4 Działania uogólnione

1 Logika

Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe.

Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie.

Zdania najczęściej oznaczamy małymi literami p, q, r....

“Czy logika jest trudna?”

“W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się sami”

Każdemu zdaniu p przypisujemy jedną z wartości logicznych w(p)

w(p) = 1 gdy zdanie p jest prawdziwe

w(p) = 0 gdy zdanie p jest fałszywe

Mając dane pewne zdania możemy budować z nich zdania złożone wykorzystując tzw. funktory zdaniotwórcze (spójniki logiczne).

• ∼ negacja

• ∧ koniunkcja

• ∨ alternatywa

• ⇒ implikacja

• ⇔ równoważność

W informatyce stosuje się również następujące funktory dwuargumentowe:

• 4 alternatywa rozłączna (wykluczająca) (różnica symetryczna) p 4 q albo p albo q XOR

• ⊥ jednoczesne zaprzeczenie (spójnik Pierce’a) p ⊥ q ani p ani q NOR

• | dyzjunkcja (kreska Sheffera) p|q nie p lub nie q NAND

Przy pomocy spójnika Pierce’a i kreski Sheffera można zdefiniować pozostałe funktory

p ⊥ q ⇔ (∼ p∧ ∼ q)

p|q ⇔ (∼ p∨ ∼ q)

p 4 q ⇔ (∼ p ∧ q) ∨ (p∧ ∼ q)

W informatyce symbol 4 znany jest pod nazwą XOR

spójnik Pierce’a ⊥ NOR

kreska Sheffera | NAND Tabela wartości logicznych

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q p|q p ⊥ q p 4 q

1 1 0 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0

Formuła zdaniotwórcza (lub schemat rachunku zdań lub wyrażenie logiczne)- wyrażenie utworzone ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie nawiasów.

Tautologia (lub prawo rachunku zdań)- schemat rachunku zdań, który przyjmuje wartość logiczną 1 niezależnie od wartości logicznych występujących w nim zmiennych zdaniowych.

Prawa rachunku zdań

• (p∨ ∼ p) prawo wyłączonego środka

• ∼ (p∧ ∼ p) prawo wyłączonej sprzeczności

• (p ⇔∼ (∼ p)) prawo podwójnego zaprzeczenia

• (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) prawo przemienności alternatywy

• (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) prawo przemienności koniunkcji

• [(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r) prawo łączności alternatywy

• [(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ (q ∧ r)] prawo łączności koniunkcji

• ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) prawo De’Morgana

• ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q) prawo De’Morgana

• [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

• [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] prawo roz. ∧ względem ∨

• (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) prawo kontrapozycji

• ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) zaprzeczenie implikacji

• (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q) zamiana implikacji na alternatywę

• (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] prawo eliminacji równoważności

• p ⇒ (q ⇒ p) prawo symplifikacji

• ∼ p ⇒ (p ⇒ q) prawo Dunsa Scotusa

• (∼ p ⇒ p) ⇒ p prawo Claviusa

• [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) prawo sylogizmu warunkowego

• (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)] prawo sylogizmu warunkowego

• (q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ q)] ⇒ (p ⇒ r)] prawo sylogizmu warunkowego

2 Algebra zbiorów

Zbiór oraz relację należenie (∈) uważamy za pojęcia pierwotne. Oznacza to tyle, że nie będziemy zajmowali się tym, czym jest zbiór ani relacja należenie, lecz zajmować się będziemy ich własnościami.

Zbiór pusty - zbiór do którego nie należy żaden element oznaczamy ∅. Negację symbolu należenia oznaczamy 6∈

x 6∈ A ⇔∼ (x ∈ A).

Koniunkcję zdań mającą postać x1∈ A ∧ x2∈ A ∧ x2∈ A... ∧ xn∈ A zapisujemy w skróconej formie x1, x2, ...xn ∈ A.

