Analiza Matematyczna I Ramowy plan zajęć

Analiza Matematyczna I

Ramowy plan zajęć

Łukasz Pawelec

1. Szeregi liczbowe (2 zajęcia)

a) definicja szeregu, zbieżność i rozbieżność, szeregi o wyrazach dodatnich b) badanie zbieżności: warunek konieczny, kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta,

c) kryterium porównawcze - również w wersji ilorazowej, kryterium o zagęszcza- niu

d) zbieżność bezwzględna, zbieżność warunkowa, szeregi naprzemienne, kryte- rium Leibniza

e) całki niewłaściwe, kryterium całkowe zbieżności szeregów f) szacowanie sumy szeregu przy pomocy całki

2. Topologia (2 zajęcia)

a) definicja metryki, przestrzeni metrycznej b) podstawowe własności przestrzeni metrycznych

c) zbiór otwarty i domknięty; wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru d) ciągi w przestrzeniach metrycznych: zbieżność, ograniczoność

e) granica górna i dolna

f) ciągi Cauchy’ego, przestrzeń zwarta, przestrzeń zupełna g) definicja normy, metryka a norma

3. Ciągi i szeregi funkcyjne (3 zajęcia)

a) metryka supremum, zbieżność punktowa, jednostajna i niemal jednostajna b) zbieżność i różniczkowanie szeregów funkcyjnych, kryterium Weierstrassa

c) szeregi potęgowe, promień i koło zbieżności

d) definicja szeregu Taylora, postać szeregu dla najważniejszych funkcji: wy- kładniczej, logarytmicznej, etc.

e) podstawowe techniki wyznaczania: różniczkowanie, podstawianie, dodawanie i mnożenie

1

f) reszta szeregu w postaci całkowej, Lagrange’a i Cauchy’ego

g) wyznaczanie przybliżonej wartości funkcji przy pomocy szeregu Taylora oraz szacowania reszty

4. Odwzorowania wielowymiarowe (3 zajęcia) a) definicja i badanie ciągłości

b) pochodna cząstkowa i kierunkowa

c) różniczkowalność odwzorowania, klasa C

d) pochodna złożenia, jakobian

e) odwracalność odwzorowań: lokalna i globalna, twierdzenie o odwracaniu f) twierdzenie o odwzorowaniu uwikłanym, ekstrema funkcji uwikłanej g) pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora

5. Funkcje wielu zmiennych (3-4 zajęcia)

a) wyznaczanie ekstremów lokalnych przy użyciu: macierzy drugiej pochodnej, poziomic oraz z definicji

b) wyznaczanie ekstremów warunkowych: podstawienie, mnożniki Lagrange’a, poziomice

c) ekstrema na zbiorach zwartych d) wielowymiarowa całka Riemanna,

e) twierdzenie Fubiniego, całki iterowane, całkowanie po zbiorach normalnych, zmiana kolejności całkowania

f) całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe

W trakcie semestru dwa kolokwia. Jedno po zakończeniu tematu 3, drugie na ostatnich zajęciach. Kolokwia na wykładzie.

2