PartIPoło˙zenieobserwatoranapowierzchniZiemi AstronomiasferycznaWykład5:WSPÓŁRZ˛EDNEGEOCENTRYCZNE Przybli˙zeniakształtuZiemi Kula,elipsoida,geoida Schematycznyprzebieggeoidy Ziemskaelipsoidaodniesienia Elipsoidyodniesienia

(1)

Astronomia sferyczna

Wykład 5: WSPÓŁRZ ˛EDNE GEOCENTRYCZNE Przej´scie topo- geocentrum i odwrotnie

Tadeusz Jan Jopek

Instytut Obserwatorium Astronomiczne, UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.04.03)

Kształt Ziemi Poło˙zenie obserwatora na powierzchni Ziemi

Part I

Poło˙zenie obserwatora na powierzchni Ziemi

1 Kształt Ziemi

Modelowanie kształtu Ziemi Geoida

Elipsoida obrotowa

2 Poło˙zenie obserwatora na powierzchni Ziemi

Szeroko´s´c astronomiczna, geodezyjna i geocentryczna obserwatora Poło˙zenie geocentryczne obserwatora

Przybli˙zenia kształtu Ziemi

Kula, elipsoida, geoida

−19 m

b

−26 m

a−b=23.1 km

−108 m Elipsoida

a=6738 km Geoida

Kula

Rzeczywisty kształt bryły ziemskiej jest bardzo skomplikowany i nie daje si ˛e opisa´c prost ˛a zale˙zno´sci ˛a funkcyjn ˛a.

Schematyczny przebieg geoidy

N H P

Geoida Powierzchnie ekwipotencjalne

Poziom morza

Linia pionu

Dno oceanu

Powierzchnia ladu

Elipsoida

Kształt Ziemi okre´sla si ˛e w oparciu o ´sredni poziom oceanu b ˛ed ˛acego w grawitacyjnej równowadze i pokrywaj ˛acego si ˛e z powierzchni ˛a ekwipotencjaln ˛a obserwowanej siły ci ˛a˙zenia. W potencjale, poza grawitacyjnymi, uwzgl ˛ednia si ˛e wyrazy reprezentuj ˛ace siły od´srodkowe b ˛ed ˛ace efektem ziemskiej rotacji wokół osi. Powierzchni ˛e ekwipotencjaln ˛a pokrywaj ˛ac ˛a powierzchni ˛e oceanu i rozci ˛agni ˛et ˛a pod masami l ˛adowymi nazywamygeoid ˛a. Na geoidzie kierunek lokalnej siły ci ˛a˙zenia jest wsz ˛edzie normalny do jej powierzchni.

Ziemska elipsoida odniesienia

Geoida posiada liczne, w porównaniu do jej rozmiarów niewielkie nieregularno´sci i dlatego mo˙zna j ˛a stosunkowo dokładnie przybli˙zy´c elipsoid ˛a obrotow ˛ao osi obrotu pokrywaj ˛acej si ˛e z osi ˛a rotacji Ziemi.

Parametry elipsoidy: równikowy promie ´n a oraz spłaszczenie biegunowe f , okre´slaj ˛a tzw.

standardowy sferoid wykorzystywany do celów astronomicznych i geodezyjnych.

Południkowy przekrój elipsoidy ma równanie:

x² a²+ z²

a²(1 − f )²=1 (1)

Decyzj ˛a Mi ˛edzynarodowej Unii Astronomicznej (MUA) z 1976 roku, jako standardowy przyj ˛eto sferoid o parametrach:

a = 6378.140 [km], f = 0.00335281 = 1/298.257 a — promie ´n równikowy (póło´s wielka), c — póło´s mała, f — spłaszczenie ziemskiej elipsoidy zwi ˛azane s ˛a równaniem c = a(1 − f ).

Elipsoidy odniesienia

Table:Historia. Elipsoidy odniesienia: a póło´s wielka, f spłaszczenie

Elipsoida a [m] 1/f

Airy (1830) 6 377 563 299.33 Everest (1830) 6 377 276.3 300.80 Bessel (1841) 6 377 397.2 299.15 Clarke (1866) 6 378 206.4 294.98 Clarke (1880) 6 378 249.2 293.47 Hayford (1924) 6 378 388 297 Krasovsky (1940) 6 378 245 298.3 IAU (1968) 6 378 160 298.25 WGS 72 (1972) 6 378 135 298.26 IAU (1976) 6 378 140 298.257 GRS 80 (1980) 6 378 137 298.26 WGS 84 (1984) 6 378 137 298.25722 IERS (1989) 6 378 136 298.257 Wi ˛ecej informacji - knyknij ^TUTAJ.

