DECYZJE OPERACYJNE

Nr 2 1993

Marek WALESIAK *

POMIAR EFEKTÓW ODDZIAŁYWANIA CZYNNIKÓW NA WYRÓŻNIONE ZJAWISKO EKONOMICZNE

W pracy omówiono metodę - opartą na rachunku różniczkowym i całkowym - służącą do oceny wpływu czynników na wyróżnione zjawisko ekonomiczne. Ukazano związki tej metody ze znanymi z literatury statystyczno-ekonometrycznej miernikami elastyczności. Przedstawiono ponadto propozycję pojęcia elastyczności (innego typu niż w ujęciu klasycznym), którą można stosować przy dużych przyrostach badanego czynnika.

W literaturze z zakresu analizy ekonomiczno-finansowej funkcjonuje wiele metod, zwan,Y.ch metodami przyczynowymi (metoda kolejnych podstawień, metoda

różnic cząstkowych i metody od niej pochodne, np. funkcyjna, metody podziału odchyleń, logarytmiczna), służących do oceny wpływu czynników na wyróżnione

zjawisko ekonomiczne. Wszystkie te metody w pracach [10J, [11J, [12J - na pod­

stawie sformułowanych tam warunków poprawności - zostały poddane krytycznej ocenie ich przydatności w analizie zjawisk ekonomiczno-fmansowych. W pracach tych autor przedstawił także (częściowo na podstawie pracy [7J) i zanalizował metodę, praktycznie nie ^znaną w polskiej literaturze z tego zakresu, ^opartą na rachunku różniczkowym i całkowym i służącą do oceny wpływu czynników na

wyróżnione zjawisko ekonomiczne.

Celem tego artykułu jest ukazanie związków tej metody ze znanymi z literatury statystyczno-ekonometrycznej miernikami elastycZności. Ponadto przedstawiono

propozycję zdefiniowania elastyczności (innego typu niż w ujęciu klasycznym), którą można stosować w przypadku dużych przyrostów badanego czynnika.

• Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego, ul. Komandorska 118/120, 53-345 Wrocław.

48 M. WALESIAK

1.

Dane jest zjawisko ekonomiczne Y będące przedmiotem badania o wynikach obserwacji w postaci wektora

[YrJ = [Y 1 , ••• , Yl,;y, r = 1, ... , k (1) Na wielkość zjawiska Y wpływają z różną siłą i kierunkiem czynniki (zmienne) Xl' ... , X _{n •} Macierz wyników obserwacji na zmiennych Xl' ... , X _n jest następu­

jąca:

X J = [X ^{11 ••• X n1 ]}

[X _{lr' ... , nr} X X (2)

1k ••• nk

Zależność wyróżnionego zjawiska ekonomicznego Y od czynników na niego

wpływających X l , . . . , X n może się przejawiać m.in. w postaci funkcyjnych i staty­

stycznych związków przyczynowo-skutkowych. Przedmiotem badań w niniejszej pracy są przyczynowo-skutkowe związki funkcyjne łączące zmienne Y i X l ' ... , X _n

Y=j(X I , ... , X _n ) (3)

gdzie j - znana a priori (np. z teorii ekonomii) postać analityczna.

Czynniki X l ' ... , X ⁿ występujące w funkcji (3) mogą być niezależne bądź zależne

(w tym przypadku można jeszcze rozróżnić zależności funkcyjne i statystyczne [4]).

W pracy przyjęto założenie o niezależności czynników X l ' . . . , X n' a więc

rozpatruje się sytuacje, w których zmianie ulega tylko jeden spośród badanych czynników, pozostałe natomiast utrzymują się na stałym poziomie. Założenie to jest pewnym uproszczeniem, gdyż często się zdarza, że czynniki są ze sobą powiązane

w określony sposób, tak że zmiana wartości jednego z nich pociąga za sobą zmiany

wartości"innych czynników, a te z kolei oddziałują na badane zjawisko. Sytuacja, w której dopuszcza się zależność badanych czynników X l ' ... , X ⁿ będzie przed­

miotem osobnego opracowania.

Proces badania analitycznego można podzielić na dwa etapy. W pierwszym etapie ustala się odchylenie badanego zjawiska ekonomicznego w dwóch porów­

nywanych stanach r oraz s:

..d Y = ^Y _{r -} ^Y _{s '} odchylenie bezwzględne (4) 100 Y r - Y s ,

100 ..d Y = odchylenie względne (5)

Y, Y _s

W drugim etapie badań analitycznych wyodrębnia się (np. za pomocą metody opartej na rachunku różniczkowym i całkowym) wpływ (tzn. skalę i kierunek

wpływu) przyrostów czynników .x l ' . . . , X _n na przyrost badanego zjawiska.

