uzyskane z badania modeli można było odnieść do obiektów w skali rzeczywistej konieczne jest spełnienie odpowiednich warunków podobieństwa. Warunki te można podzielić na podobieństwo geometryczne, podobieństwo kinematyczne i podobieństwo

J. Szantyr – Wykład 4 – Podobieństwo przepływów I

Eksperymentalne badanie przepływów przez maszyny i urządzenia przepływowe odbywa się najczęściej na modelach tych maszyn

zbudowanych w odpowiednio zmniejszonej skali. Aby wyniki

uzyskane z badania modeli można było odnieść do obiektów w skali rzeczywistej konieczne jest spełnienie odpowiednich warunków

podobieństwa. Warunki te można podzielić na podobieństwo geometryczne, podobieństwo kinematyczne i podobieństwo dynamiczne.

Podobieństwo geometryczne jest najbardziej oczywiste i

najłatwiejsze do spełnienia – wymaga ono aby obiekt rzeczywisty i obiekt modelowy były geometrycznie podobne.

Podobieństwo kinematyczne postuluje podobieństwo pól

prędkości w przepływie wokół obiektu rzeczywistego i obiektu modelowego

Podobieństwo dynamiczne postuluje podobieństwo pól sił

występujących na obiekcie rzeczywistym i na obiekcie modelowym

Uzyskanie pełnego podobieństwa pozwala na bardzo proste przeliczenia odpowiadających sobie wielkości ze skali modelowej na skalę

rzeczywistą – bezwymiarowe współczynniki sił czy prędkości są po prostu sobie równe, na przykład:

rzecz rzecz

rzecz rzecz Frzecz

F

V S

C F C

S V

F

mod 2 mod

2 mod mod

mod

1 2

1 2  ^{  } 

W wielu przypadkach uzyskanie pełnego podobieństwa jest niemożliwe.

Wtedy prowadzi się eksperymentalne badania modelowe przy

podobieństwie częściowym. Wymaga to wprowadzenia do przeliczania wyników na obiekt rzeczywisty specjalnych poprawek uwzględniających tzw. efekt skali.

Laboratoryjne modele

wirników

turbin wodnych

Wirnik turbiny Francisa Wirnik turbiny Peltona

Wirnik turbiny Kaplana

Uzyskanie pełnego podobieństwa pomiędzy przepływem

modelowym a przepływem rzeczywistym wymaga jednoczesnego spełnienia szeregu warunków, zwanych kryteriami podobieństwa hydrodynamicznego. Kryteria te można wyprowadzić z

odpowiednich równań mechaniki płynów, co jest przedmiotem dalszej części wykładu.

System wymiarowania wielkości fizycznych

Jednostki podstawowe Jednostki pochodne Długość [m]

Masa [kg]

Czas [s]

Temperatura [K]

Siła

Moc

 

s kg m N

 



 



  ₃² s kg m W

Formułowanie praw fizycznych nie zależy od wyboru jednostek

Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie Π) 1. Każdą funkcję n parametrów wymiarowych

, z których k ma wymiary podstawowe, można przedstawić w postaci funkcji n-k parametrów bezwymiarowych typu:

pk

k p

p k

k a a a

a ...

2 1

2 1

1 1

  



2. Jeżeli parametry bezwymiarowe Π będą identyczne dla dwóch różnych sytuacji (np. dwóch różnych skal), to zjawisko będzie

przebiegało identycznie, pomimo różniących się parametrów typu a.

Parametry typu Π można więc nazwać parametrami podobieństwa lub kryteriami podobieństwa.

Na postawie ww. twierdzenia można przeprowadzić analizę

wymiarową równań mechaniki płynów i wyprowadzić odpowiednie kryteria podobieństwa.

a

Edgar Buckingham 1867 - 1940

Analiza wymiarowa równania zachowania masy

    _{ }

0



 



 



 





z u y

u x

u t

y z

x  



 dla skali 1

     

 0

 



 

 





 

 





 

 



 

z u y

u x

u t

y z

x  



 dla skali 2

Wprowadzamy przeliczniki skal: ^{  t tt}

x

x _x y_yy z _zz u_x _uxu_x u_y _uyu_y u_z _uzu_z

Postulujemy podobieństwo geometryczne pomiędzy przepływami w obu skalach, czyli:

l l

l z

y x

 





