Th´ eor` eme 1.1. Soit f : ∆ → ∆ une application holomorphe telle que f (0) = 0, et que l’une des conditions suivantes soit v´ erifi´ ee :

INSTITUTE OF MATHEMATICS POLISH ACADEMY OF SCIENCES

WARSZAWA 1995

LES M ´ ETRIQUES INVARIANTES ET LA CARACT ´ ERISATION

DES ISOMORPHISMES ANALYTIQUES

J E A N - P I E R R E V I G U ´E Universit´e de Poitiers, Math´ematiques URA CNRS D1322 Groupes de Lie et G´eom´etrie 40, avenue du Recteur Pineau, 86022 Poitiers Cedex, France

1. Introduction. Soit ∆ = {z ∈ C | |z| < 1} le disque-unit´e ouvert dans C. Le lemme de Schwarz donne la caract´ erisation suivante des automorphismes analytiques de ∆ laissant l’origine fixe.

Th´ eor` eme 1.1. Soit f : ∆ → ∆ une application holomorphe telle que f (0) = 0, et que l’une des conditions suivantes soit v´ erifi´ ee :

(i) il existe z

non nul dans ∆ tel que |f (z

)| = |z

|, (ii) |f

(0)| = 1.

Alors il existe un nombre complexe λ de module 1 tel que f (z) = λz, et f est un automorphisme analytique de ∆.

Le but de notre ´ etude est la g´ en´ eralisation de cette caract´ erisation ` a des do- maines born´ es de C

. La premi` ere g´ en´ eralisation est dˆ ue ` a H. Cartan [2].

Th´ eor` eme 1.2. Soit D un domaine born´ e de C

, soit a ∈ D, et soit f : D → D une application holomorphe telle que f (a) = a. Alors les conditions suivantes sont

´

equivalentes :

(i) les valeurs propres de f

(a) sont toutes de module 1;

(ii) le module du d´ eterminant jacobien |J (f

(a))| est ´ egal ` a 1;

(iii) f

(a) est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Carath´ eodory E

(a, .);

(iv) f

(a) est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi F

(a, .);

1991 Mathematics Subject Classification: 32H15, 46G20.

The paper is in final form and no version of it will be published elsewhere.

[373]

(v) f est un automorphisme analytique de D.

Ces derni` eres ann´ ees, beaucoup d’efforts ont ´ et´ e faits pour g´ en´ eraliser ce r´ esultat quand on ne suppose pas que le point a est fixe. On s’est tr` es vite aper¸ cu que, dans ces conditions, le bon probl` eme est de chercher ` a caract´ eriser un iso- morphisme f d’un domaine born´ e D

de C

sur un domaine born´ e D

de C

comme une application holomorphe f : D

→ D

qui est une isom´ etrie pour une m´ etrique infinit´ esimale bien choisie en un point. Ces r´ esultats s’appuient en g´ en´ eral sur l’´ egalit´ e des distances de Carath´ eodory et de Kobayashi sur un do- maine convexe born´ e (voir H. Royden and P. Wong [8] et L. Lempert [7]), et sur la notion de g´ eod´ esique complexe introduite par E. Vesentini [10 et 11]. On est donc amen´ e ` a supposer que l’un des domaines D

ou D

est convexe. Si on sup- pose D

convexe, il est naturel, comme nous allons le voir, de supposer que f est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Carath´ eodory (voir J.-P. Vigu´ e [12]) ; en revanche, dans le cas o` u on suppose D

convexe, il faut supposer que f est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi (voir J.-P. Vigu´ e [13], I. Graham [5] et L. Belkhchicha [1]). Il est int´ eressant de remarquer que la d´ emonstration de L. Belkhchicha utilise aussi la distance de Carath´ eodory et montre comme r´ esultat pr´ eliminaire que f est une isom´ etrie pour la distance de Carath´ eodory.

Nous montrerons ensuite comment certains de ces r´ esultats peuvent se g´ en´ era- liser en dimension infinie, o` u nous n’avons pas, jusqu’` a ce jour, de r´ esultats aussi complets.

Pour commencer, nous allons rappeler un certain nombre de propri´ et´ es des distances invariantes et des g´ eod´ esiques complexes au sens de Vesentini.

