IND ´ EPENDANCE LIN ´ EAIRE ET CLASSIFICATION TOPOLOGIQUE DES ESPACES NORM ´ ES

VOL. LXVI 1993 FASC. 2

IND ´ EPENDANCE LIN ´ EAIRE ET CLASSIFICATION TOPOLOGIQUE DES ESPACES NORM ´ ES

PAR

ROBERT C A U T Y (PARIS)

1. Introduction. Tous les espaces consid´ er´ es ici sont suppos´ es m´ etri- sables et s´ eparables. Si Y est un sous-ensemble d’un espace norm´ e E, nous notons E(Y ) le sous-espace vectoriel de E engendr´ e par Y . L’une des m´ e- thodes les plus classiques pour construire des espaces norm´ es non complets

´

etranges est de plonger un compact K comme sous-ensemble lin´ eairement ind´ ependant dans un espace de Banach E et de regarder les sous-espaces E(X) engendr´ es par certains sous-ensembles de K. Ce proc´ ed´ e a, entre autres, ´ et´ e utilis´ e dans [1, chapitre VIII, §2 et 5], [5] et [8]. Nous nous proposons ici d’´ etudier la classification topologique et les produits de tels espaces.

Pour ce qui est de la classification topologique, nous prouverons le r´ esul- tat suivant.

Th´ eor` eme 1. Pour i = 1, 2, soit K i un sous-ensemble σ-compact lin´ e- airement ind´ ependant d’un espace norm´ e E i , et soit X i un sous-ensemble infini de K i . Alors, E(X 1 ) et E(X 2 ) sont hom´ eomorphes si , et seulement si , X 1 est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de E(X 2 ) et X 2 hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de E(X 1 ).

Pour tout espace X, nous noterons X ⁿ le produit de n copies de X et X ^∞ le produit d’une infinit´ e d´ enombrable de copies de X. Si E est un espace norm´ e, nous noterons W (E, 0) le sous-ensemble de E ^∞ form´ e des points n’ayant qu’un nombre fini de coordonn´ ees non nulles. Pour une meilleure appr´ eciation du r´ esultat suivant, rappelons que l’on connaˆıt des exemples d’espaces norm´ es E qui ne sont pas hom´ eomorphes ` a E × R ou `a E × E ([13]–[15]).

Th´ eor` eme 2. Soient K un sous-ensemble σ-compact lin´ eairement in- d´ ependant d’un espace norm´ e E et X un sous-ensemble infini de K. Alors, E(X), E(X) × R, E(X) × E(X) et W (E(X), 0) sont hom´eomorphes.

1991 Mathematics Subject Classification: Primary 57N17.

La d´ emonstration de ces th´ eor` emes utilisera la th´ eorie des ensembles absorbants d´ evelopp´ ee dans [2]. Quelques d´ efinitions sont n´ ecessaires pour pouvoir rappeler ce dont nous avons besoin. Si f et g sont deux fonctions de Y dans X et U un recouvrement ouvert de X, nous dirons que f est U -proche de g si, pour tout y dans Y , il y a un ´ el´ ement de U contenant ` a la fois f (y) et g(y). Un sous-ensemble F d’un r´ etracte absolu de voisinage X est appel´ e un Z-ensemble (resp. Z-ensemble au sens fort ) dans X si, pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe une fonction continue f de X dans X, U -proche de l’identit´ e et v´ erifiant f (X) ∩ F = ∅ (resp. f (X) ∩ F = ∅). Une fonction f : Y → X est appel´ ee un Z-plongement si c’est un plongement et si f (Y ) est un Z-ensemble dans X. Un sous-espace A d’un espace X est dit localement homotopiquement n´ egligeable dans X si, pour tout ouvert U de X, l’inclusion de U \ A dans X est une ´ equivalence homotopique faible.

Soit C une classe d’espaces. Un r´ etracte absolu de voisinage X est dit fortement C-universel si, pour tout espace C appartenant ` a C, tout ferm´ e D de C, toute fonction continue f : C → X dont la restriction ` a D est un Z- plongement et tout recouvrement ouvert U de X, il existe un Z-plongement g : C → X qui est U -proche de f et v´ erifie f |D = g|D.

Une classe C d’espaces est dite (i) topologique si tout espace hom´ eomorphe

`

a un espace appartenant ` a C appartient ` a C, (ii) additive si tout espace qui est r´ eunion de deux ferm´ es appartenant ` a C appartient ` a C et (iii) h´ er´ editaire pour les ferm´ es si tout ferm´ e d’un espace appartenant ` a C appartient ` a C.

Si C est une classe topologique, additive et h´ er´ editaire pour les ferm´ es, un sous-ensemble Ω de l’espace de Hilbert ` <sup>2</sup> est dit C-absorbant dans ` ² s’il v´ erifie les trois conditions suivantes :

(I) Ω = S ∞

n=1 Z n , o` u chaque Z n est un Z-ensemble dans Ω et appar- tient ` a C,

(II) ` <sup>2</sup> \ Ω est localement homotopiquement n´ egligeable dans ` ² , (III) Ω est fortement C-universel.

Le th´ eor` eme 3.1 de [2] garantit que si E 1 et E 2 sont des copies de ` ² et Ω 1 , Ω 2 des sous-ensembles C-absorbants dans E 1 et E 2 respectivement, alors Ω 1 et Ω 2 sont hom´ eomorphes. Nous prouverons les th´ eor` emes 1 et 2

`

a l’aide de ce r´ esultat. La seule des conditions (I)–(III) dont la v´ erification pr´ esente des difficult´ es est l’universalit´ e forte, aussi commencerons-nous par prouver quelques th´ eor` emes tr` es g´ en´ eraux sur ce sujet.