Aby sprecyzować co oznacza, że dwa zbiory są równe przyjmijmy AKSJOMAT EKSTENSJONALNOŚCI Dwa zbiory A, B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego elementu x zachodzi x ∈ A ⇔ x ∈ B. Można powiedzieć inaczej, że dwa zbiory są równe jeśli mają te same elementy. Wnioskiem z aksjomatu ekstensjonalności jest poniższe zdanie:

Istnieje tyko jeden zbiór pusty.

Istotnie, załóżmy, że ∅1, ∅2są zbiorami pustymi. Biorąc dowolny x zdania x ∈ ∅1 oraz x ∈ ∅2 są fałszywsze, zaś z tabeli wartości dla spójników logicznych wiemy, że zdanie x ∈ ∅1⇔ x ∈ ∅2 jest prawdziwe. Zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności ∅1= ∅2.

Definicja 1. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Funkcją zdaniową określoną na zbiorze X (dla elementów zbioru X) nazywamy dowolne wyrażenie, które dla każdego elementu x ∈ X staje się zdaniem w sensie logicznym.

Zapisujemy φ(x), x ∈ X. (X to zakres zmienności funkcji φ)

Przykład 1. • X- zbiór liter z alfabetu polskiego, φ(x): x jest spółgłoską.

• X = R, φ(x): x > 0.

Definicja 2. Niech φ(x) będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest niepusty zbiór X. Jeżeli dla pewnego a ∈ X wyrażenie φ(a) jest zdaniem prawdziwym, to mówimy, że a spełnia funkcję zdaniową φ(x).

Definicja 3. Wykresem funkcji φ(x) nazywamy zbiór wszystkich elementów zbioru X, które spełniają tę funkcję

zdaniową tzn.

{x ∈ X : φ(x)} = {x ∈ X : w(φ(x)) = 1}.

Twierdzenie 1 (Russel). Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

Dowód. Załóżmy, że V jest zbiorem wszystkich zbiorów. Rozważmy zbiór A = {X ∈ V : X 6∈ X}. Oczywiście A ∈ V , bo do zbioru V należą wszystkie zbiory. Ale wtedy

A ∈ A ⇔ (A ∈ V ∧ A 6∈ A) ⇔ A 6∈ A.

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Definicja 4. Niech A i B będą zbiorami.

• Sumą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x ∈ C ⇔ (x ∈ A∨x ∈ B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A ∪ B.

• Iloczynem zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A ∩ B.

• Różnicą zbiorów A i B nazywamy taki zbiór C, że x ∈ C ⇔ (x ∈ A ∧ x 6∈ B), dla dowolnego x. Zbiór ten oznaczamy symbolem A \ B.

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika, że powyższe operacje są poprawnie zdefiniowane tzn. że np. dla zbiorów A i B ich suma A ∪ B (A ∩ B, A \ B) jest wyznaczona jednoznacznie.

WŁASNOŚCI OPERACJI ∪, ∩, \

Twierdzenie 2. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

• A ∪ A = A, A ∩ A = A -idempotentność

• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A - przemienność

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C - łączność

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) -rozdzielność sumy względem iloczynu

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) - rozdzielność iloczynu względem sumy

• A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅

A ∩ B = B ∩ A

Dowód. Ustalmy zbiory A i B i rozważmy dowolny element x

x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔ (x ∈ B ∧ x ∈ A) ⇔ (x ∈ B ∩ A).

Pierwsza część dowodu polega na przekształceniu pewnego wyrażenia na język rachunku zdań. Następnie korzystamy z odpowiedniej tautologii i ostatecznie wykorzystujemy odwrotne tłumaczenie zdania na wyrażenie rachunku zbiorów.

Definicja 5. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (A ⊂ B) jeżeli dla każdego x prawdziwa jest implikacja

x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Zauważmy, że jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B (wynika to z aksjomatu ekstensjonalności).

WŁASNOŚCI RELACJI INKLUZJI

Twierdzenie 3. Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzi:

• A ⊂ A

• (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C

• A ⊂ A ∪ B

• A ∩ B ⊂ A

• (A ⊂ B ∧ C ⊂ D) ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D) (A ⊂ B ∧ C ⊂ D) ⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)

Twierdzenie 4. Dla dowolnych A, B zachodzi:

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A \ B = ∅.

