UNIVERSALIT ´ E FORTE POUR LES SOUS-ENSEMBLES TOTALEMENT BORN ´ ES. APPLICATIONS AUX ESPACES C p (X)

VOL. 73 1997 NO. 1

UNIVERSALIT ´ E FORTE POUR LES SOUS-ENSEMBLES TOTALEMENT BORN ´ ES. APPLICATIONS AUX ESPACES C p (X)

PAR

TARAS B A N A K H (LVIV)

ROBERT C A U T Y (PARIS)

1. Introduction. Cet article est consacr´ e ` a la classification topologique des espaces vectoriels topologiques localement convexes m´ etrisables et s´ epa- rables de dimension infinie (que nous appellerons simplement espaces lo- calement convexes dans la suite). Alors que deux espaces localement con- vexes complets sont toujours hom´ eomorphes, la situation est beaucoup plus compliqu´ ee pour les espaces non complets : l’ensemble des types d’hom´ eo- morphisme des sous-espaces vectoriels σ-compacts de l <sup>2</sup> a la puissance du continu [4]. Dans ces conditions, la notion de “classification topologique” de ces espaces ne peut avoir qu’un sens restreint. Nous nous int´ eressons ici au probl` eme suivant : deux espaces localement convexes sont-ils hom´ eomorphes si chacun est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de l’autre? Les cas particuliers o` u une r´ eponse affirmative ` a ce probl` eme est d´ ej` a connue ont d’int´ eressantes appli- cations, permettant entre autres de montrer que de vastes classes d’espaces sont hom´ eomorphes ` a leurs carr´ es ou ` a leurs produits infinis (voir [5] et [6]).

Il paraˆıt raisonnable de conjecturer que la r´ eponse ` a ce probl` eme est affir- mative lorsque les deux espaces sont des Z σ , i.e. des r´ eunions d´ enombrables de Z-ensembles. On dispose alors pour l’attaquer de la puissante th´ eorie des ensembles absorbants de M. Bestvina et J. Mogilski [3]. Soit C une classe d’espaces m´ etrisables s´ eparables qui est topologique (si C est hom´ eomorphe

`

a C ⁰ ∈ C, alors C ∈ C) et h´ er´ editaire pour les ferm´ es (tout ferm´ e d’un espace appartenant ` a C appartient ` a C). Le r´ esultat suivant est un cas particulier du th´ eor` eme 3.1 de [3].

1.1. Th´ eor` eme. Supposons que deux espaces localement convexes E 1 et E 2 v´ erifient les conditions suivantes (i = 1, 2) :

(1) E i est r´ eunion d´ enombrable de Z-ensembles,

(2) E i est r´ eunion d´ enombrable de ferm´ es appartenant ` a C, (3) E i est fortement C-universel.

Alors E 1 et E 2 sont hom´ eomorphes.

1991 Mathematics Subject Classification: 57N17, 54C35.

[25]

En outre, d’apr` es la proposition 2.3 de [3], E i est alors fortement uni- versel pour la classe σ-C des espaces qui sont r´ eunion d´ enombrable de ferm´ es appartenant ` a C, et cette classe σ-C co¨ıncide avec la classe F 0 (E i ) des es- paces hom´ eomorphes ` a des ferm´ es de E i . Le probl` eme est donc ramen´ e, pour les espaces localement convexes E qui sont des Z σ , ` a la v´ erification de la F 0 (E)-universalit´ e forte de E, ou mˆ eme simplement, de la C-universalit´ e forte de E pour une classe C telle que σ-C = F 0 (E).