Pour tout espace X, nous notons F 0 (X) la classe des espaces qui sont hom´ eomorphes ` a des ferm´ es de X.

Th´ eor` eme 3. Si X est un ferm´ e lin´ eairement ind´ ependant d’un espace norm´ e de dimension infinie E , alors E est fortement F 0 (X)-universel.

Nous notons I le segment [0, 1].

Th´ eor` eme 4. Soient E un sous-espace vectoriel de dimension infinie d’un espace norm´ e E ⁰ , K un compact lin´ eairement ind´ ependant de E ⁰ et X = E ∩ K. Supposons E ∩ E ⁰ (K) = E(X). Alors, pour tout entier n ≥ 1, E est fortement F 0 (X ⁿ × I ⁿ )-universel.

Th´ eor` eme 5. Tout espace norm´ e E hom´ eomorphe ` a son carr´ e est forte- ment F 0 (E)-universel.

Ce dernier th´ eor` eme nous permettra de caract´ eriser les espaces norm´ es E qui sont hom´ eomorphes ` a des sous-espaces de ` <sup>2</sup> engendr´ es par des sous- ensembles de compacts lin´ eairement ind´ ependants; cette caract´ erisation peut aussi ˆ etre regard´ ee comme une sorte de r´ eciproque du th´ eor` eme 2.

Th´ eor` eme 6. Soit E un espace norm´ e de dimension infinie. Pour qu’il existe un sous-ensemble X d’un compact lin´ eairement ind´ ependant K de l’espace de Hilbert ` ² tel que E soit hom´ eomorphe ` a ` ² (X), il faut et il suffit que E soit hom´ eomorphe ` a son carr´ e et r´ eunion d´ enombrable de Z- ensembles.

Dans la derni` ere section, nous donnerons deux applications de ces th´ eor` emes.

Rappelons quelques faits dont nous aurons besoin. Le th´ eor` eme 2.3 de [17] entraˆıne que si E est un sous-espace vectoriel partout dense d’un espace norm´ e F , alors F \ E est localement homotopiquement n´ egligeable dans F ; en particulier, pour v´ erifier que E est C-absorbant dans son compl´ et´ e, il est inutile de se soucier de la condition (II). Si E est un espace norm´ e de dimension infinie, tout Z-ensemble dans E est un Z-ensemble au sens fort (cas particulier de la proposition 1.7 de [2]) et tout compact de E est un Z-ensemble (cas particulier du corollaire 1.8 de [2]). Nous utiliserons de fa¸ con r´ ep´ et´ ee le lemme suivant, dont la v´ erification facile est laiss´ ee au lecteur.

Lemme. Soient B ⊂ A des ferm´ es d’un espace norm´ e de dimension infinie E. Si B est un Z-ensemble et A \ B localement homotopiquement n´ egligeable dans E , alors A est un Z-ensemble dans E.

Nous dirons qu’une fonction f : X → Y est ferm´ ee au-dessus d’un

sous-ensemble A de Y si, pour tout a dans A et tout voisinage U de

f ⁻¹ (a), il existe un voisinage V de a tel que f ⁻¹ (V ) ⊂ U . Si U est

une famille de sous-ensembles d’un espace X et A un sous-espace de X,

nous notons St(A, U ) la r´ eunion des ´ el´ ements de U qui rencontrent A; si

A = {x}, nous notons St(x, U ) au lieu de St({x}, U ). Nous d´ efinissons par

r´ ecurrence St ⁿ (U ) par St ⁰ (U ) = U et St ⁿ (U ) = {St(U, St ⁿ⁻¹ (U )) : U ∈ U }

pour n ≥ 1. Nous notons B(x, ε) la boule ouverte de centre x et de

rayon ε.

2. D´ emonstration du th´ eor` eme 3. Nous pouvons supposer la di- mension alg´ ebrique de E ind´ enombrable, car sinon E est hom´ eomorphe au sous-espace σ de ` ² form´ e des suites n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls ([1], chapitre VIII, th´ eor` eme 3.1), et il est connu que σ est fortement F ₀ (σ)-universel. Soit Y une base alg´ ebrique de E contenant X. Prenons un sous-ensemble d´ enombrable P de Y de fa¸con que E(P ) soit dense dans E.

Soient C ∈ F 0 (X), D un ferm´ e de C, f une fonction continue de C dans E dont la restriction ` a D est un Z-plongement et U un recouvrement ouvert de E. Nous pouvons supposer que C est un ferm´ e de X. Soit U ⁰ un recouvrement ouvert de E tel que St(U ⁰ ) soit plus fin que U . Puisque tout Z-ensemble dans E est un Z-ensemble au sens fort, le lemme 1.1 de [2] nous permet de trouver une fonction continue b f : C → E v´ erifiant

(1) f est U b ⁰ -proche de f , (2) f |D = f |D, b

(3) f (C \ D) ⊂ E \ f (D), b

(4) f est ferm´ b ee au-dessus de f (D).

Soit V = E \ f (D), et soit V = {V j : j ∈ J } un recouvrement ouvert de V tel que St ³ (V) soit plus fin que U ⁰ et v´ erifiant

(5) ∀x ∈ V, St(x, St ³ (V)) ⊂ B(x, ¹ ₂ d(x, f (D))) .

Puisque C est s´ eparable et V un r´ etracte absolu de voisinage, nous pou- vons trouver un complexe simplicial localement fini N et des fonctions con- tinues ϕ : C \ D → N et ψ : N → V v´ erifiant

(6) ψ ◦ ϕ est V-proche de b f |C \ D .