2. Distance de Carath´ eodory et g´ eod´ esiques complexes. La distance de Carath´ eodory c

sur un domaine born´ e D de C

est d´ efini par la formule :

c

(x, y) = sup

f ∈H(D,∆)

ρ(f (x), f (y)),

o` u ρ est la distance de Poincar´ e sur le disque-unit´ e ∆. De mˆ eme, la m´ etrique infinit´ esimale associ´ ee E

est d´ efinie (voir [3, 4 et 6]) par

E

(x, v) = sup

f ∈H(D,∆)

|f

(x).v| (x ∈ D, v ∈ C

).

D’apr` es E. Vesentini [10 et 11], on dit qu’une application holomorphe ϕ du disque-unit´ e ∆ dans D est une g´ eod´ esique complexe de D si ϕ est une isom´ etrie pour les distances de Carath´ eodory c

et c

. D’apr` es E. Vesentini [11], nous avons la caract´ erisation suivante des g´ eod´ esiques complexes de D.

Th´ eor` eme 2.1. Soit D un domaine born´ e de C

. Soit ϕ : ∆ → D une ap- plication holomorphe, et supposons que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite :

(i) E

(ϕ(0), ϕ

(0)) = 1;

(ii) il existe deux points distincts α et β de ∆ tels que c

(ϕ(α), ϕ(β)) = c

(α, β).

Alors ϕ est une g´ eod´ esique complexe de D.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons par exemple que (ii) est vrai. A l’aide du th´ eor` eme de Montel, on montre qu’il existe une application holomorphe f de D dans ∆ telle que

ρ(f (ϕ(α)), f (ϕ(β))) = ρ(α, β).

Quitte ` a composer f avec un automorphisme analytique de ∆, on peut supposer que

f ◦ϕ(α) = α, f ◦ϕ(β) = β.

D’apr` es le lemme de Schwarz, f ◦ϕ = id

, et comme les applications holomorphes sont contractantes pour la distance de Carath´ eodory, ceci suffit ` a d´ emontrer le r´ esultat. Le cas (i) se traite de mani` ere analogue.

Soit maintenant D la boule-unit´ e ouverte de C

pour une norme k · k. Pour tout x 6= 0 de C

, le th´ eor` eme 2.1 et le th´ eor` eme de Hahn-Banach montrent que l’application de ∆ dans D

ζ → ϕ(ζ) = ζ x kxk est une g´ eod´ esique complexe de D.

Rappelons qu’un point x appartenant ` a la fronti` ere de D est un point com- plexe-extr´ emal de D si la relation x + ζy ∈ D pour tout ζ ∈ ∆ entraˆıne y = 0.

On d´ eduit de E. Vesentini [10 et 11] le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 2.2. Supposons que x/kxk soit un point complexe-extremal de D.

Alors l’application ϕ d´ efinie par ϕ(ζ) = ζx/kxk est l’unique g´ eod´ esique complexe de D telle que ϕ(0) = 0 et ϕ

(0) = x/kxk.

Nous pouvons alors montrer le lemme suivant.

Lemme 2.3. Soient D

et D

deux domaines born´ es de C

, et soit f : D

→ D

une application holomorphe. Soit a un point de D, et soit v un vecteur non nul de C

tel que

E

(f (a), f

(a).v) = E

(a, v).

Si ϕ : ∆ → D est une g´ eod´ esique complexe de D

telle que ϕ(0) = a et que ϕ

(0) soit colin´ eaire ` a v, alors f ◦ϕ est une g´ eod´ esique complexe de D

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit ϕ une g´ eod´ esique complexe de D

telle que ϕ(0) = a et que ϕ

(0) soit colin´ eaire ` a v. D’apr` es le lemme 2.1,

E

(ϕ(0), ϕ

(0)) = 1.

D’apr` es l’hypoth` ese du lemme, ceci entraˆıne que

E

(f ◦ϕ(0), (f ◦ϕ)

(0)) = 1,

et f ◦ϕ est une g´ eod´ esique complexe de D

.

On d´ eduit en particulier de ce r´ esultat que, pour tout point x appartenant ` a l’image de ϕ, on a

c

(f (a), f (x)) = c

(a, x).

Signalons enfin que, d’apr` es un r´ esultat de L. Lempert [7] et de H. Royden et P.