Definicja 6. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi jeśli A ∩ B = ∅.

Definicja 7. Załóżmy, że rozważamy zbiory zawarte w pewnym niepustym zbiorze X (który od tej pory będziemy

nazywać przestrzenią). Jeśli A jest podzbiorem zbioru X (tzn. A ⊂ X), to różnicę X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A do przestrzeni X i oznaczamy A⁰.

Własność 1. Ustalmy przestrzeń X oraz zbiory A, B ⊂ X.

• (A⁰)⁰= A

• A \ B = A ∩ B⁰

• (A ∪ B)⁰= A⁰∩ B⁰

• (A ∩ B)⁰= A⁰∪ B⁰

• X⁰= ∅, ∅‘ = X

• A ⊂ B ⇒ B⁰⊂ A⁰

Definicja 8. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór

A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Twierdzenie 5. Różnica symetryczna zbiorów jest przemienna, łączna i ponadto dla dowolnego zbioru A zachodzi A4∅ = A oraz A4A = ∅.

Definicja 9. Parą uporządkowaną elementów a i b nazywamy zbiór (a, b) = {{a}, {a, b}}.

Twierdzenie 6. Dla dowolnych elementów a, b, c, d mamy

(a, b) = (c, d) ⇔ (a = c ∧ b = d).

Definicja 10. Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór

A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Z pomocą iloczynu kartezjańskiego definiowane są skończenie wymiarowe przestrzenie Euklidesowe np. R²= R×R.

Definicja 11. Zbiorem potęgowym zbioru A nazywamy zbiór P(A) (lub oznaczany 2^A) złożony ze wszystkich pod- zbiorów zbioru A.

Oczywiście ∅ ∈ P(A) oraz A ∈ P(A), {∅, A} ⊂ P(A).

3 Kwantyfikatory

Symbol ∀ jest symbolem funktora zdaniotwórczego zwanego kwantyfikatorem ogólnym (dużym), zaś symbol ∃ symbolem funktora zdaniotwórczego zwanego kwantyfikatorem szczegółowym (małym lub egzystencjalnym).

Niech ϕ(x) będzie funkcją zdaniową, której zakresem zmienności jest zbiór X

1. Jeśli {x ∈ X : ϕ(x)} = X, to mówimy, że każdy element x ∈ X spełnia funkcję ϕ(x) i zapisujemy

x∈X∀ ϕ(x).

2. Jeśli {x ∈ X : ϕ(x)} 6= ∅, to mówimy, że funkcja zdaniowa ϕ(x) jest spełniona dla pewnego x ∈ X (czyli istnieje x ∈ X taki, że zachodzi ϕ(x)) i zapisujemy

∃

x∈Xϕ(x).

Twierdzenie 7. Niech ϕ(x), ψ(x) będą funkcjami zdaniowymi określonymi dla elementów przestrzeni X. Wówczas

1. {x ∈ X : ϕ(x)}⁰= {x ∈ X :∼ ϕ(x)}

2. {x ∈ X : ϕ(x) ∧ ψ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)} ∩ {x ∈ X : ψ(x)}

3. {x ∈ X : ϕ(x) ∨ ψ(x)} = {x ∈ X : ϕ(x)} ∪ {x ∈ X : ψ(x)}

Przykład 2. Niech ϕ(x) := (x > 0) dla x ∈ R.

Oczywiście istnieje liczba rzeczywista dla, której zachodzi ϕ(x) np.1. Oznacza to, że prawdziwe jest zdanie ∃

x∈Rϕ(x), ale nie wszystkie liczby rzeczywiste spełniają tę funkcję zdaniową np. w(ϕ(−2)) = 0 tak więc zdanie ∀

x∈Rϕ(x) jest fałszywe. Zaś zdanie ∀

x∈Nϕ(x) jest prawdziwe.