Nous prouverons ici que tout espace localement convexe E est forte- ment universel pour la classe F tb (E) des espaces hom´ eomorphes ` a des sous- ensembles ferm´ es totalement born´ es de E, ce qui nous fournira une r´ eponse affirmative au probl` eme dans le cas des espaces localement convexes E tels que σ-F tb (E) = F 0 (E) (et qui sont des Z σ ). La classe E des espaces locale- ment convexes E tels que σ-F tb (E) = F 0 (E) contient ´ evidemment tous les espaces qui sont r´ eunion d´ enombrable de sous-ensembles totalement born´ es (ou, ce qui revient au mˆ eme, sont contenus dans un sous-ensemble σ-compact de leur compl´ et´ e), mais elle contient aussi d’autres espaces. En effet, de r´ esultats r´ ecemment obtenus par les auteurs d´ ecoule l’existence de classes C telles que tout espace localement convexe C-universel E contienne des copies ferm´ ees totalement born´ ees de chaque espace C ∈ C (E est dit C-universel si tout espace appartenant ` a C est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de E). Pour une telle classe C, tout espace localement convexe C-universel appartenant ` a σ-C est dans E . Parmi les classes C ayant cette propri´ et´ e figurent toutes les classes bor´ eliennes A α (α ≥ 1) et M α (α ≥ 2), donc tout espace localement convexe qui est un Z σ , appartient ` a A α , α ≥ 1 (resp. M α , α ≥ 2) et est A α -universel (resp. M α -universel) est hom´ eomorphe ` a l’espace Λ α (resp.

Ω α ) de [3].

Dans la derni` ere section, nous appliquerons ces r´ esultats aux espaces de fonctions C p (X) et C _p ^∗ (X).

Rappelons qu’un ferm´ e A d’un espace localement convexe E est appel´ e un Z-ensemble dans E si, pour tout compact K, toute fonction continue de K dans E peut ˆ etre arbitrairement approxim´ ee par des fonctions continues de K dans E\A. Il est connu que tout compact d’un espace localement convexe est un Z-ensemble (c’est un cas particulier du corollaire 1.8 de [3]). Un Z-plongement de X dans E est un plongement dont l’image est un Z-ensemble.

Soient E un espace localement convexe, F un sous-espace de E et (K, C)

un couple d’espaces (i.e. C ⊂ K). L’espace E (resp. le couple (E, F )) est

dit fortement K-universel (resp. fortement (K, C)-universel ) si, pour tout

ferm´ e D de K, toute fonction continue f de K dans E telle que f |D soit un

Z-plongement (v´ erifiant (f |D) ⁻¹ (F ) = D ∩ C) et tout recouvrement ouvert

U de E, il existe un Z-plongement g de K dans E prolongeant f |D (et tel

que g ⁻¹ (F ) = C) qui est U -proche de f (i.e., pour tout x ∈ K, {f (x), g(x)}

est contenu dans un ´ el´ ement de U ). Si C est une classe d’espaces, E est dit fortement C-universel s’il est fortement C-universel pour tout C ∈ C.

2. L’universalit´ e forte pour les ferm´ es pr´ ecompacts. Premi` eres applications. T. Dobrowolski a prouv´ e dans [8] que tout espace locale- ment convexe est fortement universel pour la classe de ses sous-ensembles compacts. Le th´ eor` eme suivant g´ en´ eralise ce r´ esultat.

2.1. Th´ eor` eme. Soit E un espace m´ etrique lin´ eaire s´ eparable localement convexe de dimension infinie. Alors

(1) E est fortement F tb (E)-universel ,

(2) si E est un Z σ , il est fortement σ-F tb (E)-universel.

D ´ e m o n s t r a t i o n. (2) r´ esulte de (1) et de la proposition 2.3 de [3];

(1) d´ ecoule des deux lemmes suivants, dont le premier est un cas particulier d’un r´ esultat de [1].

2.2. Lemme. Soient e E un espace localement convexe et E un sous- espace vectoriel partout dense de e E. Pour tout couple d’espaces (K, C), la (K, C)-universalit´ e forte de ( e E, E) entraˆıne la C-universalit´ e forte de E.

2.3. Lemme. Soient e E un espace localement convexe et E un sous-espace vectoriel partout dense de e E. Pour tout compact A de e E, le couple ( e E, E) est fortement (A, A ∩ E)-universel.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Fixons une distance invariante d sur e E. Soient A un compact de e E, B un ferm´ e de A et g : A → e E une fonction continue telle que g|B soit un Z-plongement v´ erifiant (g|B) ⁻¹ (E) = B ∩ E. Etant donn´ e ε > 0, il nous faut trouver un Z-plongement h : A → e E tel que h|B = g|B, h ⁻¹ (E) = A ∩ E et d(g, h) = sup{d(g(a), h(a)) : a ∈ A} < ε.