Jeśli w pierwszym etapie ustalono odchylenie bezwzględne (względne), to wpływ

przyrostów czynników X l ' ... , X n na przyrost badanego zjawiska jest wyrażony

w wielkościach mianowanych (niemianowanych).

Można wskazać ważniejsze kierunki zastosowania tych badań i płynące z nich

korzyści:

a) na podstawie analizy przeszłości pozwalają one odpowiedzieć na pytanie, jakie zmienne (czynniki) i w jakim stopniu (w sensie skali i kierunku wpływu)

oddziałują na badane zjawisko ekonomiczne;

b) ten typ analiz, określony w punkcie a), może również dotyczyć prognozowa­

nych wyników obserwacji na zmiennych Y i Xl' ... , XII;

c) na ich podstawie można badać, czy ilościowe związki między zmiennymi

zmieniają się w czasie;

d) dzięki temu, że w metodzie opartej na rachunku różniczkowym i całko­

wym wpływ przyrostu czynnika Xi w przedziale od stanu (Xls' ... , X1IiJI) do stanu

(X 1" .•. , XII') jest sumą wpływów przyrostu czynnika Xi w poszczególnych pod­

przedziałach (co wykazano w pracy [12]), istnieje możliwość kontrolowania i elas­

tycznego reagowania na skutki wywołane przez zmiany czynników;

e) mogą być one również przydatne w analizie konsekwencji określonej poli­

tyki gospodarczej. Tego typu wnioskowanie ma duże znaczenie tam, gdzie istnieje wiele możliwych wariantów działania i chodzi o wybór najkorzystniejszego z nich.

Na przykład zakładając, że w okresie prognozowanym znane będą wielkości Y i Xl' ... , X II ustalamy najkorzystniejszy wariant drogi zmian wartości czynników

X 1> " ' , XII od stanu badanego (wyjściowego) do stanu prognozowanego.

2.

LI Y określone we wzorze (4) oraz w liczniku wyrażenia (5) można przedstawić

jako

LI y = f(X _1s +LlX1; ... ; X

+ LlXII)-f(X ls , ••• , X1IiJI) (6) gdzie: LlX

= X ir - Xi. (i = 1, ... , n).

Z uwagi na to, że LI y jest zwykle skomplikowaną funkcją LIX l ' . . . , LIX n

dokonujemy różniczkowania funkcji (3) w punkcie (X la' ..• , XIIS)' Funkcja ciągła

wielu zmiennych jest różniczkowalna w punkcie (X ls' •.• , X 113)' jeśli ma w danym punkcie ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych [5, s. 333], [3, s. 392]. Otrzymuje się wzór określający przyrost funkcji o postaci [5, s. 335J LlY= dY+o(LlX p .•. , LI XII) P (7) gdzie: dY różniczka zupełna funkcji:

dY fxJX ts' ... , X

LI X 1 + ... + fXJX ts' ... , XlIs)LlXII =

A x , + ... +Axn (8)

p = «LIX t>2 + ... + LIXIIf)o.s

Ax. - wpływ przyrostu czynnika Xi (ceteris paribus) na przyrost badanego

zjawiska Y.

50 M. WALESIAK

W ogólnym przypadku zamiast LIX l' ... , LlXn we wzorze (8) można plSac dX l' ... , dXn (wynika to z równości dX _i = LIX!> dla i = 1, "', n [5, s. 336]).

Korzyść wynikająca z takiego przedstawienia przyrostu funkcji LI Y polega na tym, że dY zależy od LlXl , ... , LlXn liniowo.

We wzorze (7) o zależy od LIX 1> ••• , LlXn i dąży do zera, gdy LIX 1 -+ O, ... , LlXn ^-+ O, lub krócej, gdy p -+ O.

Wynika stąd, że jeśli LIX l -+ O, ... , LIX n -+ O, to przyrost funkcji można z dowol­

nie. małym błędem zastąpić jej różniczką zupełną:

LlY ~ dY (9)

Jeśli przyjmiemy przybliżenie (9) oraz podstawimy za dY prawą stronę równa­

nia (8), to wzór określający odchylenie względne można wyrazić jako 100 LI: ~ 100 fJdX!~, ..;, Xns)LlX l + ... + JX,,(X 1s , . ; ' Xns)LlXn =

Ił Ił Ił

(10) gdzie: Wx

^wpływ przyrostu względnego czynnika Xi (ceteris paribus) na przy­

rost względny badanego zjawiska Y (w procentach).