En fait (voir [11, section 4.8]), nous pouvons prendre pour N le nerf d’un recouvrement ouvert H de C \ D et pour ϕ une application canonique de C \ D dans N ; ce recouvrement H peut ˆ etre pris arbitrairement fin, et si nous le choisissons form´ e d’ensembles born´ es, la condition suivante est alors v´ erifi´ ee :

(7) Pour tout compact L de N, ϕ ⁻¹ (L) est born´ e dans E .

Affirmation 1. Il existe une fonction continue propre µ de N dans V v´ erifiant :

(8) µ(N ) ⊂ V ∩ E(P ) , (9) µ est V-proche de ψ .

En effet, soit b E le compl´ et´ e de E et, pour j dans J , soit b V j un ouvert de b E tel que b V j ∩ E = V j . Alors, b V = S

j∈J V b j est un ouvert de b E tel que

V ∩ E = V . Puisque b b E est hom´ eomorphe ` a ` ² , ψ peut ˆ etre approxim´ ee

par un plongement ferm´ e b ψ de N dans b V . Puisque E(P ) est dense dans

E, donc dans b E, b ψ peut ˆ etre approxim´ e arbitrairement par une fonction µ de N dans E(P ) ∩ b V = E(P ) ∩ V . L’affirmation r´ esulte alors du fait que, N ´ etant localement compact, toute application qui approxime suffisamment un plongement ferm´ e est propre.

D’apr` es (6) et (9), la fonction g = µ ◦ ϕ : C \ D → E(P ) ∩ V v´ erifie (10) g est St ² (V)-proche de b f |C \ D .

Affirmation 2. Pour tout sous-ensemble infini d´ enombrable Q de Y , il existe une fonction continue born´ ee ξ : N → E(Q) \ {0} telle que, pour tout couple de points distincts z, z ⁰ de N , les vecteurs ξ(z) et ξ(z ⁰ ) ne soient pas proportionnels.

Pour montrer cela, il suffit, notant Q ⁰ = {q/kqk : q ∈ Q} et ∆ l’enveloppe convexe de Q ⁰ , de construire une fonction continue injective ξ de N dans

∆, car deux points distincts de ∆ ne sont pas proportionnels. Soit {q _n ⁰ } ^∞ _n=1 une ´ enum´ eration de Q ⁰ ; ´ etant donn´ es des entiers n ≤ m, soient Q ⁰ (n, m) = {q ⁰ _n , . . . , q _m ⁰ } et ∆(n, m) l’enveloppe convexe de Q ⁰ (n, m). Puisque N est localement fini, nous pouvons le repr´ esenter comme r´ eunion d’une suite {B _i } ^∞ _i=1 de compacts de dimension finie telle que, pour tout i, B i soit con- tenu dans l’int´ erieur de B i+1 . Nous pouvons alors trouver par r´ ecurrence une suite d’entiers {n i } ^∞ _i=1 telle que, pour tout i, il existe un plongement de B i dans ∆(n 2i−1 , n 2i ). Pour i ≥ 1, soit α i : N → ∆(n 2i−1 , n 2i ) une fonction continue dont la restriction ` a B i est un plongement, et soit λ i : N → I une fonction continue telle que λ ⁻¹ _i (0) = B i−1 (B 0 = ∅). On v´ erifie alors facilement que la formule

ξ(z) =

 X ^∞

i=1

λ i (z)

 −1  X ^∞

i=1

λ i (z)α i (z)

 d´ efinit une fonction continue injective de N dans ∆.

Soient Q 1 , Q 2 , Q 3 des sous-ensembles infinis d´ enombrables disjoints de Y \ P . Pour i = 1, 2, 3, soit ξ i : N → E(Q i ) \ {0} une fonction comme dans l’affirmation 2. D´ efinissons ξ : N → E(Q 1 ∪ Q ₂ ∪ Q ₃ ) par

ξ(z) = ξ 1 (z) + ξ 2 (z) + ξ 3 (z) . Soit ω : V → ]0, 1] une fonction continue v´ erifiant

(11) pour y dans V et z dans E, ky − zk < ω(y) entraˆıne que y et z appartiennent ` a un mˆ eme ´ el´ ement de V.

Soit ζ : N → ]0, 1] une fonction continue v´ erifiant (12) ∀α > 0, ζ ⁻¹ ([α, 1]) est compact .

(Puisque le compactifi´ e d’Alexandroff b N = N ∪ {∞} de N est m´ etrisable,

on peut prendre pour ζ la restriction d’une fonction continue b ζ : b N → I

telle que b ζ ⁻¹ (0) = {∞}.) D´ efinissons η : C \ D → ]0, 1] par (13) η(c) = min(ζ(ϕ(c)), ω(g(c))) .

Posons, pour c dans C \ D, h(c) = g(c) + 1

2A η(c)ξ(ϕ(c)) + 1 2 η(c) c

kck , o` u A est un majorant de kξ(z)k. Nous avons alors

(14) kh(c) − g(c)k ≤ η(c) ≤ ω(g(c)) ,

ce qui, d’apr` es (11) entraˆıne que h est V-proche de g, donc St <sup>3</sup> (V)-proche de f |C \ D d’apr` b es (10). Compte tenu du choix de V, cela implique, avec (1), que h est St(U ⁰ )-proche, donc U -proche de f |C \ D et, d’autre part, d’apr` es (5), que

(15) kh(c) − b f (c)k < ¹ ₂ d( b f (c), f (D)) ∀c ∈ C \ D .

Cette in´ egalit´ e montre que h(C \D) ⊂ E\f (D) et que l’on peut prolonger h continˆ ument ` a C en posant h(c) = b f (c) = f (c) pour c ∈ D. Montrons que cette fonction est injective. Puisque h(D) ∩ h(C \ D) = ∅ et que h|D = f |D est un plongement, il suffit de v´ erifier que h|C \ D est injective. Soient c, c ⁰ deux points de C \ D tels que h(c) = h(c ⁰ ). Il existe un i ∈ {1, 2, 3} tel que Q i ne contienne aucun des points c, c ⁰ . Regardant les composantes de h(c) = h(c ⁰ ) dans Q i , nous obtenons l’´ egalit´ e

1

2A η(c)ξ i (ϕ(c)) = 1

2A η(c ⁰ )ξ i (ϕ(c ⁰ )) .