Quitte ` a remplacer A par un translat´ e A + x 0 avec x 0 ∈ E, nous pouvons supposer que A ∩ g(A) = ∅. Soit H( e E|E) l’ensemble des hom´ eomorphismes h de e E sur lui-mˆ eme tels que h(E ⁰ ) = E ⁰ pour tout sous-espace vectoriel E ⁰ v´ erifiant E ⊂ E ⁰ ⊂ e E.

Nous suivons la d´ emonstration du lemme 4.3 de [8]. Ecrivons A\B = S ∞

n=0 A n , o` u A 0 ⊂ A 1 ⊂ . . . sont des compacts. Nous construirons une suite {h _n } ^∞ _n=0 d’´ el´ ements de H( e E|E) v´ erifiant, pour n ≥ 0,

(1) d(g, h 0 |A) < ε/8, (2) d(h n , h n+1 ) < 2 ⁻⁽ⁿ⁺²⁾ ε, (3) h n |g(A) = id,

(4) h n+1 |A _n = h n |A _n ,

(5) d(h n |B, g|B) < 2 ⁻⁽ⁿ⁺³⁾ ε.

Pour obtenir h 0 v´ erifiant (1) et (3), il suffit d’utiliser la proposition 2.6 de [8] avec K = A, L = g(A), f = g et ε/8. Si h n est d´ ej` a construit, la proposition 2.6 de [8], appliqu´ ee ` a K = h n (B), L = h n (A n ) ∪ g(A) et f = g ◦ h ⁻¹ _n |K, nous fournit h ⁰ ∈ H( e E|E) tel que d(f, h ⁰ |K) < 2 ⁻⁽ⁿ⁺⁴⁾ ε, d(h ⁰ , id) < d(f, id) + 2 ⁻⁽ⁿ⁺⁴⁾ ε et h ⁰ |L = id. Alors, h _n+1 = h ⁰ ◦ h _n v´ erifie (2)–(5) (pour (2), noter que d(f, id) = d(g|B, h n |B)).

Soit h(a) = lim n→∞ h n (a). Les conditions (1)–(5) impliquent que h est un plongement de A dans e E tel que h|B = g|B et d(g, h) < ε. Puisque les h n appartiennent ` a H( e E|E), nous avons h <sup>−1</sup> (E) ∩ (A\B) = E ∩ (A\B), d’o` u h ⁻¹ (E) = A ∩ E. Comme tout compact d’un espace localement convexe de dimension infinie est un Z-ensemble, h est un Z-plonge- ment.

2.4. R e m a r q u e. Le plongement h construit dans la d´ emonstration pr´ ec´ edente v´ erifie h ⁻¹ (E ⁰ )\B = E ⁰ ∩ (A\B) pour tout sous-espace vectoriel E ⁰ tel que E ⊂ E ⁰ ⊂ e E. Cela permet d’´ etendre le th´ eor` eme 2.1 ` a des

“syst` emes” plus g´ en´ eraux.

2.5. Corollaire. Soient E 1 , E 2 deux espaces localement convexes qui sont des Z σ . Si E 1 ∈ σ-F tb (E 2 ) et E 2 ∈ σ-F tb (E 1 ), alors E 1 et E 2 sont hom´ eomorphes.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si E 1 ∈ σ-F _tb (E 2 ), alors F tb (E 1 ) ⊂ F 0 (E 1 ) ⊂ σ- F _tb (E 2 ), donc nous avons σ-F tb (E 1 ) = σ-F tb (E 2 ). D’apr` es le th´ eor` eme 2.1 et la proposition 2.3 de [3], E 1 et E 2 sont fortement σ-F tb (E 1 )-universels, et le corollaire r´ esulte du th´ eor` eme 1.1.