Przykład 3. 1. ∀

x∈Rx²> 0 2. ∼ ∃

x∈R |x| < 0 3. ∀

x∈R ∃

y∈Rx²> y 4. ∃

x∈R ∀

y∈Ry < x²

W rachunku zdań i kwantyfikatorów ważną rolę odgrywają nawiasy. Ich brak może zmienić sens formuły np.

wyrażenie

∼ ∃

x∈X(ϕ(x) ⇒ ψ(x)),

gdzie ϕ(x), ψ(x) są ustalonymi funkcjami zdaniowymi o wspólnym zakresie zmienności X jest zdaniem, zaś

∼ ∃x∈Xϕ(x) ⇒ ψ(x)

określa pewną funkcję zdaniową zmiennej x.

Nawias określa zasięg kwantyfikatora. W pierwszym przypadku zasięg kwantyfikatora stanowi wyrażenie ϕ(x) ⇒ ψ(x), zaś w drugim wyrażenie ϕ(x).

Definicja 12. Dla ustalonych funkcji zdaniowych ϕ(x), φ(x) o wspólnym zakresie zmienności X definiujemy kwan- tyfikatory o ograniczonym zakresie w następujący sposób:

∀

ϕ(x)

ψ(x) ⇔ ∀

x∈R [ϕ(x) ⇒ ψ(x)],

∃

ϕ(x)

ψ(x) ⇔ ∃

x∈R [ϕ(x) ∧ ψ(x)].

Uwaga 1. Niech ϕ(x, y), gdzie (x, y) ∈ X × Y będzie funkcją zdaniową. Wówczas wyrażenia

x∈X∀ ∀

y∈X ϕ(x, y), ∃

x∈X ∃

y∈X ϕ(x, y), ∀

x∈X ∃

y∈X ϕ(x, y), ∃

x∈X ∀

y∈X ϕ(x, y) są zdaniami.

Natomiast formuły

x∈X∀ ϕ(x, y), ∃

x∈X ϕ(x, y), są funkcjami zdaniowymi zmiennej y.

W tym przypadku zmienną x nazywamy zmienną związaną zaś zmienną y nazywamy zmienną wolną. Kwan- tyfikatory wiążą jedynie zmienne znajdujące się w ich zasięgu.

Kwantyfikatory służą do krótszego i bardziej precyzyjnego zapisu sformułowań występujących w definicjach lub twierdzeniach np. Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an)_n∈Njeśli w każdym otoczeniu liczby g są prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu (an)_n∈N.

n→∞liman= g ⇔ ∀

ε>0 ∃

n₀∈N ∀

n>n0

|an− g| < ε.

Definicja 13. Prawo rachunku kwantyfikatorów to wyrażenie logiczne zawierające funkcje zdaniowe, których wszystkie zmienne są związane kwantyfikatorami i przyjmujące wartość logiczną 1 niezależnie od wyboru tych funkcji.

Niech ϕ(x), ψ(x) będą funkcjami zdaniowymi o zakresie zmienności X.

Prawa rachunku kwantyfikatorów

• ∀

x∈Xϕ(x) ⇒ ∃

x∈Xϕ(x) Prawa De’Morgana

• ∼



∀

x∈Xϕ(x)



⇔ ∃

x∈X∼ ϕ(x)

• ∼



∃

x∈Xϕ(x)



⇔ ∀

x∈X∼ ϕ(x) Prawa rozdzielności

1. ∀

x∈X(ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ [ ∀

x∈Xϕ(x) ∧ ∀

x∈Xψ(x)]

2. ∃

x∈X(ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ [ ∃

x∈Xϕ(x) ∨ ∃

x∈Xψ(x)]

3. ∃

x∈X(ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ [ ∃

x∈Xϕ(x) ∧ ∃

x∈Xψ(x)]

4. [ ∀

x∈Xϕ(x) ∨ ∀

x∈Xψ(x)] ⇒ ∀

x∈X(ϕ(x) ∨ ψ(x)) 5. ∀

x∈X(ϕ(x) ⇒ ψ(x)) ⇒ [ ∀

x∈Xϕ(x) ⇒ ∀

x∈Xψ(x)]

6. ∀

x∈X(ϕ(x) ⇒ ψ(x)) ⇒ [ ∃

x∈Xϕ(x) ⇒ ∃

x∈Xψ(x)]

Niech ϕ(x) będzie funkcją zdaniową o zakresie zmienności X oraz ψ zmienną zdaniową lub funkcją zdaniową nie zawierającą zmiennej x.