Wong [8], ´ etant donn´ e un domaine born´ e convexe D de C

, il existe toujours des g´ eod´ esiques complexes dans D. Plus pr´ ecis´ ement, ´ etant donn´ es deux points a et b de D, il existe une g´ eod´ esique complexe ϕ telle que a et b appartiennent ` a ϕ(∆)

; de mˆ eme, ´ etant donn´ es un point a de D et un vecteur v de C

, il existe une g´ eod´ esique complexe ϕ : ∆ → D telle que ϕ(0) = a et que ϕ

(0) soit colin´ eaire

` a v.

3. Caract´ erisation des isomorphismes ` a l’aide de la m´ etrique infi- nit´ esimale de Carath´ eodory. Dans ce paragraphe, nous allons montrer une caract´ erisation des isomorphismes analytiques d’un domaine born´ e convexe sur un autre domaine born´ e ` a l’aide de la m´ etrique infinit´ esimale de Carath´ eodory.

Plus pr´ ecis´ ement, nous allons montrer le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 3.1. Soient D

et D

deux domaines born´ es de C

, et supposons que D

soit convexe. Soit a un point de D

, et soit f : D

→ D

une application holomorphe. Supposons que, pour tout v ∈ C

, on ait

E

(f (a), f

(a).v) = E

(a, v).

Alors, f est un isomorphisme analytique de D

sur D

.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Montrons d’abord que, pour tout x ∈ D

, c

(f (a), f (x)) = c

(a, x).

En effet, nous avons d´ ej` a dit qu’´ etant donn´ es deux points x et y de D

, il existe une g´ eod´ esique complexe ϕ : ∆ → D

telle que x et y appartiennent ` a ϕ(∆). Soit donc ϕ une g´ eod´ esique complexe telle que ϕ(0) = a et que ϕ(ζ) = x, pour un certain ζ ∈ ∆. Comme f

(a) est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Carath´ eodory, on a, pour tout v ∈ C :

E

((f ◦ϕ)(0), (f ◦ϕ)

(0).v) = E

(ϕ(0), ϕ

(0).v) = E

(0, v).

D’apr` es le th´ eor` eme 2.1, f ◦ϕ est une g´ eod´ esique complexe. On a donc : c

((f ◦ϕ)(0), (f ◦ϕ)(ζ)) = c

(0, ζ),

ce qui prouve l’´ egalit´ e annonc´ ee.

Comme D

est convexe, d’apr` es L. Harris [6], les boules pour la distance de Carath´ eodory sont relativement compactes dans D

. On en d´ eduit que f est une application holomorphe propre de D

dans D

. D’apr` es le th´ eor` eme de Remmert- Stein, f (D

) est un sous-ensemble analytique de D

, et, d’apr` es le th´ eor` eme d’inversion locale, f (D

) contient un voisinage de f (a). Ainsi, f (D

) = D

.

Nous pouvons alors achever la d´ emonstration du th´ eor` eme 3.1. L’application

f , qui est propre, est un revˆ etement ramifi´ e de D

sur D

; il existe donc un

sous-ensemble analytique A de D

tel que f soit un revˆ etement de D

\f

(A) sur D

\A. Le nombre de feuillets de ce revˆ etement est fini et constant sur D

\A.

Comme f conserve la distance de Carath´ eodory au point a et que f est un iso- morphisme analytique d’un voisinage de a sur son image, ce nombre est ´ egal ` a 1, et f est un isomorphisme analytique de D

sur D

.

4. Caract´ erisation des isomorphismes ` a l’aide de la m´ etrique infi- nit´ esimale de Kobayashi. Si on suppose que c’est D

qui est convexe, il faut supposer alors que f

(a) est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Ko- bayashi. C’est ce que fait I. Graham [5] qui montre l’important r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme 4.1. Soit M une vari´ et´ e complexe taut de dimension n et soit Ω un domaine born´ e strictement convexe dans C

. Soit a un point de Ω, et soit f : M → Ω une application holomorphe qui est une isom´ etrie pour les m´ etriques infinit´ esimales de Kobayashi F

(a, .) et F

(f (a), .). Alors f est un isomorphisme analytique de M sur Ω.