  



Ponadto postulujemy podobieństwo kinematyczne, czyli

podobieństwo pól prędkości pomiędzy przepływami w obu skalach, czyli:

u u

u uz

uy ux

 





  



Teraz równanie dla skali 2 można zapisać w postaci:

    _{ }

 0



 







 



 



 





z u y

u x

u t

y z x

l u t

 







 



_{ }

Warunek identyczności równań w skali 1 i 2 ma postać:

l u

t 







_{ }

 lub ^1

u t

l







Wobec tego z zapisu skal wynika równość:

t Sh t u

t l tu

l  _c 





 

Sh – liczba Strouhala

- czas charakterystyczny przepływu (czyli czas pokonania przez płyn charakterystycznego wymiaru liniowego l – np. długości rurociągu, z prędkością charakterystyczną u)

tc

- czas zmienności niestacjonarnych warunków przepływu, np.

długość cyklu pracy pompy tłokowej t

Vincent Strouhal 1850 - 1922

Wykorzystując liczbę Strouhala można napisać równanie zachowania masy w postaci bezwymiarowej:

    _{ }

ˆ 0 ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ 



 



 



 





z u y

u x

u

Sh t  ^x  ^y  ^z

gdzie wszystkie wielkości są odniesione do odpowiednich wielkości charakterystycznych, co czyni je bezwymiarowymi, np.:

0

ˆ 

  

0

ˆ t t  t

0

ˆ u

u_x  u^x

0

ˆ x

x  x itd.

Mała wartość liczby Strouhala w danym przepływie oznacza, że niestacjonarne zjawiska w tym przepływie są mało istotne i mogą być pominięte.

Analiza wymiarowa równania Naviera - Stokesa Dodatkowo należy wprowadzić przeliczniki skal:

f

f   _f  _ p _p p

Po podstawieniu do równania N-S otrzymujemy:





 



 







 



 



 



 f gradp

z u u

y u u

x u u

t u

l p f

z y

x l

u t

u



 





 



 







 

 ²

 





div u

div grad

l u l

u 





 





_{ }

3 2 2

2

2  



 



 

Równanie to jest identyczne w dwóch różnych skalach 1 i 2 przy spełnieniu następującego warunku:

2 2

l u l

p f

l u t

u









 

 









 _





     Po podzieleniu stronami przez

drugi wyraz i po wykorzystaniu definicji skal otrzymujemy:

Liczba Strouhala:

u t

l tu

Sh l





 

 Liczba Froude’a:

 

l f u fl

Fr u



 

 ^{2 2}

2

Liczba Froude’a wyraża stosunek sił bezwładności do sił masowych

Liczba Eulera:

2

2 u

p u

Eu p





 



 

Liczba Eulera wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności

Liczba Reynoldsa:















 

 ul u l Re

Liczba Reynoldsa wyraża stosunek sił bezwładności do sił lepkości

William Froude 1810 - 1879

Leonhard Euler 1707 - 1783

Osborne Reynolds 1842 - 1912

Wykorzystując liczby Strouhala, Froude’a, Eulera i Reynoldsa

można napisać równanie Naviera Stokesa w postaci bezwymiarowej:

   

 

 f Eu gradp

u Fr grad t u

Sh u  

 

 



 



 



 



 grad divu div 2 D 3

2 Re

1

W równaniu powyższym wszystkie parametry zostały odniesione do wielkości charakterystycznych, podobnie jak w równaniu zachowania masy.

Jeżeli równanie N-S w powyższej postaci zastosujemy do przepływów w dwóch różnych skalach, to uzyskamy pełne podobieństwo zjawisk przy zachowaniu równości wszystkich kryteriów podobieństwa. Nie zawsze jest to możliwe. Przy zachowaniu tylko niektórych kryteriów uzyskujemy tzw. podobieństwo częściowe, a wyniki pomiarów lub obliczeń są obciążone tzw. efektem skali (patrz przykład poniżej).