2.6. R e m a r q u e. La condition suffisante d’hom´ eomorphie du corollaire 2.5 n’est pas n´ ecessaire. En effet, plongeons le cube de Hilbert Q = [0, 1] ^ω comme sous-ensemble lin´ eairement ind´ ependant dans l’espace de Hilbert l ² , et soient E(Q) et E(s) les sous-espaces vectoriels de l ² engendr´ es par Q et s = ]0, 1[ ^ω respectivement. Il r´ esulte de [5] et [10] que E 1 = E(s) est hom´ eomorphe ` a E 2 = E(Q) × l ² , mais E 1 6∈ σ-F _tb (E 2 ) car tout ferm´ e totalement born´ e de E 2 est σ-compact et E 1 n’est pas σ-compact.

Nous dirons qu’un espace localement convexe est σ-pr´ ecompact s’il est

r´ eunion d´ enombrable de sous-ensembles totalement born´ es. Remarquons

qu’un ferm´ e totalement born´ e X d’un espace localement convexe E est un

Z-ensemble (cela r´ esulte des deux faits suivants : 1) la fermeture A de X

dans le compl´ et´ e e E de E est compacte, donc est un Z-ensemble dans e E, et 2)

toute function continue d’un compact K dans e E\A peut ˆ etre approxim´ ee

uniform´ ement par des fonctions continues de K dans E\A). Le corollaire

suivant est donc un cas particulier du corollaire 2.5.

2.7. Corollaire. Deux espaces localement convexes σ-pr´ ecompacts sont hom´ eomorphes si , et seulement si , chacun est hom´ eomorphe ` a un ferm´ e de l’autre.

C. Bessaga et T. Dobrowolski ont prouv´ e dans [2] que tout espace lo- calement convexe σ-compact est hom´ eomorphe ` a un espace pr´ ehilbertien.

Le corollaire pr´ ec´ edent permet d’´ etendre leur argument aux espaces σ-pr´ e- compacts. Notons que W. Marciszewski a r´ ecemment construit un exemple d’espace norm´ e qui n’est pas hom´ eomorphe ` a un espace pr´ ehilbertien [12].

2.8. Corollaire. Tout espace localement convexe σ-pr´ecompact est hom´ eomorphe ` a un espace pr´ ehilbertien.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Nous suivons l’argument de [2]. Soient E un espace localement convexe σ-pr´ ecompact et e E son compl´ et´ e. E est contenu dans un ensemble σ-compact A = S ∞

n=1 A n ⊂ e E o` u A 1 ⊂ A <sub>2</sub> ⊂ . . . sont des com- pacts. Soit (f n ) <sup>∞</sup> <sub>n=1</sub> une suite de formes lin´ eaires continues sur e E s´ eparant les points de A et choisies de fa¸con que sup{|f n (a)| : a ∈ A n } ≤ 1/n pour tout n. D´ efinissons une fonction T : A → l <sup>2</sup> par T (a) = (f n (a)) <sup>∞</sup> <sub>n=1</sub> . Alors, T (E) est un sous-espace vectoriel de l <sup>2</sup> . Puisque A n est compact, T |A n est un plongement, donc A n ∩ E et T (A <sub>n</sub> ∩ E) = T (A <sub>n</sub> ) ∩ T (E) sont hom´ eomorphes et sont des ferm´ es totalement born´ es de E et T (E) respectivement, ce qui entraˆıne que E ∈ σ-F tb (T (E)) et T (E) ∈ σ-F tb (E). D’apr` es le corollaire 2.7, E et T (E) sont hom´ eomorphes.

Consid´ erons les conditions suivantes, relatives ` a une classe topologique C d’espaces :

(A) C ∈ C entraˆıne C × 2 ^ω ∈ C (2 ^ω est l’ensemble de Cantor);

(B) Soient K un compact et A, C des sous-ensembles de K. Si K et C appartiennent ` a C et si A est σ-compact, alors A ∪ C ∈ C;

(C) Pour tout C ∈ C, il existe un compact K ∈ C qui contient C.

Le lemme suivant est un cas particulier de r´ esultats obtenus r´ ecemment par les auteurs [1].

2.9. Lemme. Soient E un espace localement convexe, e E son compl´ et´ e et C une classe d’espaces v´ erifiant (A) et (B). Si E contient un sous-ensemble C-universel de type G δ , alors, pour tout couple (K, C) o` u K est compact et K, C appartiennent ` a C, il y a un plongement f de K dans e E tel que f ⁻¹ (E) = C.

