię S{i,j), które minimalizują dwukwad- ratowy wskaźnik jakości Jr s postaci

(1.6) JrjS= £ Sr{i,j)Q(iJ)S{i,j)+ £ uT{i,j)P(i,j)u{i,j),

(i,j)eDr ,s (i,j)eDr>s-{ (r, s )}

gdzie Q(i,j), P(i,j) są macierzami symetrycznymi dodatnio półokreślonymi

o odpowiednich wymiarach.

Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu Roessera

21

2. Przeformułowanie zadania minimalizacji. W celu rozwiązania sformuło- wanego wyżej zadania sterowania optymalnego, dokonamy przeformułowania go do równoważnego zadania programowania kwadratowego. Przypomnijmy zatem postać zadania programowania kwadratowego, dogodną dla naszego celu.

Zadanie (*). Zminimalizować

f(z) = {z, Hz)

przy ograniczeniach Rz = c, gdzie z, c są wektorami, R, H są macierzami odpowiedniego wymiaru, H jest macierzą symetryczną dodatnio półokreśloną.

Jeżeli potrafimy sprowadzić nasze zadanie do powyższego zadania (*), to możemy wówczas wykorzystać istniejące już twierdzenia [2], dotyczące ist- nienia i algorytmu wyznaczania sterowania optymalnego. Zdefiniujmy zatem odpowiednio wektor z:

(2.1) z = [xr (0, 0), xr (0, 1), xr (0, 2), ..., xr(0, s),..., x T(l, s), ..., x T(r, 0), xr (r, 1), xT(r, 2), ..., xT(r, s-1), x T(r, s), yT(0, 0), yT( 1, 0), yT(2, 0), ..., yT(r- 1, 0), yT(r, 0), ..., yT(0, s), yT( 1, s), yT(2, s), ..., yT( r - l, s), yT{r, s),

«r (0, 0), u7( 1

0), uT{2, 0), ..., uT(r— 1

0), uT(r, 0), ..., uT(0, s), uT( 1, s), uT(2, s), ..., uT(r— 1, s)] 7.

Zatem z jest wektorem ((r + 1) ^(s -I-1) (n + m) + (r + rs + s) p)-wymiarowym. Ogra- niczenia równościowe (1.1), (1.4), (1.5) dają się przedstawić w postaci

(2.2) Rz = c,

przy czym R jest macierzą:

(2.3) R = R i k ,

R,

- Rj R-8 R-9 - gdzie odpowiednie macierze R{ są następujące:

" - A , 0 . .. 0 0 11 0 . . . 0 O N 1 >

0 0 0 |0 I ... 0 v0| - | 1

0 0 0 1

|0 0 . . I N o n

0 1

1

0 >■ s + 1

0 0 . .. 0 - A x |0 0 . . . 0 / | - | 1 ->

1 I-I - A x 0 ... 0 0 1/ 0 . . 0 0

1 I-I 0 - A , . . . 0 0 0 / . . 0 0

0 1 0 N 1 r s+ 1

1 1*1 0 0 ... - A x 0 |0 0 . . . / 0

1 “ v" ... 1 0 0 ... 0 - A x |0 0 . . . 0 / J

^ 2 0 0 o 1 0 0 ... 0 o i • 0 0 ... 0 o 1 0 0 ... 0 0 -N

0 0 0 0 1

. . 1 .

- A 2 0 .. 0 0 1 • . 1 •

0 0 ... 0 o 1

. . 1.

0 0 ... 0 0

>■ s+ 1

.0 0 . . : o o 1 0 0 ... 0 0 1 • - A 2 0 ... 0 0 1- 0 0 ... 0 0

0 0 ... o 1 0 0 ... 0 o i • 0 0 ... 0 0 1 — A-2 0 ... 0 0 -

0 0 ... - a 2 o 1 0 0 ... 0 o i • 0 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 0 ->

0 0 0 o 1

. . 1 .

0 0 ... ~ A 2 o i • . 1 •

0 0 ... 0 o 1

. . 1.

0 0 ... 0 0

r s t i

0 0 0 o 1 0 0 ... 0 0 1 • 0 0 ... ~ A 2 0 1 0 0 ... 0 0

0 0 0 o 1- ^{0 0} ... 0 0 1 • 0 0 ... 0 0 1

t 0 0 ... ~ A 2

0 J

r +1 r +1 s + 1 r+1 r+1

- B 1 0 ... 0 o 1 0 0 0 o i • 0 0 ... 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ... 0 o I

. .

1 ^{- B ,} 0 0 o i •

. 1 • 0 0 ... 0 o I

. . 1. 0 0 0 0

>■ s+ 1 0 0 ... 0 o 1 0 0 0 o i • ^{- B ,} 0 ... 0 o 1 0 0 0 0

0 0 ... 0 o 1 0 0 0 o i • 0 0 ... 0 o 1 ^{- B t} 0 0 0

i

0 0 ... ^{- B ,} o 1 0 0 0 o i • 0 0

0 o 1 0 0 0 0 ^r 0 0 ... 0 o 1

. .