(2)

Szeroko´s´c astronomiczna, geodezyjna i geocentryczna

O

Geoida Elipsoida

kierunek do geocentrum normalna do elipsoidy

kierunek pionu ZG ZA

ZGC Wyró˙zniamy trzy definicje zenitu miejsca obserwacji O. Kierunek pionu definiuje zenit astronomicznyZA. Kierunek ku

´srodkowi masy Ziemi definiujezenit geocentrycznyZGC. Przeci ˛ecie sfery półprost ˛a normaln ˛a do elipsoidy odniesienia definiujezenit geodezyjnyZG.

Kierunki na zenit geodezyjny ZG i zenit geocentryczny ZGC le˙z ˛a w płaszczy´znie tego samego południka.

Zenit astronomiczny ZA nie musi le˙ze´c w tej płaszczy´znie.

W oparciu o ka˙zdy z tych kierunków definiujemy trzy ró˙zne szeroko´sci obserwatora O (szeroko´sć to k ˛at jaki kierunek na zenit tworzy z płaszczyzn ˛a równika ziemskiego): szeroko´sćgeodezyjn ˛a, szeroko´sćgeocentryczn ˛ai szeroko´sćastronomiczn ˛a.

Zwi ˛azki pomi ˛edzy współrz ˛ednymi geodezyjnymi i geocentrycznymi

0000 1111

00 11

00 11 00 11

00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 000000000000

111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

b

a Q

O’

O y

x ρ

Zenit geodezyjny Zenit geocentryczny ν

φ φ

OO’=h

’ C

CO=ρ

Dla obserwatora O dane s ˛a współrz ˛edne geocentryczne ρ, φ⁰, λ.

Odpowiadaj ˛a im współrz ˛edne geodezyjne φ, λ, h. Długo´sci lambda sa identyczne w obu zestawach wspołrz ˛ednych.

Natomiast współrzedne geodezyjne ρ, φi h wi ˛a˙z ˛a si ˛e z współrz ˛ednymi ρ, φ⁰geocentrycznymi za pomoc ˛a:

ρcos φ⁰=a cos φ · (C + h/a)

ρsin φ⁰=a sin φ · (S + h/a) (2) gdzie

C = [cos²φ + (1 − f )²sin²φ]^−1/2 S = (1 − f )²C ρ— odległo´s´c geocentryczna obserwatora, h — jego wysoko´s´c nad ziemsk ˛a elipsoid ˛a, a, f — póło´s wielka, spłaszczenie elipsoidy.

Paralaksa geocentryczna

Part II

Paralaksa geocentryczna

3 Paralaksa geocentryczna

Przemieszczenie obserwatora — paralaksa geocentryczna (dobowa) Paralaksa horyzontalna

Paralaksa horyzontalna zastosowanie Klasyfikacja planet

Konfiguracje planet Wzgl ˛edne rozmiary orbit planet Rozmiary orbit planet w metrach Jednostka astronomiczna

Paralaksa geocentryczna (dobowa)

Z’

O

C z

z’

p r’

r

S ρ

Przemieszczenie z C do O poci ˛aga powi ˛ekszenie obserwowanej odległo´sci zenitalnej z⁰obiektu o k ˛at p bez wpływu na jego azymut.

Paralaksa geocentrycznap to k ˛at OSC rozpi ˛ety na promieniu ł ˛acz ˛acym

´srodek masy Ziemi i obserwatora.

z⁰=z + p (3)

Z trójk ˛ata OCS z wzoru sinusów dostaniemy sin p =ρ

rsin z⁰=ρ

r⁰sin z (4)

Paralaksa zale˙zy od odległo´sci zenitalnej obiektu, zatem potrzebna jest standaryzacja.

Paralaksa horyzontalna

r’ S

O Z’

p

r z

ρ

C z’

Definicja

Paralaksa horyzontalna(k ˛at P), stanowi standaryzacj ˛e paralaksy geocentrycznej.