LlX _l = aIX/&; at = (XIr-X/s)X;I.

Jeśli LlXi=O,OlXja (a _i = 0,01; i=l, ... ,n), to wyrażenie (por. [6, s. 200]) W Xt = 100 fJd~ls' ""yXns)O,Ol X ^is =j'(X lS ' . . . , X ns )"? ⁽¹¹⁾

Ił

s

jest klasyczną defmicją elastyczności zmiennej Y względem zmiennej Xl (por. np.

prace [1], [2], [8], [9]).

3.

Posługiwanie się w badaniach ekonomicznych klasycznym wzorem określają­

cym elastyczność oraz wzorami (9) i (10) jest nieuzasadnione, bowiem czynniki Xl' ... , X _n zwykle otrzymują istotnie różne od zera przyrosty. W takim przypadku, aby zachodziła sytuacja (9), należy proces zmian czynników od punktu (X ls' ... , X ns) do punktu (X l" ... , X _n ,) przedstawić w postaci m kroków. Po każdym kroku czynniki Xl' ... , X n otrzymują przyrosty LIX1(5+j-l); '" ; LIX n(s+ J-l) (j = 1, ... , m).

W tej sytuacji przyrost funkcji (3) można przedstawić następująco:

m

LlY = L fXJXl(s+J-l);'''; Xn(s+J-l)LlXl(&+i-l) + ... +

j=l

m (12)

L rxJXl(S+J-l);"'; Xn(Ił+J-l)LlXn(s+j-l) +u

i'" 1

gdzie: AXi(s+J-I) = X/(s+J)-X i (S+1-1);

u - błąd oceny, który wraz ze wzrostem m maleje.

A~) = L m ^{IXi(X 1} (S+i-l); ... ; X,,(s+i-l»)AX i (S+1-1) - oznacza wpływ przy­

1=1

rostu zmiennej Xi (ceteris paribus) na przyrost badanego zjawiska Y.

Niech K oznacza krzywą ciągłą (nie jest to krzywa zamknięta), łączącą punkty o współrzędnych (X Is' •.• , X lIS) i (X 1r' .•• , X",).

Obliczmy granicę otrzymanej sumy A~>, gdy m ... ^Hl:) (a więc AXi(s+i-l) -+ O).

Jeśli granica taka istnieje (por. twierdzenie o istnieniu [3, s. 520]), to nazywamy ją całką krzywoliniową drugiego rodzaju (wzdłuż rzutu) po krzywej albo po drodze K funkcji IX! po dX _{i •} Zatem (por. [3, s. 519-521]):

A~~) = lim L ^m rxJXI(s+i-I);"'; X"(S+i-l»)AX/(s+1-1) = SfXidXj (13)

m-ooj=l K

Ostatecznie otrzymuje się

AY = A~~)+ ... +A~~) = SfX

dX 1 + ... + SfX"dX" ^{(14) .}

K K

Obliczanie całek krzywoliniowych drugiego rodzaju sprowadza się do obliczenia

całek oznaczonych. Równania drogi całkowania K mogą być dane w postaci parametrycznej lub jawnej (por. np. [3, s. 520-521]).

Jeśli równania drogi K są dane w postaci parametrycznej X ^l = Xl (t), ... ,

X" = X,,(t), to całki A~~), . .. , A~~) oblicza się według następującego wzoru (dla i = 1, ... , n):

A~~) = S fXJx 1> ••. , X JdXj = T S IXI [X l (t), ... , X,,(t)] X;(t)dt (15)

K to

We wzorach tych io i T są wartościami parametru t odpowiadającymi począt­

kowi i końcowi drogi całkowania.

Informacji o postaci krzywej K powinna dostarczać teoria ekonomii. Gdy brak jest takiej informacji, w praktycznych zadaniach analizy ekonomiczno-finanso­

wej przyjmuje się, że zmiany czynników od punktu (X b ' . . . , X/IS) do punktu (X 1r , ••• , X"r) zachodzą po prostej.

Im założenie to jest bliższe rzeczywistości, tym oczywiście wynik jest dokładniej­

szy. W celu zmniejszenia skali błędu można zebrać dodatkowe dane o kształtowaniu

się czynników X l ' .;. , X" wewnątrz badanego przedziału czasowego. Dodatkowe

dane ^pozwalają na dokonanie ^rozliczeń w poszczególnych podokresach, a nie tylko

dla całego okresu globalnie. Zmniejszając długość badanych podokresów można

przyjąć, nie popełniając zbyt dużego błędu, że zmiany czynników w poszczególnych

podokresach zachodzą po prostej.