1 0 0 ... ^{- B ,} 0 1

. 1

0 0 ... 0 o 1

. .

0 0 0 0

n t i

0 0 ... 0 o I 0 0 0 o i

0 0 ... ^{- B ,} o I 0 0 0 0 0 0 ... 0 o 1 0 0 ... 0 o i

0 0 ... 0 0 1 0 0 ... ^{- B ,} 0

---/ ' - v ~ J V- ■""V " ---'

r +1 r + 1 s r + 1 r + 1

~ A 3

0 0 0

0 o 1 0 0 0 0 1

0 o 1• 1 0 0

0 o 1 D 0

0 0

. .

1

0

0 0 1 . 1• 1 • 1 0 0

0 0 1

1

0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1• 1—

0

0 0 1 0 0

0 0 0 0

0 o 1 0 0

0 o 1• 1 0 0

0 o 1~

0

0 0

0 0

o I 0 0

0 o 1 0 0

0 o 1

0

0 0

0 0

0 o 1

. .

1 0 0

o 1 . 1 0 0

0 o 1

1.

0 0

0 0

0 0

0 o I 0 0

0 o 1 0 0

o 1 0 0

0 0

0

0

0 o 1 0 0

0 o I 0 0

0 1 0 0

0

s+1 v s+1 s+1 s+1

I

24

" - ^ 4 0 ... 0 o i o o

0 l-l 1

0

- A

-

. . . 1 ...

0

0 0 . . . -

A

0 0 ... 0 1 o o o / i-i 1

1

-

4

1

0 -

4 ...

0 1 0 . . 1 ...

1

0

A 4

1

0

- A 4

T , \

r+1 r +1 r+1 r+1

> r+1

r+1

R

r - b 2 0 ... 0 o I 1 >

0 - b 2 . . . 0 o 1

. . . 1 0 0 1

1 0 > r+1

0 0 . . . - B 2 o 1 1

0 0 ... 0 -®2 1 1 J

1 B 2 0 ... 0 o 1 } „J

0 1

1 0

0 - b 2 .. 0 0 1

1 0 ► r+1

1 0 0 ... - B 2 o 1

- 1 0 0 ... 0 ~ B 2 1 - J

r+1 r+1 s + 1 r+1 r+1

/ 0 ... 0 0 1 1 • 1 1

0 / ... 0 0 1 1 • 1 1

0 1 • 1 0 i 0 ►s+1

o

oo

1 • 1 1

■-1o

oo

1 • 1 1 --

o 1 0 1 • 1 0 i -0 ]►r+ 1

0 1 0 1 • 1 0 | 0 0 .. 0 /

J

1 1 • 1 | 0 0 ... 00

s+1 s+1 s+1 s+1

Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu Roessera

25

R

0 1 0 I-I 0 I 0

/ 0 ... 0 0|

0 / ... 0 0|

...

1

1 • 1 1 • 1 0 I-I 0

1 1 I 0 0 0 ... / 0|

0 0 ... 0 J| 1 • 1

1 • 1 1

1

0 1

1 0 1,1

1 • 1 0 I 0 0 ...0 0

| 0 0

0 /

v ^{----V —} V ^{' ^}

'

r+1 r+1 r+1 r+1

s +1

■r+1

J r 2

R9 = 0 . Macierz i? ma wymiary:

[sm(r + l) + rn(s+ l) + (s +2 ⁾ⁿ + ^(r + 2 ^)m] x [(r+ ^l')(s+ l')(n + m) + {r + s + sr)p~].

Wektor c występujący w równości (2.2) ma postać:

(2.4) c' = [0 ,...,0 , x°J

x s > + 0 » + 1 >

■, y¥, clx, en .

Aby wykorzystać do rozważań zadanie (*), musimy dokonać takiej trans- formacji wskaźnika jakości Jr s, zadanego wzorem (1,6), aby uzyskać żądany iloczyn skalarny wektora z. Mianowicie, każdy z wektorów stanów lokalnych S(i, j) można przedstawić jako liniową funkcję wektora z:

x{hj) Wx{i,j)z ~Wx(i,j)~

_y{Uj)_ _Wy{i,j)z_

(2.5) s (ij) = z,

gdzie macierze Wx(i,j) i Wy(i, j) tworzone są w sposób następujący:

[0, . . . , 0 , I , 0, . . . , 0 ] ,

tzn. macierz jednostkowa stopnia n (bądź m dla y) stawiana jest na odpowied- nim miejscu, wynikającym z przyjętego określenia wektora z. A zatem możemy napisać

( 2.6) ST(i,j)Q{i,j)S{i,j) = zT Wx (i,j) Wy(i,j)_ Q(i,j) Wx (i,j)

wy(i,j). z = zT L(i, j) z i dalej

(2.7) X ST(i,j)Q(i,j)S(i,j)

(ij)eDr,s

= zTL(0, 0)z + zTL(0, 1)z + ... -f zTL(r, s—l)z + zTL(r, s)z

= zT[L(0, 0) + L(0, 1)+ ... + L(r, s—1) + L(r, s)]z — zTLz.

