• Nie Znaleziono Wyników

Niech R ⊆ X × X będzie relacją równoważności, X 6

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Niech R ⊆ X × X będzie relacją równoważności, X 6"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

ROZDZIAŁ 1

Relacje równoważności

Definicja 1. Relację R ⊆ X × X nazywamy relacją równoważności lub równoważnością w zbiorze X, jeżeli R jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią.

Przykład 2. Relacja ≡3⊆ Z × Z (przystawania modulo 3) określona wzorem

m ≡3 n ⇔ 3 | (m − n) jest relacją równoważności.

Definicja 3. Niech R ⊆ X × X będzie relacją równoważności, X 6= ∅.

Niech x ∈ X. Zbiór

[x]R= {y ∈ X : xRy}

nazywamy klasą równoważności lub klasą abstrakcji relacji równoważności R wyznaczoną przez element x. Element x nazywamy reprezentantem klasy abstrakcji [x]R.

Jeżeli relacja R jest ustalona, to dla uproszczenia piszemy [x] zamiast [x]R. Uwaga 4. Niech X będzie dowolnym, niepustym zbiorem, R - relacją określoną w zbiorze X . Wtedy dla dowolnego x ∈ X jest [x] ∈ P (X) \ {∅}.

Twierdzenie 5. Niech X będzie dowolnym, niepustym zbiorem, R ⊆ X × X - relacją równoważności, a, b ∈ X. Wtedy następujące warunki są równoważne

(i) [a] ∩ [b] 6= ∅,

1

(2)

1. RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI 2

(ii) aRb, (iii) [a] = [b].

Definicja 6. Niech R ⊆ X × X będzie relacją równoważności, X 6= ∅.

Zbiór

X/R = {[x] : x ∈ X}

nazywamy zbiorem ilorazowym zbioru X względem relacji R.

Definicja 7. Niech X będzie dowolnym, niepustym zbiorem. Zbiór D(X) ⊆ P (X) nazywamy podziałem zbioru X, jeżeli

(i) ∀A∈D(X)[A 6= ∅],

(ii) ∀A,B∈D(X)[A 6= B ⇒ A ∩ B = ∅, (iii) S D(X) = X.

Twierdzenie 8. Niech R będzie relacją równoważności określoną nie- pustym zbiorze X. Wtedy zbiór

X/R = {[x] : x ∈ X}

jest podziałem zbioru X. Odwrotnie, jeżeli D(X) jest podziałem niepustego zbioru X, to relacja

RD(X) = {(x, y) ∈ X × X : ∃A∈D(X): (x ∈ A ∧ y ∈ A)}

jest relacją równoważności w zbiorze X, przy czym X/RD(X) = D(X).

Twierdzenie to nazywamy zasadą absrakcji.

Przykład 9. Niech ≡3⊆ Z × Z będzie relacja przystawania modulo 3.

Wtedy

[0] = {a ∈ Z : 3 | (a − 0)} = {3k, k ∈ Z}, [1] = {a ∈ Z : 3 | (a − 1)} = {3k + 1, k ∈ Z}, [2] = {a ∈ Z : 3 | (a − 2)} = {3k + 2, k ∈ Z}.

oraz

Z / ≡3= {[0], [1], [2]}.

Cytaty

Powiązane dokumenty

jest

Półgrupy operatorów ograniczonych (notatki do wykładu).. Niech X będzie

Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte2. Wykaż, że jeśli zbiór A

Ponieważ pojęcia modułu wolnego nie da się dualizować, to znaczy nie istnieje coś takiego jak moduł kowolny, więc nie można udowodnić rezultatów dualnych do Wniosku 7.1 (to

[r]

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

[r]

rozdzielczego jest to rozszerzenie Galois. Niech F będzie ciałem, niech L będzie rozdzielczym rozszerzeniem przez dołączenie pierwiastków stopnia nie większego niż n lub