Le corollaire suivant r´ esulte du lemme 2.9 et du th´ eor` eme 2.1.

2.10. Corollaire. Soient E un espace localement convexe et C une

classe v´ erifiant (A)–(C). Si E contient un G δ C-universel , alors E est forte-

ment C-universel.

Parmi les classes C v´ erifiant (A)–(C) figurent toutes les classes bor´ e- liennes A α (α ≥ 1) et M α (α ≥ 2), donc ce corollaire contient la r´ eponse affirmative ` a la question 6.5 de [11].

3. Applications aux espaces de fonctions. Dans cette section, X est un espace r´ egulier d´ enombrable non discret. Nous notons C p (X) l’espace des fonctions r´ eelles continues sur X avec la topologie de la convergence simple, et C _p ^∗ (X) le sous-espace de C p (X) form´ e des fonctions born´ ees. Pour un filtre F sur N (qui sera toujours suppos´e contenir les compl´ementaires des ensembles finis), soit N F l’espace qui est la r´ eunion de l’ensemble discret N et d’un point ∞ 6∈ N dont les voisinages sont les ensembles A ∪ {∞}

avec A ∈ F . If est connu que C p (N F ) (resp. C _p ^∗ (N F )) est topologiquement isomorphe ` a son sous-espace c _F (resp. c ^∗ _F ) form´ e des fonctions s’annulant en ∞.

Les r´ esultats de cette section sont bas´ es sur la remarque suivante.

3.1. Lemme. Pour tout espace r´egulier d´enombrable, F ₀ (C p (X)) ⊂ F 0 (C _p ^∗ (X)) ⊂ σ-F 0 (C p (X)).

Avant de prouver ce lemme, donnons-en quelques cons´ equences int´ eres- santes. Il est prouv´ e dans [6] que C p (X) est fortement F 0 (C p (X))-universel.

Puisque C _p ^∗ (X) est contenu dans le sous-ensemble de R ^X form´ e des fonctions born´ ees, il est σ-pr´ ecompact, donc le th´ eor` eme 2.1 entraˆıne que C <sub>p</sub> <sup>∗</sup> (X) est fortement F 0 (C <sub>p</sub> <sup>∗</sup> (X))-universel. Le th´ eor` eme 1.1 entraˆıne alors imm´ ediate- ment le suivant

3.2. Th´ eor` eme. Les espaces C p (X) et C _p ^∗ (X) sont hom´ eomorphes si , et seulement si , C p (X) est un Z σ .

D’apr` es le corollaire 3.6 de [9], C p (X) est un Z σ s’il est analytique, d’o` u 3.3. Corollaire. Si C p (X) est analytique, il est hom´ eomorphe

`

a C _p ^∗ (X).

D’autre part, la remarque 4.13 de [6] peut se reformuler comme suit : 3.4. Corollaire. Pour un filtre F sur N, les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

(1) c F est hom´ eomorphe ` a c <sup>∗</sup> <sub>F</sub> , (2) c F est de premi` ere cat´ egorie,

(3) F est un sous-ensemble de premi` ere cat´ egorie de {0, 1} ^N .

Soit σ le sous-espace de R ^ω form´ e des suites n’ayant qu’un nombre fini

de termes non nuls. L’espace C p (X) × σ est r´ eunion d´ enombrable de ferm´ es

de la forme C p (X) × [0, 1] ⁿ . Comme C p (X) est toujours hom´ eomorphe ` a

C p (X) × R (et mˆeme `a C p (X) × R ^ω si X n’est pas compact, voir [6]), les

ensembles C p (X) × [0, 1] ⁿ appartiennent ` a F 0 (C p (X)), donc C p (X) × σ ∈ σ-F 0 (C p (X)). Puisque σ est un Z σ , il en est de mˆ eme de C p (X)×σ. Puisque C p (X) est fortement F 0 (C p (X))-universel, il en est de mˆ eme de C p (X) × σ d’apr` es la proposition 2.6 de [3]. Le lemme 3.1 et le th´ eor` eme 1.1 nous permettent maintenant d’affirmer

3.5. Th´ eor` eme. Les espaces C p ^∗ (X) et C p (X) × σ sont hom´ eomorphes.

3.6. Corollaire. Soient X, Y des espaces r´eguliers d´enombrables. Si les espaces C p (X) et C p (Y ) sont hom´ eomorphes, alors les espaces C _p ^∗ (X) et C _p ^∗ (Y ) sont hom´ eomorphes.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Si X est discret, alors C p (X) = R ^X est complet.