52 M. WALESIAK

Równanie parametryczne odcinka o początku (X ls' ... , XII$) i końcu (X lr' ... ,

X _{llr )} przedstawia układ:

Xl = X _1s +AX ₁ t = X _1a (1+a ₁ t);

te [O; 1J (16)

XII = X _ns + AXli t = X _lIs (l+a _ll t)

Zakładając, że równanie drogi całkowania K jest dane w postaci równania parametrycznego odcinka, oblicza się całki A~~), ... , A~~) ze wzorów:

A~~) = 1 JfXJX ₁ (t), ... , _{X II(t)JAX 1} dt;

o (17)

Po podstawieniu za AY prawej strony równania (14), wzór określający odchylenie

względne (5) można wyrazić jako

J ^fX

^{dX 1} J fX"dXII

100 AY 100 L y _ + ... + 100 ~-y.- Wt':') + ... + Wt:) (18)

Y"

^s

gdzie: Wt~) - wpływ przyrostu względnego czynnika Xi (ceteris paribus) na przy­

rost względny badanego zjawiska (w procentach).

Jeśli AX

= 0,01 X _{is '} to wyrażenie Wt~) jest elastycznością różnicową zmiennej Y

względem zmiennej Xl' Termin ten zaproponował Pawłowski (por. np. [9, s. 37J)

definiując własną propozycję miernika elastyczności dla przypadku, w którym rozpatrtIje się duże przyrosty badanego czynnika Xi'

Jeśli ponadto równanie drogi K jest odcinkiem, to wzór określający elastyczność różnicową zmiennej Y względem zmiennej Xi jest następujący:

l

JfxJx ₁ (t), ... , XII(t)J O,OlX _is dt

W.t~) = 100 o - - - =

Y _S

~L! j fXJX l(t) , ... , XII(t)J dt.

(19)

" o

BibliografIa

[1] BARCZAK A., Makromodele ekonometryczne a planowanie gospodarki narodowej, PWN, Warszawa 1976.

[2] BARCZAK A., Pomiar efektów oddziaływania zmiennych egzogenicznych j decyzyjnych, [w:] Ekono­

metryczne metody prognozowania. wykonania planów gospoda.rczych, red. Z. Pawłowski, PWN,

Warszawa 1979.

[3] BRONSZTEJN I.N., SIEMIENDIAJEW K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1986.

[4] DOBUA M., Metoda empirycznych miar prawdopodobieństwa w rachunkowości, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie 1988, Seria specjalna: Monografie nr 84.

[5] FICHTENCHOLZ G. M., Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1, PWN, Warszawa 1976.

[6] HOFFMANN L.D., Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences, New York:

McGraw-Hill Book Company 1986.

[7] Kurs analiza chozjajstvennoj dejatelnosti, red. C.K. Tatur, A. D. Seremet, Ekonomika, Moskva 1974.

[8] PAWŁOWSKI Z., Ekonometryczna analiza procesu produkcyjnego, PWN, Warszawa 1976.

[9] PAWŁOWSKI Z., Elementy ekonometrii. Podręcznik, PWN, Warszawa 198!.

[10] WALESIAK M., Metody badań przyczynowych w analizie ekonomiczno-finansowej - próba syntezy w świetle postulowanych własności, Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego 1990 (w druku).

[ll] WALESIAK M., Problem aksjomatyzacji metod badań przyczynowych w analizie ekonomiczno-finan­

sowej, Prace Nauk. AE, Wrocław 1991 (w druku).

[12] WALESIAK M., Przyczynek do problemu aksjomatyzacji metod badań przyczynowych w analizie ekonomiczno-finansowej, Prace Nauk. AE, Wrocław 1991 (w druku).

The measurement oC vańable influence effect on econonllc phenomenon

In the economic-financial analysis there are methods which are used to measure the variable influence effect on economic phenomenon.

The analysis of all these methods, from the point of view of some corectness conditions is contained in the papers [10], [11], [12]. In these articles the author has proposed a new method ofthe measurement of variable influence efTect on economic phenomenon based on differential and integral calculus.

The article discusses the connection of the new method with the measure of point elasticity.

Further more, the measure of difference elasticity is proposed which can be used in the case of large increment of variabies.

Verified by Marzena Łuczkiewicz