Prawa włączania i wyłączania dla kwantyfikatorów

• ∀

x∈X(ϕ(x) ∨ ψ) ⇔ [ ∀

x∈Xϕ(x) ∨ ψ]

• ∃

x∈X(ϕ(x) ∨ ψ) ⇔ [ ∃

x∈Xϕ(x) ∨ ψ]

• ∀

x∈X(ϕ(x) ∧ ψ) ⇔ [ ∀

x∈Xϕ(x) ∧ ψ]

• ∃

x∈X(ϕ(x) ∧ ψ) ⇔ [ ∃

x∈Xϕ(x) ∧ ψ]

• ∀

x∈X(ϕ(x) ⇒ ψ) ⇔ [ ∃

x∈Xϕ(x) ⇒ ψ]

• ∃

x∈X(ϕ(x) ⇒ ψ) ⇔ [ ∀

x∈Xϕ(x) ⇒ ψ]

• ∀

x∈X(ψ ⇒ ϕ(x)) ⇔ [ψ ⇒ ∀

x∈Xϕ(x)]

• ∃

x∈X(ψ ⇒ ϕ(x)) ⇔ [ψ ⇒ ∃

x∈Xϕ(x)]

4 Działania uogólnione

Definicja 14. Zbiór, kótrego elementami są zbiory nazywamy rodziną zbiorów.

Definicja 15. Niech T będzie niepustym zbirem indeksów, zaś X dowolnym zbiorem. Każdemu elementowi t ∈ T

przyporządkowujemy pewien podzbiór zbioru X i oznaczamy go przez At. Otrzymaną w ten sposób rodzinę {At: t ∈ T } nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów i oznaczamy (At)t∈T.

Przykład 4. • At= (¹_t,_t−1¹ ), t ∈ N \ {1}

• At= {t, t², t³, ...}, t ∈ N

• A_t= (−t, t + 1), t ∈ N

Definicja 16. Niech (At)t∈T będzie indeksowaną rodziną podziorów ustalonego zbioru X. Uogólnioną sumą rodziny (At)t∈T nazywamy zbiór:

[

t∈T

A_t= {x ∈ X : ∃

t∈Tx ∈ A_t} Definicja 17. Uogólnionym iloczynem rodziny (At)t∈T nazywamy zbiór:

\

t∈T

A_t= {x ∈ X : ∀

t∈Tx ∈ A_t}

Prawa De’Morgana dla działań uogólnionych:

[

t∈T

A_t

!0

= \

t∈T

A⁰_t

\

t∈T

At

!0

= [

t∈T

A⁰_t

5 Relacje

Definicja 18. Relacją dwuczłonową między elementami niepustych zbiorów X i Y nazywamy każdy niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego X × Y .

W szczególności relacja ρ = ∅ lub ρ = X × Y.

Relacje są najprostszym i zarazem podstawowym pojęciem modelowania pojęcia zależności pomiędzy różnymi elementami. Za pomocą relacji definiuje się np. pojęcie funkcji oraz grafu za pomocą relacji definiuje się współczesne bazy danych.

Przykład 5. Niech X oznacza zbiór ludzi zamieszkujących Europę, Y zbiór miast europejskich.

1. ρ1⊂ X × Y x ∈ X, y ∈ Y

xρ₁y ⇔ x jest mieszkańcem y 2. ρ2⊂ Y × Y y1, y2∈ Y

y₁ρ₂y₂⇔ y₁ jest odległe od y₂ o mniej niż 200km 3. ρ3⊂ X × X x1, x2∈ Y

x1ρ3x2⇔ x1ix2 mieszkają w tym samym państwie

Jeżeli X i Y są zbiorami niepustymi (ew. skończonymi), to dowolną relację ρ ⊂ X × Y można opisać za pomocą tabeli relacji lub grafu skierowanego zwanego grafem relacji.