Si C p (Y ) est hom´ eomorphe ` a C p (X), Y doit aussi ˆ etre discret d’apr` es [7], et les espaces X et Y sont hom´ eomorphes. Si X et Y ne sont pas discrets, la conclusion r´ esulte de 3.5.

Il serait int´ eressant de savoir si ce corollaire se g´ en´ eralise aux espaces ind´ enombrables.

D ´ e m o n s t r a t i o n d u l e m m e 3.1. Soit Σ le sous-ensemble de R ^ω form´ e des suites born´ ees. Pour n ≥ 1, soit Q n = {f ∈ R ^X : |f (x)| ≤ n pour tout x ∈ X}; Q n est compact et S ∞

n=1 Q n contient C _p ^∗ (X). Comme Q n ∩ C _p (X) = Q n ∩ C _p ^∗ (X), la deuxi` eme inclusion est ´ evidente.

Si A est un ferm´ e de X, nous noterons C p (X, A) (resp. C _p ^∗ (X, A)) le sous- ensemble de C p (X) (resp. C _p ^∗ (X)) form´ e des fonctions s’annulant sur A.

Pour prouver la premi` ere inclusion, nous pouvons supposer X non compact.

Alors (voir la d´ emonstration du lemme 4.2 de [6]), X contient un ferm´ e discret A qui en est un r´ etracte, et nous avons la suite d’hom´ eomorphismes (lin´ eaires)

C _p ^∗ (X) ∼ = C _p ^∗ (X, A) × C _p ^∗ (A) ∼ = C _p ^∗ (X, A) × Σ

∼ = C _p ^∗ (X, A) × Σ × Σ ∼ = C _p ^∗ (X) × Σ.

Cela entraˆıne que, notant R = R ∪ {±∞}, la premi`ere inclusion est vraie s’il existe une fonction continue ϕ : R ^X → R ^X telle que ϕ ⁻¹ (C _p ^∗ (X)) = C p (X) (car alors, si i : R ^X → Σ est un plongement, ϕ × i|C _p (X) est un plongement ferm´ e de C p (X) dans C _p ^∗ (X) × Σ). Nous distinguerons trois cas :

1 ^er c a s : X a un seul point d’accumulation. Alors, pour un certain filtre F sur N, le couple (C ^p (X), C _p ^∗ (X)) est hom´ eomorphe ` a (c F , c ^∗ _F ). D´ efinissons ϕ 0 : R ^ω → [0, 1] ^ω par ϕ 0 ({x n }) = {|x _n |/(1 + |x _n |)}. Alors ϕ ₀ est continue et v´ erifie ϕ ⁻¹ ₀ (c F ) ∩ R ^N = c F . Soit J un arc dans [0, 1] ^ω dont une extr´ emit´ e est un point a de [0, 1] ^ω \c _F et tel que J \{a} ⊂ c ^∗ _F . Ecrivons R ^ω \R ^ω = S ∞

n=1 K n ,

o` u chaque K n est compact, et prenons, pour tout n ≥ 1, une fonction con-

tinue ϕ n de R ^ω dans J telle que ϕ ⁻¹ _n (a) = K n . Alors ϕ = P ∞

n=0 2 ⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ ϕ n

est une fonction continue de R ^ω dans [0, 1] ^ω , donc ϕ ⁻¹ (c F ) = ϕ ⁻¹ (c ^∗ _F ), et ϕ(z) appartient ` a c F si, et seulement si, ϕ n (z) appartient ` a c F pour tout n ≥ 0, d’o` u ϕ ⁻¹ (c ^∗ _F ) = ϕ ⁻¹ (c F ) = R ^ω ∩ ϕ ⁻¹ ₀ (c F ) = c F .