Nous ne montrerons pas ce r´ esultat dont la d´ emonstration repose sur un r´ esultat d’unicit´ e des g´ eod´ esiques complexes dans Ω. Si on ne suppose pas que les g´ eod´ esiques complexes sont uniques, il n’a ´ et´ e possible pour l’instant de g´ en´ eraliser compl` etement le r´ esultat de I. Graham. Il me faut cependant signaler un int´ eressant r´ esultat d´ emontr´ e par L. Belkhchicha [1] dans le cas o` u Ω est la boule-unit´ e ouverte de C

pour une norme k.k.

Th´ eor` eme 4.2. Soit M une vari´ et´ e complexe de dimension n, sur laquelle la pseudodistance int´ egr´ ee de Carath´ eodory c

est une distance et telle que M soit c

-complet. Soit p un point de M et soit B la boule-unit´ e de C

pour une norme k.k. Soit f : M → B une application holomorphe telle que f (p) = 0 et que f

(p) soit une isom´ etrie pour les m´ etriques infinit´ esimales de Kobayashi F

(a, .) et F

(f (a), .). Alors f est un isomorphisme analytique de M sur B.

Comme nous allons le voir, un des int´ erˆ ets suppl´ ementaires de ce th´ eor` eme est qu’on peut, dans une certaine mesure, le g´ en´ eraliser ` a la dimension infinie. C’est sans doute un des rares r´ esultats connus en dimension infinie, et nous allons le d´ emontrer dans le paragraphe suivant.

5. G´ en´ eralisation ` a la dimension infinie. Nous consid´ ererons le dual to- pologique E d’un espace de Banach complexe E

. Soit D un domaine born´ e de E. Nous serons amen´ e ` a consid´ erer les hypoth` eses suivantes :

(H

) D est complet pour la distance int´ egr´ ee de Carath´ eodory c

.

(H

) Soit ϕ

: ∆ → D une suite d’applications holomorphes du disque-unit´ e

∆ dans D convergeant uniform´ ement sur tout compact de ∆ pour la topologie

faible σ(E, E

) vers une application holomorphe ϕ : ∆ → E. Alors, ou bien ϕ(∆)

est contenu dans la fronti` ere de D, ou bien ϕ(∆) est contenu dans D.

L’hypoth` ese (H

) est a priori plus faible que l’hypoth` ese d’ˆ etre complet pour la distance de Carath´ eodory, et d’apr` es L. Harris [6], l’hypoth` ese (H

) est toujours satisfaite lorsque D est un domaine born´ e convexe de E. On d´ eduit de [6] que (H

) est v´ erifi´ ee dans les deux cas suivants :

(i) D est un domaine born´ e convexe de E, et il existe a ∈ D, et une famille σ

de formes lin´ eaires provenant de E

telles que :

D = {z ∈ E | Re σ

(z − a) < 1};

(ii) D est un domaine born´ e convexe d’un espace de Banach r´ eflexif E.

Soit maintenant B la boule-unit´ e ouverte de E. Nous consid´ erons sur B l’hypoth` ese suivante :

(H

) pour toute fonction f : B → C born´ee, continue sur B, holomorphe sur B, on a :

kf k

= kf k

(o` u, par d´ efinition, kf k

= sup

|f (x)|, et Ext(B) d´ esigne l’ensemble des points complexe-extr´ emaux de B).

L’hypoth` ese (H

) est v´ erifi´ ee pour tout domaine convexe born´ e de C

(voir [1]). On d´ eduit facilement du principe du maximum que, si B est telle que tous les points de la fronti` ere de B soient des points complexes-extr´ emaux de B, alors B v´ erifie (H

). On peut aussi montrer que la condition (H

) est satisfaite dans le cas de la boule-unit´ e ouverte B de l’espace de Banach complexe l

(N) des suites de nombres complexes born´ ees muni de la norme habituelle. Pour l’instant, je ne sais pas si la condition (H

) est satisfaite pour la boule-unit´ e ouverte d’un espace de Banach r´ eflexif E.

Nous pouvons alors ´ enoncer le th´ eor` eme suivant.

Th´ eor` eme 5.1. Soit D un domaine born´ e du dual E d’un espace de Banach E

v´ erifiant les hypoth` eses (H

) et (H

). Soit B la boule-unit´ e ouverte de E, et supposons que B v´ erifie (H

). Soit a un point de D, et soit f : D → B une application holomorphe telle que f (a) = 0 et que f

(a) soit une isom´ etrie surjective pour les m´ etriques infinit´ esimales de Kobayashi F

(a, .) et F

(0, .).