Przykład 6. Niech X = Y \{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Relacja ρ ⊂ X ×X zdefiniowana jako xρy ⇔ x|y opisana jest w następują-

cej tabeli:

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 0 1 0 1 0 1

3 0 0 1 0 0 1

4 0 0 0 1 0 0

5 0 0 0 0 1 0

6 0 0 0 0 0 1

W przypadku, gdy ρ jest podzbiorem X × X, to mówimy, że ρ jest relacją określoną w zbiorze X

Definicja 19. Mówimy, że relacja ρ określona w niepustym zbiorze X jest

• zwrotna ⇔ ∀

x∈Xxρx

• przeciwzwrotna ⇔ ∀

x∈X∼ (xρx)

• symetryczna ⇔ ∀

x,y∈X(xρy ⇒ yρx)

• przeciwsymetryczna ⇔ ∀

x,y∈X(xρy ⇒∼ (yρx))

• antysymetryczna ⇔ ∀

x,y∈X((xρy ∧ yρx) ⇒ x = y)

• przechodnia ⇔ ∀

x,y,z∈X((xρy ∧ yρz) ⇒ xρz)

• spójna ⇔ ∀

x,y∈X((xρy ∨ yρx ∨ x = y)

Definicja 20. Relację ρ ⊂ X × X nazywamy relacją częściowego porządku w zbiorze X, jeżeli jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

Jeśli dodatkowo ta relacja jest spójna, to mówimy, że jest ona relacją liniowego porządku (np. ¬ w R).

Niech X 6= ∅ będzie dowolnym zbiorem, w którym określona jest relacja porządkująca. Relację taką oznaczać będziemy ¬.

Zbiór X wraz z tą relacją (czyli parę uporządkowaną (X, ¬)) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym (lub odpowiednio zbiorem liniowo uporządkowanym jeśli ¬ jest relacją liniowego porządku.

Definicja 21. Relację ρ ⊂ X × X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Definicja 22. Niech ρ ⊂ X × X będzie relacją równoważności w zbiorze X. Dla ustalonego elementu a ∈ X zbiór {x ∈ X : xρa} nazywamy klasą abstrakcji relacji ρ dla elementu a i oznaczamy [a].

Mówimy, że a jest reprezentantem klasy abstrakcji [a].

Twierdzenie 8. Niech ρ ⊂ X × X będzie relacją równoważności w zbiorze X. Wówczas

1. ∀

x∈Xx ∈ [x]

2. ∀

x,y∈X(y ∈ [x] ⇒ [x] = [y]) 3. ∀

x,y∈X([x] 6= [y] ⇒ [x] ∩ [y] = ∅) 4. S

x∈X

[x] = X

Każda relacja równoważności w zbiorze X dzieli zbiór X na rozłączne, niepuste podzbiory zwane klasami abstrakcji tej relacji.

6 Funkcje

Definicja 23. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy relację f będącą podzbiorem niepustego zbioru X × Y spełniają warunki:

• ∀

x∈X ∃

y∈Yxf y

• ∀

x∈X ∀

y₁,y₂∈Y((xf y1∧ xf y2) ⇒ y1= y2).

Z definicji tej wynika, że dla dowolnego x ze zbioru X istnieje dokładnie jeden element y w zbiorze Y taki, że xf y.

Element x nazywamy argumentem funkcji, zaś y wartością funkcji w punkcie x i zapisujemy y = f (x).

Zapis f : X → Y rozumiemy jako: funkcja f jest określona na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y .

Zbiór X nazywamy dziedziną f , zaś Y przeciwdziedziną (lub zbiorem wartości) funkcji f . Szczególnym przypadkiem funkcji jest ciąg.

Definicja 24. Ciągiem nazywamy dowolną funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych N.