D’apr` es le choix de ξ i , cela entraˆıne ϕ(c) = ϕ(c <sup>0</sup> ) et η(c) = η(c <sup>0</sup> ), donc aussi ξ(ϕ(c)) = ξ(ϕ(c <sup>0</sup> )) et g(c) = µ ◦ ϕ(c) = µ ◦ ϕ(c <sup>0</sup> ) = g(c <sup>0</sup> ), d’o` u il suit que ¹ ₂ η(c)c/kck = ¹ ₂ η(c)c ⁰ /kc ⁰ k, donc c = c ⁰ puisque η(c) 6= 0.

Puisque h est injective, il suffit, pour montrer que c’est un plongement ferm´ e dans E, de v´ erifier que si {c i } ^∞ _i=1 est une suite de points de C telle que {h(c i )} ^∞ _i=1 converge vers un point e de E, alors {c i } a une sous-suite qui converge dans C. Puisque h|D est un plongement ferm´ e, il suffit de consid´ erer le cas o` u les c i appartiennent ` a C \ D. Nous pouvons supposer que les suites {η(c i )}, {ζ(ϕ(c i ))} et {ω(g(c i ))} convergent vers des limites η 0 , ζ 0 et ω 0 resp. Distinguons deux cas :

a) η 0 = 0. Alors e ∈ f (D). En effet, supposons au contraire que e ∈ V . D’apr` es (14), {g(c i )} converge aussi vers e, donc {ω(g(c i ))} tend vers ω 0 = ω(e) > 0. Puisque g(c i ) = µ◦ϕ(c i ) et que µ est application propre de N dans V , la suite {ϕ(c i )} a une sous-suite qui converge vers un ´ el´ ement y de N ; par continuit´ e de ζ, ζ 0 = ζ(y) > 0. Mais, d’apr` es (13), η 0 = min(ω 0 , ζ 0 ) > 0, ce qui est contradictoire. Puisque e ∈ f (D), (15) garantit que la suite { b f (c i )}

converge aussi vers e, et (4) entraˆıne alors la convergence de la suite {c i }.

b) η 0 > 0. Soit 0 < δ < η 0 . Nous pouvons supposer η(c i ) > δ pour tout i. Alors, ζ(ϕ(c i )) > δ et, d’apr` es (12), nous pouvons supposer, quitte

`

a extraire une sous-suite, que {ϕ(c i )} converge vers un ´ el´ ement z de N . Alors {g(c i )} converge vers µ(z) et {ξ(ϕ(c i ))} vers ξ(z). En outre, (12) et (7) garantissent que la suite {c i } est born´ ee dans E, donc nous pouvons supposer que {kc i k} tend vers une limite finie M ; puisque X est ferm´ e dans E, M > 0. La d´ efinition de h garantit alors que {c i } converge vers le point

c 0 = 2M η 0



e − µ(z) − 1

2A η 0 ξ(z)

 . Puisque C est ferm´ e dans E, c 0 ∈ C.

D’apr` es le lemme, pour voir que h(C) est un Z-ensemble dans E, il suffit, puisqu’il est ferm´ e et que h(D) = f (D) est un Z-ensemble, de v´ erifier que h(C \ D) est localement homotopiquement n´ egligeable dans E, ce qui r´ esulte du fait que les relations ξ i (ϕ(c)) 6= 0 pour i = 1, 2, 3 garantissent que h(C \ D) ⊂ E \ E(P ).

3. D´ emonstration du th´ eor` eme 4. La d´ emonstration est parall` ele ` a celle du th´ eor` eme 3, dont nous reprendrons les notations et la num´ erotation.

Ici encore, nous pouvons suppose la dimension alg´ ebrique de E ind´ enom- brable, compl´ etons X en une base alg´ ebrique Y de E et prenons un sous- ensemble d´ enombrable P de Y tel que E(P ) soit dense dans E.

Fixons un entier n ≥ 1. Soient C ∈ F 0 (X ⁿ × I ⁿ ), D un ferm´ e de C, f une fonction continue de C dans E dont la restriction ` a D est un Z-plongement et U un recouvrement ouvert de E. Nous pouvons supposer que C est un ferm´ e de X ⁿ × I ⁿ . Construisons U ⁰ , b f , V, N , ϕ, ψ, µ et g comme pr´ ec´ edemment. Prenons 2n + 1 sous-ensembles d´ enombrables deux

`

a deux disjoints Q 1 , . . . , Q 2n+1 de Y \ P et, pour 1 ≤ i ≤ 2n + 1, soit ξ i : N → E(Q i ) \ {0} une fonction comme dans l’affirmation 2. D´ efinissons ξ : N → E par

ξ(z) =

2n+1

X

i=1

ξ i (z) .

Soient ω, ζ et η comme pr´ ec´ edemment. Prenons des entiers m 1 , . . . , m n

≥ 1 de fa¸con que, pour tout couple σ, τ de sous-ensembles non vides distincts de {1, . . . , n}, P

r∈σ m r 6= P

r∈τ m r (il suffit de prendre m 1 = 1 et m i >

m 1 +. . .+m i−1 pour 1 < i ≤ n). Soit M = (m 1 +. . .+m n ) sup _z∈K kzk < ∞.

Consid´ erons la fonction % : K ⁿ → E ⁰ (K) d´ efinie, pour x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ K ⁿ , par

%(x) = 1 M

n

X

i=1

m i x i .