Odpowiada paralaksie obiektu obserwowanego na horyzoncie obserwatora O znajduj ˛acego si ˛e w odległo´sci ρ = a od ´srodka Ziemi.

z⁰=z + P = 90^◦ (5) Dla z⁰=90^◦, wzór (4) przechodzi w posta´c (a — promie ´n równikowy ziemskiej elipsoidy)

sin P =a

r (6)

Dla a = 1 sinus paralaksy horyzontalnej jest równy odwrotno´sci odległo´sci obiektu od geocentrum C.

Paralaksa horyzontalna - zastosowanie

Wzór (6) mo˙zemy wykorzysta´c do modyfikacji wzoru (4):

sin p =ρ

asin P sin z⁰ (7)

Paralaksy horyzontalne P stosowane s ˛a zamiast geocentrycznej odległo´sci r obiektu. Jednak pami ˛etajmy, ˙ze w Układzie Słonecznym warto´sci paralaks horyzontalnych planet ..., ze wzgl ˛edu na ich ruch orbitalny nie s ˛a stałe. Np.

dla Ksi ˛e˙zyca paralaksa horyzontalna oscyluje pomi ˛edzy 54⁰− 61⁰. Dlatego Mi ˛edzynarodowa Unia Astronomiczna rekomenduje ´srednie warto´sci paralaks i dla Ksi ˛e˙zyca zaleca warto´s´c P0podan ˛a w 1983 roku przez Murray’a

sin P0=3422.485 · sin 1⁰⁰ co jest równowa˙zne

P0=57⁰02.⁰⁰6050 (8)

Paralaksy geocentryczne planet s ˛a mniejsze. Dla Saturna wynosi ona około 1⁰⁰, dla Wenus waha si ˛e w granicach 5⁰⁰− 34⁰⁰. Dla obiektu znajduj ˛acego si ˛e na odległo´sci 1 AU, paralaksa nosi nazw ˛eparalaksy słonecznej. Jest ona bardzo bliska ´sredniej paralaksy prawdziwego Sło ´nca.

Jak wyznaczy´c rozmiary Układu Słonecznego?

Trzecie prawo Keplera

k²(M_S+m_p)

4π² =T_p²/a³_p≈ const (9)

gdzie: k²stała grawitacji, a_ppóło´s orbity planety, T_porbitalny okres obiegu planety, M_pmasa planety, M_Smasa Sło ´nca.

Pozycyjne obserwacje w długich interwałach czasu pozwalaj ˛a dokładnie wyznaczy´c okres orbitalny. Wówczas z prawa Keplera zastosowanego do dwóch planet daje si ˛e obliczy´c wzgl ˛edne rozmiary orbit planet.

Aby wyznaczyć rozmiary absolutne (np. w metrach) trzeba znać warto´sć stałej k², ta za´s w czasach Keplera nie była znana.

A zatem, mo˙zna skonstruowa´c model Układu Słonecznego w pewnej skali, jednak by był to model w metrach konieczny jest pomiar obległo´sci (paralaksy) cho´cby do jednej planety.

(3)

Klasyfikacja planet

Okre´slenia Planety dolne:

Merkury, Wenus.

Planety górne:

Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun.

Konfiguracje planet

Okre´slenia Opozycja

S-E -J₁— Jowisz w opozycji ze Sło ´ncem, E — Ziemia.

Kwadratura

S-E -J₂— kwadratura zachodnia, S-E -J5— kwadratura wschodnia.

Koniunkcja

S-E -V₁— koniunkcja dolna, Venus S-E -V3— koniunkcja górna, S-E -J3— koniunkcja górna.

Elongacja

S-E -V2— elongacja maksymalna, S-E -J4— elongacja Jowisza.

Maksymalna elongacja a wzgl ˛edne rozmiary orbit planet

Dla Wenus w momencie maksymalnej elongacji mamy:

SV

SE=sin(VES) Je´sli odległo´sć Ziemi od Sło ńca SE = 1, to odległo´sć Wenus od Sło ńca wynosi:

SV = sin(VES) SV — w jednostkach promienia orbity Ziemi.

Jak wyznaczy´c rozmiary Układu Słonecznego w metrach?

00 00 11 11

0000 1111

00 00 11 11 0 1 00 11

0 1

00 00 11 11

0000 1111

W Z

Eros

γ S

W

Z M

M1

1 1

2

2 2

W oparciu o koniunkcje dolne Wenus?

Figure:Koniunkcja dolna Wenus, stycze ´n 2014.

W oparciu o koniunkcje dolne Wenus?