Alors f est un isomorphisme analytique de D sur B.

Nous d´ eduisons en particulier de ce r´ esultat le corollaire suivant [14] qui g´ en´ eralise ` a la dimension infinie un th´ eor` eme de C. Stanton [9].

Corollaire 5.2. Soit D un domaine born´ e de l’espace de Banach complexe l

(N) qui satisfait aux hypoth`eses (H

) et (H

). Supposons qu’il existe un point a de D tels que les normes de Kobayashi F

(a, .) et de Carath´ eodory E

(a, .) co¨ıncident. Supposons de plus que l’indicatrice

{x ∈ l

(N) | E

(a, x) < 1}

soit lin´ eairement isomorphe ` a la boule-unit´ e B de l

(N). Alors D est analyti- quement isomorphe ` a B.

Avant de d´ emontrer ces r´ esultats, nous aurons besoin de quelques d´ efinitions et des r´ esultats pr´ eliminaires suivants.

D´ efinition 5.3. Soit ϕ : ∆ → D une application holomorphe. On dit que ϕ est une g´ eod´ esique complexe pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi ` a l’origine si F

(ϕ(0), ϕ

(0)) = 1.

Nous avons alors le th´ eor` eme d’existence suivant.

Th´ eor` eme 5.4. Soit D un domaine born´ e v´ erifiant l’hypoth` ese (H

). Soit a un point de D, et soit v ∈ E tel que F

(a, v) = 1. Alors il existe une g´ eod´ esique complexe pour la m´ etrique de Kobayashi ` a l’origine ϕ : ∆ → D telle que ϕ(0) = a et que ϕ

(0) = v.

D ´ e m o n s t r a t i o n. D’apr` es la d´ efinition de la m´ etrique infinit´ esimale de Ko- bayashi, il existe une suite ϕ

d’applications holomorphes de ∆ dans D telles que ϕ

(0) = a, ϕ

(0) = (1 − 1/n)v. On montre de mani` ere tout ` a fait standard en utilisant le th´ eor` eme de Montel que, selon un ultrafiltre U , ϕ

converge pour la topologie faible σ(E, E

) uniform´ ement sur tout compact de ∆ vers une applica- tion holomorphe ϕ. Il est clair que ϕ(0) = a et que ϕ

(0) = v. D’apr` es l’hypoth` ese (H

), ϕ(∆) ⊂ D, et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.

Il est facile de voir qu’ˆ etre une g´ eod´ esique complexe pour la m´ etrique de Kobayashi ` a l’origine est une condition plus faible qu’ˆ etre une g´ eod´ esique pour la distance de Carath´ eodory.

Par des m´ ethodes inspir´ ees de C. Stanton [9] et de L. Belkhchicha [1], nous allons montrer le lemme suivant.

Lemme 5.5. Soit D un domaine born´ e d’un espace de Banach complexe E, et supposons que D v´ erifie les hypoth` eses (H

) et (H

). Soit B la boule-unit´ e ouverte de E, et supposons que B v´ erifie l’hypoth` ese (H

). Soit f : D → B une application holomorphe, et supposons qu’il existe un point a de D tel que f (a) = 0 et que f

(a) soit une isom´ etrie surjective pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayshi.

Alors f v´ erifie les deux propri´ et´ es suivantes : (i) ∀x ∈ D, ∀y ∈ D, c

(f (x), f (y)) = c

(x, y);

(ii) ∀x ∈ D, ∀v ∈ E, E

(f (x), f

(x).v) = E

(x, v).

Ainsi , f est une isom´ etrie pour la distance de Carath´ eodory de D sur f (D).

D ´ e m o n s t r a t i o n. Etant donn´ es x et y dans D (resp. x ∈ D et v ∈ E), on montre facilement en utilisant le th´ eor` eme de Montel qu’il existe une application holomorphe F : D → ∆ qui r´ ealise exactement la distance de Carath´ eodory de x et y (resp. la m´ etrique infinit´ esimale E

(x, v)), c’est-` a-dire telle que

c

(F (x), F (y)) = c

(x, y) (resp. E

(F (x), F

(x).v) = E

(x, v)).