Cette fonction est continue et v´ erifie (16) k%(x)k ≤ 1, ∀x ∈ K ⁿ ,

(17) % ⁻¹ (E) = X ⁿ , (18) % est injective.

Les relations (16) et (17) sont ´ evidentes. Pour v´ erifier (18), remarquons que la coordonn´ ee de %(x) sur un ´ el´ ement y de la base K de E ⁰ (K) est non nulle si, et seulement si, y est l’un des x i et que cette coordonn´ ee vaut alors (1/M ) P

r∈σ m r , o` u σ est l’ensemble des indices r tels que x r = y; (18) r´ esulte alors du choix des m i .

Fixons 2n ² + n points y _r ⁱ (1 ≤ r ≤ n, 1 ≤ i ≤ 2n + 1) dans Y \ (P ∪ S 2n+1

i=1 Q i ) et d´ efinissons h : C \ D → E en posant, pour c = (x, t 1 , . . . , t n ) dans C (x ∈ X ⁿ , 0 ≤ t r ≤ 1),

h(c) = g(c) + η(c)

3 %(x) + η(c)

3A ξ(ϕ(c)) + η(c) 3n(2n + 1)

n

X

r=1

t r

 ²ⁿ⁺¹ X

i=1

y _r ⁱ ky _r ⁱ k

 , o` u A est un majorant de kξ(z)k. La relation (14) est encore v´ erifi´ ee, donc, comme dans la d´ emonstration pr´ ec´ edente, h se prolonge continˆ ument ` a C si l’on pose h|D = f |D, et la fonction ainsi obtenue est U -proche de f et v´ erifie h(D) ∩ h(C \ D) = ∅.

Pour prouver l’injectivit´ e de h, il suffit encore de v´ erifier que h|C \ D est injective. Soient c = (x 1 , . . . , x n , t 1 , . . . , t n ) et c ⁰ = (x ⁰ ₁ , . . . , x ⁰ _n , t ⁰ ₁ , . . . , t ⁰ _n ) (x r , x ⁰ _r ∈ X, 0 ≤ t _r , t ⁰ _r ≤ 1) deux points de C \ D tels que h(c) = h(c ⁰ );

notons x = (x 1 , . . . , x n ), x ⁰ = (x ⁰ ₁ , . . . , x ⁰ _n ). Il y a un i ∈ {1, . . . , 2n + 1}

tel que Q i ne contienne aucun des 2n points x 1 , . . . , x n , x ⁰ ₁ , . . . , x ⁰ _n ; comme pr´ ec´ edemment, cela permet de voir que ϕ(c) = ϕ(c ⁰ ) et η(c) = η(c ⁰ ), donc ξ(ϕ(c)) = ξ(ϕ(c ⁰ )) et g(c) = g(c ⁰ ). Pour tout r ∈ {1, . . . , n} il y a un i ∈ {1, . . . , 2n + 1} tel que y _r ⁱ 6= x j , x ⁰ _j pour 1 ≤ j ≤ n. Regardant les coordonn´ ees de h(c) et h(c ⁰ ) sur y _r ⁱ , nous en d´ eduisons que η(c)t r = η(c)t ⁰ _r , d’o` u t r = t ⁰ _r pour tout r. Compte tenu de tout cela, l’´ egalit´ e h(c) = h(c ⁰ ) entraˆıne alors ^η(c) ₃ %(x) = ^η(c) ₃ %(x ⁰ ), donc %(x) = %(x ⁰ ) puisque η(c) > 0;

d’apr` es (18), x = x <sup>0</sup> , d’o` u finalement c = c ⁰ .

Pour prouver que h est un plongement ferm´ e, nous suivons l’argument

de la d´ emonstration pr´ ec´ edente. Le cas η 0 = 0 se traite sans change-

ment. Si η 0 > 0, nous pouvons supposer, posant c i = (x ⁱ , t ⁱ ₁ , . . . , t ⁱ _n )

(x ⁱ ∈ X ⁿ , 0 ≤ t ⁱ _r ≤ 1), que {x ⁱ } converge vers un point x ⁰ de K ⁿ et que les

suites {t ⁱ _r } ^∞ _i=1 ont des limites t r , 1 ≤ r ≤ n. Comme pr´ ec´ edemment, nous

pouvons supposer qu’il existe un z ∈ N tel que {g(c i )} converge vers µ(z)

et que {ξ(ϕ(c i ))} converge vers ξ(z). Passant ` a la limite dans la d´ efinition

de h, nous obtenons

e = µ(z) + η 0

3 %(x ⁰ ) + η 0

3A ξ(z) + η 0

3n(2n + 1)

n

X

r=1

t r

 ²ⁿ⁺¹ X

i=1

y _r ⁱ ky _r ⁱ k

 . Puisque η 0 > 0, cette formule montre que %(x ⁰ ) appartient ` a E, donc x <sup>0</sup> ∈ X <sup>n</sup> d’apr` es (17). Que h(C) soit un Z-ensemble se prouve comme pr´ ec´ edemment.

4. D´ emonstration du th´ eor` eme 5. Ici encore, la d´ emonstration est analogue ` a celle du th´ eor` eme 3, que nous suivrons du plus pr` es possible.

Nous pouvons ` a nouveau supposer la dimension de E ind´ enombrable, ce qui entraˆıne

(∗) E contient deux sous-espaces vectoriels partout denses E 0 et E 1 tels que E 0 ∩ E ₁ = {0}.