W oparciu o obserwacje tranzytu Wenus przed tarcz ˛a Sło ´nca?

( c gjscheffer@solcon.nl)

0000 1111

00 00 11 11

0000 1111 0 1 00 11

0 1

0000 1111

00 00 11 11

W Z

Eros

γ S

W

Z M

M1

1 1

2

2 2

W oparciu o obserwacje Marsa w momencie jego opozycji ze Sło ´ncem?

Opozycje Marsa ze Sło ´ncem

Rozmiary k ˛atowe Marsa wyra´znie zmieniaj ˛a si ˛e w momentach jego opozycji.

Jednak nie wystarcza to dokładnego wyznaczenia jego paralaksy.

(4)

0000 1111

00 00 11 11

00 00 11 11 0 1 00 11

0 1

0000 1111

W Z

Eros

γ S

W

Z M

M1

1 1

2

2 2

Pod koniec XIX wieku odkryto planetk˛e Eros. Orbita Erosa zbli˙za si ˛e do orbity Ziemi na odległo´s´c 0.16 AU.

Kampania obserwacyjna Erosa

Dzi ˛eki obserwacjom Erosa dokonano rewizji rozmiarów Układu Planetarnego.

Misja Near do planetki 433 Eros

Paralaksa słoneczna

W roku 1959, w warunkach koniunkcji Wenus ze Sło ´ncem zmierzono odległo´sci do planety technik ˛a radarow ˛a.

W rezultacie wyznaczono paralaks ˛e słoneczn ˛a:

P0=8⁰⁰.794148

która pozwoliła na udokładnienie warto´sci jednostki astronomicznej:

1[JA] = 1.49597870 ˙10¹¹[m]

Jednostka astronomiczna

Obecnie jednostki astronomicznej nie definiuje si ˛e w oparciu o ´sredni ˛a warto´s´c półosi orbity Ziemi. Ta zmienia si ˛e w wyniku perturbacji planetarnych.

Definicja oparta jest o stał ˛a grawitacyjn ˛a k tzw. stała Gaussa, k = 0.017202009895 [JA^3/2doba⁻¹M_S^−1/2

która przetrwała zmiany systemu stałych i nie wydaje si ˛e by miało by´c inaczej w przyszło´sci.

Dla podanej wy˙zej warto´sci stałej k jednostk˛e astronomiczn ˛a definiuje si ˛e jako długo´s´c wielkiej półosi apw równaniu:

k²

4π²=T_p²/a³_p≈ const

której odpowiada okres obiegu Tpjednego roku wyra˙zony w dobach.

Wpływ paralaksy na współrz ˛edne obiektów Aberacja dobowa

Part III

Wpływ paralaksy i aberracji

4 Wpływ paralaksy na współrz ˛edne obiektów Paralaksa dobowa we współrz ˛ednych równikowych Paralaksa dobowa przykład

5 Aberacja dobowa

Wpływ ruchu wirowego obserwatora

Wpływ paralaksy na współrz ˛ene równikowe α, δ.

90−φ 90−δ

..

C

Horyzont P

Z

t z

X’

X

W formułach na małe przesuni ˛ecie, punktem o współrz ˛ednych α0, δ0b ˛edzie zenit, czyli α0=CGMa δ0= φ⁰, gdzie CGMczas gwiazdowy, φ⁰geocentryczna szeroko´s´c obserwatora.

Zatem α − α₀= −H = −t, oraz k =^ρ

r, gdzie ρ,r geocentryczna odległo´s´c obserwatora i obiektu, odpowiednio.

Poprawki paralaktyczne w α, δ

Podstawiaj ˛ac prawe strony wyra˙ze ´n na k i (α − α0)do formuł na małe przesuni ˛ecie uzyskamy:

d α = α⁰− α = −^ρ_rcos φ⁰sin t sec δ

d δ = δ⁰− δ =^ρ_r(cos φ⁰cos t sin δ − sin φ⁰cos δ) (10)

(5)

Formuły przybli˙zone i formuły dokładne

Formuły (10) s ˛a przybli˙zone (pierwszy rz ˛ad ze wzgl ˛edu na (ρ/r )), dlatego nie nale˙zy ich u˙zywa´c w przypadku Ksi ˛e˙zyca czy te˙z sztucznych satelitów Ziemi.

Nadaj ˛a si ˛e dla pozostałych ciał niebieskich o ile ciała te nie znajduj ˛a si ˛e zbyt blisko Ziemi.