D’apr` es le th´ eor` eme d’inversion locale, il existe un voisinage U de a et un voisinage V de 0 = f (a) tel que f soit un isomorphisme analytique de U sur V . Alors (f

)

est une application holomorphe de V sur U , et soit G l’application holomorphe de V dans ∆ d´ efinie par

G(z) = F ◦(f

)

(z)

Nous allons montrer que G se prolonge en une application holomorphe de B dans ∆.

Remarquons d’abord que G est d´ efinie dans un voisinage de l’origine dans E et admet donc un d´ eveloppement en s´ erie de polynˆ omes homog` enes

G(z) =

∞

X

n=0

P

(z),

o` u P

(z) est un polynˆ ome homog` ene de degr´ e n, et ce d´ eveloppement converge dans un voisinage de l’origine suffisamment petit.

Soit maintenant u un point complexe-extremal de B, et soit t un vecteur de E tel que f

(a).t = u. On sait que F

(0, u) = 1, et comme f

(a) est une isom´ etrie pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi, F

(a, t) = 1. Il existe donc une g´ eod´ esique complexe pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi ` a l’origine ϕ : ∆ → D telle que ϕ(0) = a, ϕ

(0) = t.

Il est clair que f ◦ϕ est une g´ eod´ esique complexe pour la m´ etrique infinit´ esimale de Kobayashi, mais, comme B est convexe, on sait d’apr` es L. Lempert [7], H. Roy- den et P. Wong [8] que les distances de Carath´ eodory et de Kobayashi co¨ıncident sur B. Ainsi donc, f ◦ϕ est une g´ eod´ esique complexe pour la distance de Ca- rath´ eodory (ce qui entraˆıne qu’il en est de mˆ eme pour ϕ), et d’apr` es le th´ eor` eme d’unicit´ e de E. Vesentini, on a :

f (ϕ(ζ)) = ζu.

Ces r´ esultats montrent ´ egalement que f est un isomorphisme de ϕ(∆) sur f (ϕ(∆)). Calculons G(f (ϕ(ζ))). On trouve

G(f (ϕ(ζ))) = F (ϕ(ζ)),

et la fonction G◦f ◦ϕ est une application holomorphe de ∆ dans ∆. Son d´ evelop- pement en s´ erie est obtenu par substitution dans le d´ eveloppement de G, et on trouve

G(f (ϕ(ζ))) =

∞

X

n=0

P

(ζu) =

∞

X

n=0

ζ

P

(u).

On d´ eduit des in´ egalit´ es de Cauchy que kP

(u)k ≤ 1. En faisant ce raisonnement pour tout point u ∈ Ext(B), on d´ eduit que kP

k

≤ 1, et d’apr` es l’hypoth` ese (H

), ceci entraˆıne que

kP

k

≤ 1.

Pour tout z ∈ B, on a donc kP

(z)k ≤ kzk

. On d´ eduit imm´ ediatement que G

se prolonge en une application holomorphe de B dans C. Soit maintenant r < 1,

et soit B

la boule de centre 0 et de rayon r. En utilisant G◦f ◦ϕ, on montre de mˆ eme que kGk

r)

< 1. On en d´ eduit que kGk

r

≤ 1, ce qui montre que G se prolonge en une application holomorphe de B dans ∆.

Au voisinage de a dans D, on a G◦f = F . D’apr` es le th´ eor` eme de prolongement analytique, on a, pour tout z ∈ D,

G◦f (z) = F (z).

En particulier,

G(f (x)) = F (x), G(f (y)) = F (y)

(resp. G(f (x)) = F (x), G

(f (x)).(f

(x).v) = F

(x).v), ce qui montre l’´ egalit´ e annonc´ ee

c

(f (x), f (y)) = c

(x, y) (resp. E

(f (x), f

(x).v) = E

(x, v)).

Ceci permet de montrer que, pour tout x ∈ D, f

(x) est un isomorphisme lin´ eaire de E. D’apr` es le th´ eor` eme d’inversion locale, f est un isomorphisme ana- lytique de D sur son image. En utilisant le fait que D est complet pour c

, il est facile de montrer que f est un isomorphisme analytique de D sur B, et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.

Il est int´ eressant et amusant de remarquer que la d´ emonstration du th´ eor` eme 5.1 fait intervenir ` a la fois les m´ etriques de Carath´ eodory et de Kobayashi.

Bibliographie

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