dla szeregu wyliczaj¸acego: Fn(x

1 STATYSTYKA

dr in˙z Krzysztof Bry´s Wyk lad 9

Parametry empiryczne Miary po lo˙zenia rozk ladu

1) ´Srednia z pr´oby x - dla szeregu wyliczaj¸acego:

x = 1 n

Xn i=1

x_i - dla szeregu rozdzielczego:

x = 1 n

Xk i=1

n_i· x_i

2) Dominanta (moda, warto´s´c modalna) D = punkt, w kt´orym funkcja prawdopodobie´nstwa osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s´c

- dla szeregu wyliczaj¸acego: najcz¸e´sciej wyst¸epuj¸aca warto´s´c,

- dla szeregu rozdzielczego punktowego: punkt, dla kt´orego liczebno´s´c (cz¸esto´s´c) osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s´c, - dla szeregu rozdzielczego przedzia lowego (wz´or interpolacyjny):

D = x0d+ nd− nd−1

(n_d− n_d−1) + (n_d− n_d+1) · hd, gdzie

x_0d - pocz¸atek przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (przedzia lu o najwiekszej liczebno´sci), hd - szeroko´s´c przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (przedzia lu o najwiekszej liczebno´sci), n_d - liczebno´s´c przedzia lu zawieraj¸acego dominant¸e (najwieksza liczebno´s´c),

n_d−1 - liczebno´s´c przedzia lu poprzedzaj¸acego przedzia l zawieraj¸acy dominant¸e, nd+1 - liczebno´s´c przedzia lu nast¸epnego po przedziale zawieraj¸acym dominant¸e.

3) Dystrybuanta empiryczna (cz¸esto´s´c skumulowana F_n(x) - dla szeregu wyliczaj¸acego:

Fn(x) = 1

n|{i : xi < x, i = 1, . . . , n}|

- dla szeregu rozdzielczego:

F_n(x) = ^X

i:xi<x

n_i n 4) Kwantyl empiryczny rz¸edu p x_p,n:

(punkt w kt´orym dystrybuanta empiryczna po raz pierwszy osi¸aga warto´s´c niemniejsz¸a ni˙z p) - dla szeregu wyliczaj¸acego:

x_p,n = x_dnpe - dla szeregu rozdzielczego punktowego:

xp,n = xq gdzie q = min{r : p ≤

Xr i=1

ni

n}

- dla szeregu rozdzielczego przedzia lowego (wz´or interpolacyjny):

x_p,n = x_0p+ (np − ^X

xi<x0p

n_i) · h_p np

,

2 gdzie

x_0p - pocz¸atek przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n (przedzia lu w kt´orym dystrybuanta empiryczna po raz pierwszy osi¸aga warto´s´c niemniejsz¸a ni˙z p),

h_p -szeroko´s´c przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n, n_p -liczebno´s´c przedzia lu zawieraj¸acego x_p,n,

P

xi<x0pn_i- liczebno´s´c skumulowana dla przedzia lu poprzedzaj¸acego przedzia l zawieraj¸acy x_p,n(suma liczebno´sci przedzia l´ow poprzedzaj¸acych)

Mediana: Me = kwantyl rz¸edu ¹₂ Kwartyl dolny: Q₁ = kwantyl rz¸edu ¹₄ Kwartyl g´orny: Q₃ = kwantyl rz¸edu ³₄.

Miary rozproszenia rozk ladu 5) Wariancja z pr´oby s² - dla szeregu wyliczaj¸acego:

s² = 1 n

Xn i=1

(x_i− x)² - dla szeregu rozdzielczego:

s² = 1 n

Xk i=1

n_i· (x_i− x)² 6) Odchylenie standardowe z pr´oby s =√

s². 7) Wsp´o lczynnik zmienno´sci V = _x^s · 100%.

8) Rozst¸ep R = r´o˙znica mi¸edzy najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a warto´sci¸a w pr´obie.

9) Wsp´o lczynnik asymetrii A_s: - dla szeregu wyliczaj¸acego:

A_s = 1 s³ · (1

n

Xn i=1

(x_i− x)³) - dla szeregu rozdzielczego:

A_s = 1 s³ · (1

n

Xk i=1

n_i· (x_i− x)³) 10) Kurtoza (wsp´o lczynnik skupienia) K:

- dla szeregu wyliczaj¸acego:

K = 1 s⁴ · (1

n

Xn i=1

(x_i− x)⁴) - dla szeregu rozdzielczego:

K = 1 s⁴ · (1

n

Xk i=1

n_i · (x_i− x)⁴) 11) Wsp´o lczynnik sko´sno´sci A₁:

A₁ = x − D s