2

c a s : L’ensemble X ^d des points d’accumulation de X est com- pact. Etant compact et d´ enombrable, X ^d est m´ etrisable; comme X est de dimension z´ ero, X ^d est alors un r´ etracte de X, et nous avons

C p (X) ∼ = C p (X, X ^d ) × C p (X ^d ), C _p ^∗ (X) ∼ = C p ^∗ (X, X ^d ) × C _p ^∗ (X ^d ) avec C p (X ^d ) = C _p ^∗ (X ^d ). Il suffit donc de montrer que C p (X, X ^d ) ∈ F ₀ (C _p ^∗ (X, X ^d )). Mais

C p (X, X ^d ) ∼ = C p (X/X ^d , {X ^d }), C _p ^∗ (X, X ^d ) ∼ = C _p ^∗ (X/X ^d , {X ^d }) et comme le quotient X/X ^d n’a qu’un seul point d’accumulation, cela r´ esulte du premier cas.

3

c a s : X ^d n’est pas compact. Il existe alors un sous-ensemble {x n : n ∈ N} infini ferm´e discret dans X ^d . Comme X ^d est ferm´ e, ce sous-ensemble est ferm´ e dans X et nous pouvons trouver des sous-ensembles ferm´ es-ouverts deux ` a deux disjoints {V n } ^∞ _n=1 tels que X = S ∞

n=1 V n et que x n ∈ V n pour tout n ≥ 1.

Affirmation. Pour tout n ≥ 1, il existe une fonction continue α n : [0, ∞] → R ^V

v´ erifiant

(1) 0 ≤ α n (t)(x) ≤ 3 pour tout x ∈ V n et tout t ∈ [0, ∞], (2) α ⁻¹ _n (C p (V n )) = [0, ∞[,

(3) l’oscillation de α n (∞) en x n est ´ egale ` a 3.

En effet, comme V n est ouvert et ferm´ e et contient x n ∈ X ^d , il est infini et d´ enombrable, donc nous pouvons trouver une suite {W _n ^m } ^∞ _m=1 d’ensembles ouverts et ferm´ es v´ erifiant W _n ¹ = V n , W _n ^m ⊃ W _n ^m+1 et T ∞

m=1 W _n ^m = {x n }.

Alors, la fonction α n definie comme suit : α n (t)(x n ) = 0 pour tout t ∈ [0, ∞]

et, pour x ∈ W _n ^m \W _n ^m+1 , m ≥ 1, α n (t)(x) =

( 0 si t ≤ m,

3s si t = m + s, 0 ≤ s ≤ 1, 3 si t ≥ m + 1,

v´ erifie (1)–(3).

Ecrivons R ^X \R ^X = S ∞

n=1 K n , o` u les K n sont compacts, et d´ efinissons ψ : R <sup>X</sup> → R <sup>X</sup> par ψ(z)|V n = α n (d(z, K n ) <sup>−1</sup> ) (o` u d est une distance sur R ^X ). La fonction ϕ 0 : R ^X → Q ₁ d´ efinie par ϕ 0 (f )(x) = f (x)/(1 + |f (x)|) est continue et v´ erifie

(4) ϕ ⁻¹ ₀ (C _p ^∗ (X)) ∩ R ^X = C p (X).

Soit ϕ = ϕ 0 + ψ. Comme kϕ 0 k ≤ 1 et kψk ≤ 3, ϕ ⁻¹ (C p (X)) = ϕ ⁻¹ (C _p ^∗ (X)). Si z ∈ R ^X \R ^X , il y a un n tel que z ∈ K n . Comme kϕ 0 k ≤ 1, (3) garantit que l’oscillation de ϕ en x n est ≥ 1, donc ϕ(z) 6∈ C p (X). Si z ∈ R ^X , il r´ esulte de (2) et du fait que les V n forment un recouvrement ouvert de X que ψ(z) est continue sur X. Alors, ϕ(z) est continue si, et seulement si, ϕ 0 (z) l’est, donc (4) entraˆıne que ϕ ⁻¹ (C _p ^∗ (X)) = C p (X).

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Received 1 April 1996