Jeśli wartości tej funkcji (czyli wyrazy ciągu) są liczbami rzeczywistymi, to dany ciąg nazywamy ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.

Definicja 25. Obcięciem funkcji f : X → Y do zbioru A ⊂ X nazywamy funkcję

f_|A(x) := f (x) dla x ∈ A.

Definicja 26. Niech f : X → Y , A ⊂ X. Obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór

f (A) = {y ∈ Y : ∃

x∈Ay = f (x)} = {f (x) : x ∈ A}.

W szczególności zbiór f (X) nazywamy zbiorem wartości funkcji f.

Definicja 27. Niech f : X → Y , B ⊂ Y . Przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór

f⁻¹(B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}.

Przykład 7. f : R → R, f (x) = x², f (R) = [0, +∞), f ([−¹2, 1)) = [0, 1), f⁻¹([0, 1)) = (−1, 1).

Definicja 28. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) jeśli różnym argumentem

odpowiadają różne wartości tzn.

x₁,x∀₂∈X(x16= x2⇒ f (x1) 6= f (x2))

lub

x₁,x∀₂∈X(f (x1) = f (x2) ⇒ x1= x2)

Definicja 29. Mówimy, że funkcja f : X → Y odwzorowuje zbiór X na Y (lub, że jest suriekcją), jeżeli każdy element

zbioru Y jest wartością funkcji f tzn.

y∈Y∀ ∃

x∈Xf (x) = y.

Zapisujemy f : X ^na→ Y . Oznacza to, że f (X) = Y .

Definicja 30. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) jeśli jest ona różno-

wartościowa i odwzorowuje X na Y . Mówimy, wtedy, że funkcja f przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór X na Y .

Twierdzenie 9. Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz dowolnych zbiorów A, B ⊂ X mamy:

1. A ⊂ f⁻¹(f (A))

2. A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B)

3. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

4. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

5. f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B)

Uwaga 2. Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa, to inkluzje w ??, ?? i ?? można zastąpić równościami.

Twierdzenie 10. Dla dowolnej funkcji f : X → Y oraz dowolnych zbiorów C, D ⊂ Y mamy:

1. f (f⁻¹(C)) ⊂ C oraz f (f⁻¹(C)) = C ∩ f (X)

2. C ⊂ D ⇒ f⁻¹(C) ⊂ f⁻¹(D)

3. f⁻¹(C ∪ D) = f⁻¹(C) ∪ f⁻¹(D)

4. f⁻¹(C ∩ D) = f⁻¹(C) ∩ f⁻¹(D)

5. f⁻¹(C \ D) = f⁻¹(C) \ f⁻¹(D)

Definicja 31. Niech f : X → Y oraz g : Y → Z. Złożeniem (lub superpozycją) funkcji f i g nazywamy funkcję g ◦ f

taką że g ◦ f : X → Z oraz

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, zaś g zewnętrzną.

Uwaga 3. Składanie funkcji jest działaniem łącznym tzn. dla dowolnych funkcji f : X → Y , g :→ Z oraz h : Z → U

zachodzi

h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f,

ale nie jest działaniem przemiennym tzn.

g ◦ f 6= f ◦ g.

Twierdzenie 11. Jeśli f : X → Y oraz g :→ Z, to dla dowolnych zbiorów A ⊂ X mamy

(g ◦ f )(A) = g(f (A)).

Twierdzenie 12. Złożenie funkcji równowartościowych jest funkcją różnowartościową.

Złożenie funkcji “na” jest funkcją “na”.

W szczególności złożenie funkcji wzajemnie jednoznacznych jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.

Definicja 32. Niech ρ będzie dowolną relacją w iloczynie X × Y .

Relację ρ⁻¹⊂ Y × X taką, że

x∈X∀ ∀

y∈Y (y, x) ∈ ρ⁻¹⇔ (x, y) ∈ ρ nazwyamy relacją odwrotną.

Relacja odwrotna istnieje dla dowolnej relacji, w szczególności dla relacji, która jest funkcją.

Relacja odwrotna do funkcji nie musi być funkcją.