En effet, soit E 0 un sous-espace vectoriel partout dense de E ayant une base d´ enombrable P . Soit {q n } ^∞ _n=1 un sous-ensemble d´ enombrable partout dense de E; pour n ≥ 1, soit x n ∈ E ₀ tel que kq n − x _n k < 1/n. Construi- sons par r´ ecurrence des vecteurs y n de fa¸con que, ∀n ≥ 1, P ∪ {y 1 , . . . , y n } soit lin´ eairement ind´ ependant et que ky n k < 1/n. Alors, le sous-espace E 1

engendr´ e par les vecteurs x n + y n , n ≥ 1, est dense et v´ erifie E 0 ∩ E ₁ = {0}.

Nous pouvons en outre supposer que

(∗∗) E contient un ferm´ e X hom´ eomorphe ` a E tel que deux points dis- tincts de X ne soient pas proportionnels.

En effet, si ce n’est pas le cas, il suffit de remplacer E par son carr´ e E × E et de prendre X = {e} × E, o` u e est un vecteur non nul de E.

Il suffit de montrer que E × E est fortement F 0 (E)-universel. Soient C ∈ F 0 (E), D un ferm´ e de C, f une fonction continue de C dans E × E dont la restriction ` a D est un Z-plongement et U un recouvrement ouvert de E × E. D’apr` es (∗∗), nous pouvons supposer que C est un ferm´ e de X.

Posons V = E × E \ f (D) et prenons U ⁰ , b f , V, N , ϕ, ψ comme dans la d´ emonstration du th´ eor` eme 3, puis une fonction continue propre µ de N dans V v´ erifiant (9) et

(8 ⁰ ) µ(N ) ⊂ V ∩ (E 0 × E ₁ ) .

Construisons g, ω, ζ et η comme dans la d´ emonstration du th´ eor` eme 3.

D´ efinissons δ : E → E × E par δ(x) = (x, x). D’apr` es (∗∗), aucun ´ el´ ement de X n’est nul, et nous pouvons d´ efinir h : C \ D → E × E par

h(c) = g(c) + η(c) δ(c) kδ(c)k .

La relation (14) est encore v´ erifi´ ee, et h se prolonge en une fonction

U -proche de f en posant h|D = f |D; elle v´ erifie h(D) ∩ h(C \ D) = ∅.

Pour prouver l’injectivit´ e, il faut encore v´ erifier que h|C \ D est injective.

Soient c et c ⁰ deux points de C \ D tels que h(c) = h(c ⁰ ), ce qui implique g(c) − g(c ⁰ ) = η(c) δ(c)

kδ(c)k − η(c ⁰ ) δ(c ⁰ ) kδ(c ⁰ )k = δ



η(c) c

kδ(c)k − η(c ⁰ ) c ⁰ kδ(c ⁰ )k

 . La condition (∗) garantit que (E 0 × E ₁ ) ∩ δ(E) = {0} = δ({0}); comme g(c)−g(c ⁰ ) est dans E 0 ×E ₁ , nous avons donc η(c)c/kδ(c)k = η(c ⁰ )c ⁰ /kδ(c ⁰ )k;

puisque η(c) 6= 0, c = c ⁰ d’apr` es (∗∗).

Pour prouver que h est un plongement ferm´ e, il suffit encore de v´ erifier que si {c i } est une suite de points de C \D telle que la suite {h(c _i )} converge vers un point e de E, alors {c i } a une sous-suite qui converge dans C. Nous pouvons supposer que {η(c i )} a une limite η 0 . Le cas η 0 = 0 se traite comme dans la d´ emonstration du th´ eor` eme 3. Supposons η 0 > 0. Comme au th´ eor` eme 3, nous pouvons supposer qu’il existe un point z de N tel que {g(c i )} converge vers µ(z), et que {kδ(c i )k} tend vers une limite finie M . D’apr` es (∗∗), 0 n’appartient pas au ferm´ e X, donc M > 0. Alors, {δ(c i )} tend vers (M/η 0 )(e − µ(z)), donc {c i } converge dans E, et sa limite appartient au ferm´ e C.

Pour voir que h(C) est un Z-ensemble, il suffit encore de v´ erifier que h(C \ D) est localement homotopiquement n´ egligeable dans E × E, ce qui r´ esulte du fait que h(C \ D) ⊂ E × E \ E 0 × E ₁ .

5. D´ emonstration des th´ eor` emes 1, 2 et 6. Pour tout espace X, soit C(X) la classe des espaces C de la forme C = S ∞

i=1 C i , o` u les C i sont des ferm´ es de C pour lesquels il existe des entiers n i tels que C i appartienne ` a F ₀ (X _i ⁿ

×I ⁿ

). Evidemment, la classe C(X) est topologique, h´ er´ editaire pour les ferm´ es, multiplicative (i.e., si C 1 et C 2 appartiennent ` a C(X), C 1 × C ₂ aussi) et d´ enombrablement additive (i.e., si C = S ∞

n=1 C n o` u les C n sont des ferm´ es appartenant ` a C(X), alors C appartient ` a C(X)). Nous d´ eduirons les th´ eor` emes 1, 2 et 6 du suivant.