Przykład 1 – wyznaczenie sił na podporze mostu

Rozpatrujemy przypadek podpory mostu (1), która jest badana w laboratorium na modelu (2) w skali zmniejszonej (1:10), w celu określenia wypadkowej siły hydrodynamicznej działającej na

podporę. Siła ta składa się z części lepkościowej, zależnej przede wszystkim od liczby Reynoldsa, oraz z części falowej zależnej przede wszystkim od liczby Froude’a. Postulujemy:

 

  ^Re

w

Fr F

F

F  

s U₁ 5,0 m

W przypadku pełnego podobieństwa można napisać:

1 2 1 1 1

1 C 2 U S

F _{ F}  _gdzie:

2 2 2 2 2

1

2 U S C F

C_F ^ _F ^ 

Zachowanie równości liczb Froude’a prowadzi do:

















 s

U m L U

U L gL U

U gL

U 0,3162 _{1 2} 1,581

1 2 1

2 2

2 1

1

Z kolei zachowanie równości liczb Reynoldsa prowadzi do:

















 s

U m L

U L U

L U L

L U U L

U ₂ 50,0

2 1 1 2

2 2 1

1 2

2 1

1 



2

1 Re

Re  Fr₁  Fr₂

Widać wyraźnie, że jednoczesne spełnienie obu kryteriów podobieństwa jest niemożliwe. Łatwiejsze jest spełnienie kryterium Froude’a, gdyż

spełnienie kryterium Reynoldsa wymaga zastosowania w laboratorium bardzo wysokiej prędkości. Powoduje to powstanie efektu skali, który powinien być wzięty po uwagę przy przeliczaniu wyników.

Przykład 2 – wyznaczanie oporu statku

Statek 27,2:1 Model

długość

powierzchnia zwilżona [m**2]

prędkość [m/s]

  ^m

L

 190 , 0 ^L

^{ 6 , 94}   ^m

 

7740 m S



 

V_S 10,70 ^V_M ^1,973

 

 

46 ,

10 m

S_M 

Celem obliczeń jest pokazanie jak wielkie mogą być błędy wynikające z niepełnego podobieństwa hydrodynamicznego.

Liczba Froude’a dla statku = liczba Froude’a dla modelu:

Opór hydrodynamiczny zmierzony na modelu i współczynnik oporu całkowitego dla modelu:

Liczba Reynoldsa dla modelu:

Współczynnik oporu tarcia dla modelu:

 

L V g F V

L g

F V _M

M M RM

S S

RS 0,236 1,973

0 , 190 81

, 9

70 ,

10  

 



 

 



 

46 , 10 973

, 1 3 , 999 5

, 0

041 , 79 12

041 ,

79   ^





 







M M M

TM TM

TM V S

C R N

R 

6 6 11,5219 10 10

18859 ,

1

94 , 6 973 ,

1  



 

  _

M M M

NM

L R V



 

0 2,9275 10

2 log

075 ,

0 _



 



NM M

F R

C

Współczynnik oporu resztkowego dla modelu = współczynnik oporu resztkowego dla statku:

Współczynnik oporu tarcia dla statku:

Liczba Reynoldsa dla statku:

Współczynnik oporu całkowitego dla statku i opór statku obliczony z uwzględnieniem efektu skali (czyli niepełnego podobieństwa

hydrodynamicznego):

 

M F TM

RM C C C

C   ₀  3,87482,9275 10^3  0,947310^3 

8 6 17,1089 10 10

18827 ,

1

7 , 10 0 ,

190  



 

  _

S S S NS

V R L



 

0 1,4369 10

2 log

075 ,

0   _

 

NS S

F R

C

 

0  0,94731,4369 10^  2,384210^



 _{RS F S}

TS C C

C

 

S V

C

R_{TS TS S S S} 74

, 1083

10 7740 7

, 10 9 , 1025 5

, 0 3842 ,

2 2

1 _{2 2 3}

























  ^

Opór całkowity statku obliczony przy założeniu pełnego podobieństwa hydrodynamicznego pomiędzy modelem i statkiem (czyli równości

współczynników oporu całkowitego dla modelu i statku):

10 3

8748 ,

3  ^



 _TM

TS C

C

 

S V

C

R_{TS TS S S S} 3

, 1751

10 7740 7

, 10 9 , 1025 5

, 0 8748 ,

2 3

1 _{2 2 3}

























  ^

Wniosek: rezygnacja z poprawki na efekt skali, wynikającej z niepełnego podobieństwa hydrodynamicznego, powoduje

zawyżenie przewidywania oporu statku o około 60%!