Przykład 8.

x,y∈R∀ xρy ⇔ y = x²

Relacja ρ jest funkcją zaś ρ⁻¹ nie jest funkcją.

Definicja 33. Niech f : X ^na→ Y będzie dowolną funkcją. Jeżeli relacja odwrotna do f jest funkcją, to nazywamy ją funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy ją f⁻¹ Zatem f⁻¹: Y → X oraz

y∈Y∀ ∀

x∈X x = f⁻¹(y) ⇔ y = f (x).

Twierdzenie 13. Funkcja f ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy f jest wzajemnie jednoznaczna.

Uwaga 4. Jeżeli f : X→ Y , g : Y^{na na}→ Z, to istnieje funkcja odwrotna do funkcji g ◦ f oraz

(g ◦ f )⁻¹(z) = f⁻¹(g⁻¹(z)) dla z ∈ Z.

7 Równoliczność zbiorów, moc zbiorów

Definicja 34. Zbiory A i B nazywamy zbiorami równolicznymi lub zbiorami o równej mocy jeżeli istnieje funkcja f przekształcająca wzajemnie jednoznacznie zbiór A na B.

Piszemy wtedy A ∼ B lub ¯A = ¯¯ B. Ponadto przyjmuje się, że¯ ¯¯∅ = 0.

Czyli ∅ ∼ ∅.

Twierdzenie 14. Dla dowolnych zbiorów A, B, C mamy:

• A ∼ A

• A ∼ B ⇒ B ∼ A

• (A ∼ B ∧ B ∼ C) ⇒ A ∼ C.

Definicja 35. Zbiór A nazywamy skończonym, gdy A = ∅ lub

∃

n∈NA ∼ {1, 2, ..., n}.

Jeżeli zbiór A jest skończony, to ¯A jest liczbą elementów tego zbioru.¯

Przykład 9. • Zbiór N jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb całkowitych

• N ∼ {10, 11, 12, ...}

• Zbiór liczb naturalnych parzystych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych

• (0, 1) ∼ (10, 20)

• (0, 1) ∼ R

• (a, b) ∼ (c, d), gdzie a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R.

Uwaga 5. Można pokazać, że nie istnieje liczba naturalna n taka, że N ∼ {1, 2, 3, ..., n}.

Moc zbioru liczb naturalnych oznaczamy przez ℵ0 (czytaj alef zero)

Jeżeli zbiór A jest skończony, to piszemy ¯A < ℵ¯ ₀

Jeśli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem N, to piszemyA = ℵ¯¯ 0

Definicja 36. Mówimy, że zbiór A jest (co najwyżej) przeliczalny jeśli A jest zbiorem skończonym lub równolicznym ze zbiorem N (czyliA ¬ ℵ¯¯ 0).

Twierdzenie 15. Zbiór niepusty jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem wyrazów pewnego ciągu.

Uwaga 6. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.

Twierdzenie 16. Własności zbiorów przeliczalnych

• Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

• Dla dowolnych zbiorów przeliczalnych A, B zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, A × B są przeliczalne.

• Suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Definicja 37. Zbiór, który nie jest przeliczalny nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym i zapisujemy ¯A > ℵ¯ 0.

Własność 2. Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 17 (Cantor). Przedział [0, 1] nie jest przeliczalny.

Uwaga 7. Zbiory R, R \ Q są nieprzeliczalne.

Moc zbioru R oznaczamy przez c (czytaj kontinuum)

Istnieją zbiory nieskończone, których moc jest różna od ℵ0 i od c. Dokładniejsze badanie tego problemu doprowa- dziło do zdefiniowania tzw. liczb kardynalnych. Jednym z najbardziej znanych problemów związanych z tą tematyką jest tak zwana hipoteza continuum, która głosi, że moc zbioru wszystkich podzbiorów zboru liczb naturalnych jest continuum. Niech 2^Aoznacza rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru A

Twierdzenie 18. Dla dowolnego zbioru A mamy ¯A 6= 2¯ ^A.