Th´ eor` eme 7. Soit K un sous-ensemble σ-compact lin´ eairement ind´ epen- dant d’un espace norm´ e E , et soit X un sous-ensemble infini de K. Alors, F ₀ (E(X)) = C(X) et E(X) est C(X)-absorbant dans son compl´ et´ e.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit K = S ∞

i=1 K i , o` u les K i sont compacts et v´ erifient K i ⊂ K _i+1 pour tout i; soit X i = K i ∩ X. Pour n ≥ 1, soit ϕ n : K ⁿ × R ⁿ → E l’application d´efinie par ϕ n (x 1 , . . . , x n , λ 1 , . . . , λ n ) = λ 1 x 1 + . . . + λ n x n . Pour i, n, k entiers, posons A k = [−k, −1/k] ∪ [1/k, k], D i (n, k) = {(x 1 , . . . , x n ) ∈ K _i ⁿ : kx j − x _j

k ≥ 1/k pour j 6= j ⁰ }, E _i (n, k) = D i (n, k) ∩ X _i ⁿ , Y i (n, k) = ϕ n (D i (n, k) × A ⁿ _k ) et Z i (n, k) = ϕ n (E i (n, k) × A ⁿ _k )

= Y i (n, k)∩E(X). Alors, Y i (n, k) est un compact de E, donc un Z-ensemble;

par suite, Z i (n, k) est un Z-ensemble (au sens fort) dans E(X). Nous avons E(X) = {0} ∪

∞

[

i,n,k=1

Z i (n, k) ,

donc, pour v´ erifier la condition (I) de la d´ efinition d’un ensemble absorbant et montrer que F 0 (E(X)) ⊂ C(X), il suffit de v´ erifier que les Z i (n, k) appar- tiennent ` a C(X). Si (x 1 , . . . , x n ) est un point de E i (n, k) et V 1 , . . . , V n des voisinages ferm´ es disjoints de x 1 , . . . , x n dans le compact K i , alors la restric- tion de ϕ n ` a W = ((V 1 ×. . .×V _n )∩E i (n, k))×A ⁿ _k est un hom´ eomorphisme de W sur un voisinage ferm´ e de x dans Z i (n, k), donc tout point de Z i (n, k) a, dans Z i (n, k), un voisinage ferm´ e hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de E i (n, k)×A <sup>n</sup> <sub>k</sub> . Mais ce dernier ensemble est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de X ⁿ × I ⁿ , donc, recouvrant Z i (n, k) par une famille d´ enombrable de tels voisinages ferm´ es, nous constatons que Z i (n, k) appartient ` a C(X).

Soit E = S ∞

i,n=1 F 0 (X _i ⁿ × I ⁿ ). Le th´ eor` eme 3 garantit que E(X) est fortement E -universel. Puisque E(X) est, comme nous venons de le voir, r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles au sens fort, la proposition 2.3 de [2]

entraˆıne que E(X) est fortement E σ -universel, o` u E σ est la famille des ensem- bles qui sont r´ eunions d´ enombrables de ferm´ es appartenant ` a E (l’hypoth` ese d’additivit´ e dans l’´ enonc´ e de cette proposition 2.3 n’est pas utilis´ ee dans sa d´ emonstration). Mais il est facile de v´ erifier E σ = C(X), donc la condi- tion (III) de la d´ efinition d’un ensemble absorbant est v´ erifi´ ee. En outre, la C(X)-universalit´ e forte implique que C(X) ⊂ F 0 (E(X)), d’o` u l’´ egalit´ e de ces deux classes.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e 1. D’apr` es le th´ eor` eme 7 et l’uni- cit´ e des ensembles absorbants, il suffit de v´ erifier que C(X 1 ) = C(X 2 ). Par hypoth` ese, X 1 appartient ` a F 0 (E(X 2 )) = C(X 2 ). Puisque C(X 2 ) est multi- plicative, elle contient X ₁ ⁿ × I ⁿ pour tout n, donc aussi C(X 1 ) par additivit´ e d´ enombrable. De mˆ eme, C(X 1 ) contient C(X 2 ).

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e 2. Il suffit de montrer que E(X)×

R, E(X) × E(X) et W (E(X), 0) sont C(X)-absorbants dans leurs compl´ e- tions. Puisque E(X) appartient ` a C(X), la multiplicativit´ e et l’additivit´ e d´ e- nombrable de C(X) impliquent que E(X) × R, E(X) × E(X) et W (E(X), 0) appartiennent ` a C(X); puisque E(X) est r´ eunion d´ enombrable de Z-en- sembles, il en est de mˆ eme de ces trois espaces, d’o` u (I). Puisqu’ils sont r´ eunions d´ enombrables de Z-ensembles (n´ ecessairement au sens fort), nous pouvons encore utiliser le th´ eor` eme 4 et la proposition 2.3 de [2], pour v´ erifier leur C(X)-universalit´ e forte.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u t h ´ e o r ` e m e 6. La condition est n´ ecessaire

d’apr` es le th´ eor` eme 2. Inversement, supposons que E soit hom´ eomorphe

`

a son carr´ e et r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles. Soit K une copie lin´ eairement ind´ ependante du cube de Hilbert dans ` <sup>2</sup> , et soit X un sous- ensemble de K hom´ eomorphe ` a E. Pour v´ erifier que E est hom´ eomorphe ` a

` <sup>2</sup> (X), il suffit, d’apr` es le th´ eor` eme 7, de montrer qu’il est C(E)-absorbant dans son compl´ et´ e. Seule l’universalit´ e forte demande une v´ erification. Le th´ eor` eme 5 garantit que E est fortement F 0 (E)-universel. Puisque E est hom´ eomorphe ` a son carr´ e, F 0 (E) contient E ⁿ ×I ⁿ pour tout n ≥ 1. Comme E est r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles, la proposition 2.3 de [2] garantit qu’il est fortement C(E)-universel.

6. Deux applications. Pour tout ordinal d´ enombrable α, nous notons M _α (resp. A α ) la collection des espaces qui sont absolument des bor´ eliens de classe multiplicative (resp. additive) α; pour n ≥ 1, nous notons L n la n

classe projective. L’existence d’un ensemble absorbant Ω α (resp. Λ α ) pour la classe M α (resp. A α ), α ≥ 1, a ´ et´ e prouv´ ee dans [2], et celle d’un ensemble absorbant Π n pour la classe L n , n ≥ 1, a ´ et´ e ´ etablie dans [4].