Dla obiektów bardzo dalekich nale˙z ˛acych do Dysku Kuipera, paralaksy geocentryczne s ˛a bardzo małe i w formułach (10) nie ma potrzeby rozró˙znienia pomi ˛edzy szeroko´sciami geodezyjn ˛a i geocentryczn ˛a, a jako ρ mo˙zna do wzorów podstawi´c warto´s´c a równikowego promienia Ziemi.

Formuły przybli˙zone nale˙zy stosowa´c z rozwag ˛a, a w sytuacjach w ˛atpliwych konieczne jest podej´scie dokłade.

Mianowicie, niechr i R b ˛ed ˛a geocentrycznymi wektorami poło˙zenia obiektu S i obserwatora O. Wówczas wektorr⁰od obserwatora do obiektu dany jest jako ró˙znica

r⁰=r − R (11)

Paralaksa Ksi ˛e˙zyca (1)

WektorR poło˙zenia obserwatora na powierzchni Ziemi jest to wektor o długo´sci ρ skierowany na geocentryczny zenit obserwatora. We współrz ˛ednych równikowych ma on składowe

R = ρ(cos φ⁰cos T , cos φ⁰sin T , sin φ⁰) (12) gdzie T jest miejscowym czasem gwiazdowym w momencie obserwacji.

Dla Ksi ˛e˙zyca, na moment obserwacji z rocznika astronomicznego bierzemy jego współrz ˛edne równikowe geocentryczne (α, δ) oraz paralaks ˛e horyzontaln ˛a P. Wówczas korzystaj ˛ac z równania (6) mo˙zemy obliczy´c geocentryczn ˛a odległo´s´c Ksi ˛e˙zyca

r = a csc P gdzie a jest ´srednim promieniem równikowym Ziemi.

Gocentryczny wektor poło˙zenia Ksi ˛e˙zyca ma zatem składowe

r = a csc P(cos δ cos α, cos δ sin α, sin δ) (13)

Paralaksa Ksi ˛e˙zyca (2)

Niech (x⁰,y⁰,z⁰)b ˛ed ˛a składowymi wektorar⁰, opisuj ˛acego obserwowane poło˙zenie Ksi ˛e˙zyca. Odpowiadaj ˛ace im współrz ˛edne sferyczne oznaczymy przez (α⁰, δ⁰). Równanie (11) w wersji skalarnej b ˛edzie wówczas dane jako układ

x⁰=r⁰cos δ⁰cos α⁰=a csc P cos δ cos α − ρ cos φ⁰cos T y⁰=r⁰cos δ⁰sin α⁰=a csc P cos δ sin α − ρ cos φ⁰sin T z⁰=r⁰sin δ⁰=a csc P sin δ − ρ sin φ⁰

(14)

Dysponuj ˛ac składowymi (x⁰,y⁰,z⁰)łatwo obliczymy (α⁰, δ⁰) α⁰=arctan(y⁰/x⁰)

δ⁰=arctan(z⁰/p(x⁰²+y⁰²) (15) Równanie (15) wymaga pewnej ostro˙zno´sci podczas normowania rektascensji do odpowiedniej ´cwiartki.

Paralaksa sztucznego satelity Ziemi (1)

Przykład.

W stacji o szeroko´sci geodezyjnej 39^◦42⁰48⁰⁰dokonano obserwacji sztucznego satelity Ziemi zarówno radiowo jak i optycznie. Wysoko´s´c stacji wynosi 456 metrów nad poziomem morza.

Z obserwacji otrzymano nast ˛epuj ˛ace równikowe współrz ˛edne satelity:

r⁰ = 1735.87 km α⁰ = 7^h12^m19^s

δ⁰ = −21^◦42⁰21⁰⁰ T = 9^h17^m34^s

gdzie T — miejscowy czas gwiazdowy momentu obserwacji.

Oblicz geocentryczne miejsce i odległo´s´c satelity.

Rozwi ˛azanie wymaga kilku kroków.

1. Nale˙zy obliczyć składowe wektoraR poło˙zenia obserwatora na moment obserwacji. W tym celu przyjmujemy a = 6378.14 km, f = 3.35281 · 10⁻³ oraz zamieniamy warto´sci k ˛atowe φ = 39.ô7133, T = 139.ô3917.