26

Ljest macierzą symetryczną wymiaru

[(r + l)(s + l)(n + m) + (r + s + rs)p] x [(r+ l)(s + l)(w + m) + (r + s + rs)p].

Analogicznie postępujemy z drugą sumą we wzorze (1.6):

(2.8) £ uT(i, j) P(i, j) u(i, j)

uT(0, 0) P( 0, 0) u(0, 0)

(i,j)eDr,s-{(r,s)}

+ uT( 1, 0)P(1, 0)w(l, 0)+ ... + uT(r — 1, s)P(r— 1, s) u{r— 1, s)

= zT WTU{0, 0)P(0, 0) Wu(0, 0) z + zT Wl'( 1, 0)P(1, 0) Wu( 1, 0)z + ... + zr lT j(r—1, s)P(r— 1, s)ł^(r ““ s)z

= zr [M(0, 0) + M(l, 0)+ ... + M ( r - 1, s)]z = zr Mz.

Sumując, J r s możemy napisać w postaci:

(2.9) Jr<s = zTlL + M]z = zTHz = <z, Hz}.

Macierz M jest symetryczna, dodatnio półokreślona, identycznego wymiaru jak macierz L. A więc nasze zadanie sprowadziliśmy do zadania (*), gdzie mamy zminimalizować iloczyn skalarny <z, Hz} przy ograniczeniach Rz = c.

3. Warunki istnienia rozwiązania optymalnego. Zakładamy, że układ jest lokalnie sterowalny w prostokącie Drs [8]. W języku programowania kwad- ratowego oznacza to, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie dopuszczalne tego zadania (tzn. istnieje wektor z spełniający warunek Rz = c), a wówczas dla kwadratowego zadania sterowania (2.9) istnieje również rozwiązanie optymal- ne [2].

Poniższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający istnienia rozwiązania optymalnego dla zadania programowania kwadratowego (*).

T

[2]. Niech z będzie rozwiązaniem dopuszczalnym zadania (*).

Wówczas z jest rozwiązaniem optymalnym zadania (*), gdy istnieje taki wektor, że spełnione jest równanie macierzowe postaci:

0' c_

Rozwiązanie (z, (p) tego równania daje żądane rozwiązanie optymalne z.

Należy zauważyć, że równanie (3.1) może być rozwiązane ze względu na z nawet wówczas, gdy macierz występująca po lewej stronie tej równości jest osobliwa. Wobec faktu, że twierdzenie (3.1) wyraża warunki konieczne i wy- starczające optymalności, istnienie rozwiązania optymalnego naszego zagad- nienia pociąga za sobą istnienie co najmniej jednego rozwiązania równania (3.1). Ponadto, każde rozwiązanie tego równania jest optymalne. Niemniej jednak rozwiązanie zadania staje się łatwiejsze, gdy istnieje rozwiązanie jednoznaczne.

(3.1) - H RT z

R 0 (p

Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu Roessera

27

T

[2]. Jeżeli Ker (if)nKer(R) = {0}, to istnieje jednoznaczne rozwiązanie optymalne zadania (*).

Warunek ten, mówiący, że podprzestrzenie zerowe operatorów H i R mają tylko zero jako element wspólny, jest równoważny z warunkiem

rząd H

R = (r+ l)(s + l){n + m) + (r + s + rs)p.

T

[2]. Przy założeniu, że ograniczenia równościowe Rz — c stanowią układ równań liniowo niezależnych, zachodzi następująca równoważ- ność:

Ker (H) n Ker (R) = {0} <=> macierz - H R

R 0 jest nieosobliwa.

Pr z y k ł a d.

Rozważmy układ typu 2-D opisany modelem Roessera o na- stępujących macierzach:

A ! = A2 = A4 = 1, A 3 = 0, Bx = B2 = 1, (r, s) = (1, 1), n = m = p= 1, c

1 ’ Q{Uj) l l

l l ’ P(iJ)= 1.

Warunki brzegowe:

x(0, 0)

x(0, 1)

y(

0)

y{

0)

0.