La proposition suivante fournit, en particulier, une r´ eponse affirmative ` a la question 6.1 de [9].

Proposition 1. Soit E un espace norm´ e appartenant ` a M α , α ≥ 1 (resp.

A _α , α ≥ 2, resp. L n , n ≥ 1). Si E est r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles et contient un ferm´ e lin´ eairement ind´ ependant hom´ eomorphe ` a Ω α (resp.

Λ α , resp Π n ), alors E est hom´ eomorphe ` a Ω α (resp. Λ α , resp. Π n ).

Il suffit pour le voir de montrer que E est M α (resp. A α , resp. L n )- absorbant dans son compl´ et´ e. La seule condition ` a v´ erifier est l’universalit´ e forte, qui r´ esulte du th´ eor` eme 3.

La proposition suivante concerne la classification des espaces de [1, chapitre VIII, §2].

Proposition 2. Pour i = 1, 2, soient K i un sous-ensemble σ-compact lin´ eairement ind´ ependant d’un espace norm´ e E i et X i un sous-ensemble de dimension z´ ero de K i . Si , pour un ordinal d´ enombrable α ≥ 2, X 1 et X 2

appartiennent tous deux ` a M α \ A <sub>α</sub> ou ` a A α \ M _α , alors E(X 1 ) et E(X 2 ) sont hom´ eomorphes.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Puisqu’ils sont de dimension z´ ero, X 1 et X 2 sont hom´ eomorphes ` a des sous-ensembles de l’ensemble de Cantor. Le lemme 3 de [16] entraˆıne alors que chacun est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de l’autre, d’o` u la conclusion d’apr` es le th´ eor` eme 1.

R e m a r q u e. La proposition 2 ne s’´ etend pas aux classes ambigu¨ es : Si

T est un arc lin´ eairement ind´ ependant dans ` ² et α = α ⁰ + 1 un ordinal non

limite ≥ 2, alors T contient une famille ind´ enombrable de sous-ensembles

de dimension z´ ero X j , j ∈ J , appartenant ` a M α ∩ A _α \ (M _α

∪ A _α

) tels que

les espaces ` <sup>2</sup> (X j ) soient deux ` a deux non hom´ eomorphes. En effet, ` <sup>2</sup> (X j ) appartient alors ` a M α ∩ A _α \ (M _α

∪ A _α

) ([6, lemme 6.6]), donc il appartient

`

a une petite classe bor´ elienne F ^β _α

, o` u β est un ordinal d´ enombrable (voir [12, §33 IV] pour cette notion), et il en est de mˆ eme de tout ferm´ e de

` <sup>2</sup> (X j ). Notre affirmation r´ esulte alors du fait que, pour tout β, l’ensemble des irrationnels contient un sous-ensemble appartenant ` a F ^β _α

\ S

β

<β F ^β _α

.

BIBLIOGRAPHIE

[1] C. B e s s a g a and A. P e l c z y ´ n s k i, Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology , PWN, Warszawa, 1975.

[2] M. B e s t v i n a and J. M o g i l s k i, Characterizing certain incomplete infinite dimen- sional absolute retracts, Michigan Math. J. 33 (1986), 291–313.

[3] R. C a u t y, Caract´ erisation topologique de l’espace des fonctions d´ erivables, Fund.

Math. 138 (1991), 35–58.

[4] —, Ensembles absorbants pour les classes projectives, ibid., ` a paraˆıtre.

[5] —, Une famille d’espaces pr´ ehilbertiens σ-compacts ayant la puissance du continu, Bull. Polish Acad. Sci. 40 (1992), 41–43.

[6] R. C a u t y and T. D o b r o w o l s k i, Applying coordinate products to the topological identification of normed spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 337 (1993), 625–649.

[7] D. C u r t i s, T. D o b r o w o l s k i and J. M o g i l s k i, Some applications of the topological characterization of the sigma-compact spaces `

and Σ, ibid. 284 (1984), 837–846.

[8] T. D o b r o w o l s k i and J. M o g i l s k i, Absorbing sets in the Hilbert cube related to transfinite dimension, Bull. Polish Acad. Sci. 38 (1990), 185–188.

[9] —, —, Problems on topological classification of incomplete metric spaces, in: Open Problems in Topology, J. van Mill and G. M. Reed (eds.), North-Holland, Amster- dam, 1990, 409–429.

[10] D. W. H e n d e r s o n, Z-sets in ANR’s, Trans. Amer. Math. Soc. 213 (1975), 205–216.

[11] S. T. H u, Theory of Retracts, Wayne State University Press, Detroit, 1965.

[12] C. K u r a t o w s k i, Topologie I , 4` eme ´ edition, PWN, Warszawa, 1958.

[13] W. M a r c i s z e w s k i, A pre-Hilbert space without any continuous maps onto its own square, Bull. Polish Acad. Sci. 31 (1983), 393–396.

[14] J. v a n M i l l, Domain invariance in infinite-dimensional linear spaces, Proc. Amer.

Math. Soc. 101 (1987), 173–180.

[15] R. P o l, An infinite-dimensional pre-Hilbert space not homeomorphic to its own square, ibid. 90 (1984), 450–454.

[16] J. R. S t e e l, Analytic sets and Borel isomorphisms, Fund. Math. 108 (1980), 83–88.

[17] H. T o r u ´ n c z y k, Concerning locally homotopy negligible sets and characterization of l

-manifolds, ibid. 101 (1978), 93–110.

U.F.R. DE MATH ´EMATIQUES PURES ET APPLIQU ´EES UNIVERSIT ´E PARIS VI

4, PLACE JUSSIEU

75252 PARIS CEDEX 05, FRANCE

Re¸ cu par la R´ edaction le 24.6.1992;

en version modifi´ ee le 29.3.1993