Kolejno obliczamy:

h/a = 7.15 · 10⁻⁵ C(φ) = 1.0013693 S(f ) = 0.9946658 ρcos φ⁰ = 4913.459 [km]

ρsin φ⁰ = 4053.845 [km]

W oparciu o te wielko´sci za pomoc ˛a równa ´n (2) obliczamy składowe wektora poło˙zenia obserwatora na moment obserwacji T .

R = (−3730.183, 3198.095, 4053.845)

2. Wykorzystuj ˛ac obserwacje satelity obliczamy składowe wektorar⁰ r⁰ = 1735.87 [km]

α⁰ = 108.0792 δ = −21.7058

r⁰ = (−500.498, 1533.162, −641.997) 3. Wobec (11) geocentryczny wektorr ma składowe

r = r⁰+R = (−4230.681, 4731.257, 3411.849) [km]

4. Po przej´sciu do współrz ˛ednych sferycznych, na moment T mamy geocentryczne współrz ˛edne sferyczne satelity (r , α, δ):

r = 7205.843 α = 8^h47^m13^s δ = 28^◦15⁰38⁰⁰

Porównajmy warto´sci topocentryczne współrz ˛ednych poło˙zenia tego satelity:

Miejsce topocentryczne

r⁰ = 1735.87 km α⁰ = 7^h12^m19^s δ⁰ = −21^◦42⁰21⁰⁰ Miejsce geocentryczne

r = 7205.843 km α = 8^h47^m13^s

δ = 28^◦15⁰38⁰⁰

Aberacja dobowa we współrz ˛ednych równikowych Zało˙zenia, formuły

ρ, φ⁰, λ— poło˙zenie obserwatora na powierzchni Ziemi, ωk ˛atowa szybko´s´c wirowania Ziemi,

st ˛ad liniowa szybko´s´c obserwatora wynosi V = ρω cos φ⁰, wektor pr ˛edko´sci obserwatoran skierowany jest na punkt o współrz ˛ednych α0, δ0, czyli

α0=CGM+6^h δ0=0

z powodu aberracji dobowej, poło˙zenie gwiazdy okre´slone za pomoc ˛a α, δlubs, ulegnie zmianie o przyrosty:

ds = −(V /c) s × (s × n) d α = α⁰− α = (ρω cos φ⁰/c) sec δ cos t

d δ = δ⁰− δ = (ρω cos φ⁰/c) sin δ sin t (16) gdzie podstawiono (α0− α) = −t, natomiast c jest szybko´sci ˛a ´swiatła.

(6)

Aberacja dobowa, uwagi

Poprawki (16) na aberracj ˛e dobow ˛a nie zale˙z ˛a od odległo´sci obiektu. Aby otrzyma´c współrz ˛edne geocentryczne trzeba jeszcze dokona´c transformacji uwzgl ˛edniaj ˛acej wpływ paralaksy geocentrycznej.

Gdy paralaksa i aberracja s ˛a małe porz ˛adek uwzgl ˛ednienia poprawek nie jest istotny. Dla du˙zej paralaksy, a natura rei, trzeba aberracj ˛e usuwa´c przed zastosowaniem ´scisłych formuł na paralaks ˛e geocentryczn ˛a.

Wpływy relatywistyczne mog ˛a by´c pomini ˛ete ze wzgl ˛edu na niewielki stosunek V /c dla aberacji dobowej. Pomini ˛ecie relatywistycznego efektu odchylenia ´swiatła δψ w polu grawitacyjnym Ziemi wymaga dalszego uzasadnienia. Odchylenie to nie przekracza 2m/a radianów, gdzie m jest połow ˛a Schwarzschildowskiego promienia Ziemi. Poniewa˙z

m = GM⊕/c²=4.4 [mm] (17)

gdzie G — stała grawitacji, M⊕ — masa Ziemi, a — promie´n Ziemi. St ˛ad

δψ =2m/a < 0.⁰⁰0003 (18)

co usprawiedliwia pomini ˛ecie wpływu grawitacji na kierunak propagacji

´swiatła w pobli˙zu Ziemi.

Figure:Kształt goidy WGS-84/EGM96 wzgl ˛edem elipsoidy odniesienia. Klor niebieski, purpurowy oznacza depresje (do -107m), kolor czerwony wzniesienia (do 85 m) nad elopsoid ˛a.

[http://www.unavco.org/edu_outreach/tutorial/geoidcorr.html]

Poczatek wykładu