Zgodnie ze wzorem (2.1) wektor z ma postać:

zr = [x(0, 0), x(0, 1), x(l,.0), x(l, 1), y(0, 0), y( 1, 0),

y(0, 1), y(l, 1), u(0, 0), u(l, 0), u(0, 1)], natomiast macierz R (2.3) i wektor c (2.4) mają postać:

- 1 0 1 0 - 1 0 00 - 1 0 0 0 - 1 0 1 0 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 - 1 0 10 - 1 0 0 0 0 0 0 0 - 1 01 0 - 1 0

1 0 0 0 0 0 00 0 0 0

0 100 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0 1 0 00 0 0 0

0 0 0 0 0 1 00 0 0 0

0 001 0 0 00 0 0 ' 0

0 0 0 0 0 0 01 0 0 0

c = [0,0,0,0,0,0,0,0,1,1]T.

28

Zgodnie ze wzorami (2.7), (2.8), (2.9) wyznaczamy macierz H:

H = L + M

“1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Równania, z których wyznaczamy wektor optymalny z, mają postać (3.1)

— Hz + RT = 0, Rz = c.

Jeżeli dodatkowo oznaczymy

Z = [ x 1?

x2, X3,..., X10, X11], (p

[<Pi, (p2

(Piol) to powyższe równania stanowią układ równań liniowych postaci:

— X1+X3— X5— Xg = 0,

— x2 + xĄ — x 7 — x 11 = 0, - x 5 + x 7 — xg = 0, -X 6 + X8-Xi0 = o,

— x 1 — x 5 — ( p 1 + ę

5

0

- x 2- x 7-(p2 + (p6 = 0, - x 3~ x 6 + cpl = 0, - X 4- X 8 + ę 2 + (p9 = 0,

- x l - x 5-(p1-(p3 + (p7 = 0,

~ X3 -X 6-(pĄ + <p8 = 0,

— x2 — x7 — (p2 + ę 3 = 0, - x Ą- x 8-(pA + (p10 = 0,

~X9-(Pi-(p3 = 0, - x 10-(p4 = 0, - x i l -(p2 = 0.

W wyniku rozwiązania tego układu równań otrzymujemy interesujące nas sterowania optymalne i odpowiadającą im trajektorię stanów lokalnych, mianowicie:

zr = [0, 0, i 1, 0, 0, i 1, i 1, J], a zatem mamy odpowiednio:

w(0, 0) = j, u( 1, 0) = 1, w(0, 1) = I,

S( 0, 0) = ^S( 1, 0) = ^{5(0, 1) = 5(1, 1) =}

Wartość optymalna J l A (1.6) wynosi:

=

[0 i] “11 0“ “i r ^{r n}

“1 1 1

11

1 + [ł0 ] 11 0 + [H ] 1 1 1 +(l)2+(t)2+ i = 5 i

Wyznaczanie sterowania optymalnego dla układu Roessera

29 Powyższy przykład obliczeniowy ilustruje metodę postępowania przy wy- znaczaniu sterowania optymalnego na podstawie sformułowanych wyżej twier- dzeń.

Zaprezentowana metoda wykorzystuje bezpośredni opis układu (1.1).

Analogiczne rozważania można przeprowadzić, wykorzystując wzór na roz- wiązanie S(i,j) [7], w którym jest uwzględniona liniowa zależność od warunków brzegowych oraz sterowań. Podejście takie zmniejsza wymiar zagadnienia [1].

Prace cytowane

[1] B. B iły, O pewnym problemie sterowania optymalnego dla układu typu 2-D, Rozprawy Elektrotechniczne 3 (1987).

[2] M. C annon, C. C ullum , E. P olak , Sterowanie optymalne i programowanie matematyczne, WNT, Warszawa 1975.

[3] R. E ising, Controllability and observability of 2-D systems, IEEE Trans. Autom. Contr., vol.

AC-24, 1 (1979).

[4] E. F o rn a sin i, G. M arch esin i, State-space realization theory of two-dimensional filters, IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-21, 4, Aug. (1976).

[5] H. G óreck i, S. F uksa, A. K o ry to w sk i, W. M itk ow sk i, Sterowanie optymalne w sys- temach liniowych z kwadratowym wskaźnikiem jakości, PWN, Warszawa 1983.

[6] T. H in am o to, F. W. F air man. Realization of the Attasi state space model for 2-D filters, Int. J. Systems Sci., vol. 15, 2 (1984).

[7] T. K aczorek , Two-dimensional linear systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 68, Springer-Verlag, Berlin 1985.

[8] J. K lam ka, Sterowalność układów dynamicznych typu 2-D, Zeszyty Naukowe P. Śl.

Automatyka 63 (1982).

[9] J. K lam ka, Controllability of M -dimensional linear systems, Foundations of Control Engineering, vol. 8, 2 (1983).

[10] J. K lam ka, Minimum energy control for 2-D systems, Systems Science vol. 9 (1983).

[11] A. R oesser, A discrete state space model for linear image processing, IEEE Trans. Autom.

Control, vol. AC-20, 1 (1975).